高考數(shù)學(xué)科學(xué)復(fù)習(xí)：數(shù)列的概念與表示

第七章

數(shù)列

第34講數(shù)列的概念與表示

［課程標(biāo)準(zhǔn)］了解數(shù)列的概念和表示方法(列表法、圖象法、通項公式法)，了解

數(shù)列是一種特殊函數(shù).

基硼知識整合

＞知識梳癟

1.數(shù)列的定義

按照畫確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列,數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)

列的畫項.其中第1項也叫做首項.數(shù)列的一般形式是公，。2,…，an,■■■,簡

記為畫出L

2.數(shù)列的表示方法

⑴列表法.

(2)圖象法.

(3)數(shù)列的通項公式

如果數(shù)列｛為｝的第n項一與它的畫序號n之間的對應(yīng)關(guān)系可以用一個式子

來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的通項公式.

(4)數(shù)列的遞推公式

如果一個數(shù)列的畫相鄰兩項或多項之間的關(guān)系可以用一個式子表示，那么

這個式子叫做這個數(shù)列的遞推公式，知道了畫首項和畫遞推公式,就能求出這

個數(shù)列的每一項.

3.數(shù)列的分類

有窮數(shù)列：項數(shù)數(shù)有限

無窮數(shù)列：項數(shù)蚓無限

遞增數(shù)列：a“+畫》2；

遞減數(shù)列：a,田亟氏；

常數(shù)列:a,+i=a"，其中nCN*;

擺動數(shù)列：a“與％大小關(guān)系

不定

4.數(shù)列｛板｝的前。項和必與斯的關(guān)系

⑴S”的定義

把數(shù)列｛服｝從第1項起到第n項止的各項之和，稱為數(shù)列｛服｝的前n項和，

記作S”，即的=叵+@+...+@.

(2)訪與S”的關(guān)系

1131sl,n=1,

j__

I141Sn—Sji_i,〃>2.

◎知識拓展

Cln,Cln-1,

1.在數(shù)列｛所｝中，若a”最大，貝獷、

Cln>Cln+1.

Cln<Cln_1,

若a“最小，貝

ClnWCln+1.

2.數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系

數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，即數(shù)列是一個定義在非零自然數(shù)集或其子集上的函

數(shù)，當(dāng)自變量依次從小到大取值時所對應(yīng)的一列函數(shù)值，就是數(shù)列.

3.數(shù)列通項公式的注意點

(1)并不是所有的數(shù)列都有通項公式.

(2)同一個數(shù)列的通項公式在形式上未必唯一.

(3)對于一個數(shù)列，如果只知道它的前幾項，而沒有指出它的變化規(guī)律，是不

能確定這個數(shù)列的.

>雙基自虬

1.在數(shù)列1,1,2,3,5,8,13,x,34,55,…中，x應(yīng)?。ǎ?/p>

A.19B.20

C.21D.22

答案C

解析由題意，可以發(fā)現(xiàn)，從第三項起，每一項都是前面兩項的和，?.?%=8

+13=21.故選C.

2.(多選)(人教A選擇性必修第二冊4.1例2(2)改編)已知數(shù)列的前4項為2,

0,2,0,則依此歸納該數(shù)列的通項可能是()

[2,〃為奇數(shù)，

A.=(—1)"?+1B.u.n—'

10,〃為偶數(shù)

.rm

C.cin—2sin2D.cin=cos(n—1)兀+1

答案ABD

WTT

解析對〃=1,2,3,4進行驗證，an=2sing不符合題意，其他均符合.故

選ABD.

Z7O

3.在數(shù)列｛如｝中，ai=1,1=飆_1+(-1)"(〃三2,n€N*)，則.的值是()

、1515

A-16BT

33

C-4D.R

答案C

解析由已知，得。2=1+(-1)2=2,「.2〃3=2+(-1)3,03=4，+

(-I)4,04=3,3(?5=3+(-I)5,45=|,.譚=3義|=,.故選C.

4.(人教B選擇性必修第三冊習(xí)題5-IBT6改編)若S,為數(shù)列｛所｝的前〃項

fl1

和，且，則%=()

A.lB.1

o□

C.擊D.30

答案D

fin-111

解析?.?當(dāng)〃三2時，以=的—5〃」=-7-——=「一丁，」.一=5x(5+

n+1n〃(〃+1)'。5'

1)=30.故選口.

