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文檔簡介
二項(xiàng)式定理的應(yīng)用單選題1、(2025屆山東省濱州市高三上期末)綻開式中項(xiàng)的系數(shù)為()A. B. C. D.【答案】B【解析】的綻開式通項(xiàng)為:當(dāng),即時(shí),項(xiàng)的系數(shù)為:本題正確選項(xiàng):2、(2024年高考北京)在的綻開式中,的系數(shù)為()A. B.5 C. D.10【答案】C【解析】綻開式的通項(xiàng)公式為:,令可得:,則的系數(shù)為:.故選:C.3、(2025屆山東省臨沂市高三上期末)的綻開式的中間項(xiàng)為()A.-40 B. C.40 D.【答案】B【解析】的綻開式的通項(xiàng)為則中間項(xiàng)為.故選:B.4、(2025屆山東省濰坊市高三上期中)綻開式中的系數(shù)為()A.-112 B.28 C.56 D.112【答案】D【解析】由.取,得.綻開式中的系數(shù)為.故選:D.5、(2024年高考全國Ⅲ卷理數(shù))(1+2x2)(1+x)4的綻開式中x3的系數(shù)為A.12 B.16 C.20 D.24【答案】A【解析】由題意得x3的系數(shù)為,故選A.6、(2024年高考全國Ⅰ卷理數(shù))的綻開式中x3y3的系數(shù)為()A.5 B.10 C.15 D.20【答案】C【解析】綻開式的通項(xiàng)公式為(且)所以的各項(xiàng)與綻開式的通項(xiàng)的乘積可表示為:和在中,令,可得:,該項(xiàng)中的系數(shù)為,在中,令,可得:,該項(xiàng)中的系數(shù)為所以的系數(shù)為故選:C.7、(2024·吉林省吉大附中高二月考)若的綻開式中含有常數(shù)項(xiàng),則的最小值等于()A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】由題意的綻開式的,令,得,當(dāng)時(shí),取到最小值5,故答案為C.8、(2025屆浙江省溫州市高三4月二模)若,則的值為()A. B. C. D.【答案】B【解析】綻開式的通項(xiàng)為:,故,,依據(jù)對(duì)稱性知:.故選:.9、(2024·河北衡水中學(xué)高三月考)已知二項(xiàng)式的綻開式中第2項(xiàng)與第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比是2︰5,則的系數(shù)為()A.14 B. C.240 D.【答案】C【解析】二項(xiàng)綻開式的第項(xiàng)的通項(xiàng)公式為由綻開式中第2項(xiàng)與第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比是2︰5,可得:.解得:.所以令,解得:,所以的系數(shù)為,故選C10、(2024·貴州省貴陽一中高三月考)在二項(xiàng)式的綻開式中,各項(xiàng)系數(shù)之和為,各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和為,且,則綻開式中常數(shù)項(xiàng)的值為()A.18 B.12 C.9 D.6【答案】C【解析】令,可得各項(xiàng)系數(shù)之和;各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和;而=,解得;所以,其通項(xiàng)=,令,可得綻開式中常數(shù)項(xiàng)為.故選C.多選題11、(2024·棗莊市第三中學(xué)高三月考)對(duì)隨意實(shí)數(shù)x,有.則下列結(jié)論成立的是()A.B.C.D.【答案】ACD【解析】對(duì)隨意實(shí)數(shù)x,有[﹣1+2(x﹣1)]9,∴a222=﹣144,故A正確;故令x=1,可得a0=﹣1,故B不正確;令x=2,可得a0+a1+a2+…+a9=1,故C正確;令x=0,可得a0﹣a1+a2+…﹣a9=﹣39,故D正確;故選:ACD.12、(2024·山東省日照試驗(yàn)高級(jí)中學(xué)高三月考)對(duì)于二項(xiàng)式,以下推斷正確的有()A.存在,綻開式中有常數(shù)項(xiàng);B.對(duì)隨意,綻開式中沒有常數(shù)項(xiàng);C.對(duì)隨意,綻開式中沒有的一次項(xiàng);D.存在,綻開式中有的一次項(xiàng).【答案】AD【解析】設(shè)二項(xiàng)式綻開式的通項(xiàng)公式為,則,不妨令,則時(shí),綻開式中有常數(shù)項(xiàng),故答案A正確,答案B錯(cuò)誤;令,則時(shí),綻開式中有的一次項(xiàng),故C答案錯(cuò)誤,D答案正確。故答案選AD13、對(duì)于二項(xiàng)式,以下推斷正確的有()A.對(duì)隨意,綻開式中有常數(shù)項(xiàng) B.存在,綻開式中有常數(shù)項(xiàng)C.對(duì)隨意,綻開式中沒有x的一次項(xiàng) D.存在,綻開式中有x的一次項(xiàng)【答案】BD【解析】綻開式的通項(xiàng)為:,取,得到,故當(dāng)是的倍數(shù)時(shí),有常數(shù)項(xiàng),故錯(cuò)誤正確;取,取,時(shí)成立,故錯(cuò)誤正確;故選:.14、(2024年徐州一中月考)對(duì)于的綻開式,下列說法正確的是()A.綻開式共有6項(xiàng) B.綻開式中的常數(shù)項(xiàng)是-240C.綻開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為1 D.綻開式中的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64【答案】CD【解析】的綻開式共有7項(xiàng),故A錯(cuò)誤;的通項(xiàng)為,令,綻開式中的常數(shù)項(xiàng)為,故B錯(cuò)誤;令,則綻開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為,故C正確;的綻開式中的二項(xiàng)式系數(shù)之和為,故D正確.故選:.
