2024-2025學年北京師大二附中高三（上）統(tǒng)練數學試卷（三）（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年北京師大二附中高三（上）統(tǒng)練數學試卷（三）一、單選題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A={x|?1<x<1}，B={x|0≤x≤2}，則A∪B=(

)A.{x|0≤x<1} B.{x|?1<x≤2} C.{x|1<x≤2} D.{x|0<x<1}2.已知(m?i)2為純虛數，則實數m=(

)A.0 B.1 C.?1 D.±13.已知α終邊經過點P(sinπ6,?cosπA.5π6 B.π6 C.?π4.若a、b、c是互不相等的正數，且a2+c2A.a>b>c B.c>a>b C.b>a>c D.a>c>b5.f(x)=2sin2x，則f(x)A.在[0,π]上單調遞增 B.在[0,π]上單調遞減

C.在[0,π2]上單調遞增 D.6.向量a，b，c在正方形網格中的位置如圖所示．若向量λa+b與c共線，則實數λ=(

)

A.?2 B.?1 C.1 D.27.已知a，b，c均為非零向量，則“<a，c>=<b，c>”是“aA.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件8.已知函數f(x)=2x+12,x≤0logA.(0,12) B.(0,1) C.(?1,9.荀子《勸學》中說：“不積跬步，無以至千里；不積小流，無以成江海.”學習是日積月累的過程，每天進步一點點，前進不止一小點.若甲、乙兩同學當下的知識儲備量均為a，甲同學每天的“進步”率和乙同學每天的“退步”率均為2%.n天后，甲同學的知識儲備量為(1+2%)na，乙同學的知識儲備量為(1?2%)na，則甲、乙的知識儲備量之比為2時需要經過的天數約為(????)(參考數據：A.15 B.18 C.30 D.3510.等差數列{an}的前n項和為Sn.已知a3=?1，a5A.最小項為b3 B.最大項為b3 C.最小項為b4 二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分。11.已知θ為第三象限角，且sinθ=?23，則cosθ=______，sin(θ+π)=12.拋物線y2=2px(p>0)的準線經過雙曲線x23?y13.已知函數f(x)=sin(2x+φ)(?π2<φ<0)，滿足：?x∈R,f(x)≤f(π3)恒成立，則φ=14.邊長為2的等邊△ABC中，|BD|=1，CE=EA，則15.已知函數f(x)=sinxx，下面命題正確的是______．

①存在x0∈(π,2π)，使得f′(x0)=0；

②存在x1，x2∈(0,π)，使得f(x2)?f(x1)x2?三、解答題：本題共2小題，共24分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.(本小題12分)

若函數f(x)=2cosωx(sinωx+cosωx)?1(0<ω<4).從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使函數f(x)存在．

(Ⅰ)求f(x)的解析式與最小正周期；

(Ⅱ)求f(x)在區(qū)間[0,π2]上的最值．

條件①：f(π8)=3；

條件②：?x∈R，f(x)≤f(π8)恒成立；

條件17.(本小題12分)

已知函數f(x)=λln(x+1)?sinx．

(1)求函數f(x)在x=0處的切線方程；

(2)當λ=1時，判斷函數f(x)在[π2,+∞)上零點的個數；

(3)已知f(x)≥2(1?ex)在x∈[0,π]上恒成立，求實數λ參考答案1.B

2.D

3.C

4.C

5.C

6.D

7.D

8.C

9.B

10.C

11.?5312.4

13.?π6

14.?15.①③

16.解：f(x)=2cosωx(sinωx+cosωx)?1

=sin2ωx+cos2ωx

=2sin(2ωx+π4)，

若選條件①：f(π8)=3，

∵f(x)=2sin(2ωx+π4)≤2，而3>2，

∴f(π8)≠3，這種情況不存在；

若選條件②：(Ⅰ)?x∈R，f(x)≤f(π8)恒成立，

則2ω×π8+π4=2kπ+π2(k∈Z)，

∴ω=8k+1(k∈Z)，又0<ω<4，

∴ω=1．

f(x)=2sin(2x+π4)，T=2π2=π；

(Ⅱ)x∈[0,π2]?2x+π4∈[π4,5π4]?2sin(2x+π4)∈[?1,2]，

∴當2x+17.解：(1)f′(x)=λx+1?cosx，則f′(0)=λx+1?cosx=λ?1，f(0)=0，

∴y?0=(λ?1)(x?0)，

故切線方程為(λ?1)x?y=0；

(2)當λ=1時，f(x)=ln(x+1)?sinx，則f′(x)=1x+1?cosx，

當x∈[π2,π)時，?cosx≥0，1x+1>0，

∴f′(x)>0，

∴f(x)在[π2,π)上單調遞增，

又f(π2)=ln(π2+1)?1<0，f(π)=ln(π+1)>0，

∴在[π2,π)上有且僅有一個零點；

當x∈[π,+∞)時，f(x)=ln(x+l)?sinx>ln(π+1)?1>0，∴在[π,+∞)上無零點，

綜上，f(x)在[π2,+∞)上有且僅有一個零點．

(3)由f(x)≥2(1?ex)在x∈[0,π]上恒成立，

即λln(x+1)?sinx≥2(1?ex)在x∈[0,π]上恒成立，

整理得2ex?sinx+λln(x+1)?2≥0在x∈[0,π]上恒成立，

令g(x)=2ex?sinx+λln(x+1)?2，

則g′(x)=2ex?cosx+λx+1，

當λ≥0時，對任意x∈[0,π]有cosx∈[?1,1]，又2ex≥2，λx+1≥0，

∴g′(x)>0，此時g(x)在[0,π]上單調遞增，

∴g(x)≥g(0)=0，符合題意；

當λ<0時，令?(x)=g′