數(shù)列-2025屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)易錯(cuò)重難提升【新高考版】（含解析）

（5）數(shù)列

——2025屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)易錯(cuò)重難提升【新高考版】

易混重難知識(shí)

1.等差數(shù)列通項(xiàng)公式：

2.等差中項(xiàng)公式：2a“=a,—+4+1（〃eN*,n>2）.

3.等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式：S.="（%+""）=叫+攻心".

4.等差數(shù)列的性質(zhì)：

已知數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，S“是｛4｝的前〃項(xiàng)和.

（1）若7〃+“=2+4（7〃,〃,「，4?1^*）,則有%+%=%+%.

（2）等差數(shù)列｛4｝的單調(diào)性：當(dāng)d>0時(shí)，｛%｝是遞增函數(shù)；當(dāng)d<0時(shí)，｛%｝是遞減函數(shù)；當(dāng)

d=0時(shí)，｛4｝是常數(shù)歹！J.

（3）若｛4｝是等差數(shù)列，公差為d,則w，W+a，W+2小…/，加eN*）是公差為md的等差數(shù)列.

（4）若｛4｝是等差數(shù)列，貝”｝1也是等差數(shù)列，其首項(xiàng)與｛4｝的首項(xiàng)相同，其公差是他“｝的

公差的L

2

（5）若｛?！ǎ堑炔顢?shù)列，S^S2ffps3a分別為｛4｝的前機(jī)項(xiàng)，前2機(jī)項(xiàng)，前3機(jī)項(xiàng)的和，則

S^S2ffl-S^Ssa-S2ffl成等差數(shù)列，公差為m2d（d為數(shù)列｛4｝的公差）.

5.等比數(shù)列通項(xiàng)公式：冊(cè)=叼….

6.等比中項(xiàng)公式：a；=a?_1-a,!+1（neN*,/?>2）.

nax（q=1）

n

7.等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式：Sn=<ax（1-q｝_ax-anq.

—■二-；（q=i）

Iji-q

8.等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和的性質(zhì)：

（1）當(dāng)qwl（或夕=一1且左為奇數(shù)）時(shí)，8口邑左-8H邑々-S2H…是等比數(shù)列.

（2）若4?氏=北，則&曳，曳，…成等比數(shù)列.

T〃T2n

（3）若數(shù)列｛%｝的項(xiàng)數(shù)為2〃，S偶與S奇分別為偶數(shù)項(xiàng)與奇數(shù)項(xiàng)的和，則。回="；若項(xiàng)數(shù)為

S奇

2/2+1,貝|J^Z^=小

易錯(cuò)試題提升

3

1.已知數(shù)列｛an｝的前〃項(xiàng)和S“=n，則%的值為（）.

A.15B.37C.27D.64

2.已知等比數(shù)列｛%｝的公比為q,前〃項(xiàng)和S“=根+q"，若。$=8%，則S4=（）

A.13B.15C.31D.33

3.已知數(shù)列｛%,｝是等差數(shù)列，若%+4+%=15，。8-。，=12，則［o等于（）

A.10B.12C.15D.18

4.設(shè)公差不為零的等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，a4=-a5,則春=（）

2i4

A.15B.lC.-iD.-9

5.山西大同的遼金時(shí)代建筑華嚴(yán)寺的大雄寶殿共有9間，左右對(duì)稱分布，最中間的是明間，

寬度最大，然后向兩邊均依次是次間、次間、梢間、盡間.每間寬度從明間開始向左右兩邊均

按相同的比例逐步遞減，且明間與相鄰的次間的寬度比為8:7.若設(shè)明間的寬度為a,則該寶

殿9間的總寬度為（）

aB.15a—14a.lC.l4a1—D.15a—14a（）

6.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛4｝滿足對(duì)任意的正整數(shù)機(jī)，〃都有4+“=44,且為=27,則

+。3。6二（）

戊+2a；

A.A4B.-12C.-D.-3

15334

7.數(shù)列｛a“｝滿足q=1,nan+l=（?+l）an+n（n+1）,若勿=a〃cos^1^，且數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和

