專題02 函數及其應用、指對冪函數（5大易錯點分析+解題模板+舉一反三+易錯題通關）（新高考專用）含答案及解析

專題02函數及其應用、指對冪函數易錯點一：對函數定義域、值域及解析式理解存在偏差（定義域、值域及解析式的求算）已知函數的具體解析式求定義域的方法法1：若是由一些基本初等函數通過四則運算構成的，則它的定義域為各基本初等函數的定義域的交集.法2：復合函數的定義域：先由外層函數的定義域確定內層函數的值域，從而確定對應的內層函數自變量的取值范圍，還需要確定內層函數的定義域，兩者取交集即可.函數解析式的常見求法法1：配湊法：已知，求的問題，往往把右邊的整理或配湊成只含的式子，然后用將代換.法2：待定系數法：已知函數的類型(如一次函數、二次函數)可用待定系數法，比如二次函數可設為，其中是待定系數，根據題設條件，列出方程組，解出即可.法3：換元法：已知，求時，往往可設，從中解出，代入進行換元.應用換元法時要注意新元的取值范圍.法4：解方程組法：已知滿足某個等式，這個等式除f(x)是未知量外，還有其他未知量，如(或)等，可根據已知等式再構造其他等式組成方程組，通過解方程組求出．分段函數第一步：求分段函數的函數值時，要先確定要求值的自變量屬于哪一區(qū)間，然后代入該區(qū)間對應的解析式求值．第二步：當出現的形式時，應從內到外依次求值．第三步：當自變量的值所在區(qū)間不確定時，要分類討論，分類標準應參照分段函數不同段的端點。結論：復合函數：一般地，對于兩個函數和，如果通過變量可以表示成的函數，那么稱這個函數為函數和的復合函數，記作，其中叫做復合函數的外層函數，叫做的內層函數.抽象函數的定義域的求法：(1)若已知函數的定義域為，則復合函數的家義域由求出.(2)若已知函數的定義域為，則的定義域為在時的值域.易錯提醒：函數的概念①一般地，給定非空數集，，按照某個對應法則，使得中任意元素，都有中唯一確定的與之對應，那么從集合到集合的這個對應，叫做從集合到集合的一個函數.記作：，.集合叫做函數的定義域，記為，集合叫做值域，記為.②函數的實質是從一個非空集合到另一個非空集合的映射.③函數表示法：函數書寫方式為，④函數三要素：定義域、值域、對應法則.⑤同一函數：兩個函數只有在定義域和對應法則都相等時，兩個函數才相同.基本的函數定義域限制求解函數的定義域應注意：①分式的分母不為零；②偶次方根的被開方數大于或等于零：③對數的真數大于零，底數大于零且不等于1；④零次冪或負指數次冪的底數不為零；⑤三角函數中的正切的定義域是且；⑥已知的定義域求解的定義域，或已知的定義域求的定義域，遵循兩點：①定義域是指自變量的取值范圍；=2\*GB3②在同一對應法則∫下，括號內式子的范圍相同；⑦對于實際問題中函數的定義域，還需根據實際意義再限制，從而得到實際問題函數的定義域.基本初等函數的值域①的值域是.②的值域是：當時，值域為；當時，值域為．③的值域是.④且的值域是.⑤且的值域是.分段函數的應用分段函數問題往往需要進行分類討論，根據分段函數在其定義域內每段的解析式不同，然后分別解決，即分段函數問題，分段解決．例．函數的定義域為（

） B． C． D．變式1：設，若，則（

）A．14 B．16 C．2 D．6變式2：已知集合，則（

）A． B． C． D．變式3：已知函數，則下列正確的是（

）A． B． C． D．的值域為1．已知函數，則（

）A． B．3 C． D．2．給出下列個函數，其中對于任意均成立的是（

）A． B．C． D．3．已知函數，則（

）A． B． C． D．4．已知函數滿足，則可能是（

）．A． B．C． D．5．設集合，，則（

）A． B． C． D．6．集合，，則（

）A． B．C． D．易錯點二：忽視單調性與單調區(qū)間的主次（函數的單調性與最值）1.函數的單調性是對函數定義內的某個區(qū)間而言的。2.函數在給定區(qū)間上的單調性是函數在該區(qū)間上的整體性質。3.函數的單調定義中的、有三個特征：（1）任意性（2）有大小（3）屬于同一個單調區(qū)間。4.求函數的單調區(qū)間必須先求定義域。5.判斷函數單調性常用以下幾種方法：方法1：定義法：一般步驟為設元作差變形判斷符號→得出結論.方法2：圖象法：如果是以圖象形式給出的，或者的圖象易作出，則可由圖象的上升或下?確定單調性.方法3：導數法：先求導數，利用導數值的正負確定函數的單調區(qū)間.方法4：性質法：（1）對于由基本初等函數的和、差構成的函數，根據各初等函數的增減性及增減性質進行判斷；6.求函數最值（值域）的常用方法方法1：單調性法：先確定函數的單調性，再由單調性求最值.方法2：圖象法：先作出函數的圖象，再觀察其最高點、最低點，求出最值.方法3：基本不等式法：先對解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求出最值.方法4：導數法：先求導，然后求出在給定區(qū)間上的極值，最后結合端點值，求出最值.結論：1.單調性技巧（1）證明函數單調性的步驟①取值：設，是定義域內一個區(qū)間上的任意兩個量，且；②變形：作差變形（變形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商變形；③定號：判斷差的正負或商與的大小關系；④得出結論．（2）函數單調性的判斷方法①定義法：根據增函數、減函數的定義，按照“取值—變形—判斷符號—下結論”進行判斷．②圖象法：就是畫出函數的圖象，根據圖象的上升或下降趨勢，判斷函數的單調性．③直接法：就是對我們所熟悉的函數，如一次函數、二次函數、反比例函數等，直接寫出它們的單調區(qū)間．（3）記住幾條常用的結論：結論1：若是增函數，則為減函數；若是減函數，則為增函數；結論2：若和均為增（或減）函數，則在和的公共定義域上為增（或減）函數；結論3：若且為增函數，則函數為增函數，為減函數；結論4：若且為減函數，則函數為減函數，為增函數．易錯提醒：1.函數的單調性（1）單調函數的定義一般地，設函數的定義域為，區(qū)間：如果對于內的任意兩個自變量的值，當時，都有，符號一致那么就說在區(qū)間上是增函數．如果對于內的任意兩個自變量的值，，當時，都有，符號相反那么就說在區(qū)間上是減函數．=1\*GB3①屬于定義域內某個區(qū)間上；=2\*GB3②任意兩個自變量，且；=3\*GB3③都有或；=4\*GB3④圖象特征：在單調區(qū)間上增函數的圖象上坡路，減函數的圖象下坡路．（2）單調性與單調區(qū)間=1\*GB3①單調區(qū)間的定義：如果函數在區(qū)間上是增函數或減函數，那么就說函數在區(qū)間上具有單調性，稱為函數的單調區(qū)間．=2\*GB3②函數的單調性是函數在某個區(qū)間上的性質．（3）復合函數的單調性復合函數的單調性遵從“同增異減”，即在對應的取值區(qū)間上，外層函數是增（減）函數，內層函數是增（減）函數，復合函數是增函數；外層函數是增（減）函數，內層函數是減（增）函數，復合函數是減函數.2．函數的最值前提：一般地，設函數的定義域為，如果存在實數滿足條件：（1）對于任意的，都有；（2）存在，使得結論為最大值（1）對于任意的，都有；（2）存在，使得結論為最小值例．若函數在區(qū)間上單調遞增，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．變式1．下列函數中，滿足“對任意的，使得”成立的是（

