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專題03不等式易錯(cuò)點(diǎn)一:忽略不等式變號(hào)的前提條件(等式與不等式性質(zhì)的應(yīng)用)1.比較大小基本方法關(guān)系方法做差法與0比較做商法與1比較或或2..等式的性質(zhì)(1)基本性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容對(duì)稱性傳遞性可加性可乘性同向可加性同向同正可乘性可乘方性類型1.應(yīng)用不等式的基本性質(zhì),不能忽視其性質(zhì)成立的條件,解題時(shí)要做到言必有據(jù),特別提醒的是在解決有關(guān)不等式的判斷題時(shí),有時(shí)可用特殊值驗(yàn)證法,以提高解題的效率.類型2.比較數(shù)(式)的大小常用的方法有比較法、直接應(yīng)用不等式的性質(zhì)、基本不等式、利用函數(shù)的單調(diào)性.比較法又分為作差比較法和作商比較法.作差法比較大小的步驟是:(1)作差;(2)變形;(3)判斷差式與0的大小;(4)下結(jié)論.作商比較大小(一般用來比較兩個(gè)正數(shù)的大?。┑牟襟E是:(1)作商;(2)變形;(3)判斷商式與1的大??;(4)下結(jié)論.其中變形是關(guān)鍵,變形的方法主要有通分、因式分解和配方等,變形要徹底,要有利于0或1比較大?。鞑罘ㄊ潜容^兩數(shù)(式)大小最為常用的方法,如果要比較的兩數(shù)(式)均為正數(shù),且是冪或者因式乘積的形式,也可考慮使用作商法.易錯(cuò)提醒:(1)一般數(shù)學(xué)結(jié)論都有前提,不等式性質(zhì)也是如此.在運(yùn)用不等式性質(zhì)之前,一定要準(zhǔn)確把握前提條件,一定要注意不可隨意放寬其成立的前提條件.(2)不等式性質(zhì)包括“充分條件(或者是必要條件)”和“充要條件”兩種,前者一般是證明不等式的理論基礎(chǔ),后者一般是解不等式的理論基礎(chǔ).例.“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件變式1.已知,則下列關(guān)系式正確的是(
)A.若,則 B.若,則C.若且,則 D.若,則變式2.對(duì)于實(shí)數(shù),,,下列結(jié)論中正確的是(
)A.若,則 B.若,則C.若,則 D.若,,則變式3.已知均為實(shí)數(shù),下列不等式恒成立的是(
)A.若,則B.若,則C.若,則D.若,則1.已知實(shí)數(shù),,,若,則下列不等式成立的是(
)A. B.C. D.2.若,則下列結(jié)論不正確的是(
)A. B.C. D.3.已知,,則下列不等式一定成立的是(
)A. B.C. D.4.若?,則下列不等式中正確的是(
)A.?B.?C.?D.?5.若、、,且,則下列不等式一定成立的是(
)A. B. C. D.6.下列命題中正確的是(
)A.若,則 B.若,,則C.若,,則 D.若,,則7.設(shè),則“”是“”的(
)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件8.已知,,:,:,則是的(
)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9.下列四個(gè)選項(xiàng)能推出的有(
)A. B.C. D.10.已知,則(
)A. B.C. D.11.已知實(shí)數(shù)a,b滿足,則下列不等式一定正確的是(
)A. B.C. D.易錯(cuò)點(diǎn)二:遺漏一元二次方法求解的約束條件(有關(guān)一元二次不等式求解集問題)解一元二次不等式的步驟:第一步:將二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù);第二步:解相應(yīng)的一元二次方程;第三步:根據(jù)一元二次方程的根,結(jié)合不等號(hào)的方向畫圖;第四步:寫出不等式的解集.容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤有:①未將二次項(xiàng)系數(shù)化正,對(duì)應(yīng)錯(cuò)標(biāo)準(zhǔn)形式;②解方程出錯(cuò);③結(jié)果未按要求寫成集合.對(duì)含參的不等式,應(yīng)對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論具體模型解題方案:1、已知關(guān)于的不等式的解集為(其中),解關(guān)于的不等式.由的解集為,得:的解集為,即關(guān)于的不等式的解集為.已知關(guān)于的不等式的解集為,解關(guān)于的不等式.由的解集為,得:的解集為即關(guān)于的不等式的解集為.2、已知關(guān)于的不等式的解集為(其中),解關(guān)于的不等式.由的解集為,得:的解集為即關(guān)于的不等式的解集為.3.已知關(guān)于的不等式的解集為,解關(guān)于的不等式.