廣東省湛江市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期第三次月考 數(shù)學(xué)試題含答案

高一數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為（）A． B． C． D．3．已知函數(shù)則（

）A．1 B．0 C． D．4．已知是冪函數(shù)，且在第一象限內(nèi)是單調(diào)遞減的，則的值為()A．－3 B．2 C．－3或2 D．35．設(shè)，集合，．若，則（

）A．0 B． C．l D．6．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．已知m，n為兩條不同的直線，α，β為兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論正確的是（）A．αβ，mα，則mβB．m?α，n?α，mβ，nβ，則αβC．m⊥n，m⊥α，nβ，則α⊥βD．m⊥α，mn，αβ，則n⊥β8．已知函數(shù)．則的值為（

）A．4 B．3 C．2 D．19．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．是偶函數(shù)，遞增區(qū)間是B．是偶函數(shù)，遞增區(qū)間是，C．是奇函數(shù)，遞減區(qū)間是D．是奇函數(shù)，遞減區(qū)間是，10．定義在上的偶函數(shù)滿足：對(duì)任意的，有，則、、的大小關(guān)系為（）A． B．C． D．11．若不等式對(duì)一切成立，則的最小值為（

）A．0 B． C． D．12．已知定義在上的函數(shù)在上單調(diào)遞增，且是偶函數(shù)，不等式對(duì)任意的恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．14．若函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是．15．函數(shù)的值域?yàn)椋?6．已知是上的單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17．已知函數(shù)的定義域?yàn)椋闹涤驗(yàn)椋á瘢┣?、；（Ⅱ）求?8．已知二次函數(shù)滿足，．(1)求的解析式及單調(diào)區(qū)間.(2)若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求的取值范圍.19．如圖所示，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是矩形，側(cè)棱PA垂直于底面，E、F分別是AB、PC的中點(diǎn)，PA＝AD.求證：(1)CD⊥PD；(2)EF⊥平面PCD.20．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．(1)求函數(shù)的解析式；(2)在給出的直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象并寫出的單調(diào)區(qū)間．21．在矩形中，，，為的中點(diǎn)，沿將折起到的位置，使平面平面．(1)若為線段的中點(diǎn)，求證：平面；(2)求證：．22．定義在上的函數(shù)滿足，，且時(shí)，．(1)求；(2)判斷在上的單調(diào)性；(3)若，求的取值范圍.1．D【分析】由集合的并集運(yùn)算即可得解.【詳解】因?yàn)?，，所?故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了集合的并集運(yùn)算，考查了運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.2．B【詳解】，，．選B.點(diǎn)睛:空間幾何體體積問題的常見類型及解題策略(1)若所給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺(tái)體，則可直接利用公式進(jìn)行求解．(2)若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解．(3)若以三視圖的形式給出幾何體，則應(yīng)先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據(jù)條件求解．3．C【分析】代入即可求解.【詳解】因?yàn)椋?故選：C4．A【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義判斷即可．【詳解】由是冪函數(shù)，知，解得或.∵該函數(shù)在第一象限內(nèi)是單調(diào)遞減的，∴.故.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了冪函數(shù)的定義以及函數(shù)的單調(diào)性問題，屬于基礎(chǔ)題．5．D【分析】由集合相等的定義求出后可得．【詳解】首先，否則與元素的互異性矛盾．因?yàn)?，所以，，，因此，，所以，所以．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查集合相等的概念，兩個(gè)集合中元素完全相等，則兩個(gè)集合相等，解題時(shí)要注意元素的互異性．6．B【分析】根據(jù)反比型函數(shù)的單調(diào)性，得到參數(shù)的取值范圍，求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)反比型函數(shù)的單調(diào)性可知，要使函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，只有，即，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：B.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)函數(shù)的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有根據(jù)函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍，在解題的過程中，熟記反比型函數(shù)的單調(diào)性與系數(shù)符號(hào)的關(guān)系即可，屬于基礎(chǔ)題目.7．D【分析】結(jié)合空間線面的位置關(guān)系及平行與垂直的判定與性質(zhì)定理對(duì)各個(gè)選項(xiàng)分別進(jìn)行判斷即可.【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)，αβ，mα，則mβ或m?β，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于B選項(xiàng)，m?α，n?α，mβ，nβ，則αβ或α和β相交，只有加上條件m與n相交時(shí)，才有結(jié)論αβ，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于C選項(xiàng)，m⊥n，m⊥α，nβ，則αβ或α與β相交，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于D選項(xiàng)，m⊥α，mn，則n⊥α，又αβ，則n⊥β，所以D選項(xiàng)正確.故選：D.8．A【分析】用換元法，設(shè)，解得代入后可得函數(shù)式，再計(jì)算函數(shù)值．【詳解】設(shè)，，則，所以，所以．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查求函數(shù)的解析式，解題方法是換元法．屬于基礎(chǔ)題．9．B【分析】判斷函數(shù)的奇偶性，再由單調(diào)區(qū)間的形式可得結(jié)論（可不求單調(diào)區(qū)間進(jìn)行選擇）【詳解】由題意，是偶函數(shù)，排除C，D單調(diào)區(qū)間不可以是兩個(gè)不相鄰區(qū)間的并集，排除A．