）A．B．C．D．變式2．若定義在上的函數同時滿足：①為奇函數；②對任意的，且，都有，則稱函數具有性質．已知函數具有性質，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．變式3．定義在上的函數滿足：對，且都有，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．1．已知函數，若對于一切的實數，不等式恒成立，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．2．已知函數是定義在上的奇函數，且對任意的，都有，且，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．3．已知函數，且，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．4．已知函數的定義域為，的圖象關于點對稱，，且對任意的，，滿足，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．5．已知函數，關于的不等式在上恒成立，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．6．為定義在上的偶函數，對任意的，都有，且，則不等式的解集為（

）A．B． C． D．7．函數，其中，則滿足的取值范圍是（

）A． B．C． D．8．已知函數，若，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．9．德國數學家萊布尼茨是微積分的創(chuàng)立者之一，他從幾何問題出發(fā)，引進微積分概念．在研究切線時認識到，求曲線的切線的斜率依賴于縱坐標的差值和橫坐標的差值，以及當此差值變成無限小時它們的比值，這也正是導數的幾何意義．設是函數的導函數，若，對，，且，總有，則下列選項正確的是（

）A．B．C．D．10．設函數，則（

）A．的一個周期為 B．在上單調遞增C．在上有最大值 D．圖象的一條對稱軸為直線11．已知函數，則（

）A．函數為奇函數B．當時，或1C．若函數有且僅有一個零點，則實數的取值范圍為D．若函數在區(qū)間上的值域為，則實數的取值范圍為易錯點三：奇偶性的前提及兩個函數與一個函數的區(qū)別（函數的奇偶性、周期性、對稱性）1.奇偶性技巧(1)函數具有奇偶性的必要條件是其定義域關于原點對稱.(2)奇偶函數的圖象特征.函數是偶函數函數的圖象關于軸對稱；函數是奇函數函數的圖象關于原點中心對稱.(3)若奇函數在處有意義，則有；偶函數必滿足.(4)偶函數在其定義域內關于原點對稱的兩個區(qū)間上單調性相反；奇函數在其定義域內關于原點對稱的兩個區(qū)間上單調性相同.(5)若函數的定義域關于原點對稱，則函數能表示成一個偶函數與一個奇函數的和的形式.記，，則.(6)運算函數的奇偶性規(guī)律：運算函數是指兩個（或多個）函數式通過加、減、乘、除四則運算所得的函數，如.對于運算函數有如下結論：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶.(7)復合函數的奇偶性原則：內偶則偶，兩奇為奇.(8)常見奇偶性函數模型奇函數：=1\*GB3①函數或函數．=2\*GB3②函數．=3\*GB3③函數或函數=4\*GB3④函數或函數．注意：關于=1\*GB3①式，可以寫成函數或函數．偶函數：=1\*GB3①函數．=2\*GB3②函數．=3\*GB3③函數類型的一切函數．④常數函數2.周期性技巧結論1：若對于非零常數和任意實數，等式恒成立，則是周期函數，且是它的一個周期.證明：也可理解為：平移個單位到谷底，再平移一個單位到巔峰，再平移一個單位又到谷底，則谷底與谷底的距離為，結論2：定義在上的函數，對任意的，若有(其中為常數，)，則函數是周期函數，是函數的一個周期.證明：口訣：同號差（周期）異號加（對稱軸）只研究前的正負.結論3：定義在上的函數，對任意的，若有(其中為常數，)，則函數是周期函數，是函數的一個周期.證明：先向左平移個單位得令如同結論1結論4：定義在上的函數，對任意的，若有，(或)(其中為常數，)，則函數是周期函數，是函數的一個周期.證明：，結論5:定義在上的函數，對任意的，有且，(其中是常數，)則函數是周期函數，是函數的一個周期.另一種題干出現的信息：①若的圖象關于直線都對稱，則等價于且，則為周期函數且.②若為偶函數且圖象關于直線對稱，則為周期函數且證明：向左平移個單位，得，同理，利用口訣：同號差（周期）異號加（對稱軸）只研究前的正負.秒出周期結論6:若定義在上的函數對任意實數，恒有成立()，則是周期函數，且是它的一個周期.證明：由函數，向右平移個單位得口訣：內同號，外異號，內部只差需2倍，出現周期很.結論7:若對于非零常數和任意實數，等式成立，則是周期函數，且是它的一個周期.證明：如同結論4，結論8:若對于非零常數和任意實數，等式成立，則是周期函數，且是它的一個周期.證明：結論9:若對于非零常數和任意實數，等式成立，則是周期函數，且是它的一個周期.證明：得結論10:①若定義在上的函數的圖象關于兩點都對稱，則是周期函數，且是它的一個周期.②若奇函數的圖象關于點對稱，則是周期函數，且是它的一個周期.證明：函數滿足且，則利用口訣：同號差（周期）異號加（對稱軸）只研究前的正負.秒出周期結論11:①若定義在上的函數的圖象關于點和直線都對稱，則是周期函數，且是它的一個周期.②若奇函數的圖象關于直線對稱，則是周期函數，且是它的一個周期.證明：函數滿足且，則3.對稱性技巧（1）若函數關于直線對稱，則．（2）若函數關于點對稱，則．（3）函數與關于軸對稱，函數與關于原點對稱．結論：1.(1)如果一個奇函數在原點處有定義，即有意義，那么一定有.(2)如果函數是偶函數，那么.2.函數周期性常用結論對定義域內任一自變量的值:(1)若，則.(2)若，則.(3)若，則.3.對稱性的三個常用結論(1)若函數是偶函數，則函數的圖象關于直線對稱.(2)若對于上的任意都有或，則的圖象關于直線對稱.(3)若函數是奇函數，則函數的圖象關于點中心對稱.易錯提醒：奇偶性的前提及兩個函數與一個函數的區(qū)別1．函數的奇偶性由函數奇偶性的定義可知，函數具有奇偶性的一個前提條件是：對于定義域內的任意一個，也在定義域內(即定義域關于原點對稱)．2．函數的對稱性(1)若函數為偶函數，則函數關于對稱．(2)若函數為奇函數，則函數關于點對稱．(3)若，則函數關于對稱．(4)若，則函數關于點對稱．例．設函數的定義域為，且是奇函數，是偶函數，則（

）A． B． C． D．變式1．已知函數是定義域為的偶函數，是奇函數，則下列結論不正確的是（

）A． B．C．是以4為周期的函數 D．的圖象關于對稱變式2．已知函數，下列結論中：①當時，的最小值為3；②函數是奇函數；③函數的圖象關于點對稱；④是圖象的一條切線，正確結論的個數是（

）A．1 B．2 C．3 D．4變式3．已知定義域為的函數滿足，，當時，，則的值為（

）A． B． C．1 D．21．已知函數的定義域為，，當時，，則的值為（

）A． B． C．1 D．22．定義在R上的奇函數滿足是偶函數，當時，，則（

）A． B． C．0 D．23．已知函數與的定義域均為，，，且，為偶函數，下列結論正確的是（

）A．的周期為4 B．C． D．4．已知函數和其導函數的定義域都是，若與均為偶函數，則（

）A．B．關于點對稱C．D．5．已知非常數函數及其導函數的定義域均為，若為奇函數，為偶函數，則（

）A． B．C． D．6．已知函數的定義域為，并且對，都有，則下列說法正確的是（

）A．的圖象關于對稱B．函數為偶函數C．D．若時，，則時，7．已知函數的定義域為，函數的圖象關于點對稱，且滿足，則下列結論正確的是（

）A．函數是奇函數B．函數的圖象關于軸對稱C．函數是最小正周期為2的周期函數D．若函數滿足，則8．已知定義在上的偶函數滿足，且當時，是減函數，則下列四個命題中正確的是（

