2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章計數(shù)原理1.3第1課時組合與組合數(shù)公式學(xué)案含解析北師大版選修2-3

PAGE§3組合第一課時組合與組合數(shù)公式授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第11頁[自主梳理]一、組合及組合問題1．組合一般地，從n個不同的元素中，任取____________，叫作從n個不同元素中取出m個元素的一個組合．2．組合問題求____________的問題叫作組合問題．二、組合數(shù)與組合數(shù)公式組合數(shù)定義從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的________，叫作從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)組合數(shù)公式乘積形式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(nn－1…n－m＋1,m！)階乘形式Ceq\o\al(m,n)＝____________性質(zhì)Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)；Ceq\o\al(m,n＋1)＝____________＋Ceq\o\al(m－1,n)備注①n∈N＋，m∈N且m≤n；②規(guī)定Ceq\o\al(0,n)＝____[雙基自測]1．下列幾個問題是組合問題的有()①從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名同學(xué)去參與兩個社區(qū)的社會調(diào)查，有多少種不同的選法？②從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名同學(xué)，有多少種不同的選法？③3人去干5種不同的工作，每人干一種，有多少種分工方法？A．①② B．③C．①③ D．②2．(1)Ceq\o\al(4,7)＝________；(2)Ceq\o\al(7,10)＝________；(3)Ceq\o\al(3,7)－Ceq\o\al(2,6)＝________.[自主梳理]一、1.m(m≤n)個元素為一組2.組合的個數(shù)二、全部組合的個數(shù)eq\f(n！,m！n－m！)Ceq\o\al(m,n)1[雙基自測]1．D②與依次無關(guān)，是組合問題．2．(1)35Ceq\o\al(4,7)＝eq\f(7×6×5×4,4！)＝35.(2)120解法一Ceq\o\al(7,10)＝eq\f(10×9×8×7×6×5×4,7！)＝120.解法二Ceq\o\al(7,10)＝Ceq\o\al(3,10)＝eq\f(10×9×8,3！)＝120.解法三Ceq\o\al(7,10)＝eq\f(10！,7！×3！)＝eq\f(10×9×8,3！)＝120.(3)20解法一Ceq\o\al(3,7)－Ceq\o\al(2,6)＝eq\f(7×6×5,3！)－eq\f(6×5,2！)＝35－15＝20.解法二Ceq\o\al(3,7)－Ceq\o\al(2,6)＝Ceq\o\al(3,6)＝eq\f(6×5×4,3×2×1)＝20.授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第12頁探究一排列、組合概念的辨析[例1]推斷下列各事務(wù)是排列問題，還是組合問題，并求出相應(yīng)的排列數(shù)或組合數(shù)．(1)10個人相互各寫一封信，共寫了多少封信？(2)10個人規(guī)定相互通一次電話，共通了多少次電話？(3)10支球隊以單循環(huán)進(jìn)行競賽(每兩隊競賽一次)，這次競賽須要進(jìn)行多少場次？(4)10支球隊以單循環(huán)進(jìn)行競賽，這次競賽冠、亞軍獲得者有多少種可能？(5)從10個人里選3個代表去開會，有多少種選法？(6)從10個人里選出3個不同學(xué)科的課代表，有多少種選法？[解析](1)是排列問題，因為發(fā)信人與收信人是有依次區(qū)分的，排列數(shù)為Aeq\o\al(2,10)＝90.(2)是組合問題，因為甲與乙通了一次電話，也就是乙與甲通了一次電話，沒有依次的區(qū)分，組合數(shù)為Ceq\o\al(2,10)＝45.(3)是組合問題，因為每兩隊競賽一次，并不須要考慮誰先誰后，沒有依次的區(qū)分，組合數(shù)為Ceq\o\al(2,10)＝45.(4)是排列問題，因為甲隊得冠軍、乙隊得亞軍與甲隊得亞軍、乙隊得冠軍是不一樣的，是有依次區(qū)分的，排列數(shù)為Aeq\o\al(2,10)＝90.(5)是組合問題，因為三個代表之間沒有依次的區(qū)分，組合數(shù)為Ceq\o\al(3,10)＝120.(6)是排列問題．