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性是奇偶性，本題確定奇偶性后根據(jù)單調(diào)區(qū)間的定義可得正確選項(xiàng)．10．D【分析】由已知條件得出單調(diào)性，再由偶函數(shù)把自變量轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上，由單調(diào)性得結(jié)論．【詳解】因?yàn)閷?duì)任意的，有，所以當(dāng)時(shí)，，所以在上是減函數(shù)，又是偶函數(shù)，所以，，因?yàn)?，所以，即．故選：D．11．D【分析】問題轉(zhuǎn)化為，從而求出的最小值即可．【詳解】若不等式對(duì)一切成立，則，當(dāng)時(shí)，取最大值，故，故的最小值是.故選：D．12．C【分析】由是偶函數(shù)得的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，從而得在上的單調(diào)性，利用單調(diào)性化簡(jiǎn)函數(shù)不等式后再由恒成立可得的范圍．【詳解】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在上的單調(diào)遞減，時(shí)，，，，由得或即或恒成立，所以或．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性與單調(diào)性，考查不等式恒成立問題，解題關(guān)鍵是確定函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性分類討論化簡(jiǎn)不等式，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值．13．【分析】根據(jù)子集的定義求解．【詳解】因?yàn)椋?，，所以．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查集合的包含關(guān)系，掌握子集定義是解題基礎(chǔ)．14．【分析】由及分母不為0可得．【詳解】，解得．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查求復(fù)合函數(shù)的定義域，一般求得使函數(shù)式有意義的自變量的取值范圍即可．15．【分析】利用換元法將函數(shù)換元構(gòu)造出新函數(shù)，由新函數(shù)的定義域結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值即可得到值域.【詳解】設(shè)，則，所以原函數(shù)可化為：，由二次函數(shù)性質(zhì)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最大值2，由性質(zhì)可知函數(shù)無最小值，所以值域?yàn)椋?故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查換元法求函數(shù)值域，當(dāng)函數(shù)解析式中含有根式時(shí)，一般考慮換元法，用換元法時(shí)要注意一定寫出新變量數(shù)的取值范圍.16．【分析】由，及可得．【詳解】因?yàn)槭窃龊瘮?shù)，所以，解得．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性，分段函數(shù)在定義域上單調(diào)，需滿足所有段同單調(diào)，相鄰端點(diǎn)處的函數(shù)值滿足相應(yīng)的不等關(guān)系．17．（Ⅰ），；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）由函數(shù)式有意義求得定義域，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可求得值域；（Ⅱ）根據(jù)集合運(yùn)算的定義計(jì)算．【詳解】（Ⅰ）由得解得．，所以，．（Ⅱ），所以．【點(diǎn)睛】本題考查求函數(shù)的定義域與值域，考查集合的綜合運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．18．(1)，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為(2)或．【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的解析式．（2）利用判別式大于0求解即可．【詳解】（1）設(shè)，由可得，所以，故，又得即，，故單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（2）由得，得，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根則滿足，得或．19．（1）見解析；（2）見解析.【詳解】試題分析：1)證明線線垂直時(shí)，要注意題中隱含的垂直關(guān)系，如等腰三角形的底邊上的高，中線和頂角的角平分線合一、矩形的內(nèi)角、直徑所對(duì)的圓周角、菱形的對(duì)角線互相垂直、直角三角形等等；(2)證明線面垂直的方法：一是線面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性質(zhì)定理；三是平行線法（若兩條平行線中的一條垂直于這個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面.解題時(shí)，注意線線、線面與面面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化.試題解析：(1)∵PA⊥底面ABCD，平面ABCD∴CD⊥PA.又矩形ABCD中，CD⊥AD，∵AD∩PA＝A，平面PAD，平面PAD∴CD⊥平面PAD，平面PAD∴CD⊥PD.(2)取PD的中點(diǎn)G，連結(jié)AG，F(xiàn)G.又∵G、F分別是PD、PC的中點(diǎn)，∴∴∴四邊形AEFG是平行四邊形，∴AG∥EF.∵PA＝AD，G是PD的中點(diǎn)，∴AG⊥PD，∴EF⊥PD，∵CD⊥平面PAD，AG?平面PAD.∴CD⊥AG.∴EF⊥CD.∵PD∩CD＝D，平面PCD，CD平面PCD∴EF⊥平面PCD.考點(diǎn)：線線、線面與面面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化、線面垂直20．(1)(2)的遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，【分析】（1）設(shè)，得到，代入時(shí)的解析式化簡(jiǎn)可得時(shí)的解析式，又定義在實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)有，所以分段函數(shù)的解析式可求；（2）利用二次函數(shù)的頂點(diǎn)及與軸的交點(diǎn)作出簡(jiǎn)圖，然后由圖象得單調(diào)區(qū)間；【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，；又函數(shù)是上的奇函數(shù)，的解析式為：；（2）函數(shù)的圖象如圖所示，根據(jù)的圖象可知，的遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，21．(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接、，利用線線平行可得線面平行，進(jìn)而可得平面平面，進(jìn)而根據(jù)面面平行的性質(zhì)可證平面．（2）由題意根據(jù)勾股定理可證，利用面面垂直的性質(zhì)可證．【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接、，則,故四邊形為平行四邊形，故，又平面，平面,故平面,同理，平面，平面,故平面,，、平面．平面平面，注意到平面，平面．（2）由題意可得：，