）A．B．直線為函數圖象的一條對稱軸C．函數在區(qū)間上存在3個零點D．若在區(qū)間上的根為，則易錯點四：遺漏冪函數的特征及二次函數弦長公式（冪函數與二次函數）1、根據圖象高低判斷冪指數大小的方法冪函數的冪指數的大小，大都可通過冪函數的圖象與直線的交點縱坐標的大小反映.一般地，在區(qū)間上，冪函數中指數越大，函數圖象越靠近軸(簡記為“指大、圖低”)，在區(qū)間上，冪函數中指數越大，圖象越遠離軸(不包括冪函數，在區(qū)間上，冪函數中指數越大，函數圖象越靠近軸(簡記為“指大圖低")，在區(qū)間上，冪函數中指數越大，函數圖象越遠離軸.2、對于函數，若是二次函數，就隱含，當題目未說明是二次函數時，就要分和兩種情況討論.在二次函數中，的正負決定拋物線開口的方向的大小決定開口大小)確定拋物線在軸上的截距，與確定頂點的橫坐標(或對稱軸的位置).3、根據二次函數單調性求參數范圍，常轉化為二次函數圖象的對稱軸與單調區(qū)間的位置關系，若二次函數在某區(qū)間上單調，則該區(qū)間在對稱軸的一側，若二次函數在某區(qū)間上不單調，則對稱軸在該區(qū)間內（非端點），4、二次函數在閉區(qū)間上的最值二次函數在閉區(qū)間上必有最大值和最小值.它只能在區(qū)間的端點或二次函數的頂點處取得，可分別求值再比較大小，最后確定最值.結論：1.冪函數在第一象限內圖象的畫法如下：①當時，其圖象可類似畫出；②當時，其圖象可類似畫出；③當時，其圖象可類似畫出．2．實系數一元二次方程的實根符號與系數之間的關系（1）方程有兩個不等正根（2）方程有兩個不等負根（3）方程有一正根和一負根，設兩根為3.一元二次方程的根的分布問題一般情況下需要從以下4個方面考慮：（1）開口方向；（2）判別式；（3）對稱軸與區(qū)間端點的關系；（4）區(qū)間端點函數值的正負.設為實系數方程的兩根，則一元二次的根的分布與其限定條件如下所示.①，限定條件②限定條件③限定條件在區(qū)間內沒有實根限定條件限定條件限定條件限定條件限定條件在區(qū)間內有且只有一個實根限定條件限定條件在區(qū)間內有兩個不等實根限定條件4.有關二次函數的問題，關鍵是利用圖像.（1）要熟練掌握二次函數在某區(qū)間上的最值或值域的求法，特別是含參數的兩類問題——動軸定區(qū)間和定軸動區(qū)間，解法是抓住“三點一軸”，三點指的是區(qū)間兩個端點和區(qū)間中點，一軸指對稱軸.即注意對對稱軸與區(qū)間的不同位置關系加以分類討論，往往分成：=1\*GB3①軸處在區(qū)間的左側；=2\*GB3②軸處在區(qū)間的右側；=3\*GB3③軸穿過區(qū)間內部（部分題目還需討論軸與區(qū)間中點的位置關系），從而對參數值的范圍進行討論.（2）對于二次方程實根分布問題，要抓住四點，即開口方向、判別式、對稱軸位置及區(qū)間端點函數值正負.易錯提醒：冪函數的特征：同時滿足一下三個條件才是冪函數①的系數為1； ②的底數是自變量； ③指數為常數.掌握二次函數解析式的三種形式（不能忘記最后一種）（1）一般式：；（2）頂點式：；其中，為拋物線頂點坐標，為對稱軸方程.（3）兩點式：，其中，是拋物線與軸交點的橫坐標.與軸相交的弦長當時，二次函數的圖像與軸有兩個交點和，.例1若函數在區(qū)間上單調遞增，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．變式1．若函數在上單調遞減，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式2．已知函數，若在上單調遞增，則實數a的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式3．已知是定義域為的函數，且是奇函數，是偶函數，滿足，若對任意的，都有成立，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．1．已知函數，若，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．若冪函數在上單調遞減，則（

）A．2 B． C． D．-23．已知函數在上為奇函數，則不等式的解集滿足（

）A． B． C． D．4．已知為奇函數，當時，，當時，，則（

）A． B．C． D．5．已知的解集是，則下列說法正確的是（

）A．不等式的解集是B．的最小值是C．若有解，則m的取值范圍是或D．當時，，的值域是，則的取值范圍是6．已知函數，函數，則下列結論正確的是（

）A．若有3個不同的零點，則a的取值范圍是B．若有4個不同的零點，則a的取值范圍是C．若有4個不同的零點，則D．若有4個不同的零點，則的取值范圍是7．已知函數(即，)則（

）A．當時，是偶函數 B．在區(qū)間上是增函數C．設最小值為，則 D．方程可能有2個解8．已知函數，若的最小值為，則實數a的值可以是（

）A．1 B．2 C．3 D．49．設，函數的圖象可能是（

）A． B．C． D．10．關于的方程，下列命題正確的有（

）A．存在實數，使得方程無實根B．存在實數，使得方程恰有2個不同的實根C．存在實數，使得方程恰有3個不同的實根D．存在實數，使得方程恰有4個不同的實根易錯點五：根式奇偶討論（指對數函數考點）指數1.指數冪的運算首先將根式、分數指數冪統(tǒng)一為分數指數冪，以便利用法則計算，但應注意：(1)必須同底數冪相乘，指數才能相加；(2)運算的先后順序.2.當底數是負數時，先確定符號，再把底數化為正數.3.運算結果不能同時含有根號和分數指數，也不能既有分母又含有負指數.4.有關指數函數圖象問題的解題思路(1)已知函數解析式判斷其圖象，一般是取特殊點，判斷選項中的圖象是否過這些點，若不滿足則排除．(2)對于有關指數型函數的圖象問題，一般是從最基本的指數函數的圖象入手，通過平移、伸縮、對稱變換而得到．特別地，當底數a與1的大小關系不確定時應注意分類討論．(3)有關指數方程、不等式問題的求解，往往是利用相應的指數型函數圖象，數形結合求解．(4)根據指數函數圖象判斷底數大小的問題，可以通過直線x＝1與圖象的交點進行判斷．5.利用指數函數的性質比較冪值的大小，先看能否化成同底數，能化成同底數的先化成同底數冪，再利用函數單調性比較大小，不能化成同底數的，一般引入“1”等中間量比較大??；6.利用指數函數的性質解簡單的指數方程或不等式，先利用冪的運算性質化為同底數冪，再利用函數單調性轉化為一般不等式求解；7.解答指數函數性質的綜合應用，首先判斷指數型函數的性質，再利用其性質求解。對數：1.在對數運算中，先利用冪的運算把底數或真數進行變形，化成分數指數冪的形式，使冪的底數最簡，然后正用對數運算法則化簡合并.2.先將對數式化為同底數對數的和、差、倍數運算，然后逆用對數的運算法則，轉化為同底對數真數的積、商、冪再運算.|3.，且是解決有關指數、對數問題的有效方法，在運算中應注意互化.4.識別對數函數圖象時，要注意底數以1為分界：當時，是增函數；當時，是減函數.注意對數函數圖象恒過定點，且以軸為漸近線.5.一些對數型方程、不等式問題常轉化為相應的函數圖象問題，利用數形結合法求解.6.比較對數值的大小(1)若對數值同底數，利用對數函數的單調性比較(2)若對數值同真數，利用圖象法或轉化為同底數進行比較(3)若底數、真數均不同，引入中間量進行比較解決對數函數的綜合應用有以下三個步驟:第一步：求出函數的定義域；第二步：判斷對數函數的底數與1的大小關系，當底數是含字母的代數式(包含單獨一個字母)時，若涉及其單調性，就必須對底數進行分類討論；第三步：判斷內層函數和外層函數的單調性，運用復合函數“同增異減”原則判斷函數的單調性結論：1.畫指數函數，且的圖象，應抓住三個關鍵點:2.在第一象限內，指數函數且的圖象越高，底數越大.3.有關指數型函數的性質(1)求復合函數的定義域與值域形如的函數的定義域就是的定義域.求形如的函數的值域，應先求出的值域，再由單調性求出的值域.若的范圍不確定，則需對進行討論.求形如的函數的值域，要先求出的值域，再結合的性質確定出的值域.(2)判斷復合函數的單調性令，如果復合的兩個函數與的單調性相同，那么復合后的函數在上是增函數；如果兩者的單調性相異(即一增一減)，那么復合函數在上是減函數.換底公式的兩個重要結論(1)(2).其中，且，且.對數函數，且的圖象過定點，且過點，函數圖象只在第一、四象限.易錯提醒：根式的性質：當為奇數時，正數的次方根是一個正數，負數的次方根是一個負數.當為偶數時，正數的次方根有兩個，它們互為相反數.例．設函數的定義域為，其圖象關于直線對稱，且.當時，，則下列結論正確的是（

