人教B版高中數(shù)學(xué)必修第一冊第二章等式與不等式2.1等式2.1.1等式的性質(zhì)與方程的解集課件

2．1.1等式的性質(zhì)與方程的解集【課程標(biāo)準(zhǔn)】1.掌握等式的性質(zhì)及常用的恒等式.2.理解方程的解集．知識點(diǎn)一等式的性質(zhì)(1)等式的兩邊同時加上同一個數(shù)或代數(shù)式，等式仍成立；(2)等式的兩邊同時乘以同一個不為零的數(shù)或代數(shù)式，等式仍成立．

狀元隨筆用符號語言和量詞表示上述等式的性質(zhì)：(1)如果a＝b，則對任意c，都有a＋c＝b＋c；(2)如果a＝b，則對任意不為零的c，都有ac＝bc.知識點(diǎn)二恒等式一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意實(shí)數(shù)時等式都成立，則稱其為恒等式，也稱等式兩邊恒等．

狀元隨筆初中學(xué)習(xí)的恒等式(1)a2－b2＝(a＋b)(a－b)(平方差公式)；(2)(x＋y)2＝x2＋2xy＋y2(兩數(shù)和的平方公式)；(3)(a＋b)c＝ac＋bc；(4)t3＋1＝(t＋1)(t2－t＋1)．知識點(diǎn)三十字相乘法具體形式：(1)二次項(xiàng)系數(shù)為1時，x2＋(a＋b)x＋ab＝____________________.(2)二次項(xiàng)系數(shù)不為1時，acx2＋(ad＋bc)x＋bd＝____________________．記憶口訣：拆兩頭，湊中間．(x＋a)(x＋b)(ax＋b)(cx＋d)知識點(diǎn)四方程的解集方程的解(或根)是指能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．一般地，把一個方程所有解組成的集合稱為這個方程的解集．基

礎(chǔ)

自

測1．分解因式a2＋8ab－33b2得(

)A．(a＋11)(a－3) B．(a＋11b)(a－3b)C．(a－11b)(a－3b) D．(a－11b)(a＋3b)答案：B解析：a2＋8ab－33b2＝(a－3b)(a＋11b)．2．若多項(xiàng)式－6ab＋18abx＋24aby的一個因式是－6ab，那么另一個因式是(

)A．1＋3x－4y B．－1－3x－4yC．1－3x－4y D．－1－3x＋4y答案：C解析：－6ab＋18abx＋24aby＝－6ab(1－3x－4y)，所以另一個因式是1－3x－4y.

答案：C

4．方程x2＋2x－15＝0的解集為________．{3，－5}解析：x2＋2x－15＝(x－3)(x＋5)＝0，所以x＝3或x＝－5.所以方程的解集為{3，－5}．題型1因式分解[經(jīng)典例題]例1把下列各式因式分解：利用十字相乘法因式分解(1)6x2＋11x－7；(2)a2－2ab－8b2；(3)(x＋y)2－z(x＋y)－6z2；(4)2x4－5x2＋3.

方法歸納對于ax2＋bx＋c，將二次項(xiàng)的系數(shù)a分解成a1·a2，常數(shù)項(xiàng)c分解成c1·c2，并且把a(bǔ)1，a2，c1，c2排列如圖：

，按斜線交叉相乘，再相加，就得到a1c2＋a2c1，如果它正好等于ax2＋bx＋c的一次項(xiàng)系數(shù)b，那么ax2＋bx＋c就可以分解成(a1x＋c1)(a2x＋c2)，其中a1，c1位于上圖中上一行，a2，c2位于下一行．跟蹤訓(xùn)練1

把下列各式分解因式：(1)x2－2x－51＝_____________________________________________；(2)(a2＋1)2－4a2＝___________________________________________；(3)12x2－5xy－2y2＝_________________________________________；(4)(x2＋x)2－8(x2＋x)＋12＝___________________________________.(x－5)(x＋3)(a＋1)2(a－1)2(3x－2y)(4x＋y)(x＋3)(x－2)(x＋2)(x－1)解析：(1)x2－2x－15＝(x－5)(x＋3)．(2)(a2＋1)2－4a2＝(a2＋1＋2a)(a2＋1－2a)＝(a＋1)2(a－1)2.(3)12x2－5xy－2y2＝(3x－2y)(4x＋y)．(4)(x2＋x)2－8(x2＋x)＋12＝(x2＋x－6)(x2＋x－2)＝(x＋3)(x－2)(x＋2)(x－1)．題型2一元一次方程的解集[經(jīng)典例題]例2求下列方程的解集：(1)4－3(10－y)＝5y；答案：去括號，得4－30＋3y＝5y.移項(xiàng)，得3y－5y＝30－4.合并同類項(xiàng)，得－2y＝26.系數(shù)化為1，得y＝－13.所以該方程的解集為{－13}．

(3)求關(guān)于x的方程ax＝2的解集，其中a是常數(shù)．

題型3因式分解法解一元二次方程例3求下列方程的解集：(1)x(x－2)＋x－2＝0；答案：因式分解，得(x－2)(x＋1)＝0.于是得x－2＝0或x＋1＝0，即x＝2或x＝－1，因此方程的解集為{－1，2}．(2)6x(x＋1)＝5(x＋1)；

(3)x2＋5x－6＝0；答案：分解因式得：x2＋5x－6＝(x－1)(x＋6)，1×(－1)＋1×6＝5，因?yàn)閤2＋5x－6＝0，所以(x－1)(x＋6)＝0，所以x－1＝0或x＋6＝0，即x＝1或x＝－6.因此方程的解集為{－6，1}．(4)ax2－(a＋1)x＋1＝0.