15、已知的綻開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為2,則下列結(jié)論正確的有()A.B.綻開式中常數(shù)項(xiàng)為160C.綻開式系數(shù)的肯定值的和1458D.若為偶數(shù),則綻開式中和的系數(shù)相等【答案】ACD【解析】對(duì)于A,令二項(xiàng)式中的為1得到綻開式的各項(xiàng)系數(shù)和為,,故A正確;對(duì)于B,,綻開式的通項(xiàng)為,當(dāng)綻開式是中常數(shù)項(xiàng)為:令,得可得綻開式中常數(shù)項(xiàng)為:,當(dāng)綻開式是中常數(shù)項(xiàng)為:令,得(舍去)故的綻開式中常數(shù)項(xiàng)為.故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,求其綻開式系數(shù)的肯定值的和與綻開式系數(shù)的肯定值的和相等,令,可得:綻開式系數(shù)的肯定值的和為:.故C正確;對(duì)于D,綻開式的通項(xiàng)為,當(dāng)為偶數(shù),保證綻開式中和的系數(shù)相等①和的系數(shù)相等,綻開式系數(shù)中系數(shù)為:綻開式系數(shù)中系數(shù)為:此時(shí)和的系數(shù)相等,②和的系數(shù)相等,綻開式系數(shù)中系數(shù)為:綻開式系數(shù)中系數(shù)為:此時(shí)和的系數(shù)相等,③和的系數(shù)相等,綻開式系數(shù)中系數(shù)為:綻開式系數(shù)中系數(shù)為:此時(shí)和的系數(shù)相等,故D正確;綜上所在,正確的是:ACD故選:ACD.16、對(duì)于二項(xiàng)式,以下推斷正確的有()A.存在,綻開式中有常數(shù)項(xiàng);B.對(duì)隨意,綻開式中沒有常數(shù)項(xiàng);C.對(duì)隨意,綻開式中沒有的一次項(xiàng);D.存在,綻開式中有的一次項(xiàng).【答案】AD【解析】設(shè)二項(xiàng)式綻開式的通項(xiàng)公式為,則,不妨令,則時(shí),綻開式中有常數(shù)項(xiàng),故答案A正確,答案B錯(cuò)誤;令,則時(shí),綻開式中有的一次項(xiàng),故C答案錯(cuò)誤,D答案正確。故答案選AD17、已知的綻開式中第5項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)數(shù)系數(shù)相等,且綻開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為1024,則下列說法正確的是()A.綻開式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為256B.綻開式中第6項(xiàng)的系數(shù)最大C.綻開式中存在常數(shù)項(xiàng)D.綻開式中含項(xiàng)的系數(shù)為45【答案】BCD【解析】由二項(xiàng)式的綻開式中第5項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)數(shù)系數(shù)相等可知,又綻開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為1024,即當(dāng)時(shí),,所以,所以二項(xiàng)式為,則二項(xiàng)式系數(shù)和為,則奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為,故A錯(cuò)誤;由可知綻開式共有11項(xiàng),中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,即第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,因?yàn)榕c的系數(shù)均為1,則該二項(xiàng)式綻開式的二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)相同,所以第6項(xiàng)的系數(shù)最大,故B正確;若綻開式中存在常數(shù)項(xiàng),由通項(xiàng)可得,解得,故C正確;由通項(xiàng)可得,解得,所以系數(shù)為,故D正確,故選:BCD填空題18、(2024年高考全國III卷理數(shù))的綻開式中常數(shù)項(xiàng)是__________(用數(shù)字作答).