5.已知外="+茄，且對于任意的“CN*,數(shù)列｛如｝是遞增數(shù)列,則實數(shù)7

的取值范圍是________.

答案(-3,+8)

22

解析由｛a*｝是遞增數(shù)列可知，?！?1>外，即an+i-an=[(n+I)+A(n+1)]-(n

+A?)=2n+l+A>0對任意的n€N*恒成立,：.)>-(2n+1)對任意的n€N*恒成立,

又當(dāng)“€N*時，一(2"+l)W-3,故丸>一3.

核心考向突破

考向一利用或與S”的關(guān)系求通項公式

例1(1)(2023?哈爾濱模擬)已知數(shù)列｛a列的前“項和為S"，m=],S,=2或,],

貝g=()

答案B

3

解析由已知S〃=2a"+i,得=2(S〃+i—SQ,25?+i=3Sn,貝1JS〃+i=/S”,

而Si=m=l,所以=.故選B.

(2)已知數(shù)列｛a〃｝滿足<7i+2a2+3a3+...+nan=2",貝1Jan=.

[2,n=l,

答案12-1

解析當(dāng)〃=1時,ai=21=2,當(dāng)〃》2時，由ai+2a2+3a3+…+=2"①,

得Cl\+2。2+3〃3+1)即_1=2〃1②,由①—②得TlCln=2〃-2〃1=2〃1,

(〃

2c〃-i]2,=1,

所以an=丁顯然當(dāng)n=1時不滿足上式,所以或=12-

n——，心

In2.

I觸類旁通I

1.已知的求外的一般步驟

(1)當(dāng)〃=1時，由ai=Si求ai的值；

(2)當(dāng)〃22時,由服=SLS-，求得公的表達式;

(3)檢驗ai的值是否滿足(2)中的表達式，若不滿足，則分段表示跖；

(4)寫出服的完整表達式.

2.S“與關(guān)系問題的求解思路

⑴利用州=S'-2)轉(zhuǎn)化為只含S”,S"」的關(guān)系式，再求解;

(2)利用科-S“_i=a”522)轉(zhuǎn)化為只含a”,小」的關(guān)系式，再求解.

即時訓(xùn)練1.(多選)設(shè)S是數(shù)列｛Z｝的前〃項和，且二=-1,an+l=SnSn+l,

則下列結(jié)論正確的是()

AA.Cln~/11、

n(〃一1)

[-1，n=1,

B.an=]1-

[n(n-1),">2

C.Sn=--n

D.數(shù)列尚是等差數(shù)列

答案BCD

=

角軍^T,1SnSn+1,又?！?1=S〃+1—S九，「?S〃+1—=S〃S九+1,二

On+1

1,??仁是首項為"='=-1,公差為d=-1的等差數(shù)列，.4=-l+d)x(-

1)=~n,即S”=一：.又當(dāng)時，an=Sn-Sn_\=~~.+=―,,顯然

|-1,n=l,

0=-1不滿足上式，故酸=〈1c綜上可知，B,C,D正確.故選

[n(H-1)'42.

BCD.

2.已知數(shù)歹U｛。"｝的前幾項和為=(一I)"]?凡貝1J45+06=,an=

答案-2(-1)"+1?(2〃-1)

解析45+=S6-S4=(-6)-(-4)=一2.當(dāng)n=1時，ai=Si=1；當(dāng)〃?2

時必=5〃-5*1=(—1嚴(yán)1力一(一1)"<〃—1)=(一1)"+11)]=(—I)"](2〃

-1),又如也適合此式,所以斯=(-1)*1,(2〃-1).

考向二由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項公式

例2分別求出滿足下列條件的數(shù)列的通項公式.

(l)tzi=0,an+i=an+(2n-l)(n€N*)；

n、*

(2)6ZI=1,an=.二產(chǎn)n€N)；

(3)ai=1,an+i=3an+2(n€N*);

(4)m=2,ai=€N").

n+Cln+，

解(1)當(dāng)〃三2,“CN*時，an=ai+(a2-ai)+...+(an-an^i)=0+1+3+...