由的解集為,得:的解集為即關(guān)于的不等式的解集為,以此類推.4、已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為,則一定滿足;5、已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為,則一定滿足;6、已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為,則一定滿足;7、已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為,則一定滿足.易錯(cuò)提醒:一元二次不等式一元二次不等式,其中,是方程的兩個(gè)根,且(1)當(dāng)時(shí),二次函數(shù)圖象開口向上.(2)=1\*GB3①若,解集為.=2\*GB3②若,解集為.=3\*GB3③若,解集為.(2)當(dāng)時(shí),二次函數(shù)圖象開口向下.=1\*GB3①若,解集為=2\*GB3②若,解集為。例.若對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,不等式恒成立,則實(shí)數(shù)a可能是(
)A. B.0 C. D.1變式1.已知關(guān)于x的不等式的解集為,則下列選項(xiàng)中正確的是(
)A.B.不等式的解集是C.D.不等式的解集為變式2.已知命題:關(guān)于的不等式的解集為R,那么命題的一個(gè)必要不充分條件是(
)A. B.C. D.變式3.下列敘述不正確的是(
)A.的解是B.“”是“”的充要條件C.已知,則“”是“”的必要不充分條件D.函數(shù)的最小值是1.已知的解集是,則下列說法正確的是(
)A.不等式的解集是B.的最小值是C.若有解,則m的取值范圍是或D.當(dāng)時(shí),,的值域是,則的取值范圍是2.已知集合,或,,則(
)A. B.C. D.3.已知集合,,則(
)A. B.C. D.4.已知函數(shù),若不等式在上恒成立,則滿足要求的有序數(shù)對(duì)有(
)A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.無數(shù)個(gè)5.設(shè)集合,,且,則(
)A.6 B.4 C. D.6.若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x,y滿足,且不等式有解,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(
)A. B.或C. D.或7.“不等式恒成立”的一個(gè)充分不必要條件是(
)A. B. C. D.8.已知當(dāng)時(shí),不等式:恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是(
)A. B. C. D.9.已知集合中恰有兩個(gè)元素,則a的取值范圍為(
)A. B. C. D.10.不等式的解集為(
)A. B.C. D.11.若不等式的解集是,函數(shù)的對(duì)稱軸是(
)A. B. C. D.易錯(cuò)點(diǎn)三:遺漏連續(xù)使用基本不等式前提條件吻合性(基本不等式最值問題)1.幾個(gè)重要的不等式(1)(2)基本不等式:如果,則(當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)取“”).特例:(同號(hào)).(3)其他變形:①(溝通兩和與兩平方和的不等關(guān)系式)②(溝通兩積與兩平方和的不等關(guān)系式)③(溝通兩積與兩和的不等關(guān)系式)④重要不等式串:即調(diào)和平均值幾何平均值算數(shù)平均值平方平均值(注意等號(hào)成立的條件).2.均值定理已知.(1)如果(定值),則(當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)取“=”).即“和為定值,積有最大值”.(2)如果(定值),則(當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)取“=”).即積為定值,和有最小值”.3.常見求最值模型模型一:,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立;模型二:,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立;模型三:,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立;模型四:,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.易錯(cuò)提醒:1.利用均值不等式求最值遵循的原則:“一正二定三等”(1)正:使用均值不等式所涉及的項(xiàng)必須為正數(shù),如果有負(fù)數(shù)則考慮變形或使用其它方法(2)定:使用均值不等式求最值時(shí),變形后的一側(cè)不能還含有核心變量.