因為三個人中，擔(dān)當(dāng)哪一科的課代表是有依次區(qū)分的，排列數(shù)為Aeq\o\al(3,10)＝720.排列、組合問題的辨別方法區(qū)分排列還是組合問題的關(guān)鍵是看取出元素后是按依次排列還是無序地組合在一起，區(qū)分有無依次的方法是把問題的一個選擇結(jié)果解出來，然后交換這個結(jié)果的隨意兩個元素的位置，看是否會產(chǎn)生新的改變．若有新改變，即說明有依次，是排列問題；若無新改變，即說明無依次，是組合問題．1．推斷下列問題是組合問題，還是排列問題．(1)設(shè)集合A＝{a，b，c，d}，則集合A的含有3個元素的子集有多少個？(2)一個班中有52人，任兩人握一次手，共握多少次手？(3)有5個風(fēng)景區(qū)，現(xiàn)選出2個風(fēng)景區(qū)作為巡游區(qū)，問共有多少種不同的選法？(4)把4本相同的數(shù)學(xué)書分給5個學(xué)生，每人至多得一本，有多少種安排方法？(5)4個人去干5種不同的工作，每人干一種，有多少種分工方法？解析：(1)因為集合中取出元素具有“無序性”，故這是組合問題；(2)因為兩人握手是相互的，沒有依次之分，所以這是組合問題；(3)這里是要選出2個風(fēng)景點作為巡游區(qū)，不是選擇巡游路途，這和兩個風(fēng)景點的依次無關(guān)，所以是組合問題；(4)由于4本數(shù)學(xué)書是相同的，不同的安排方法取決于從5個學(xué)生中選擇哪4個人，這和依次無關(guān)，是組合問題；(5)因為5種工作是不同的，一種分工方法就是從5種不同的工作中選出4種，按肯定的依次安排給4個人，它與依次有關(guān)，是排列問題．探究二組合數(shù)公式的應(yīng)用[例2](1)計算Ceq\o\al(4,10)－Ceq\o\al(3,7)·Aeq\o\al(3,3)；(2)已知eq\f(1,C\o\al(m,5))－eq\f(1,C\o\al(m,6))＝eq\f(7,10C\o\al(m,7))，求Ceq\o\al(m,8)；(3)求Ceq\o\al(38－n,3n)＋Ceq\o\al(3n,21＋n)的值．[解析](1)原式＝Ceq\o\al(4,10)－Aeq\o\al(3,7)＝eq\f(10×9×8×7,4×3×2×1)－7×6×5＝210－210＝0.(2)原式化為eq\f(m！5－m！,5！)－eq\f(m！6－m！,6！)＝eq\f(7×7－m！m！,10×7！)，即eq\f(m！5－m！,5！)－eq\f(m！6－m·5－m！,6×5！)＝eq\f(7×m！×7－m×6－m×5－m！,10×7×6×5！)，∴1－eq\f(6－m,6)＝eq\f(7－m6－m,60)，即m2－23m＋42＝0，解得m＝2或m＝21.而0≤m≤5，∴m＝2，∴Ceq\o\al(m,8)＝Ceq\o\al(2,8)＝28.(3)由題意知，原式中的n需滿意不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3n≥38－n≥0，①,21＋n≥3n≥0.②))由①得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(38－n≥0，,3n≥38－n，))解此不等式組得eq\f(19,2)≤n≤38；由②得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3n≥0，,21＋n≥3n，))解此不等式組得0≤n≤eq\f(21,2).∴eq\f(19,2)≤n≤eq\f(21,2).又∵n∈N*，∴n＝10，∴Ceq\o\al(38－n,3n)＋Ceq\o\al(3n,21＋n)＝Ceq\o\al(28,30)＋Ceq\o\al(30,31)＝466.(1)公式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)(n∈N＋，m∈N，m≤n)一般用于求值計算．(2)公式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,m！n－m！)一般用于化簡、證明或m，n較大的計算．(3)在解有關(guān)組合數(shù)的方程或不等式時，必需留意隱含條件，即Ceq\o\al(m,n)中的n為正整數(shù)，m為自然數(shù)，且n≥m.因此求出方程或不等式的解后，要進(jìn)行檢驗，將不符合的解舍去．2．計算：(1)Ceq\o\al(5,8)＋Ceq\o\al(98,100)·Ceq\o\al(7,7)；(2)Ceq\o\al(0,5)＋Ceq\o\al(1,5)＋Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(3,5)＋Ceq\o\al(4,5)＋Ceq\o\al(5,5)；(3)Ceq\o\al(n,n＋1)·Ceq\o\al(n－1,n).解析：(1)原式＝Ceq\o\al(3,8)＋Ceq\o\al(2,100)×1＝eq\f(8×7×6,3×2×1)＋eq\f(100×99,2×1)＝56＋4950＝5006.