+(2"-3)=(〃一1產(chǎn)，

當(dāng)”=1時，也符合上式.

所以該數(shù)列的通項公式為痣=(〃-1)2.

(2)當(dāng)〃三2,“WN*時，

當(dāng)”=1時，也符合上式，

所以該數(shù)列的通項公式為an=n.

an+l+1

(3)因為m+1=3或+2,所以a〃+i+l=34+l),所以一丁丁=3,所以數(shù)列

Cln+1

{m+1}為等比數(shù)列，公比q=3,

又m+1=2,所以+1=2?3"一1,

所以該數(shù)列的通項公式為斯=2,3〃T-1.

(4)因為磯10=2,所以酸#0,所以」一=；+；,即一」一一；=；,

an+2an+ianzan+\,

又ai=2,所以2",所以皆是首項為:，公差為；的等差數(shù)列，所以2=3+(〃

Z[Un)ZZClnZ

1n__2

-14)xx2=2,即a“=7

觸類旁通I由遞推關(guān)系式求通項公式的常用方法

方法遞推關(guān)系式

累加法已知m且〃〃一an-i=J(n),求an

累乘法已知ai且=f(n),求a”

Cln-1

已知a\且an+\=qan+b,貝ljan+i+左二式a〃+左)(其中左可由待定系數(shù)

法確定)，可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)歹心詼+6求解

已知ai且詼+1=pan+/p"+i⑦力0,尸0),則兩邊同時除以p"i得

Cln1dn1Cln1

構(gòu)造法到3=；+如加，底0)，可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列情求解

形如以+I=RA?「(A,B,C為常數(shù))的數(shù)列，可通過兩邊同時取倒

Dan+C

數(shù)的方法構(gòu)造新數(shù)列求解

n

「即時訓(xùn)練1.若數(shù)列｛外｝滿足ai=l,an+i=a,l+2,則數(shù)列｛癡｝的通項公式

為a”=.

答案2-1

解析由題意，知。"+1-=2",an=(an-1)+(Gn_1-?n.2)+...+(<72-<21)

,,1-2"

+ai=2',-i+2n-2+...+2+l=~~7=2"—1.

1-z

2.在數(shù)列｛a“｝中,ai=4,〃a”+1=(〃+2)z,則數(shù)列｛?｝的通項公式為an=

答案2n(n+1)

+1〃+2aCln-10302

解析由遞推關(guān)系得丁=丁，又八4,二仆力n

Clna2a\

,11*1

3.在數(shù)列｛板｝中，m=1,(n€N"),貝=,五

是這個數(shù)列的第項.

n+2

答案3n

_1（IV

解析由題意得a”=下”_1+區(qū)|（九22）,二3"斯=3"-%〃_1+1（九—2）,即3"所

-3"一?服」=1（〃三2）.又0=1,.■,3%1=3,二數(shù)列｛3%｝是以3為首項，1為

n+2+n+21

公差的等差數(shù)列，二3%=3+（〃-1）x1=〃+2,二酸二行-。?€N'）.由下-=語,

得〃=7.

多角度探究突破___________

考向三數(shù)列的性質(zhì)

角度1數(shù)列的周期性

例3（2023?防城港模擬）已知數(shù)列｛z｝滿足勃+1=丁」，若aij貝1J02023

L—Cln乙

-

A-2B

1

c-D2

2

答案c

1

」

角析

貝

刀-2

-------一-

牛-2--l---

a2-a3-

a2-2

-2

故｛所｝是周期為3的數(shù)列，因為2023=674x3+1,所以02023=0

=；.故選C.

角度2數(shù)列的單調(diào)性

3n+k

例4已知數(shù)列｛或｝的通項公式為?！?三「，若數(shù)列｛。,｝為遞減數(shù)列，則實

數(shù)上的取值范圍為()

A.(3,+°°)B.(2,+8)

C.(1,+°°)D.(0,+8)

答案D

*3〃+3+左

解析因為數(shù)列｛?！ǎ秊檫f減數(shù)列，所以對任意〃€N*,an+i-an=-

3〃+k313H—k

—^=2?+1<0.即左>3—3〃對任意〃CN*恒成立，所以左€(0,+8).故

選D.