）A．為偶函數 B．C．的圖象關于直線對稱 D．在區(qū)間上單調遞減變式1、設偶函數在上單調遞增，則下列結論中正確的是（

）A． B．C． D．變式2、已知函數，則（

）A．的最小值為1 B．，C． D．變式3、已知，則下列不等關系正確的是（

）A． B．C． D．1．下列說法正確的是（

）A．函數的圖像恒過定點B．“”的必要不充分條件是“”C．函數的最小正周期為2D．函數的最小值為22．某數學課外興趣小組對函數的性質進行了探究，得到下列四個命題，其中正確的命題有（

）A．函數的圖象關于軸對稱B．當時，是增函數，當時，是減函數C．函數的最小值是D．函數與有四個交點3．給出下列說法，錯誤的有（

）A．若函數在定義域上為奇函數，則B．已知的值域為，則的取值范圍是C．已知函數的定義域為，則函數的定義域為D．已知函數，則函數的值域為4．給出下列說法，錯誤的有（

）A．若函數在定義域上為奇函數，則B．已知的值域為，則a的取值范圍是C．已知函數滿足，且，則D．已知函數，則函數的值域為5．已知定義域為的函數滿足，的部分解析式為，則下列說法正確的是（

）A．函數在上單調遞減B．若函數在內滿足恒成立，則C．存在實數，使得的圖象與直線有7個交點D．已知方程的解為，則6．下列選項正確的是（

）A．B．若正實數a，b滿足，則C．的最小值為D．已知正實數a、b，若，則的最小值為97．已知函數，實數，滿足，，則（

）A． B．C． D．8．已知函數，則（

）A．當時，的定義域為RB．一定存在最小值C．的圖象關于直線對稱D．當時，的值域為R

專題02函數及其應用、指對冪函數易錯點一：對函數定義域、值域及解析式理解存在偏差（定義域、值域及解析式的求算）已知函數的具體解析式求定義域的方法法1：若是由一些基本初等函數通過四則運算構成的，則它的定義域為各基本初等函數的定義域的交集.法2：復合函數的定義域：先由外層函數的定義域確定內層函數的值域，從而確定對應的內層函數自變量的取值范圍，還需要確定內層函數的定義域，兩者取交集即可.函數解析式的常見求法法1：配湊法：已知，求的問題，往往把右邊的整理或配湊成只含的式子，然后用將代換.法2：待定系數法：已知函數的類型(如一次函數、二次函數)可用待定系數法，比如二次函數可設為，其中是待定系數，根據題設條件，列出方程組，解出即可.法3：換元法：已知，求時，往往可設，從中解出，代入進行換元.應用換元法時要注意新元的取值范圍.法4：解方程組法：已知滿足某個等式，這個等式除f(x)是未知量外，還有其他未知量，如(或)等，可根據已知等式再構造其他等式組成方程組，通過解方程組求出．分段函數第一步：求分段函數的函數值時，要先確定要求值的自變量屬于哪一區(qū)間，然后代入該區(qū)間對應的解析式求值．第二步：當出現的形式時，應從內到外依次求值．第三步：當自變量的值所在區(qū)間不確定時，要分類討論，分類標準應參照分段函數不同段的端點。結論：復合函數：一般地，對于兩個函數和，如果通過變量可以表示成的函數，那么稱這個函數為函數和的復合函數，記作，其中叫做復合函數的外層函數，叫做的內層函數.抽象函數的定義域的求法：(1)若已知函數的定義域為，則復合函數的家義域由求出.(2)若已知函數的定義域為，則的定義域為在時的值域.易錯提醒：函數的概念①一般地，給定非空數集，，按照某個對應法則，使得中任意元素，都有中唯一確定的與之對應，那么從集合到集合的這個對應，叫做從集合到集合的一個函數.記作：，.集合叫做函數的定義域，記為，集合叫做值域，記為.②函數的實質是從一個非空集合到另一個非空集合的映射.③函數表示法：函數書寫方式為，④函數三要素：定義域、值域、對應法則.⑤同一函數：兩個函數只有在定義域和對應法則都相等時，兩個函數才相同.基本的函數定義域限制求解函數的定義域應注意：①分式的分母不為零；②偶次方根的被開方數大于或等于零：③對數的真數大于零，底數大于零且不等于1；④零次冪或負指數次冪的底數不為零；⑤三角函數中的正切的定義域是且；⑥已知的定義域求解的定義域，或已知的定義域求的定義域，遵循兩點：①定義域是指自變量的取值范圍；=2\*GB3②在同一對應法則∫下，括號內式子的范圍相同；⑦對于實際問題中函數的定義域，還需根據實際意義再限制，從而得到實際問題函數的定義域.基本初等函數的值域①的值域是.②的值域是：當時，值域為；當時，值域為．③的值域是.④且的值域是.⑤且的值域是.分段函數的應用分段函數問題往往需要進行分類討論，根據分段函數在其定義域內每段的解析式不同，然后分別解決，即分段函數問題，分段解決．例1．函數的定義域為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意得，解得，則定義域為，故選：C.變式1：設，若，則（

）A．14 B．16 C．2 D．6【答案】A【詳解】因為的定義域為，則，解得，若，則，可得，不合題意；若，則，可得，解得；綜上所述：.所以.故選：A.變式2：已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意得，所以．故選:C.變式3：已知函數，則下列正確的是（

）A． B． C． D．的值域為【答案】B【詳解】對選項A，，故A錯誤；對選項B，，故B正確．對選項C，因為，所以，，故C錯誤；對選項D，當時，，函數的值域為，當時，，函數的值域為，又因為時，，所以當時，函數的值域為，綜上，函數的值域為，故D錯誤．故選：B1．已知函數，則（

）A． B．3 C． D．【答案】B【詳解】因為函數，則,令，則，又因為，所以，所以，故選：B.2．給出下列個函數，其中對于任意均成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】對于A，當時，；當時，，與函數定義矛盾，不符合；對于B，當時，；當時，，與函數定義矛盾，不符合；對于C，當時，；當時，，與函數定義矛盾，不符合；對于D，令，則，所以，令，所以，所以，所以，符合.故選：D.3．已知函數，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】令，則，且，則，可得，所以.故選：B.4．已知函數滿足，則可能是（