(2)原式＝2(Ceq\o\al(0,5)＋Ceq\o\al(1,5)＋Ceq\o\al(2,5))＝2(Ceq\o\al(1,6)＋Ceq\o\al(2,5))＝2(6＋eq\f(5×4,2×1))＝32.(3)解法一原式＝Ceq\o\al(n,n＋1)·Ceq\o\al(1,n)＝eq\f(n＋1！,n！)·n＝eq\f(n＋1·n！,n！)·n＝(n＋1)n＝n2＋n.解法二原式＝(Ceq\o\al(n,n)＋Ceq\o\al(n－1,n))·Ceq\o\al(n－1,n)＝(1＋Ceq\o\al(1,n))·Ceq\o\al(1,n)＝(1＋n)·n＝n2＋n.探究三簡潔的組合問題[例3]現(xiàn)有10名老師，其中男老師6名，女老師4名．(1)現(xiàn)要從中選2名去參與會議，有多少種不同的選法？(2)選出2名男老師或2名女老師去外地學(xué)習(xí)的選法有多少種？(3)現(xiàn)要從中選出男、女老師各2名去參與會議，有多少種不同的選法？[解析](1)從10名老師中選2名去參與會議的選法種數(shù)，就是從10個不同元素中取出2個元素的組合數(shù)，即Ceq\o\al(2,10)＝eq\f(10×9,2×1)＝45.(2)可把問題分兩類狀況：第一類，選出的2名是男老師有Ceq\o\al(2,6)種方法；其次類，選出的2名是女老師有Ceq\o\al(2,4)種方法．依據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(2,4)＝15＋6＝21種不同選法．(3)從6名男老師中選2名的選法有Ceq\o\al(2,6)種，從4名女老師中選2名的選法有Ceq\o\al(2,4)種．依據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有選法Ceq\o\al(2,6)×Ceq\o\al(2,4)＝eq\f(6×5,2×1)×eq\f(4×3,2×1)＝90(種)．解答排列、組合題時首先要分清它是排列問題還是組合問題，區(qū)分排列與組合問題的關(guān)鍵是利用排列與組合的定義．組合是“只選不排，并成一組，與依次無關(guān)”，還要留意兩個計數(shù)原理的運(yùn)用，即分類與分步的敏捷運(yùn)用．3．一個口袋里裝有7個白球和1個紅球，從口袋中任取5個球：(1)共有多少種不同的取法？(2)其中恰有一個紅球，共有多少種不同的取法？(3)其中不含紅球，共有多少種不同的取法？(4)以上三個問題有什么關(guān)系？解析：(1)從口袋里的8個球中任取5個球，不同取法種數(shù)是Ceq\o\al(5,8)＝Ceq\o\al(3,8)＝eq\f(8×7×6,3×2×1)＝56.(2)從口袋里的8個球中任取5個球，其中恰有一個紅球，可以分兩步完成：第一步，從7個白球中任取4個白球，有Ceq\o\al(4,7)種取法；其次步，把1個紅球取出，有Ceq\o\al(1,1)種取法．由分步乘法計數(shù)原理，不同取法種數(shù)是Ceq\o\al(4,7)·Ceq\o\al(1,1)＝Ceq\o\al(4,7)＝Ceq\o\al(3,7)＝35.(3)從口袋里任取5個球，其中不含紅球，只須要從7個白球中任取5個白球即可，取法種數(shù)是Ceq\o\al(5,7)＝Ceq\o\al(2,7)＝eq\f(7×6,2×1)＝21.(4)從上面三個小題的答案可以得出等式Ceq\o\al(5,8)＝Ceq\o\al(4,7)＋Ceq\o\al(5,7).組合數(shù)方程的解法[典例](本題滿分12分)若eq\f(C\o\al(5,n－1)＋C\o\al(3,n－3),C\o\al(3,n－3))＝eq\f(19,5)，求n.[解]由題意得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n－1≥5,n－3≥3))?n≥6且n∈N＋，2分原方程變形為：eq\f(C\o\al(5,n－1),C\o\al(3,n－3))＋1＝eq\f(19,5)，4分即Ceq\o\al(5,n－1)＝eq\f(14,5)Ceq\o\al(3,n－3)，也即eq\f(n－1n－2n－3n－4n－5,5！)＝eq\f(14,5)·eq\f(n－3n－4n－5,3！)，8分化簡整理得：n2－3n－54＝0，10分解得：n＝9或n＝－6(不合題意，舍去)，所以n＝9為原方程的解.12分[規(guī)范與警示](1)在處，依據(jù)組合數(shù)自身的條件求得未知數(shù)n的范圍，是重要的一步；在處，把已知方程正確的化歸為一元二次方程是解答本題的關(guān)鍵；在處，依據(jù)處的結(jié)果對未知數(shù)的取值正確取舍，是易失分點．(2)含有組合數(shù)的方程的解法：已知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(C\o\al(x,n)＝C\o