(3)等:若能利用均值不等式求得最值,則要保證等號(hào)成立,要注意以下兩點(diǎn):①若求最值的過程中多次使用均值不等式,則均值不等式等號(hào)成立的條件必須能夠同時(shí)成立(彼此不沖突)②若涉及的變量有初始范圍要求,則使用均值不等式后要解出等號(hào)成立時(shí)變量的值,并驗(yàn)證是否符合初始范圍.注意:形如的函數(shù)求最值時(shí),首先考慮用基本不等式,若等號(hào)取不到,再利用該函數(shù)的單調(diào)性求解.2.通過拼湊法利用基本不等式求最值的策略拼湊法的實(shí)質(zhì)在于代數(shù)式的靈活變形,拼系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵,利用拼湊法求解最值應(yīng)注意以下幾個(gè)方面的問題:(1)拼湊的技巧,以整式為基礎(chǔ),注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調(diào)整,做到等價(jià)變形;(2)代數(shù)式的變形以拼湊出和或積的定值為目標(biāo);(3)拆項(xiàng)、添項(xiàng)應(yīng)注意檢驗(yàn)利用基本不等式的前提.3.利用基本不等式證明不等式是綜合法證明不等式的一種情況,要從整體上把握運(yùn)用基本不等式,對(duì)不滿足使用基本不等式條件的可通過“變形”來轉(zhuǎn)換,常見的變形技巧有:拆項(xiàng),并項(xiàng),也可乘上一個(gè)數(shù)或加上一個(gè)數(shù),“1”的代換法等.例.函數(shù)(且)的圖象恒過定點(diǎn),若且,,則的最小值為(
)A.9 B.8 C. D.變式1.已知,則的最小值為(
)A.4 B.6 C. D.變式2.已知命題p:在中,若,則;q:若,則,則下列命題為真命題的是(
)A. B. C. D.變式3.設(shè),,,則有(
)A.最小值3 B.最大值3C.最小值 D.最大值1.已知,點(diǎn)在線段上(不包括端點(diǎn)),向量,的最小值為(
)A. B.C. D.2.已知正數(shù),滿足,則(
)A.的最小值為3 B.的最小值為C.的最小值為3 D.的最大值為3.已知,若,則(
)A. B.C.的最小值為8 D.的最大值為4.任取多組正數(shù),通過大量計(jì)算得出結(jié)論:,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立.若,根據(jù)上述結(jié)論判斷的值可能是(
)A. B. C.5 D.35.已知,則下列結(jié)論正確的是(
)A.的最小值為16 B.的最小值為9C.的最大值為1 D.的最小值為6.已知正數(shù)a,b滿足,則(
)A. B. C. D.7.設(shè)正實(shí)數(shù)滿足,則下列說法正確的是(
)A.的最小值為6 B.的最大值為C.的最小值為2 D.的最小值為8.已知,,且,則不正確的是(
)A. B. C. D.9.若實(shí)數(shù),,滿足,以下選項(xiàng)中正確的有(
)A.的最大值為 B.的最小值為C.的最小值為5 D.的最小值為10.已知,且,則下列選項(xiàng)正確的是(
)A. B..C.的最大值為 D.11.設(shè)且,則的最小值是.
專題03不等式易錯(cuò)點(diǎn)一:忽略不等式變號(hào)的前提條件(等式與不等式性質(zhì)的應(yīng)用)1.比較大小基本方法關(guān)系方法做差法與0比較做商法與1比較或或2..等式的性質(zhì)(1)基本性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容對(duì)稱性傳遞性可加性可乘性同向可加性同向同正可乘性可乘方性類型1.應(yīng)用不等式的基本性質(zhì),不能忽視其性質(zhì)成立的條件,解題時(shí)要做到言必有據(jù),特別提醒的是在解決有關(guān)不等式的判斷題時(shí),有時(shí)可用特殊值驗(yàn)證法,以提高解題的效率.類型2.比較數(shù)(式)的大小常用的方法有比較法、直接應(yīng)用不等式的性質(zhì)、基本不等式、利用函數(shù)的單調(diào)性.比較法又分為作差比較法和作商比較法.作差法比較大小的步驟是:(1)作差;(2)變形;(3)判斷差式與0的大??;(4)下結(jié)論.作商比較大?。ㄒ话阌脕肀容^兩個(gè)正數(shù)的大?。┑牟襟E是:(1)作商;(2)變形;(3)判斷商式與1的大??;(4)下結(jié)論.其中變形是關(guān)鍵,變形的方法主要有通分、因式分解和配方等,變形要徹底,要有利于0或1比較大?。鞑罘ㄊ潜容^兩數(shù)(式)大小最為常用的方法,如果要比較的兩數(shù)(式)均為正數(shù),且是冪或者因式乘積的形式,也可考慮使用作商法.易錯(cuò)提醒:(1)一般數(shù)學(xué)結(jié)論都有前提,不等式性質(zhì)也是如此.在運(yùn)用不等式性質(zhì)之前,一定要準(zhǔn)確把握前提條件,一定要注意不可隨意放寬其成立的前提條件.(2)不等式性質(zhì)包括“充分條件(或者是必要條件)”和“充要條件”兩種,前者一般是證明不等式的理論基礎(chǔ),后者一般是解不等式的理論基礎(chǔ).例.“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】由,則成立,充分性成立;由,若,顯然不成立,必要性不成立;所以“”是“”的充分不必要條件.故選:A變式1.已知,則下列關(guān)系式正確的是(