角度3數(shù)列的最值

例5已知數(shù)列｛?！ǎ耐椆綖轲?“停丫，則數(shù)列｛斯｝中的最大項為()

82

AA.gB.§

「64c125

ur-—81Du-—243

答案A

、、<2V7+1,2、〃2-n(2、咒

解析解法一(作差比較法)：或+i-m=(〃+D(jJ一"目一同，當(dāng)

九<2時,an+i-an>Q,即斯+i>a*當(dāng)〃=2時,an+i-an=0,即a”+i=a*當(dāng)〃>2

時，an+l-an<0,即服+1<或，所以0<&2=。3>。4>45>…>或，所以數(shù)列｛。"｝中的最

大項為。2或。3,且。2=。3=2X停)=/.故選A.

⑵〃+1

a.1("+D同2(1、

解法二(作商比較法)：由題可知，而>0,j=---------------------=在+外

“41-

/Cln.1,./Cln1/Cln+1,

令〉解得n<2;令:一+解得n=2;令解得〃.故a\<ai=

Cln1,Cln=1,Cln<1,>2

a3>a4>a5>--->an,所以數(shù)列｛或｝中的最大項為s或。3,且。2

A.

觸類旁通l(D利用遞推公式探求數(shù)列的周期性的兩種思想

思想一：根據(jù)遞推公式，寫出數(shù)列的前〃項直到出現(xiàn)周期情況后，利用。-7

=an寫出周期("+T)-n=T.

思想二：利用遞推公式“逐級”遞推，直到出現(xiàn)an+T=an,即得周期T=(n

+7)—72.

(2)判斷數(shù)列的單調(diào)性的兩種方法

作差法一判斷a〃+i—an的符號

作言法判斷電且與1的大小關(guān)系(猴＞0)

a?

(3)求數(shù)列的最大項與最小項的常用方法

①將數(shù)列視為函數(shù)人x)當(dāng)x€N*時所對應(yīng)的一列函數(shù)值，根據(jù)五x)的類型作出

相應(yīng)的函數(shù)圖象，或利用求函數(shù)最值的方法，求出火心的最值，進而求出數(shù)列的

最大項或最小項；

②通過通項公式an研究數(shù)列的增減性,確定最大項及最小項.

1+dn

即時訓(xùn)練1.已知數(shù)列｛詞滿足。1=2,。〃+1二1一則414203…42023

)

A.-6B.6

C.-3D.3

答案D

..1+1+2]1

解析=2,an+l=Z,**?6Z2=TZ=-3,6Z3=一不，〃4=不，45=2,…，

1-Cln1-Z乙D

505

.,.^H+4=an.又axaia^UA-1,axaias'-cmn=(6Z16Z24Z36Z4),a\aia^-1X2X(-

3)x(-3)=3.故選D.

2.(2023?廣東4月大聯(lián)考)已知數(shù)列｛z｝的各項均為正數(shù)，數(shù)列六料是常數(shù)

列，則數(shù)列｛斯｝()

A,是遞增數(shù)列B.是遞減數(shù)列

C.先遞增后遞減D.先遞減后遞增

答案A

a+n\

解析設(shè)n2〃=一左為常數(shù)）,則以=左2"-"，,.3>0,.，.%>的n，易得k>],

Cln—Gn_i—k,2"—n—k'2n+fl—1—^,2n1—1>,X21—1=0（〃三2）,Un—Cln_i>0,

數(shù)列｛斯｝為遞增數(shù)列.故選A.

3.已知數(shù)列｛斯｝中，?！?1+。+2（"）（"CN*,aWZ,且存0）.若對任

意的〃€N*,者隋所WQ6成立,則a=，數(shù)列｛m｝中最小項的值為.

答案-90

1

12、

解析an=1+z丁=1+-.因為對任意的〃€N*,都有anWa6

a+02,（n—1；2—a

”亍

1

22—tz

成立，結(jié)合函數(shù)火X）=l+—Z—的單調(diào)性，知5〈丁<6,所以-10<。<-8,因

Z-u乙

x---

為aCZ,所以。=-9,所以21+■，可知最小項為。5=0.