【答案】【解析】其二項(xiàng)式綻開通項(xiàng):當(dāng),解得的綻開式中常數(shù)項(xiàng)是:.故答案為:.(2025屆山東省日照市高三上期末聯(lián)考)二項(xiàng)式的綻開式中的常數(shù)項(xiàng)是_______.(用數(shù)字作答)【答案】60【解析】有題意可得,二項(xiàng)式綻開式的通項(xiàng)為:令可得,此時(shí).20、(2024·全國高三專題練習(xí)(理))在的綻開式中,含項(xiàng)的系數(shù)是_______.【答案】280【解析】的綻開式中:,取得到項(xiàng)的系數(shù)為故答案為:21、(2025屆山東省濰坊市高三上學(xué)期統(tǒng)考)在的綻開式中,只有第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,則綻開式中的常數(shù)項(xiàng)是.【答案】7【解析】本題考查二項(xiàng)式定理的學(xué)問,利用二項(xiàng)式的通項(xiàng)來解題.依據(jù)題意可得,,令,可得常數(shù)項(xiàng)為7.22、(2024年高考浙江卷理數(shù))在二項(xiàng)式的綻開式中,常數(shù)項(xiàng)是__________;系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)是__________.【答案】【解析】由題意,的通項(xiàng)為,當(dāng)時(shí),可得常數(shù)項(xiàng)為;若綻開式的系數(shù)為有理數(shù),則,有共5個(gè)項(xiàng).故答案為:,.23、(2025屆山東省德州市高三上期末)的綻開式中,常數(shù)項(xiàng)為______;系數(shù)最大的項(xiàng)是______.【答案】【解析】的綻開式的通項(xiàng)為,令,得,所以,綻開式中的常數(shù)項(xiàng)為;令,令,即,解得,,,因此,綻開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為.故答案為:;.24、(2024年高考浙江)二項(xiàng)綻開式,則_______,________.【答案】80;122【解析】的通項(xiàng)為,令,則,故;.故答案為:80;122.25、(2025屆浙江省嘉興市高三5月模擬)二項(xiàng)式的綻開式中,常數(shù)項(xiàng)為______,全部項(xiàng)的系數(shù)之和為______.【答案】416【解析】的綻開式的通項(xiàng),令,解得,則常數(shù)項(xiàng)為;二項(xiàng)式中,令,得到,則全部項(xiàng)的系數(shù)之和為16.故答案為:4;16.25、(2025屆浙江省紹興市高三4月一模)已知,則_____,_______.【答案】0665【解析】因?yàn)?,令可得?所以:;;;;……;;故.故答案為:0,665.27、(2025屆浙江省之江教化評(píng)價(jià)聯(lián)盟高三其次次聯(lián)考)已知多項(xiàng)式,則_________,_________.【答案】416.【解析】令,得,設(shè),則,則多項(xiàng)式等價(jià)為,則為一次項(xiàng)的系數(shù),則,故答案為:4,16.28、(2025屆浙江省“山水聯(lián)盟”高三下學(xué)期開學(xué))若二項(xiàng)式的綻開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為108,則________,有理項(xiàng)的個(gè)數(shù)為________.【答案】24【解析】中令可得,可得.中只有一項(xiàng)為有理項(xiàng),因此綻開式中有理項(xiàng)是4個(gè).故答案為:2;4.29、(2024·浙江溫州中學(xué)3月高考模擬)已知多項(xiàng)式滿意,則_________,__________.【答案】【解析】∵多項(xiàng)式滿意∴令,得,則∴∴該多項(xiàng)式的一次項(xiàng)系數(shù)為∴∴∴令,得故答案為5,72解答題30、(2024·湖北省江夏一中高二月考)已知二項(xiàng)式的綻開式中第2項(xiàng)與第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比是2:5,按要求完成以下問題:(1)求的值;(2)求綻開式中常數(shù)項(xiàng);(3)計(jì)算式子的值.【解析】(1)依題意,,即,解得;(2)由(1)知,∴,,由,得
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