)A.若,則 B.若,則C.若且,則 D.若,則【答案】A【詳解】A選項(xiàng),因?yàn)?,故在上單調(diào)遞增,因?yàn)?,所以,A正確;B選項(xiàng),因?yàn)?,所以,因?yàn)?,所以,B錯(cuò)誤;C選項(xiàng),若,則在R上單調(diào)遞減,因?yàn)椋?,C錯(cuò)誤;D選項(xiàng),因?yàn)?,所以,因?yàn)?,則,故,D錯(cuò)誤.故選:A變式2.對(duì)于實(shí)數(shù),,,下列結(jié)論中正確的是(
)A.若,則 B.若,則C.若,則 D.若,,則【答案】D【詳解】解:對(duì)于A:時(shí),不成立,A錯(cuò)誤;對(duì)于B:若,則,B錯(cuò)誤;對(duì)于C:令,代入不成立,C錯(cuò)誤;對(duì)于D:若,,則,,則,D正確;故選:D.變式3.已知均為實(shí)數(shù),下列不等式恒成立的是(
)A.若,則B.若,則C.若,則D.若,則【答案】C【詳解】A,當(dāng)時(shí),,A錯(cuò)誤;B,當(dāng)時(shí),沒意義,B錯(cuò)誤;C,由,知,所以,C正確;D,當(dāng)時(shí),不成立,D錯(cuò)誤.故選:C1.已知實(shí)數(shù),,,若,則下列不等式成立的是(
)A. B.C. D.【答案】C【詳解】選項(xiàng)A:因?yàn)?,取,則,故A錯(cuò)誤;選項(xiàng)B:因?yàn)?,與已知條件矛盾,故B不正確;選項(xiàng)C:因?yàn)樗?,故C正確;選項(xiàng)D:當(dāng)時(shí),,故D不正確;故選:C.2.若,則下列結(jié)論不正確的是(
)A. B.C. D.【答案】D【詳解】對(duì)于A,因?yàn)?,所以,所以,即,所以A正確,對(duì)于B,因?yàn)椋?,所以B正確,對(duì)于C,因?yàn)樵谏线f增,,所以,所以C正確,對(duì)于D,若,則,則,所以D錯(cuò)誤,故選:D3.已知,,則下列不等式一定成立的是(
)A. B.C. D.【答案】C【詳解】對(duì)于A,令,顯然有,,而,A錯(cuò)誤;對(duì)于B,由,知,令,顯然有,而,B錯(cuò)誤;對(duì)于C,由,,得,因此,C正確;對(duì)于D,若,令,有,而,D錯(cuò)誤.故選:C4.若?,則下列不等式中正確的是(
)A.?B.?C.?D.?【答案】D【詳解】因?yàn)?,所以,則.所以即,AB錯(cuò)誤.因?yàn)椋?,則,?C錯(cuò)誤.因?yàn)?,所以則,?D正確.故選:D5.若、、,且,則下列不等式一定成立的是(
)A. B. C. D.【答案】B【詳解】因?yàn)?、、,且,則,,由不等式的基本性質(zhì)可得,A錯(cuò);,B對(duì);當(dāng)時(shí),,C錯(cuò);,D錯(cuò).故選:B.6.下列命題中正確的是(
)A.若,則 B.若,,則C.若,,則 D.若,,則【答案】D【詳解】A選項(xiàng),當(dāng)時(shí),,故A錯(cuò)誤;B選項(xiàng),當(dāng),,,時(shí),,,故B錯(cuò)誤;C選項(xiàng),當(dāng),,,時(shí),,故C錯(cuò)誤;D選項(xiàng),若,,則,即,故D正確.故選:D.7.設(shè),則“”是“”的(
)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【詳解】由,可得,則是的必要不充分條件.故選:B8.已知,,:,:,則是的(
)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】解:因?yàn)?,,:即,即,則,而:,所以,是的充分不必要條件,故選:.9.下列四個(gè)選項(xiàng)能推出的有(
)A. B.C. D.【答案】ACD【詳解】,對(duì)于A,當(dāng)時(shí),,所以,所以A正確,對(duì)于B,當(dāng)時(shí),,所以,所以B錯(cuò)誤,對(duì)于C,當(dāng)時(shí),,所以,所以C正確,對(duì)于D,當(dāng)時(shí),,所以,所以D正確,故選:ACD.10.已知,則(
)A. B.C. D.【答案】BCD【詳解】因?yàn)?,所以,故,故A錯(cuò)誤;,故B正確;,故C正確;,故D正確.故選:BCD.11.已知實(shí)數(shù)a,b滿足,則下列不等式一定正確的是(