）．A． B．C． D．【答案】D【詳解】對于A，，則，，不滿足；對于B，，則，，不滿足；對于C，，則，，不滿足；對于D，，當時，，故；當時，，故，即此時滿足，D正確，故選：D5．設集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由，即，解得，所以，由，所以，所以，所以．故選：D．6．集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由題意可得：，，所以.故選：B.易錯點二：忽視單調性與單調區(qū)間的主次（函數的單調性與最值）1.函數的單調性是對函數定義內的某個區(qū)間而言的。2.函數在給定區(qū)間上的單調性是函數在該區(qū)間上的整體性質。3.函數的單調定義中的、有三個特征：（1）任意性（2）有大?。?）屬于同一個單調區(qū)間。4.求函數的單調區(qū)間必須先求定義域。5.判斷函數單調性常用以下幾種方法：方法1：定義法：一般步驟為設元作差變形判斷符號→得出結論.方法2：圖象法：如果是以圖象形式給出的，或者的圖象易作出，則可由圖象的上升或下?確定單調性.方法3：導數法：先求導數，利用導數值的正負確定函數的單調區(qū)間.方法4：性質法：（1）對于由基本初等函數的和、差構成的函數，根據各初等函數的增減性及增減性質進行判斷；6.求函數最值（值域）的常用方法方法1：單調性法：先確定函數的單調性，再由單調性求最值.方法2：圖象法：先作出函數的圖象，再觀察其最高點、最低點，求出最值.方法3：基本不等式法：先對解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求出最值.方法4：導數法：先求導，然后求出在給定區(qū)間上的極值，最后結合端點值，求出最值.結論：1.單調性技巧（1）證明函數單調性的步驟①取值：設，是定義域內一個區(qū)間上的任意兩個量，且；②變形：作差變形（變形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商變形；③定號：判斷差的正負或商與的大小關系；④得出結論．（2）函數單調性的判斷方法①定義法：根據增函數、減函數的定義，按照“取值—變形—判斷符號—下結論”進行判斷．②圖象法：就是畫出函數的圖象，根據圖象的上升或下降趨勢，判斷函數的單調性．③直接法：就是對我們所熟悉的函數，如一次函數、二次函數、反比例函數等，直接寫出它們的單調區(qū)間．（3）記住幾條常用的結論：結論1：若是增函數，則為減函數；若是減函數，則為增函數；結論2：若和均為增（或減）函數，則在和的公共定義域上為增（或減）函數；結論3：若且為增函數，則函數為增函數，為減函數；結論4：若且為減函數，則函數為減函數，為增函數．易錯提醒：1.函數的單調性（1）單調函數的定義一般地，設函數的定義域為，區(qū)間：如果對于內的任意兩個自變量的值，當時，都有，符號一致那么就說在區(qū)間上是增函數．如果對于內的任意兩個自變量的值，，當時，都有，符號相反那么就說在區(qū)間上是減函數．=1\*GB3①屬于定義域內某個區(qū)間上；=2\*GB3②任意兩個自變量，且；=3\*GB3③都有或；=4\*GB3④圖象特征：在單調區(qū)間上增函數的圖象上坡路，減函數的圖象下坡路．（2）單調性與單調區(qū)間=1\*GB3①單調區(qū)間的定義：如果函數在區(qū)間上是增函數或減函數，那么就說函數在區(qū)間上具有單調性，稱為函數的單調區(qū)間．=2\*GB3②函數的單調性是函數在某個區(qū)間上的性質．（3）復合函數的單調性復合函數的單調性遵從“同增異減”，即在對應的取值區(qū)間上，外層函數是增（減）函數，內層函數是增（減）函數，復合函數是增函數；外層函數是增（減）函數，內層函數是減（增）函數，復合函數是減函數.2．函數的最值前提：一般地，設函數的定義域為，如果存在實數滿足條件：（1）對于任意的，都有；（2）存在，使得結論為最大值（1）對于任意的，都有；（2）存在，使得結論為最小值例．若函數在區(qū)間上單調遞增，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】設函數，則函數是由二次函數與指數函數復合而成的.當時，由于函數單調遞減，而二次函數的圖象開口向上，在區(qū)間上不可能單調遞減，則函數在區(qū)間上不可能單調遞增，故不滿足題意；當時，函數單調遞增，要使函數在區(qū)間上單調遞增，則二次函數在區(qū)間上單調遞增，又其對稱軸為，故，所以.故選：C.變式1．下列函數中，滿足“對任意的，使得”成立的是（

）A．B．C．D．【答案】A【詳解】根據題意，“對任意的，使得”，則函數在上為減函數.對于選項A，，為二次函數，其對稱軸為x＝－1，在上遞減，符合題意；對于選項B，，其導數，所以在上遞增，不符合題意；對于選項C，為一次函數，所以在上遞增，不符合題意；對于選項D，由復合函數單調性“同增異減”知，在上單調遞增，不符合題意.故選：A.變式2．若定義在上的函數同時滿足：①為奇函數；②對任意的，且，都有，則稱函數具有性質．已知函數具有性質，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】因為對任意的，且，都有，即對任意兩個不相等的正實數不妨設，都有，所以有，所以函數是上的減函數，又因為為奇函數，即有，有，所以有，所以為偶函數，所以在上單調遞增．當，即時，有,由，得，所以，解得，此時無解；當，即時，由，得，所以，解得或．綜上所述，不等式的解集為．故選：C.變式3．定義在上的函數滿足：對，且都有，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】根據題意：當時，，當時,可得函數在單調遞增.則，在同一坐標系中畫出與圖象.得，則不等式的解集為，故選：B.

1．已知函數，若對于一切的實數，不等式恒成立，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】易知函數的定義域為，則，因為，，所以，又因為，所以，即恒成立，故函數是上的單調遞增函數，因為，所以，即，當時，左邊成立，故符合題意；當時，有，解得：，綜上所述：的取值范圍為：.故選：D.2．已知函數是定義在上的奇函數，且對任意的，都有，且，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】因為對任意的，都有，此時，則，所以在單調遞減，因為函數是定義在上的奇函數，所以在單調遞減，，所以當和時，；當和時，.由，即，所以或或或，所以或或或無解，所以原不等式解集為故選：D3．已知函數，且，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】函數，則，即，解得，所以的定義域為，且，所以為奇函數，又函數在上單調遞減，所以在上單調遞減，則在上單調遞減，所以不等式，即，等價于，解得，即實數的取值范圍是.故選：D4．已知函數的定義域為，的圖象關于點對稱，，且對任意的，，滿足，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】的圖象關于點對稱，的圖象關于點對稱，是定義在上的奇函數，對任意的，，，滿足，在上單調遞減，所以在上也單調遞減，又所以，且，所以當時，；當時，，所以由可得或或，解得或，即不等式的解集為．故選：C.5．已知函數，關于的不等式在上恒成立，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由，得．因為的定義域為R，，所以為奇函數，因此．又，所以．當時，單調遞增，而為奇函數，所以在上單調遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立，所以，解得，故的取值范圍為．故選：D.6．為定義在上的偶函數，對任意的，都有，且，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】對任意的，都有，則，令，則在上單調遞增，因為為定義在上的偶函數，所以，即為偶函數，又，由，可得，即，所以，所以的解集為，故選：A.7．函數，其中，則滿足的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】因為，當時，，則，所以，函數在上單調遞減，故，當時，，顯然函數在上為減函數，此時，.因為，令，其中，則，所以，函數在上單調遞減，故，綜上可知，函數在上為減函數，令，則函數在上單調遞減，又因為，所以，等價于，結合函數的單調性可得，故原不等式的解集為.故選：A.8．已知函數，若，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】當時，，則，同理，當時，，則，且，可知函數為奇函數；當時，，則，令，則，所以在單調遞增，即，即，所以在單調遞增，且為奇函數，所以在上單調遞增.則，即，即，可得，且，所以，解得，所以解集為.故選:A9．德國數學家萊布尼茨是微積分的創(chuàng)立者之一，他從幾何問題出發(fā)，引進微積分概念．在研究切線時認識到，求曲線的切線的斜率依賴于縱坐標的差值和橫坐標的差值，以及當此差值變成無限小時它們的比值，這也正是導數的幾何意義．設是函數的導函數，若，對，，且，總有，則下列選項正確的是（

）A．B．C．D．【答案】ABD【詳解】A選項，根據可得，在R上單調遞增，因為，所以，A正確；B選項，因為，，且，總有，所以函數圖象上凸，畫出函數圖象，由幾何意義可知，表示函數圖象上的各點處的切線斜率，顯然隨著的增大，切線斜率變小，且恒為正，因為，所以，B正確；C選項，，結合函數圖象可知，C錯誤，D正確.

