2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第八章立體幾何第一節(jié)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及三視圖與直觀圖學(xué)案理含解析

PAGE第一節(jié)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及三視圖與直觀圖[最新考綱][考情分析][核心素養(yǎng)]1.相識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及其簡(jiǎn)潔組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)潔物體的結(jié)構(gòu).2.能畫(huà)出簡(jiǎn)潔空間圖形(長(zhǎng)方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡(jiǎn)易組合體)的三視圖，能識(shí)別上述三視圖所表示的立體模型，會(huì)用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出它們的直觀圖.3.會(huì)用平行投影畫(huà)出簡(jiǎn)潔空間圖形的三視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表達(dá)形式.2024年高考主要考查三視圖，柱、錐、球的表面積和體積，以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，1到2個(gè)小題，占5或10分，屬于簡(jiǎn)潔題.1.直觀想象2.數(shù)學(xué)運(yùn)算‖學(xué)問(wèn)梳理‖1．空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征(1)多面體的結(jié)構(gòu)特征多面體結(jié)構(gòu)特征棱柱有兩個(gè)面eq\x(1)平行，其余各面都是四邊形且每相鄰兩個(gè)面的交線都eq\x(2)平行且相等棱錐有一個(gè)面是多邊形，而其余各面都是有一個(gè)eq\x(3)公共頂點(diǎn)的三角形棱臺(tái)棱錐被平行于eq\x(4)底面的平面所截，截面和底面之間的部分叫做棱臺(tái)(2)旋轉(zhuǎn)體的形成幾何體旋轉(zhuǎn)圖形旋轉(zhuǎn)軸圓柱矩形矩形任一邊所在的直線圓錐直角三角形一條直角邊所在的直線圓臺(tái)直角梯形或等腰梯形直角腰所在的直線或等腰梯形上下底中點(diǎn)的連線球半圓或圓直徑所在的直線?常用結(jié)論球的任何截面都是圓面，球面被經(jīng)過(guò)球心的平面截得的圓叫做大圓，大圓的半徑等于球的半徑；被不經(jīng)過(guò)球心的平面截得的圓叫做小圓，小圓的半徑小于球的半徑．2．空間幾何體的三視圖(1)三視圖的名稱幾何體的三視圖包括：正視圖、側(cè)視圖、俯視圖．(2)三視圖的畫(huà)法①在畫(huà)三視圖時(shí)，能望見(jiàn)的輪廓線和棱用實(shí)線表示，重疊的線只畫(huà)一條，不能望見(jiàn)的輪廓線和棱用eq\x(5)虛線表示．②三視圖的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖分別是從幾何體的eq\x(6)正前方、正左方、eq\x(7)正上方視察幾何體的正投影圖．3．空間幾何體的直觀圖空間幾何體的直觀圖常用斜二測(cè)畫(huà)法來(lái)畫(huà)，其規(guī)則是：(1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸，y′軸的夾角為eq\x(8)45°或135°，z′軸與x′軸和y′軸所在平面eq\x(9)垂直．(2)原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍eq\x(10)平行于坐標(biāo)軸；平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長(zhǎng)度eq\x(11)不變；平行于y軸的線段在直觀圖中長(zhǎng)度為eq\x(12)原來(lái)的一半．?常用結(jié)論1．若相鄰兩物體的表面相交，則表面的交線是它們的分界線，在三視圖中，要留意實(shí)線、虛線的畫(huà)法．2．用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出的水平放置的平面圖形的直觀圖的面積是原圖形面積的eq\f(\r(2),4)倍．‖基礎(chǔ)自測(cè)‖一、疑誤辨析1．推斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)．(1)有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱．()(2)有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐．()(3)夾在兩個(gè)平行的平面之間，其余的面都是梯形，這樣的幾何體肯定是棱臺(tái)．()(4)正方體、球、圓錐各自的三視圖中，三視圖均相同．()(5)用兩平行平面截圓柱，夾在兩平行平面間的部分仍是圓柱．()(6)菱形的直觀圖仍是菱形．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×(6)×二、走進(jìn)教材2．(必修2P10B1改編)如圖，長(zhǎng)方體ABCD－A′B′C′D′被截去一部分，其中EH∥A′D′，剩下的幾何體是()A．棱臺(tái) B．四棱柱C．五棱柱 D．六棱柱答案：C3．(必修2P21A4改編)用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)水平放置的矩形的直觀圖，直觀圖的面積與原矩形的面積之比為()A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(\r(2),3) D．