)A. B.C. D.【答案】AC【詳解】選項(xiàng)A,由得,∴,故A正確;選項(xiàng)B,取,,可得,,不滿足,故B錯(cuò)誤;選項(xiàng)C,,∵,所以,故,∴,故C正確;選項(xiàng)D,設(shè)函數(shù),,則,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,故時(shí),,即,故,故D錯(cuò)誤.故選:AC易錯(cuò)點(diǎn)二:遺漏一元二次方法求解的約束條件(有關(guān)一元二次不等式求解集問題)解一元二次不等式的步驟:第一步:將二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù);第二步:解相應(yīng)的一元二次方程;第三步:根據(jù)一元二次方程的根,結(jié)合不等號(hào)的方向畫圖;第四步:寫出不等式的解集.容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤有:①未將二次項(xiàng)系數(shù)化正,對(duì)應(yīng)錯(cuò)標(biāo)準(zhǔn)形式;②解方程出錯(cuò);③結(jié)果未按要求寫成集合.對(duì)含參的不等式,應(yīng)對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論具體模型解題方案:1、已知關(guān)于的不等式的解集為(其中),解關(guān)于的不等式.由的解集為,得:的解集為,即關(guān)于的不等式的解集為.已知關(guān)于的不等式的解集為,解關(guān)于的不等式.由的解集為,得:的解集為即關(guān)于的不等式的解集為.2、已知關(guān)于的不等式的解集為(其中),解關(guān)于的不等式.由的解集為,得:的解集為即關(guān)于的不等式的解集為.3.已知關(guān)于的不等式的解集為,解關(guān)于的不等式.由的解集為,得:的解集為即關(guān)于的不等式的解集為,以此類推.4、已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為,則一定滿足;5、已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為,則一定滿足;6、已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為,則一定滿足;7、已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為,則一定滿足.易錯(cuò)提醒:一元二次不等式一元二次不等式,其中,是方程的兩個(gè)根,且(1)當(dāng)時(shí),二次函數(shù)圖象開口向上.(2)=1\*GB3①若,解集為.=2\*GB3②若,解集為.=3\*GB3③若,解集為.(2)當(dāng)時(shí),二次函數(shù)圖象開口向下.=1\*GB3①若,解集為=2\*GB3②若,解集為。例.若對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,不等式恒成立,則實(shí)數(shù)a可能是(
)A. B.0 C. D.1【答案】ABD【詳解】當(dāng)時(shí),不等式為恒成立,故滿足題意;當(dāng)時(shí),要滿足,而,所以解得;綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍是;所以對(duì)比選項(xiàng)得,實(shí)數(shù)a可能是,0,1.故選:ABD.變式1.已知關(guān)于x的不等式的解集為,則下列選項(xiàng)中正確的是(
)A.B.不等式的解集是C.D.不等式的解集為【答案】BD【詳解】不等式的解集為,則是方程的根,且,則,即,A錯(cuò)誤;不等式化為,解得,即不等式的解集是,B正確;,C錯(cuò)誤;不等式化為,即,解得或,所以不等式的解集為,D正確.故選:BD變式2.已知命題:關(guān)于的不等式的解集為R,那么命題的一個(gè)必要不充分條件是(
)A. B.C. D.【答案】CD【詳解】命題p:關(guān)于x的不等式的解集為R,則,解得又,,故選:CD.變式3.下列敘述不正確的是(
)A.的解是B.“”是“”的充要條件C.已知,則“”是“”的必要不充分條件D.函數(shù)的最小值是【答案】AD【詳解】選項(xiàng)A:的解是或,故A不正確;選項(xiàng)B:由得,恒成立則或,解得,所以“”是“”的充要條件,故B正確;選項(xiàng)C:由得,解得,所以“”是“”的必要不充分條件,故C正確;選項(xiàng)D:由均值不等式得,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,此時(shí)無實(shí)數(shù)解,所以的最小值大于,故D不正確;故選:AD1.已知的解集是,則下列說法正確的是(
)A.不等式的解集是B.的最小值是C.若有解,則m的取值范圍是或D.當(dāng)時(shí),,的值域是,則的取值范圍是【答案】ABD【詳解】因的解集是,則是關(guān)于x的方程的二根,且,于是得,即,對(duì)于A,不等式化為:,解得,A正確;對(duì)于B,,,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取“=”,B正確;對(duì)于C,,令,則在上單調(diào)遞增,即有,因有解,則,解得或,C不正確;對(duì)于D,當(dāng)時(shí),,則,,依題意,,由得,或,因在上的最小值為-3,從而得或,因此,D正確.故選:ABD2.已知集合,或,,則(
