2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第二章平面解析幾何2.2直線(xiàn)及其方程2.2.4點(diǎn)到直線(xiàn)的距離學(xué)案含解析新人教B版選擇性必修第一冊(cè)

PAGE2.2.4點(diǎn)到直線(xiàn)的距離必備學(xué)問(wèn)·自主學(xué)習(xí)1.點(diǎn)到直線(xiàn)的距離(1)公式：點(diǎn)P(x0，y0)到直線(xiàn)l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).(2)本質(zhì)：用代數(shù)方法求平面內(nèi)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離．能不能干脆用直線(xiàn)的斜截式方程求點(diǎn)到直線(xiàn)的距離？提示：不能，必需先化成一般式，再代入公式求距離．2．兩條平行直線(xiàn)間的距離(1)定義：兩條平行直線(xiàn)間的距離是指夾在這兩條平行直線(xiàn)間的公垂線(xiàn)段的長(zhǎng)．(2)公式：直線(xiàn)l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))．(3)本質(zhì)：用代數(shù)方法求平面內(nèi)兩條平行直線(xiàn)間的距離．直線(xiàn)l1，l2的方程具備什么特征時(shí)，才能干脆應(yīng)用公式求距離？提示：直線(xiàn)l1，l2的方程必需是一般式，且一次項(xiàng)系數(shù)A，B相同．1．辨析記憶(對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”)(1)點(diǎn)P(x0，y0)到與x軸平行的直線(xiàn)y＝b(b≠0)的距離d＝y(tǒng)0－b.()(2)點(diǎn)P(x0，y0)到與y軸平行的直線(xiàn)x＝a(a≠0)的距離d＝|x0－a|.()(3)兩直線(xiàn)2x＋2y＝m與x＋y＝2n的距離為eq\f(|m－2n|,\r(2)).()提示：(1)×.點(diǎn)P(x0，y0)到與x軸平行的直線(xiàn)y＝b(b≠0)的距離應(yīng)為d＝|y0－b|，因?yàn)閥0與b的大小不確定．(2)√.點(diǎn)P(x0，y0)到與y軸平行的直線(xiàn)x＝a(a≠0)的距離d＝|x0－a|，式子中加了肯定值，所以正確．(3)×.求兩條平行線(xiàn)間的距離必需先把x與y的系數(shù)變?yōu)橄嗤问剑?．原點(diǎn)到直線(xiàn)x＋2y－5＝0的距離為()A．1B．eq\r(3)C．2D．eq\r(5)【解析】選D.d＝eq\f(|0＋2×0－5|,\r(12＋22))＝eq\r(5).3．兩條平行線(xiàn)l1：3x＋4y－7＝0和l2：3x＋4y－12＝0的距離為()A．3B．2C．1D．eq\f(1,2)【解析】選C.d＝eq\f(|－7－（－12）|,\r(32＋42))＝1.4．(教材二次開(kāi)發(fā)：例題改編)若其次象限內(nèi)的點(diǎn)P(m，1)到直線(xiàn)x＋y＋1＝0的距離為eq\r(2)，則m的值為_(kāi)_______.【解析】由eq\f(|m＋1＋1|,\r(12＋12))＝eq\r(2)，得m＝－4或m＝0，又因?yàn)閙<0，所以m＝－4.答案：－4關(guān)鍵實(shí)力·合作學(xué)習(xí)類(lèi)型一點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式(數(shù)學(xué)運(yùn)算)1．點(diǎn)P(1，－1)到直線(xiàn)l：3y＝2的距離是()A．3B．eq\f(5,3)C．1D．eq\f(\r(2),2)2．已知點(diǎn)M(1，4)到直線(xiàn)l：mx＋y－1＝0的距離為3，則實(shí)數(shù)m＝()A．0B．eq\f(3,4)C．3D．0或eq\f(3,4)3．已知點(diǎn)P(1＋t，1＋3t)到直線(xiàn)l：y＝2x－1的距離為eq\f(\r(5),5)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A．(0，－2)B．(2，4)C．(0，－2)或(2，4)D．(1，1)4．點(diǎn)P(x，y)在直線(xiàn)x＋y－4＝0上，則x2＋y2的最小值是()A．8B．2eq\r(2)C．eq\r(2)D．16【解析】1.選B.點(diǎn)P(1，－1)到直線(xiàn)l的距離d＝eq\f(|3×（－1）－2|,\r(02＋32))＝eq\f(5,3).2．選D.點(diǎn)M到直線(xiàn)l的距離d＝eq\f(|m＋4－1|,\r(m2＋1))＝eq\f(|m＋3|,\r(m2＋1))，所以eq\f(|m＋3|,\r(m2＋1))＝3，解得m＝0或m＝eq\f(3,4).3．選C.直線(xiàn)l：y＝2x－1可化為2x－y－1＝0，依題意得eq\f(|2（1＋t）－（1＋3t）－1|,\r(22＋（－1）2))＝eq\f(\r(5),5)，整理得|t|＝1，所以t＝1或－1.