2024春新教材高中數(shù)學(xué)第八章立體幾何初步章末質(zhì)量評估分層演練含解析新人教A版必修第二冊

第八章立體幾何初步章末質(zhì)量評估(八)(時間:120分鐘分值:150分)一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題所給的四個選項(xiàng)中,只有一個選項(xiàng)是符合題目要求的)1.若用A,B表示點(diǎn),用a表示直線,α表示平面,則下列敘述中正確的是()A.若A?α,B?α,則AB?α B.若A∈α,B∈α,則AB∈αC.若A?a,a?α,則AB?α D.若A∈a,a?α,則A∈α答案:D2.下列說法中正確的是()A.棱柱的側(cè)面可以是三角形 B.正方體和長方體都是特別的四棱柱C.全部的幾何體的表面都能展成平面圖形 D.棱柱的各條棱都相等答案:B3.一個等腰三角形繞它的底邊所在直線旋轉(zhuǎn)360°形成的曲面所圍成的幾何體是()A.球 B.圓柱C.圓臺 D.兩個共底面的圓錐組成的組合體答案:D4.(2024年新高考全國Ⅰ卷)日晷是中國古代用來測定時間的儀器,利用與晷面的垂直的晷針投射到晷面的影子來測定時間.把地球看成一個球(球心記為O),地球上一點(diǎn)A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角,點(diǎn)A處的水平面是指過點(diǎn)A且與OA垂直的平面,在點(diǎn)A處放置一個日晷,若晷面與赤道所在平面平行,點(diǎn)A處的緯度為北緯40°,則晷針與點(diǎn)A處的水平面所成角為()A.20°B.40°C.50°D.90°答案:B5.假如空間中有三條線段AB,BC和CD,且∠ABC=∠BCD,那么直線AB與直線CD的位置關(guān)系是()A.AB∥CD B.AB與CD異面C.AB與CD相交 D.AB∥CD或AB與CD異面或AB與CD相交答案:D6.設(shè)m,n是兩條不同的直線,α,β,γ是三個不同的平面,給出下列命題:①若m∥α,n∥β,α∥β,則m∥n;②若α∥γ,β∥γ,則α∥β;③若m⊥α,n⊥β,α∥β,則m∥n;④若α⊥γ,β⊥γ,則α∥β.其中正確命題的序號是()A.①③B.①④C.②③D.②④答案:C7.現(xiàn)在國際乒乓球賽的用球已由“小球”改為“大球”.若“小球”的直徑為38mm,“大球”的直徑為40mm,則“小球”的表面積與“大球”的表面積之比為()A.19∶20B.19∶20 C.192∶202 D.193∶203答案:C8.若正三棱柱有一個半徑為3cm的內(nèi)切球,則此棱柱的體積是()A.93cm3 B.54cm3 C.27cm3 D.183cm3答案:B二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得3分,有選錯的得0分)9.已知等腰直角三角形直角邊長為1,若將該三角形繞其某一邊旋轉(zhuǎn)一周,則所形成的幾何體的表面積可以為()A.2πB.(1+2)πC.22πD.(2+2)π答案:AB10.對于不重合的兩個平面α與β,給定下列條件,其中可以判定α與β平行的有 ()A.存在平面γ,使得α,β都平行于γ B.存在平面γ,使得α,β都垂直于γC.α內(nèi)有不共線的三點(diǎn)到β的距離相等 D.存在異面直線l,m,使得l∥α,l∥β,m∥α,m∥β答案:AD11.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分別為棱A1D1,A1A,A1B1的中點(diǎn),下列命題中正確的是()A.EF⊥B1C B.BC1∥平面EFG C.A1C⊥平面EFG D.異面直線FG,B1C所成角的大小為π答案:ABC12.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為菱形,∠DAB=60°,側(cè)面PAD為正三角形,且平面PAD⊥平面ABCD,則下列說法正確的是()A.在棱AD上存在點(diǎn)M,使AD⊥平面PMBB.異面直線AD與PB所成的角為90°C.二面角P-BC-A的大小為45°D.BD⊥平面PAC答案:ABC三、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.將答案填在題中的橫線上)13.底面直徑和高都是4cm的圓柱的側(cè)面面積為16πcm2.14.若四棱錐P-ABCD的底面為平行四邊形,E,F,G分別為PA,PD,CD的中點(diǎn),則BC與平面EFG的位置關(guān)系為平行.15.若棱錐的高為16,底面積為512,平行于底面的截面面積為50,則截得的棱臺的高為11.16.(2024年新高考全國Ⅰ卷)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱長均為2,∠BAD=60°.以D1為球心,5為半徑的球面與側(cè)面BCC1B1的交線長為22π四、解答題(本大題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算過程)17.(10分)某圓柱有一個內(nèi)接長方體ABCD-A1B1C1D1,該長方體的體對角線長是102cm,該圓柱的側(cè)面綻開圖為矩形,此矩形的面積是100πcm2,求該圓柱的體積.解:設(shè)該圓柱底面半徑為rcm,高為hcm.