)A. B.C. D.【答案】A【詳解】由或,所以.故選:A3.已知集合,,則(
)A. B.C. D.【答案】C【詳解】由,解得,所以,因?yàn)椋?,所以,?故選:C.4.已知函數(shù),若不等式在上恒成立,則滿足要求的有序數(shù)對(duì)有(
)A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.無數(shù)個(gè)【答案】B【詳解】由題意若不等式在上恒成立,則必須滿足,即,由,兩式相加得,再由,兩式相加得,結(jié)合(4),(5)兩式可知,代入不等式組得,解得,經(jīng)檢驗(yàn),當(dāng),時(shí),,有,,滿足在上恒成立,綜上所述:滿足要求的有序數(shù)對(duì)為:,共一個(gè).故選:B.5.設(shè)集合,,且,則(
)A.6 B.4 C. D.【答案】D【詳解】,,∵,∴,∴,故選:D.6.若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x,y滿足,且不等式有解,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(
)A. B.或C. D.或【答案】D【詳解】根據(jù)題意,兩個(gè)正實(shí)數(shù)x,y滿足,變形可得,即,則,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,則的最小值為2,若不等式有解,則,可得或,即實(shí)數(shù)m的取值范圍是.故選:D.7.“不等式恒成立”的一個(gè)充分不必要條件是(
)A. B. C. D.【答案】D【詳解】當(dāng)時(shí),恒成立,當(dāng)時(shí),則,解得,綜上所述,不等式恒成立時(shí),,所以選項(xiàng)中“不等式恒成立”的一個(gè)充分不必要條件是.故選:D.8.已知當(dāng)時(shí),不等式:恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是(
)A. B. C. D.【答案】C【詳解】當(dāng)時(shí),由得,因,故,當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立,因當(dāng)時(shí),恒成立,得,故選:C9.已知集合中恰有兩個(gè)元素,則a的取值范圍為(
)A. B. C. D.【答案】B【詳解】由集合中恰有兩個(gè)元素,得,解得.故選:B.10.不等式的解集為(
)A. B.C. D.【答案】B【詳解】易知方程可化為,方程的兩根為;所以不等式的解集為.故選:B.11.若不等式的解集是,函數(shù)的對(duì)稱軸是(
)A. B. C. D.【答案】A【詳解】解:∵不等式的解集是,∴和是方程的兩個(gè)根,∴,∴,∴函數(shù)的對(duì)稱軸是.故選:A.易錯(cuò)點(diǎn)三:遺漏連續(xù)使用基本不等式前提條件吻合性(基本不等式最值問題)1.幾個(gè)重要的不等式(1)(2)基本不等式:如果,則(當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)取“”).特例:(同號(hào)).(3)其他變形:①(溝通兩和與兩平方和的不等關(guān)系式)②(溝通兩積與兩平方和的不等關(guān)系式)③(溝通兩積與兩和的不等關(guān)系式)④重要不等式串:即調(diào)和平均值幾何平均值算數(shù)平均值平方平均值(注意等號(hào)成立的條件).2.均值定理已知.(1)如果(定值),則(當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)取“=”).即“和為定值,積有最大值”.(2)如果(定值),則(當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)取“=”).即積為定值,和有最小值”.3.常見求最值模型模型一:,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立;模型二:,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立;模型三:,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立;模型四:,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.易錯(cuò)提醒:1.利用均值不等式求最值遵循的原則:“一正二定三等”(1)正:使用均值不等式所涉及的項(xiàng)必須為正數(shù),如果有負(fù)數(shù)則考慮變形或使用其它方法(2)定:使用均值不等式求最值時(shí),變形后的一側(cè)不能還含有核心變量.