當(dāng)t＝1時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，4)；當(dāng)t＝－1時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，－2).4．選A.x2＋y2＝(eq\r(（x－0）2＋（y－0）2))2，它表示原點(diǎn)到(x，y)距離的平方，x2＋y2的最小值即為原點(diǎn)到直線(xiàn)x＋y－4＝0的距離的平方，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|0＋0－4|,\r(2))))eq\s\up12(2)＝8.應(yīng)用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式應(yīng)留意的三個(gè)問(wèn)題(1)直線(xiàn)方程應(yīng)為一般式，若給出其他形式應(yīng)化為一般式；(2)點(diǎn)P在直線(xiàn)l上時(shí)，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為0，公式仍舊適用；(3)直線(xiàn)方程Ax＋By＋C＝0中，A＝0或B＝0公式也成立，但由于直線(xiàn)是特別直線(xiàn)(與坐標(biāo)軸垂直)，故也可用數(shù)形結(jié)合求解．【補(bǔ)償訓(xùn)練】1.若點(diǎn)(4，a)到直線(xiàn)4x－3y＝0的距離不大于3，則a的取值范圍是()A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(31,3))) B．[3，4]C．(0，10) D．(－∞，0)∪[10，＋∞)【解析】選A.由eq\f(|16－3a|,\r(42＋32))≤3，即|3a－16|≤15，2．已知點(diǎn)A(－3，－4)，B(6，3)到直線(xiàn)l：ax＋y＋1＝0的距離相等，則實(shí)數(shù)a的值等于()A．eq\f(7,9)B．－eq\f(1,3)C．－eq\f(7,9)或－eq\f(1,3)D．－eq\f(7,9)或eq\f(1,3)【解析】選C.由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可得eq\f(|－3a－4＋1|,\r(a2＋1))＝eq\f(|6a＋3＋1|,\r(a2＋1))，化簡(jiǎn)得|3a＋3|＝|6a＋4|，解得實(shí)數(shù)a＝－eq\f(7,9)或－eq\f(1,3).3．已知點(diǎn)P(a，b)是其次象限的點(diǎn)，那么它到直線(xiàn)x－y＝0的距離是()A．eq\f(\r(2),2)(a－b)B．eq\f(\r(2),2)(b－a)C．b－aD．eq\r(a2＋b2)【解析】選B.因?yàn)镻(a，b)是其次象限的點(diǎn)，所以a<0，b>0.所以a－b<0.所以點(diǎn)P到直線(xiàn)x－y＝0的距離d＝eq\f(|a－b|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)(b－a).類(lèi)型二兩條平行線(xiàn)間的距離(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例】(1)兩直線(xiàn)3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，則它們之間的距離為_(kāi)_______.(2)已知直線(xiàn)l與兩直線(xiàn)l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距離相等，則l的方程為_(kāi)_______.【思路導(dǎo)引】(1)首先利用對(duì)應(yīng)系數(shù)的比值相等求m，再計(jì)算距離；(2)設(shè)出直線(xiàn)l的方程，利用兩條平行線(xiàn)間距離公式求解．【解析】(1)由題意，得eq\f(6,3)＝eq\f(m,1)，所以m＝2，將直線(xiàn)3x＋y－3＝0化為6x＋2y－6＝0，由兩平行線(xiàn)間距離公式，得eq\f(|－1＋6|,\r(62＋22))＝eq\f(5,\r(40))＝eq\f(\r(10),4).(2)設(shè)直線(xiàn)l的方程為2x－y＋C＝0，由題意，得eq\f(|3－C|,\r(22＋12))＝eq\f(|C＋1|,\r(22＋12))，解得C＝1，所以直線(xiàn)l的方程為2x－y＋1＝0.答案：(1)eq\f(\r(10),4)(2)2x－y＋1＝01．求兩條平行線(xiàn)間距離的方法求兩平行線(xiàn)間的距離，一般是干脆利用兩平行線(xiàn)間的距離公式，當(dāng)直線(xiàn)l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2時(shí)，d＝eq\f(|b1－b2|,\r(k2＋1))；當(dāng)直線(xiàn)l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2時(shí)，d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).