故選：ABD10．設函數，則（

）A．的一個周期為 B．在上單調遞增C．在上有最大值 D．圖象的一條對稱軸為直線【答案】BD【詳解】對A：，故不是的周期，A錯誤；對B：令，則，則，∵，則，∴在上單調遞增，且，又∵在上單調遞增，故在上單調遞增，B正確；對C：∵，則，∴，則，又∵在上單調遞增，且，∴在上最大值為，即在上有最大值，C錯誤；對D：，故圖象的一條對稱軸為直線，D正確.故選：BD.11．已知函數，則（

）A．函數為奇函數B．當時，或1C．若函數有且僅有一個零點，則實數的取值范圍為D．若函數在區(qū)間上的值域為，則實數的取值范圍為【答案】ABD【詳解】對于選項，由，可知函數為奇函數，故選項正確；對于選項，由，解得或，故B選項正確；對于選項，由，有，當時，函數僅有一個零點0，當時，必有，有，可得，故C選項錯誤；對于選項D，由，可知滿足題意只需當時，，有，即，所以，由，有，則，可知當時，和恒成立，，有.故D選項正確.故選：ABD.易錯點三：奇偶性的前提及兩個函數與一個函數的區(qū)別（函數的奇偶性、周期性、對稱性）1.奇偶性技巧(1)函數具有奇偶性的必要條件是其定義域關于原點對稱.(2)奇偶函數的圖象特征.函數是偶函數函數的圖象關于軸對稱；函數是奇函數函數的圖象關于原點中心對稱.(3)若奇函數在處有意義，則有；偶函數必滿足.(4)偶函數在其定義域內關于原點對稱的兩個區(qū)間上單調性相反；奇函數在其定義域內關于原點對稱的兩個區(qū)間上單調性相同.(5)若函數的定義域關于原點對稱，則函數能表示成一個偶函數與一個奇函數的和的形式.記，，則.(6)運算函數的奇偶性規(guī)律：運算函數是指兩個（或多個）函數式通過加、減、乘、除四則運算所得的函數，如.對于運算函數有如下結論：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶.(7)復合函數的奇偶性原則：內偶則偶，兩奇為奇.(8)常見奇偶性函數模型奇函數：=1\*GB3①函數或函數．=2\*GB3②函數．=3\*GB3③函數或函數=4\*GB3④函數或函數．注意：關于=1\*GB3①式，可以寫成函數或函數．偶函數：=1\*GB3①函數．=2\*GB3②函數．=3\*GB3③函數類型的一切函數．④常數函數2.周期性技巧結論1：若對于非零常數和任意實數，等式恒成立，則是周期函數，且是它的一個周期.證明：也可理解為：平移個單位到谷底，再平移一個單位到巔峰，再平移一個單位又到谷底，則谷底與谷底的距離為，結論2：定義在上的函數，對任意的，若有(其中為常數，)，則函數是周期函數，是函數的一個周期.證明：口訣：同號差（周期）異號加（對稱軸）只研究前的正負.結論3：定義在上的函數，對任意的，若有(其中為常數，)，則函數是周期函數，是函數的一個周期.證明：先向左平移個單位得令如同結論1結論4：定義在上的函數，對任意的，若有，(或)(其中為常數，)，則函數是周期函數，是函數的一個周期.證明：，結論5:定義在上的函數，對任意的，有且，(其中是常數，)則函數是周期函數，是函數的一個周期.另一種題干出現的信息：①若的圖象關于直線都對稱，則等價于且，則為周期函數且.②若為偶函數且圖象關于直線對稱，則為周期函數且證明：向左平移個單位，得，同理，利用口訣：同號差（周期）異號加（對稱軸）只研究前的正負.秒出周期結論6:若定義在上的函數對任意實數，恒有成立()，則是周期函數，且是它的一個周期.證明：由函數，向右平移個單位得口訣：內同號，外異號，內部只差需2倍，出現周期很.結論7:若對于非零常數和任意實數，等式成立，則是周期函數，且是它的一個周期.證明：如同結論4，結論8:若對于非零常數和任意實數，等式成立，則是周期函數，且是它的一個周期.證明：結論9:若對于非零常數和任意實數，等式成立，則是周期函數，且是它的一個周期.證明：得結論10:①若定義在上的函數的圖象關于兩點都對稱，則是周期函數，且是它的一個周期.②若奇函數的圖象關于點對稱，則是周期函數，且是它的一個周期.證明：函數滿足且，則利用口訣：同號差（周期）異號加（對稱軸）只研究前的正負.秒出周期結論11:①若定義在上的函數的圖象關于點和直線都對稱，則是周期函數，且是它的一個周期.②若奇函數的圖象關于直線對稱，則是周期函數，且是它的一個周期.證明：函數滿足且，則3.對稱性技巧（1）若函數關于直線對稱，則．（2）若函數關于點對稱，則．（3）函數與關于軸對稱，函數與關于原點對稱．結論：1.(1)如果一個奇函數在原點處有定義，即有意義，那么一定有.(2)如果函數是偶函數，那么.2.函數周期性常用結論對定義域內任一自變量的值:(1)若，則.(2)若，則.(3)若，則.3.對稱性的三個常用結論(1)若函數是偶函數，則函數的圖象關于直線對稱.(2)若對于上的任意都有或，則的圖象關于直線對稱.(3)若函數是奇函數，則函數的圖象關于點中心對稱.易錯提醒：奇偶性的前提及兩個函數與一個函數的區(qū)別1．函數的奇偶性由函數奇偶性的定義可知，函數具有奇偶性的一個前提條件是：對于定義域內的任意一個，也在定義域內(即定義域關于原點對稱)．2．函數的對稱性(1)若函數為偶函數，則函數關于對稱．(2)若函數為奇函數，則函數關于點對稱．(3)若，則函數關于對稱．(4)若，則函數關于點對稱．例．設函數的定義域為，且是奇函數，是偶函數，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為是奇函數，所以，則．又是偶函數，所以，所以．故選：C.變式1．已知函數是定義域為的偶函數，是奇函數，則下列結論不正確的是（

）A． B．C．是以4為周期的函數 D．的圖象關于對稱【答案】B【詳解】因為函數是定義域為的偶函數，所以，因為是奇函數，所以，將換成，則有，A：令，所以，因此本選項正確；B：因為，所以函數關于點對稱，由，可得，的值不確定，因此不能確定的值，所以本選項不正確；C：因為，所以，所以，因此是以4為周期的函數，因此本選項正確；D：因為，所以，因此有，所以函數的圖象關于對稱，由上可知是以4為周期的函數，所以的圖象也關于對稱，因此本選項正確，故選：B.變式2．已知函數，下列結論中：①當時，的最小值為3；②函數是奇函數；③函數的圖象關于點對稱；④是圖象的一條切線，正確結論的個數是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【詳解】①當時，,,當且僅當即時等號成立，所以最小值是3，正確；②函數，記，其定義域是，，因此是奇函數，正確；③的圖象關于原點對稱，把它向右平移一個單位，再向上平移一個單位得的圖象，因此的圖象關于點對稱，正確；④，由得或，，，因此直線和都是函數圖象的切線，④正確，故選：D．變式3．已知定義域為的函數滿足，，當時，，則的值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【詳解】因為，，所以，所以，所以4為函數的周期，所以．故選：C．1．已知函數的定義域為，，當時，，則的值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【詳解】由可得函數為奇函數，又可知，所以，可得，即，因此是周期為的奇函數，則，代入計算可得.故選：B2．定義在R上的奇函數滿足是偶函數，當時，，則（

）A． B． C．0 D．2【答案】C【詳解】根據題意，函數是定義在上的奇函數，則，且，又函數是偶函數，則，變形可得，則有，進而可得，所以函數是周期為4的周期函數，則.故選：C.3．已知函數與的定義域均為，，，且，為偶函數，下列結論正確的是（