為S“,則%=（）

A.64B.80C.-64D.-80

8.我國(guó)《洛書》中記載著世界上最古老的一個(gè)幻方，如圖所示，將1,2,3,…，9填入3x3

的方格內(nèi)，使得每行、每列、每條對(duì)角線上的數(shù)的和都相等，便得到一個(gè)3階幻方.一般地，

將連續(xù)的正整數(shù)1,2,3,…，川填入"X”個(gè)方格中，使得每行、每列、每條對(duì)角線上的數(shù)

的和都相等，這個(gè)正方形叫做〃階幻方.記〃階幻方的數(shù)的和（即方格內(nèi)的所有數(shù)的和）為

S",如S3=45,那么下列說法錯(cuò)誤的是（）

洛書幻方

492

VTT

A.S6=666

B.7階幻方第4行第4列的數(shù)字可以為25

C.8階幻方每行、每列、每條對(duì)角線上的數(shù)的和均為260

D.9階幻方每行、每列、每條對(duì)角線上的數(shù)的和均為396

9.（多選）已知等差數(shù)列｛4｝,其前〃項(xiàng)和為S.，若品〉0,也<-1,則下列結(jié)論正確的是

（）

A.K|>gB.使S“>0的〃的最大值為16

C.公差D.當(dāng)〃=8時(shí)S”最大

10.（多選）已知｛為｝是等比數(shù)列，公比為q,前〃項(xiàng)和為S“，則下列說法正確的是（）

A.｛%為等比數(shù)列B.｛lg|a“|｝為等差數(shù)列

C.若見+i>4，則4>1D.若S,=3"+r，則廠=—1

H.設(shè)S“為等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，且$3=-15,§6=-12,則須+知+a=.

12.記sn為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和.若S4=4,S8=12,則S16=.

H

13.已知數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和為Sn,首項(xiàng)q=1且a,.-2%-1=0,若(-1)2<S“+2n對(duì)

VneN*恒成立，則實(shí)數(shù)2的取值范圍是..

14.已知數(shù)列｛%｝滿足％=1,7以“+]=3("+l)a”.

(1)設(shè)a="，求證：數(shù)列出｝是等比數(shù)列；

(2)求數(shù)列｛g｝的前冏項(xiàng)和

15.S”為數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，已知a“〉0,6S?+4=a?2+3tz?.

⑴求｛g｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)a求數(shù)列出｝的前幾項(xiàng)和.

anan+\

答案以及解析

1.答案：B

33

解析：由題意得，a4=S4-S3=4-3=64-27=37,故選：B.

2.答案：B

解析：｛a“｝是等比數(shù)列，?.?必二眄，.q=2

故5“=冽+2”,等比數(shù)列｛4｝的前幾項(xiàng)和S“=叢1-2")=%(2〃_1)=%2"—%

又,.,S“=m+2”,故q=1,m=-1，

貝!J%=2，%=4，4=8，S4=%+a。+/+%=1+2+4+8=15.故選：B.

3.答案：C

解析：因?yàn)椋鸻“｝是等差數(shù)列，所以/+%+%=3可+12d=15,ag-a2-6d-12,

可得d=2，q=—3,所以io=4+9d=—3+18=15.故選：C.

4.答案：D

解析：設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,(d>0).

aa

a4~^5'4+^),解得：a4=d，a5-2d-

%=%—3d——2d,dy+%——d.

+吵9=/2/x：=也2=_9,故選:D.

S4(?1+a4)x4+?4)X4一dx4

5.答案：D

解析：由題意，設(shè)明間的寬度。為等比數(shù)列的首項(xiàng)，從明間向右共5間（包括明間），寬度成

等比數(shù)列，公比為」7，同理從明間向左（包括明間）共5間，寬度成等比數(shù)列，公比為7

88

所以總寬度為2s5—a=28a—-a=15a-14a^,故選D.

6.答案：A

解析：因?yàn)檎龜?shù)的數(shù)列｛%｝滿足對(duì)任意的正整數(shù)見〃都有4+“=。/〃，

取m=1，可得a.+i=%a",即」"

an

可得數(shù)列｛4｝是以對(duì)為首項(xiàng)，%為公比的等比數(shù)列，所以4=%",

又因?yàn)樾?4=27,可得為=3,

。1生+a3a6_qa；+a；。；a：+a：1+a；1+34

則說+26=(叫2+2儂)a；2+2^a,+2al-32+2x3-15'

故選：A.