但必需留意兩直線(xiàn)方程中x，y的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等．2．由兩平行直線(xiàn)間的距離求直線(xiàn)方程的兩種思路(1)設(shè)出所求直線(xiàn)方程后，在其中一條直線(xiàn)上取一點(diǎn)，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求解；(2)干脆運(yùn)用兩平行直線(xiàn)間的距離公式求解．1．若兩平行直線(xiàn)x＋2y＋m＝0(m>0)與x－ny－3＝0之間的距離是eq\r(5)，則m＋n＝()A．0B．1C．－1D．－2【解析】選A.由直線(xiàn)x＋2y＋m＝0(m>0)與x－ny－3＝0平行可得－n＝2即n＝－2，又因?yàn)橹本€(xiàn)x＋2y＋m＝0(m>0)與x＋2y－3＝0的距離為eq\r(5)，所以eq\f(|m＋3|,\r(12＋22))＝eq\r(5)，解得m＝2或m＝－8(舍去)，所以m＋n＝2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2))＝0.2．到直線(xiàn)2x＋y＋1＝0的距離等于eq\f(\r(5),5)的直線(xiàn)方程為()A．2x＋y＝0B．2x＋y－2＝0C．2x＋y＝0或2x＋y－2＝0D．2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0【解析】選D.因?yàn)樗笈c直線(xiàn)2x＋y＋1＝0的距離為eq\f(\r(5),5)，所以可得所求直線(xiàn)與已知直線(xiàn)平行，設(shè)所求直線(xiàn)方程為2x＋y＋c＝0(c≠1)，所以d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(c－1)),\r(22＋12))＝eq\f(\r(5),5)，解得c＝0或c＝2，故所求直線(xiàn)方程為2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0.類(lèi)型三距離的綜合應(yīng)用(數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象)計(jì)算三角形面積【典例】已知點(diǎn)A(1，3)，B(3，1)，C(－1，0)，則△ABC的面積等于()A．3B．4C．5D．6【思路導(dǎo)引】計(jì)算一條邊長(zhǎng)和這條邊上的高，即第三個(gè)頂點(diǎn)到這條邊的距離．【解析】選C.設(shè)AB邊上的高為h，則S△ABC＝eq\f(1,2)|AB|·h，|AB|＝eq\r(（3－1）2＋（1－3）2)＝2eq\r(2)，AB邊上的高h(yuǎn)就是點(diǎn)C到直線(xiàn)AB的距離．AB邊所在的直線(xiàn)方程為eq\f(y－3,1－3)＝eq\f(x－1,3－1)，即x＋y－4＝0.點(diǎn)C到直線(xiàn)x＋y－4＝0的距離為eq\f(|－1＋0－4|,\r(2))＝eq\f(5,\r(2))，因此，S△ABC＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×eq\f(5,\r(2))＝5.求直線(xiàn)方程【典例】已知正方形的中心為直線(xiàn)2x－y＋2＝0，x＋y＋1＝0的交點(diǎn)，正方形一邊所在的直線(xiàn)l的方程為x＋3y－5＝0，求正方形其他三邊所在直線(xiàn)的方程．【思路導(dǎo)引】先求出正方形中心坐標(biāo)，利用正方形中心到四邊的距離相等及另外三邊與已知邊l平行或垂直求解．【解析】設(shè)與直線(xiàn)l：x＋3y－5＝0平行的邊所在的直線(xiàn)方程為l1：x＋3y＋c＝0(c≠－5).由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－y＋2＝0，,x＋y＋1＝0，))得正方形的中心坐標(biāo)為P(－1，0)，由點(diǎn)P到兩直線(xiàn)l，l1的距離相等，得eq\f(|－1－5|,\r(12＋32))＝eq\f(|－1＋c|,\r(12＋32))，解得c＝7或c＝－5(舍)，所以l1：x＋3y＋7＝0.又正方形另兩邊所在直線(xiàn)與l垂直，所以設(shè)另兩邊所在直線(xiàn)的方程分別為3x－y＋a＝0，3x－y＋b＝0.因?yàn)檎叫沃行牡剿臈l邊的距離相等，所以eq\f(|－3＋a|,\r(32＋（－1）2))＝eq\f(|－1－5|,\r(12＋32))，得a＝9或a＝－3，所以另兩條邊所在的直線(xiàn)方程分別為3x－y＋9＝0，3x－y－3＝0.所以另三邊所在的直線(xiàn)方程分別為3x－y＋9＝0，x＋3y＋7＝0，3x－y－3＝0.求過(guò)本例中正方形中心且與原點(diǎn)距離最大的直線(xiàn)方程．