eq\f(\r(2),4)答案：D三、易錯(cuò)自糾4．用隨意一個(gè)平面截一個(gè)幾何體，各個(gè)截面都是圓面，則這個(gè)幾何體肯定是()A．圓柱B．圓錐C．球體D．圓柱，圓錐，球體的組合體解析：選C由球的性質(zhì)可知，用平面截球所得的截面都是圓面．5．沿一個(gè)正方體三個(gè)面的對(duì)角線截得的幾何體如圖所示，該幾何體的側(cè)視圖為()ABCD解析：選B給幾何體的各頂點(diǎn)標(biāo)上字母，如圖1.A，E在側(cè)投影面上的投影重合，C，G在側(cè)投影面上的投影重合，幾何體在側(cè)投影面上的投影及把側(cè)投影面展平后的情形如圖2所示，故選B．,eq\a\vs4\al(考點(diǎn)一\a\vs4\al(空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征))|題組突破|1．下列命題中正確的是()A．以直角三角形的一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體是圓錐B．有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱C．將一個(gè)矩形(包括其內(nèi)部)沿豎直方向平移一段距離，運(yùn)動(dòng)的軌跡是一個(gè)長(zhǎng)方體D．棱臺(tái)各側(cè)棱的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)解析：選D以直角三角形的一條直角邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周才可得到圓錐，故A不正確；如圖，平面ABC∥平面A1B1C1，側(cè)面都是平行四邊形，但圖中的幾何體每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊并不都相互平行，故不是棱柱，故B不正確；當(dāng)矩形(包括其內(nèi)部)水平放置時(shí)，沿豎直方向平移一段距離，運(yùn)動(dòng)的軌跡是一個(gè)長(zhǎng)方體，當(dāng)矩形(包括其內(nèi)部)不是水平放置時(shí)，沿豎直方向平移一段距離，運(yùn)動(dòng)的軌跡不是長(zhǎng)方體，故C不正確；棱臺(tái)是用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐得到的，其各側(cè)棱的延長(zhǎng)線必交于一點(diǎn)，故D正確．2．(2025屆安徽“江南十校”綜合素養(yǎng)檢測(cè))已知在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2AD＝2，E，F(xiàn)分別為棱BB1，D1C1的中點(diǎn)，直線CD1被四面體CC1EF外接球截得的線段長(zhǎng)為_(kāi)_______．解析：由題意可得EC＝eq\r(2)，EF＝eq\r(3)，CF＝eq\r(5)，則EC2＋EF2＝CF2，所以EF⊥EC，則△FEC為直角三角形．又因?yàn)镃C1⊥FC1，△CGF為直角三角形，所以四面體CC1EF的外接球的球心O是棱CF的中點(diǎn)，即外接球的直徑2R＝CF＝eq\r(5).過(guò)點(diǎn)O作OM⊥CD1，垂足為點(diǎn)M，過(guò)F作FN⊥CD1，垂足為點(diǎn)N，則OM＝eq\f(1,2)FN＝eq\f(\r(2),4)，則直線CD1被四面體CC1EF的外接球截得的線段長(zhǎng)為2eq\r(R2－OM2)＝eq\f(3\r(2),2).答案：eq\f(3\r(2),2)?名師點(diǎn)津空間幾何體概念辨析題的常用方法定義法緊扣定義，由已知構(gòu)建幾何模型，在條件不變的狀況下，變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本元素，依據(jù)定義進(jìn)行判定反例法通過(guò)反例對(duì)結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行辨析，即要說(shuō)明一個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的，只要舉出一個(gè)反例即可eq\a\vs4\al(考點(diǎn)二\a\vs4\al(空間幾何體的直觀圖))|題組突破|3.用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出的某平面圖形的直觀圖如圖，邊AB平行于y′軸，BC，AD平行于x′軸．已知四邊形ABCD的面積為2eq\r(2)cm2，則原平面圖形的面積為()A．4cm2 B．4eq\r(2)cm2C．8cm2 D．8eq\r(2)cm2解析：選C由直觀圖的面積與原面積之比為eq\f(\r(2),4)，又直觀圖的面積為2eq\r(2)cm2，得原平面圖形的面積為8cm2.4.用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖為如圖所示的一個(gè)正方形，則原來(lái)的圖形是()ABCD解析：選A由直觀圖可知，在直觀圖中多邊形為正方形，對(duì)角線長(zhǎng)為eq\r(2)，所以原圖形為平行四邊形，位于y軸上的對(duì)角線長(zhǎng)為2eq\r(2).故選A．5．已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2，那么△ABC的直觀圖△A′B′C′的面積為_(kāi)_______．解析：∵正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2，∴S△ABC＝eq\f(1,2)absin60°＝eq\r(3).