課時作業(yè)

一、單項選擇題

1.已知數(shù)列/，小，25…，則2小是該數(shù)列的（）

A.第5項B.第6項

C.第7項D.第8項

答案C

解析由數(shù)列吸，小，2版…的前3項也，小，乖可知，數(shù)列的通項公

式為<2"=弋2+35-1）=yj3n-1,由<3九-1=2小,可得〃=7.故選C.

2.（2023?北京豐臺二模）已知數(shù)列｛飆｝的前〃項和為的，若S〃="-1,則。3

A.-5B.5

C.7D.8

答案B

解析因為S”=〃2—1,所以。3=S3—S2=(32—1)—(22—1)=5.故選B.

3.在數(shù)列｛a〃｝中，ai=3,ai--1,an+2=3an+i+an,則“5=()

A.0B.-1

C.-2D.-3

答案D

解析t/3=3a2+a\=-3+3=0,t/4=3a3+ai=-1,as=3a4+<23=—3.故選

D.

21

4.若數(shù)列｛所｝的前〃項和為S〃，且滿足的=3〃+于則5=()

1一2"1-(-2)n

A-3B-3

1+2"1+(-2)n

C.-2-D.

答案B

21

+

解析當(dāng)"=1時，<21=51=3>解得。1=1；當(dāng)〃>2時，an=Sn-Sn_l

21但D22、、、

—3。"+3—(3"?-1+3J~3""-3?！?1，艮口=-2ali_1；■■｛a”｝百工頁為1,公比為

1-(-2)n1-(-2)n

-2的等比數(shù)列，.?$=「J)=——§——?故選B

5.九連環(huán)是我國從古至今廣泛流傳的一種益智游戲,它用九個圓環(huán)相連成串，

以解開為勝.據(jù)明代楊慎《丹鉛總錄》記載：“兩環(huán)互相貫為一，得其關(guān)援，解之

為二，又合而為一."在某種玩法中，用表示解下〃(〃W9,〃€N*)個圓環(huán)所需

2an.i-1,〃為偶數(shù)，

的最少移動次數(shù)，若m=l,且如=cc4太物則解下5個圓環(huán)所需的

[2版」+2,〃為奇數(shù)，

最少移動次數(shù)為()

A.7B.13

C.16D.22

答案C

2服」-1,〃為偶數(shù),

解析數(shù)列｛所｝滿足。1=1,且c所以42=2.1-1=

[2a”_i+2,”為奇數(shù)，

1,<23=2ai+2=4,<24=2<23-1=7,。5=2。4+2=16.所以解下5個圓環(huán)所需的最

少移動次數(shù)為16.故選C.

6.（2023?張掖模擬）已知數(shù)列｛詞的前〃項和為Sn,若m=2,Sn=Sn+1-3an

-2,則S20=()

A<B.321-20

r3^_43D?_包

J2—2u-22

答案D

===

角翠由SnSn+1~3dn~2,彳導(dǎo)Sn+1—Sn3dn+2,^Ff以Cln+l3dn+2,^Ff以

所+1+1=3（而+1）,因為0+1=2+1=3,所以｛外+1｝是以3為首項，3為公比

的等比數(shù)列，所以念+1=3",所以匾=3"-1,所以S2o=3+32+...+320-20=

3x(1-32。)32143

-20=彳-芋故選D.

1^3

7.設(shè)的為數(shù)列｛外｝的前n項和，“｛詞是遞增數(shù)列”是“｛8｝是遞增數(shù)列”的

（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案D

解析數(shù)列-3,-2,-1,0,…是遞增數(shù)列，但｛SQ不是遞增數(shù)列，即充

分性不成立；數(shù)歹U1,1,1,…，滿足｛&｝是遞增數(shù)列，但數(shù)列1,1,1,…不是

遞增數(shù)列，即必要性不成立，所以“｛?！ǎ沁f增數(shù)列”是“｛S〃｝是遞增數(shù)列”的既不充

分也不必要條件.故選D.