）A．的周期為4 B．C． D．【答案】ACD【詳解】由于為偶函數，圖象關于軸對稱，所以圖象關于對稱，所以，所以①，而②，兩式相加得，則③，所以，所以是的一個周期，A選項正確.由③令得，由①令得，由②令得，則，所以，所以，C選項正確.由①令得，由，得，兩式相減得，即，且關于對稱，，所以④，所以，所以是周期為的周期函數，所以，所以B選項錯誤.由④令得，所以，所以，所以D選項正確.故選：ACD.4．已知函數和其導函數的定義域都是，若與均為偶函數，則（

）A．B．關于點對稱C．D．【答案】BD【詳解】假設，則，都為偶函數，則所設函數符合題意，此時，所以A錯誤；因為為偶函數，所以，即，令，則，所以關于點對稱，故B正確；因為均為偶函數，所以，所以函數的圖象關于直線對稱，即，因為，所以，所以，所以，，又，，所以，所以無法確定的值，所以C錯誤；又，，所以，又，所以，由知函數周期為4，則的周期也為4，則

，所以D正確.故選：BD5．已知非常數函數及其導函數的定義域均為，若為奇函數，為偶函數，則（

）A． B．C． D．【答案】BCD【詳解】因為非常數函數及其導函數的定義域均為，若為奇函數，則，則的圖象關于點對稱，且，故A錯誤；因為為偶函數，所以，即，則，又，所以，所以，即，所以，故的周期為8，所以，，在中，令，得，所以，故B正確；對兩邊同時求導，得，所以導函數的周期為8，所以，故C正確；由周期，得，，對兩邊同時求導，得，令，得，所以，故D正確.故選：BCD.6．已知函數的定義域為，并且對，都有，則下列說法正確的是（

）A．的圖象關于對稱B．函數為偶函數C．D．若時，，則時，【答案】ACD【詳解】由可知函數關于直線軸對稱，故A正確；由可得，又，所以，故函數為奇函數，故B錯誤；因為，所以，故為函數周期，又，所以，故C正確；由知函數關于成中心對稱，當時，設為函數圖象上任意一點，則在函數圖象上，且，所以，即，故D正確.故選：ACD7．已知函數的定義域為，函數的圖象關于點對稱，且滿足，則下列結論正確的是（

）A．函數是奇函數B．函數的圖象關于軸對稱C．函數是最小正周期為2的周期函數D．若函數滿足，則【答案】ABD【詳解】因為函數的圖象關于點對稱，所以，所以函數是奇函數，故A正確；因為，所以，又，所以，所以，所以，所以為偶函數.故B正確；因為，所以是最小正周期為4的周期函數，故C錯誤；因為，所以，那么，所以也是周期為4的函數，，因為，所以，，所以，所以，故D正確.故選：ABD.8．已知定義在上的偶函數滿足，且當時，是減函數，則下列四個命題中正確的是（

）A．B．直線為函數圖象的一條對稱軸C．函數在區(qū)間上存在3個零點D．若在區(qū)間上的根為，則【答案】AB【詳解】對于A，因為，所以周期，故A正確；對于B，因為為偶函數，所以，又，所以，所以的圖象關于直線對稱，故B正確；對于C，若當時，無零點，則根據周期性和對稱性可推出無零點，故C錯誤；對于D，因為的圖象關于直線對稱，且的周期，又在區(qū)間上的根為，所以，故D錯誤.故選：AB.易錯點四：遺漏冪函數的特征及二次函數弦長公式（冪函數與二次函數）1、根據圖象高低判斷冪指數大小的方法冪函數的冪指數的大小，大都可通過冪函數的圖象與直線的交點縱坐標的大小反映.一般地，在區(qū)間上，冪函數中指數越大，函數圖象越靠近軸(簡記為“指大、圖低”)，在區(qū)間上，冪函數中指數越大，圖象越遠離軸(不包括冪函數，在區(qū)間上，冪函數中指數越大，函數圖象越靠近軸(簡記為“指大圖低")，在區(qū)間上，冪函數中指數越大，函數圖象越遠離軸.2、對于函數，若是二次函數，就隱含，當題目未說明是二次函數時，就要分和兩種情況討論.在二次函數中，的正負決定拋物線開口的方向的大小決定開口大小)確定拋物線在軸上的截距，與確定頂點的橫坐標(或對稱軸的位置).3、根據二次函數單調性求參數范圍，常轉化為二次函數圖象的對稱軸與單調區(qū)間的位置關系，若二次函數在某區(qū)間上單調，則該區(qū)間在對稱軸的一側，若二次函數在某區(qū)間上不單調，則對稱軸在該區(qū)間內（非端點），4、二次函數在閉區(qū)間上的最值二次函數在閉區(qū)間上必有最大值和最小值.它只能在區(qū)間的端點或二次函數的頂點處取得，可分別求值再比較大小，最后確定最值.結論：1.冪函數在第一象限內圖象的畫法如下：①當時，其圖象可類似畫出；②當時，其圖象可類似畫出；③當時，其圖象可類似畫出．2．實系數一元二次方程的實根符號與系數之間的關系（1）方程有兩個不等正根（2）方程有兩個不等負根（3）方程有一正根和一負根，設兩根為3.一元二次方程的根的分布問題一般情況下需要從以下4個方面考慮：（1）開口方向；（2）判別式；（3）對稱軸與區(qū)間端點的關系；（4）區(qū)間端點函數值的正負.設為實系數方程的兩根，則一元二次的根的分布與其限定條件如下所示.①，限定條件②限定條件③限定條件在區(qū)間內沒有實根限定條件限定條件限定條件限定條件限定條件在區(qū)間內有且只有一個實根限定條件限定條件在區(qū)間內有兩個不等實根限定條件4.有關二次函數的問題，關鍵是利用圖像.（1）要熟練掌握二次函數在某區(qū)間上的最值或值域的求法，特別是含參數的兩類問題——動軸定區(qū)間和定軸動區(qū)間，解法是抓住“三點一軸”，三點指的是區(qū)間兩個端點和區(qū)間中點，一軸指對稱軸.即注意對對稱軸與區(qū)間的不同位置關系加以分類討論，往往分成：=1\*GB3①軸處在區(qū)間的左側；=2\*GB3②軸處在區(qū)間的右側；=3\*GB3③軸穿過區(qū)間內部（部分題目還需討論軸與區(qū)間中點的位置關系），從而對參數值的范圍進行討論.（2）對于二次方程實根分布問題，要抓住四點，即開口方向、判別式、對稱軸位置及區(qū)間端點函數值正負.易錯提醒：冪函數的特征：同時滿足一下三個條件才是冪函數①的系數為1； ②的底數是自變量； ③指數為常數.掌握二次函數解析式的三種形式（不能忘記最后一種）（1）一般式：；（2）頂點式：；其中，為拋物線頂點坐標，為對稱軸方程.（3）兩點式：，其中，是拋物線與軸交點的橫坐標.與軸相交的弦長當時，二次函數的圖像與軸有兩個交點和，.例1若函數在區(qū)間上單調遞增，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】設函數，則函數是由二次函數與指數函數復合而成的.當時，由于函數單調遞減，而二次函數的圖象開口向上，在區(qū)間上不可能單調遞減，則函數在區(qū)間上不可能單調遞增，故不滿足題意；當時，函數單調遞增，要使函數在區(qū)間上單調遞增，則二次函數在區(qū)間上單調遞增，又其對稱軸為，故，所以.故選：C.變式1．若函數在上單調遞減，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】為開口方向向上，對稱軸為的拋物線，又在上單調遞減，，解得：.故選：B.變式2．已知函數，若在上單調遞增，則實數a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】在上單調遞增；∴，解得；所以實數a的取值范圍為．故選：A．變式3．已知是定義域為的函數，且是奇函數，是偶函數，滿足，若對任意的，都有成立，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由題可得，因為是奇函數，是偶函數，所以，聯立解得，又因為對任意的，都有成立，所以，所以成立，構造，所以由上述過程可得在單調遞增，(i)若，則對稱軸，解得；(ii)若，在單調遞增，滿足題意；(iii)若，則對稱軸恒成立；綜上，，故選：B.1．已知函數，若，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因為開口向下的二次函數，對稱軸為，故函數在上單調遞減；為開口向上的二次函數，對稱軸為，故函數在上單調遞減，且，因此函數在R上單調遞減，則，即，解得或，所以實數的取值范圍是。故選：D2．若冪函數在上單調遞減，則（