利用S直＝eq\f(\r(2),4)S原，得S△A′B′C′＝eq\f(\r(6),4).答案：eq\f(\r(6),4)?名師點(diǎn)津原圖形與直觀圖中的“三變”與“三不變”(1)“三變”eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(坐標(biāo)軸的夾角變更,與y軸平行的線段的長(zhǎng)度變更（減半）,圖形變更))(2)“三不變”eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(平行性不變,與x軸平行的線段長(zhǎng)度不變,相對(duì)位置不變))eq\a\vs4\al(考點(diǎn)\a\vs4\al(空間幾何體的三視圖——多維探究))空間幾何體的三視圖是考查重點(diǎn)，主要在選擇題、填空題中考查．常見(jiàn)的命題角度有：(1)由空間幾何體判定三視圖；(2)由三視圖還原幾何體；(3)空間幾何體的三視圖的有關(guān)計(jì)算問(wèn)題．●命題角度一由空間幾何體判定三視圖【例1】如圖所示，將圖①中的正方體截去兩個(gè)三棱錐，得到圖②中的幾何體，則該幾何體的側(cè)(左)視圖為()ABCD[解析]從幾何體的左側(cè)看，對(duì)角線AD1在視線范圍內(nèi)，故畫(huà)為實(shí)線，右側(cè)面的棱C1F不在視線范圍內(nèi)，故畫(huà)為虛線，且上端點(diǎn)位于幾何體上底面邊的中點(diǎn)．故選B．[答案]B●命題角度二由三視圖還原幾何體【例2】若某幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的直觀圖可以是()ABCD[解析]A、B的正視圖不符合要求，C的俯視圖明顯不符合要求，故選D．[答案]D●命題角度三空間幾何體的三視圖的有關(guān)計(jì)算問(wèn)題【例3】把邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD沿對(duì)角線BD折起，使得平面ABD⊥平面CBD，形成的三棱錐C－ABD的正視圖與俯視圖如圖所示，則側(cè)視圖的面積為_(kāi)_______．[解析]由三棱錐C－ABD的正視圖、俯視圖，得三棱錐C－ABD的側(cè)視圖為直角邊長(zhǎng)為eq\f(\r(2),2)的等腰直角三角形，如圖所示，所以三棱錐C－ABD的側(cè)視圖的面積為eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1,4).[答案]eq\f(1,4)?名師點(diǎn)津由三視圖確定幾何體的3步驟|跟蹤訓(xùn)練|1．(2025屆福州模擬)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，實(shí)線畫(huà)出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體各面中直角三角形的個(gè)數(shù)是()A．2 B．3C．4 D．5解析：選C由三視圖可知，該幾何體是如圖所示的四棱錐P－ABCD，易知四棱錐P－ABCD的四個(gè)側(cè)面都是直角三角形，即此幾何體各面中直角三角形的個(gè)數(shù)是4，故選C．2．已知圓臺(tái)和正三棱錐的組合體的正視圖和俯視圖如圖所示，圖中小方格是單位正方形，那么組合體的側(cè)視圖的面積為()A．6＋eq\f(3\r(3),4) B．eq\f(15,2)C．6＋eq\r(3) D．8解析：選B由題意可得側(cè)視圖(圖略)，上面是一個(gè)三角形，其底為1＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)，高為2，三角形的面積S1＝eq\f(1,2)×eq\f(3,2)×2＝eq\f(3,2)；下面是一個(gè)梯形，上底為2，下底為4，高為2，梯形的面積S2＝eq\f(1,2)×(2＋4)×2＝6，所以組合體的側(cè)視圖的面積S＝S1＋S2＝eq\f(3,2)＋6＝eq\f(15,2).故選B．eq\a\vs4\al(考點(diǎn)\a\vs4\al(數(shù)學(xué)文化中空間幾何體的創(chuàng)新應(yīng)用))【例】(2024年全國(guó)卷Ⅲ)中國(guó)古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來(lái)．構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長(zhǎng)方體是榫頭．若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長(zhǎng)方體，則咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是()ABCD[解析]由題意可知，帶卯眼的木構(gòu)件的直觀圖如圖所示，由直觀圖可知其俯視圖應(yīng)選A．[答案]A|跟蹤訓(xùn)練|(2024年全國(guó)卷Ⅱ)中國(guó)有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形態(tài)多為長(zhǎng)方體、正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形態(tài)是“半正多面體”(圖1)．半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體．半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．圖2是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體，它的全部頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面