(3)等:若能利用均值不等式求得最值,則要保證等號(hào)成立,要注意以下兩點(diǎn):①若求最值的過程中多次使用均值不等式,則均值不等式等號(hào)成立的條件必須能夠同時(shí)成立(彼此不沖突)②若涉及的變量有初始范圍要求,則使用均值不等式后要解出等號(hào)成立時(shí)變量的值,并驗(yàn)證是否符合初始范圍.注意:形如的函數(shù)求最值時(shí),首先考慮用基本不等式,若等號(hào)取不到,再利用該函數(shù)的單調(diào)性求解.2.通過拼湊法利用基本不等式求最值的策略拼湊法的實(shí)質(zhì)在于代數(shù)式的靈活變形,拼系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵,利用拼湊法求解最值應(yīng)注意以下幾個(gè)方面的問題:(1)拼湊的技巧,以整式為基礎(chǔ),注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調(diào)整,做到等價(jià)變形;(2)代數(shù)式的變形以拼湊出和或積的定值為目標(biāo);(3)拆項(xiàng)、添項(xiàng)應(yīng)注意檢驗(yàn)利用基本不等式的前提.3.利用基本不等式證明不等式是綜合法證明不等式的一種情況,要從整體上把握運(yùn)用基本不等式,對(duì)不滿足使用基本不等式條件的可通過“變形”來轉(zhuǎn)換,常見的變形技巧有:拆項(xiàng),并項(xiàng),也可乘上一個(gè)數(shù)或加上一個(gè)數(shù),“1”的代換法等.例.函數(shù)(且)的圖象恒過定點(diǎn),若且,,則的最小值為(
)A.9 B.8 C. D.【答案】B【詳解】函數(shù)(且)的圖象恒過定點(diǎn),所以,,,當(dāng)且僅當(dāng),即等號(hào)成立故選:B.變式1.已知,則的最小值為(
)A.4 B.6 C. D.【答案】D【詳解】由,,即,易知,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,此時(shí),所以的最小值為.故選:D變式2.已知命題p:在中,若,則;q:若,則,則下列命題為真命題的是(
)A. B. C. D.【答案】A【詳解】命題p:在中,若,由正弦定理得,所以,為真命題,當(dāng),對(duì)于,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,所以命題q:若,則,為真命題,所以為真命題,假命題,假命題,假命題,故選:A.變式3.設(shè),,,則有(
)A.最小值3 B.最大值3C.最小值 D.最大值【答案】B【詳解】,,故,故,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立,AD錯(cuò)誤,B正確;當(dāng)時(shí),,C錯(cuò)誤.故選:B.1.已知,點(diǎn)在線段上(不包括端點(diǎn)),向量,的最小值為(
)A. B.C. D.【答案】C【詳解】,點(diǎn)在線段上(不包括端點(diǎn)),故存在,使得,即,即,因?yàn)橄蛄?,所以,可得,,,由基本不等式得,?dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立.故選:C.2.已知正數(shù),滿足,則(
)A.的最小值為3 B.的最小值為C.的最小值為3 D.的最大值為【答案】ABD【詳解】對(duì)于A:由,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,故A正確;對(duì)于B:由得,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),故B正確;對(duì)于C:因?yàn)?,?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),故C錯(cuò)誤;對(duì)于D:由,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立,故D正確.故選:ABD.3.已知,若,則(
)A. B.C.的最小值為8 D.的最大值為【答案】ABC【詳解】對(duì)于A和B中,因?yàn)榍?,可得且,即,所以,且,,所以A、B正確;對(duì)于C中,由,當(dāng)且僅當(dāng),且,即,時(shí),取“”號(hào),所以C正確;對(duì)于D中,由,即,當(dāng)且僅當(dāng),且,即,時(shí),取“”號(hào),所以D錯(cuò)誤.故選:ABC.4.任取多組正數(shù),通過大量計(jì)算得出結(jié)論:,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立.若,根據(jù)上述結(jié)論判斷的值可能是(
)A. B. C.5 D.3【答案】BD【詳解】根據(jù)
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