）A．2 B． C． D．-2【答案】C【詳解】由冪函數的定義可知，，即，解得或.當時，，在上單調遞增，不合題意;當時，，在上單調遞減，符合題意，故.故選：C.3．已知函數在上為奇函數，則不等式的解集滿足（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為函數在上為奇函數,所以，解得，又，，解得，解得，所以，，由與在定義域上單調遞增，所以在定義域上單調遞增，則不等式，即，等價于，所以，解得，即不等式的解集為.故選：C4．已知為奇函數，當時，，當時，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】因為當時，，則在上單調遞增，在上單調遞減，當時，，則在上單調遞減，在上單調遞增.且，所以在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增.因為，，則所以.

故選：A5．已知的解集是，則下列說法正確的是（

）A．不等式的解集是B．的最小值是C．若有解，則m的取值范圍是或D．當時，，的值域是，則的取值范圍是【答案】ABD【詳解】因的解集是，則是關于x的方程的二根，且，于是得，即，對于A，不等式化為：，解得，A正確；對于B，，，當且僅當，即時取“=”，B正確；對于C，，令，則在上單調遞增，即有，因有解，則，解得或，C不正確；對于D，當時，，則，，依題意，，由得，或，因在上的最小值為-3，從而得或，因此，D正確.故選：ABD6．已知函數，函數，則下列結論正確的是（

）A．若有3個不同的零點，則a的取值范圍是B．若有4個不同的零點，則a的取值范圍是C．若有4個不同的零點，則D．若有4個不同的零點，則的取值范圍是【答案】BCD【詳解】解：令得，即所以零點個數為函數與圖像交點個數，故，作出函數圖像如圖，由圖可知，有3個不同的零點，則a的取值范圍是，故A選項錯誤；有4個不同的零點，則a的取值范圍是，故B選項正確；有4個不同的零點，此時關于直線對稱，所以，故C選項正確；由C選項可知，所以，由于有4個不同的零點，a的取值范圍是，故，所以，故D選項正確.故選：BCD7．已知函數(即，)則（

）A．當時，是偶函數 B．在區(qū)間上是增函數C．設最小值為，則 D．方程可能有2個解【答案】ABD【詳解】：當時，，即，所以，所以是偶函數，故正確；：當時，，的對稱軸為，開口向上，此時在上是增函數，當時，，的對稱軸為，開口向上，此時在上是增函數，綜上，在上是增函數，故正確；：當時，，當時，，因為不能確定的大小，所以最小值無法判斷，故錯誤；：令，當時，，有2個解，故正確.故選：ABD8．已知函數，若的最小值為，則實數a的值可以是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】BCD【詳解】當,，當且僅當時,等號成立，當時,為二次函數，要想在處取最小，則對稱軸要滿足,且,即，解得,故選：BCD.9．設，函數的圖象可能是（

）A． B．C． D．【答案】BD【詳解】由題意，函數，令，可得拋物線的開口向上，對稱軸的方程為，當時，即時，可得，此時函數在單調遞減，在上單調遞增，且可得在遞減，在上遞增，且；當時，即時，可得，此時函數在單調遞減，在上單調遞增，由復合函數的單調性，可得在遞減，在上遞增，且，此時選項B符合題意；當當時，即時，此時函數有兩個零點，不妨設另個零點分別為且，此時函數在單調遞減，在上單調遞增，可得在遞減，在上遞增，且，則在遞減，在上遞增，且，此時選項D符合題意.綜上可得，函數的圖象可能是選項BD.故選：BD.10．關于的方程，下列命題正確的有（

）A．存在實數，使得方程無實根B．存在實數，使得方程恰有2個不同的實根C．存在實數，使得方程恰有3個不同的實根D．存在實數，使得方程恰有4個不同的實根【答案】AB方程化為關于的二次方程.當時，方程無實根，故原方程無實根.當時，可得，則，原方程有兩個相等的實根.當時，方程有兩個實根，由可知，，.因為，所以無實根，有兩個不同的實根.綜上可知：A，B項正確，C，D項錯誤.故選：AB易錯點五：根式奇偶討論（指對數函數考點）指數1.指數冪的運算首先將根式、分數指數冪統(tǒng)一為分數指數冪，以便利用法則計算，但應注意：(1)必須同底數冪相乘，指數才能相加；(2)運算的先后順序.2.當底數是負數時，先確定符號，再把底數化為正數.3.運算結果不能同時含有根號和分數指數，也不能既有分母又含有負指數.4.有關指數函數圖象問題的解題思路(1)已知函數解析式判斷其圖象，一般是取特殊點，判斷選項中的圖象是否過這些點，若不滿足則排除．(2)對于有關指數型函數的圖象問題，一般是從最基本的指數函數的圖象入手，通過平移、伸縮、對稱變換而得到．特別地，當底數a與1的大小關系不確定時應注意分類討論．(3)有關指數方程、不等式問題的求解，往往是利用相應的指數型函數圖象，數形結合求解．(4)根據指數函數圖象判斷底數大小的問題，可以通過直線x＝1與圖象的交點進行判斷．5.利用指數函數的性質比較冪值的大小，先看能否化成同底數，能化成同底數的先化成同底數冪，再利用函數單調性比較大小，不能化成同底數的，一般引入“1”等中間量比較大?。?.利用指數函數的性質解簡單的指數方程或不等式，先利用冪的運算性質化為同底數冪，再利用函數單調性轉化為一般不等式求解；7.解答指數函數性質的綜合應用，首先判斷指數型函數的性質，再利用其性質求解。對數：1.在對數運算中，先利用冪的運算把底數或真數進行變形，化成分數指數冪的形式，使冪的底數最簡，然后正用對數運算法則化簡合并.2.先將對數式化為同底數對數的和、差、倍數運算，然后逆用對數的運算法則，轉化為同底對數真數的積、商、冪再運算.|3.，且是解決有關指數、對數問題的有效方法，在運算中應注意互化.4.識別對數函數圖象時，要注意底數以1為分界：當時，是增函數；當時，是減函數.注意對數函數圖象恒過定點，且以軸為漸近線.5.一些對數型方程、不等式問題常轉化為相應的函數圖象問題，利用數形結合法求解.6.比較對數值的大小(1)若對數值同底數，利用對數函數的單調性比較(2)若對數值同真數，利用圖象法或轉化為同底數進行比較(3)若底數、真數均不同，引入中間量進行比較解決對數函數的綜合應用有以下三個步驟:第一步：求出函數的定義域；第二步：判斷對數函數的底數與1的大小關系，當底數是含字母的代數式(包含單獨一個字母)時，若涉及其單調性，就必須對底數進行分類討論；第三步：判斷內層函數和外層函數的單調性，運用復合函數“同增異減”原則判斷函數的單調性結論：1.畫指數函數，且的圖象，應抓住三個關鍵點:2.在第一象限內，指數函數且的圖象越高，底數越大.3.有關指數型函數的性質(1)求復合函數的定義域與值域形如的函數的定義域就是的定義域.求形如的函數的值域，應先求出的值域，再由單調性求出的值域.若的范圍不確定，則需對進行討論.求形如的函數的值域，要先求出的值域