【解析】由例題知，正方形中心坐標(biāo)為P(－1，0)，則與OP垂直的直線(xiàn)到原點(diǎn)的距離最大．因?yàn)閗OP＝0，所以此時(shí)所求直線(xiàn)方程為x＝－1.距離公式綜合應(yīng)用的三種常用類(lèi)型(1)最值問(wèn)題：①利用對(duì)稱(chēng)轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間的距離問(wèn)題．②利用所求式子的幾何意義轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線(xiàn)的距離．③利用距離公式將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)的最值問(wèn)題，通過(guò)配方求最值．(2)求參數(shù)問(wèn)題：利用距離公式建立關(guān)于參數(shù)的方程或方程組，通過(guò)解方程或方程組求值．(3)求方程的問(wèn)題：立足確定直線(xiàn)的幾何要素——點(diǎn)和方向，利用直線(xiàn)方程的各種形式，結(jié)合直線(xiàn)的位置關(guān)系(平行直線(xiàn)系、垂直直線(xiàn)系及過(guò)交點(diǎn)的直線(xiàn)系)，巧設(shè)直線(xiàn)方程，在此基礎(chǔ)上借助三種距離公式求解．1．已知△ABC中，A(1，1)，B(m，eq\r(m))(1<m<4)，C(4，2)，求m為何值時(shí)，△ABC的面積S最大？【解析】因?yàn)锳(1，1)，C(4，2)，所以|AC|＝eq\r(（4－1）2＋（2－1）2)＝eq\r(10).又AC邊所在直線(xiàn)的方程為x－3y＋2＝0，依據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，可得點(diǎn)B(m，eq\r(m))到直線(xiàn)AC的距離d＝eq\f(|m－3\r(m)＋2|,\r(10)).所以S＝eq\f(1,2)|AC|·d＝eq\f(1,2)|m－3eq\r(m)＋2|＝eq\f(1,2)|eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(m)－\f(3,2)))eq\s\up12(2)－eq\f(1,4)|.因?yàn)?<m<4，所以1<eq\r(m)<2，－eq\f(1,2)<eq\r(m)－eq\f(3,2)<eq\f(1,2).所以0≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(m)－\f(3,2)))eq\s\up12(2)<eq\f(1,4)，所以S＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(m)－\f(3,2)))\s\up12(2))).所以當(dāng)eq\r(m)－eq\f(3,2)＝0，即m＝eq\f(9,4)時(shí)，S最大．故當(dāng)m＝eq\f(9,4)時(shí)，△ABC的面積最大．2．如圖，已知直線(xiàn)l1：x＋y－1＝0，現(xiàn)將直線(xiàn)l1向上平移到直線(xiàn)l2的位置，若l2，l1和坐標(biāo)軸圍成的梯形的面積為4，求直線(xiàn)l2的方程．【解析】設(shè)l2的方程為y＝－x＋b(b>1)，則A(1，0)，D(0，1)，B(b，0)，C(0，b).所以|AD|＝eq\r(2)，|BC|＝eq\r(2)b.梯形的高h(yuǎn)就是A點(diǎn)到直線(xiàn)l2的距離，故h＝eq\f(|1＋0－b|,\r(2))＝eq\f(|b－1|,\r(2))＝eq\f(b－1,\r(2))(b>1)，由梯形的面積公式得eq\f(\r(2)＋\r(2)b,2)×eq\f(b－1,\r(2))＝4，所以b2＝9，b＝±3.又b>1，所以b＝3.從而得直線(xiàn)l2的方程是x＋y－3＝0.課堂檢測(cè)·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1．直線(xiàn)6x＋8y－2＝0與6x＋8y－3＝0間的距離為()A．1B．3C．eq\f(1,10)D．eq\f(2,5)【解析】選C.由平行線(xiàn)間的距離公式可知，直線(xiàn)間的距離為d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－2＋3)),\r(62＋82))＝eq\f(1,10).2．點(diǎn)P(a，0)到直線(xiàn)3x＋4y－6＝0的距離大于3，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A．a(chǎn)>7B．a(chǎn)<－7或a>3C．a(chǎn)<－3D．a(chǎn)>7或a<－3【解析】選D.依據(jù)題意，得eq\f(|3a－6|,\r(32＋42))>3，解得a>7或a<－3.3．若直線(xiàn)l1：x＋ay＋6＝0與l2：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al