7.答案：C

解析：數(shù)列｛4｝滿足a】=1,nan+1=(n+l)a“+〃(“+1)，

則&L=5L+1，

n+1n

可得數(shù)列是首項(xiàng)為1、公差為1的等差數(shù)列，

即有組=〃，即為4=/

n

2n7r2版

則2=冊(cè)COS---=n2cos----

33

貝1Js”=—；(F+22+42+52+72+82+102+II2)+(32+62+92)

=-1(12+22-32-32+42+52-62-62+72+82-92-92+102+ll2)

=-1x(5+23+41+59)=-64.

故選：C.

8.答案：D

解析：根據(jù)〃階幻方的定義，咒階幻方的數(shù)列有1項(xiàng)，為首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列,

故s〃=^——每行、每列、每條對(duì)角線上的數(shù)的和均為%.

2n

(1+62)x62A

對(duì)于A,S=---------=666,A正確;

62

對(duì)于B,7階幻方有7行7歹！J,故第4行第4列的數(shù)字可以為該數(shù)列的中間值，即

2

二1+7^二25,B正確；

2

對(duì)于C,8階幻方每行、每列、每條對(duì)角線上的數(shù)的和均為.=(1+8卜8=260,C正確;

82x8

對(duì)于D,9階幻方每行、每列、每條對(duì)角線上的數(shù)的和均為邑=(“9=369,D錯(cuò)誤.

92x9

故選D.

9.答案：ACD

解析：??,等差數(shù)列｛〃〃｝,S15=￡(%+%)=15。8>0，?,“8>0

—

又,:—<1，a9<—as<0,as+a9<Q

.?.|%|>為,A正確.

d=a9-as<-2a8<0,C正確.

*.*+^9<°'.**S]6=(〃i+〃16)=(。8+49)<°'S]5>0'

使>0的〃的最大值為15.B錯(cuò)誤.

。9<°，?.?當(dāng)幾<8，%>0，n>9>/<。

所以當(dāng)〃=8時(shí)S〃最大,D正確.

故選：ACD.

10.答案：ABD

2/、2

解析：對(duì)于A,粵%+l=q：故｛叫為公比為/的等比數(shù)列，故A正確;

禽、a〃，

對(duì)于B,lg|a0+J—lg⑷=lgf=lglg所以｛lg|為|｝是公差為lg|q|的等差數(shù)列，故

B正確;

nz1xn+1

對(duì)于C,若a“I,則%=-,

1

則4+1＞為,但q=5故c錯(cuò)

誤;

對(duì)于D,因?yàn)镾“=3"+r,所以。1=3+廠，a2=S2=6,a3=S3-S2=18,

因?yàn)椋?｝是等比數(shù)列，所以62=(3+力18,解得：r=-l,故D正確,

故選：ABD.

n.答案：39

解析：根據(jù)題意，設(shè)等差數(shù)列｛與｝的公差為力

等差數(shù)列｛4｝中風(fēng)=一15,S6=-12,則%+%+4=&—S3=3%=3,

變形可得：%=1,

由S3=q+4+%=—15,貝！JW3a,——15,即a)=—5,

則有八一二2,

則須+%=341=3(。。+9d)=39.

故答案為：39.

12.答案：60

解析：設(shè)等比數(shù)列｛%｝公比為q,

S=4al=4

當(dāng)q=1時(shí),4無解;

Sg=8%=12

q4=2

得&=-4,

i—q

\j)=(-4)X(1—16)=60?

故答案為：60.

13.答案:[-3,8]

解析：因?yàn)閍”.—2%—1=0,所以a.+1=2(4+1),

，數(shù)歹U{4+1}是以q+1=2為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列,

4+1=2”，a.=2"—1.

因此S〃=聆一修…2-〃?

所以（一1）"2<Sn+2n對(duì)\/neN*恒成立，可化為（一1）"2<2向+〃一2對(duì)V〃eN*恒成立.

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，—24（2用+〃—2）,所以—4W3，即22—3；

\/min

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，2<（2"+1+?-2).，解得;IW8.

/min

綜上，實(shí)數(shù)4的取值范圍是[-3,8].

故答案為：[-3,8].

14.答案：（1）見解析

（2）見解析

解析：（1）證明：依題意，由也”+1=35+1）%,可得

位=3?"，即勿+1=3年,

n+1n

h=幺=1,

11

二.數(shù)列也〃｝是以1為首項(xiàng)，3