如圖所示,則該圓柱軸截面長方形的對角線長等于它的內(nèi)接長方體的體對角線長,(2r所以V圓柱=Sh=πr2h=π×52×10=250π(cm3).18.(12分)如圖,在三棱錐P-ABC中,已知△ABC是等腰直角三角形,∠ABC=90°,△PAC是直角三角形,∠PAC=90°,平面PAC⊥平面ABC.求證:平面PAB⊥平面PBC.證明:因?yàn)槠矫鍼AC⊥平面ABC,PA⊥AC,平面ABC∩平面PAC=AC,PA?平面PAC,所以PA⊥平面ABC.因?yàn)锽C?平面ABC,所以PA⊥BC.因?yàn)锳B⊥BC,AB∩PA=A,AB?平面PAB,PA?平面PAB,所以BC⊥平面PAB,BC?平面PBC,所以平面PAB⊥平面PBC.19.(12分)如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,F,F1分別是AC,A1C1的中點(diǎn).求證:(1)平面AB1F1∥平面C1BF.(2)平面AB1F1⊥平面ACC1A1.證明:(1)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,因?yàn)镕,F1分別是AC,A1C1的中點(diǎn),所以AF1∥C1F.易證得B1F1∥BF.因?yàn)锽1F1∩AF1=F1,C1F∩BF=F,所以平面AB1F1∥平面C1BF.(2)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面A1B1C1,所以B1F1⊥AA1.易證得B1F1⊥A1C1.因?yàn)锳1C1∩AA1=A1,所以B1F1⊥平面ACC1A1.因?yàn)锽1F1?平面AB1F1,所以平面AB1F1⊥平面ACC1A1.20.(12分)如圖所示,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形,∠BCD=60°,E是CD的中點(diǎn),PA⊥底面ABCD,PA=3.(1)求證:平面PBE⊥平面PAB.(2)求二面角A-BE-P的大小.(1)證明:如圖所示,連接BD.由四邊形ABCD是菱形,且∠BCD=60°,知△BCD是等邊三角形.因?yàn)镋是CD的中點(diǎn),所以BE⊥CD.因?yàn)锳B∥CD,所以BE⊥AB.因?yàn)镻A⊥平面ABCD,BE?平面ABCD,所以PA⊥BE.因?yàn)镻A∩AB=A,PA?平面PAB,AB?平面PAB,所以BE⊥平面PAB.因?yàn)锽E?平面PBE,所以平面PBE⊥平面PAB.(2)解:由(1)知BE⊥平面PAB,PB?平面PAB,所以PB⊥BE.因?yàn)锳B⊥BE,所以∠PBA是二面角A-BE-P的平面角.在Rt△PAB中,tan∠PBA=PAAB=31=所以∠PBA=60°.故二面角A-BE-P的大小是60°.21.(12分)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形.已知AB=AD=PA=PB=2,PD=22.(1)求點(diǎn)B到面PAD的距離.(2)取AB中點(diǎn)O,過點(diǎn)O作OE⊥BD于點(diǎn)E.①求證:∠PEO為二面角P-BD-A的平面角.②求∠PEO的正切值.(1)解:因?yàn)镻A=PB=AB=2,PA=AD=2,PD=22,所以△PAB為等邊三角形,PA2+AD2=PD2,所以AD⊥PA.因?yàn)锳D⊥AB,PA∩AB=A,PA?平面PAB,AB?平面PAB,所以AD⊥平面PAB.所以S△PAB=12×2×2×32=3,S△PAD=1設(shè)點(diǎn)B到平面PAD的距離為h,由V三棱錐B-PAD=V三棱錐D-PAB,得13S△PAD·h=13S△PAB·即13×2×h=13×3×2,所以h=(2)①證明:如圖所示,連接PO.在△PAB中,PA=PB=AB=2,所以PO⊥AB.由(1)知AD⊥平面PAB,PO?平面PAB,所以PO⊥AD.因?yàn)锳B∩AD=A,AB?平面ABCD,AD?平面ABCD,所以PO⊥平面ABCD.因?yàn)锽D?平面ABCD,所以PO⊥BD.因?yàn)镺E⊥BD,PO∩OE=O,PO?平面POE,OE?平面POE,所以BD⊥平面POE,所以BD⊥PE,所以∠PEO為二面角P-BD-A的平面角.②解:PO=PA2-由AB=AD可得四邊形ABCD為正方形,則OE=14AC=14×22=在△POE中,∠POE=90°,所以tan∠PEO=POOE=32222.(12分)如圖①所示,在四棱錐S-ABCD中,∠BAD=∠CDA=∠CBD=2∠ABD=90°,平面SBD⊥平面ABCD,且△SBD是邊長為2的等邊三角形.①②(1)求證:CB⊥DS.(2)過點(diǎn)S作ST∥BD,使得四邊形STDB為菱形,連接TA,TD,TC,得到的圖形如圖②所示,已知平面BMN∥平面ADT,且直線DC∩平面BMN=M,直線TC∩平面BMN=N,求三棱錐D-MNB的體積.(1)證明:因?yàn)椤螩BD=90°,所以CB⊥BD.因?yàn)槠矫鍿BD∩平面ABCD=BD,平面SBD⊥平面ABCD,CB?平面ABCD,所以CB⊥平面SBD.因?yàn)镾D?平面SBD,所以CB⊥DS.(2)解:如圖,取BD的中點(diǎn)為O,連接SO,SM,TB,TM.由平面BMN∥平面ADT,得AD∥BM,DT∥MN.因?yàn)椤螩DA=90°,所以∠BMD=90°,即BM⊥CD.因?yàn)椤螧AD=∠CDA=90°,所以AB∥CD.因?yàn)椤螩BD=2∠AB