方法歸納用因式分解法解一元二次方程的步驟(1)將方程右邊化為0；(2)將方程的左邊分解為兩個一次因式的積；(3)令每個因式等于0，得兩個一元一次方程，再求解．提醒：①用因式分解法解一元二次方程，經(jīng)常會遇到方程兩邊含有相同因式的情況，此時不能將其約去，而應(yīng)該移項(xiàng)將方程右邊化為零，再提取公因式，若約去則會使方程失根；②對于較復(fù)雜的一元二次方程，應(yīng)靈活根據(jù)方程的特點(diǎn)分解因式．

(2)(x－3)2＋2x－6＝0；答案：(x－3)2＋2(x－3)＝0，(x－3)(x－3＋2)＝0，所以x－3＝0或x－1＝0，所以x1＝3，x2＝1，所以該方程的解集為{3，1}．(3)9(2x＋3)2－4(2x－5)2＝0；

(4)12x2＋5x－2＝0；

(5)12x2－ax－a2＝0.

答案：A

2．分解因式：x2－4y2＋4x＋4y＋3.答案：x2－4y2＋4x＋4y＋3＝x2＋4x－4y2＋4y＋3＝x2＋4x＋(2y＋1)(－2y＋3)＝(x＋2y＋1)(x－2y＋3)．

答案：D解析：A.根據(jù)等式性質(zhì)，等式兩邊都減c，即可得到a－c＝b－c，故這個選項(xiàng)不符合題意；B．根據(jù)等式性質(zhì)，等式兩邊都加c，即可得到a＋c＝b＋c，故這個選項(xiàng)不符合題意；C．根據(jù)等式性質(zhì)，等式兩邊都乘以－3，根據(jù)等式性質(zhì)，等式兩邊都加2，即可得到2－3a＝2－3b，故這個選項(xiàng)不符合題意；D．根據(jù)等式性質(zhì)，等式兩邊都除以c時，應(yīng)加條件c≠0，等式不一定成立，故這個選項(xiàng)符合題意．故選D.2．(5分)若多項(xiàng)式x2－3x＋a可分解為(x－5)(x－b)，則a，b的值是(

)A．a(chǎn)＝10，b＝2 B．a(chǎn)＝10，b＝－2C．a(chǎn)＝－10，b＝－2 D．a(chǎn)＝－10，b＝2答案：C

答案：ABD解析：由等式的性質(zhì)知A，B選項(xiàng)正確；

由(x＋2y)2＝x2＋4xy＋4y2知C選項(xiàng)錯誤；

由平方差公式知D選項(xiàng)正確．故選ABD.

答案：CD

二、填空題(每小題5分，共15分)5．(5分)已知x＋y＝7，xy＝－8，則：(1)x2＋y2＝________；(2)(x－y)2＝________．解析：x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝72－2×(－8)＝65.6581解析：(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝72－4×(－8)＝81.6．(5分)《算學(xué)寶鑒》中記載了我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝提出的一個問題：“直田積八百六十四步，之云闊不及長一十二步，問闊及長各幾步？”譯文：“一個矩形田地的面積等于864平方步，且它的寬比長少12步，問長與寬各是多少步？”經(jīng)計(jì)算可得，長________步，寬________步.3624解析：設(shè)矩形田地長為x步，寬為(x－12)步，根據(jù)題意列方程得x(x－12)＝864，x2－12x－864＝0，解得x1＝36，x2＝－24(舍)．∴x－12＝24.故長為36步，寬為24步．7．(5分)若實(shí)數(shù)a，b滿足(4a＋4b)(4a＋4b－2)－8＝0，則a＋b＝________．

三、解答題(共43分)8．(13分)因式分解：(1)x2＋3xy＋2y2＋2x＋4y；(2)4xy＋1－4x2－y2.答案：x2＋3xy＋2y2＋2x＋4y＝(x＋2y)(x＋y)＋2(x＋2y)＝(x＋2y)(x＋y＋2)．答案：4xy＋1－4x2－y2＝1－(4x2－4xy＋y2)＝1－(2x－y)2＝(1＋2x－y)(1－2x＋y)．9．(15分)用因式分解法求下列方程的解集：(1)x2－10x＋9＝0；(2)2(x－3)＝3x(x－3)；答案：(x－1)(x－9)＝0，所以x1＝1，x2＝9；所以該方程的解集為{1，9}．

(3)4(3x－2)(x＋1)＝3x＋3；(4)2(2x－3)2－3(2x－3)＝0；

(5)2x2－16＝x