8.（2023?衡水模擬）已知數(shù)列｛詞為遞減數(shù)列,其前〃項和S〃=-川+2〃+加,

則實數(shù)機的取值范圍是（）

A.（-2,+°°）B.（-8,一2）

C.（2,+8）D.（-8,2）

答案A

解析當(dāng)“三2時，或=S”-S”_i=一/+2〃+機一［一（“一+2（〃-1）+〃力=

-2/7+3,故當(dāng)〃三2時，｛加｝為遞減數(shù)列，只需滿足。2<G，即-1<1+血，解得

m>-2.故選A.

二、多項選擇題

9.已知數(shù)列｛或｝滿足酸+I=1—2（"€N*）,且0=2,貝?。?/p>

A.6Z3=-1B.Q2023=

C.S3=|D.S2023=1013

答案ACD

解析由數(shù)列｛所｝滿足。1=2,Z+1=1-€N*）,可得42=3，。3=-1,

44=2,■，…，所以+3數(shù)列｛〃”｝的周期為3,故Q2023=Q674x3+1=

33

=2,53=2，^023=674X-+2=1013.

10.（2023?濟南歷城二中二模）下列四個命題中，正確的是（）

A.數(shù)列卜品的第左項為1+1

B.已知數(shù)列｛服｝的通項公式為z=*一〃一50,“6N*,則-8是該數(shù)列的第

7項

C.數(shù)列3,5,9,17,33,…的一個通項公式為斯=2"-1

YI

D.數(shù)列｛外｝的通項公式為期=,，"WN*,則數(shù)列｛分｝是遞增數(shù)列

答案ABD

解析對于A,數(shù)歹的第左項為1+￡故A正確；對于B,令n-n

—50=-8,得〃=7或〃=-6（舍去），故B正確;對于C,將3,5,9,17,33,■■■

的各項減去1,得2,4.8,16,32,■■■,設(shè)該數(shù)列為｛況｝,則其通項公式為bn

2"(〃CN*),因此數(shù)列3,5,9,17,33,…的一個通項公式為a”=瓦+1=2"+

1（〃CN*）,故C錯誤；對于D,an=~—=1-1,則a”+1-或=/0=

5+1）15+2）＞仇因此數(shù)列｛久｝是遞增數(shù)列，故D正確.故選ABD.

H.費馬數(shù)是以數(shù)學(xué)家費馬命名的一組自然數(shù)，具有如下形式：瓦=22〃+1（〃

=。，1,2,-）,若瓦=1噌（"1）.36（〃CN*），貝1（）

A.數(shù)列｛瓦｝的最大項為。1B.數(shù)列｛為｝的最大項為。6

C.數(shù)列｛瓦｝的最小項為從D.數(shù)列｛為｝的最小項為打

答案BD

解析b"=ic°一記=癡%，因為函數(shù)人〃）=2"-36單調(diào)遞增，且

當(dāng)后5時，加）＜0,即加＜0,當(dāng)心6時，加）＞0,即況＞0,所以數(shù)列｛瓦｝的最

大項為be,最小項為。5.故選BD.

三、填空題

12.（2023?甘肅五十八中一模）數(shù)列｛詞的前七項積為序,那么當(dāng)〃三2時，an

解析設(shè)數(shù)列析”｝的前“項積為4,則根=aia2a3X…><麗=序①，當(dāng)九22

時，1=aia2a3X…Xaw_i=(〃-②，①?②得a”=[〃_]J(〃三2).

13.已知數(shù)列｛或｝滿足下列條件：

①是無窮數(shù)列；②是遞減數(shù)列；③每一項都是正數(shù).

寫出一個符合條件的數(shù)列｛劣｝的通項公式為an=

答案5答案不唯一）

解析符合條件的數(shù)列有汽，器出，■■■.

14.已知數(shù)列｛外｝滿足或+a.+i=2〃+l(〃eN*),ai=l,則數(shù)列｛外｝的通項公

式為.

答案Cln=n

解析當(dāng)G2時，由題得呢-1+斯=2(〃-1)+1=2〃-1,聯(lián)立

Cln_1+Cln=2n—1,

c?得或+i=2,所以奇數(shù)項成等差數(shù)列，偶數(shù)項也成等差

a>i+an+I=277+1,

數(shù)列，公差均為2