廣東省2024-2025學(xué)年高三年級上冊第一次調(diào)研考試 數(shù)學(xué)試題（含答案）

★啟用前注意保密

廣東省2025屆普通高中畢業(yè)班第一次調(diào)研考試

數(shù)學(xué)

本試卷共4頁，考試用時120分鐘，滿分150分.

注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己所在的市（縣、區(qū)）、學(xué)校、班級、姓名、考場號和座位

號填寫在答題卡上，將條形碼橫貼在每張答題卡左上角“條形碼粘貼處”.

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用25鉛筆在答題卡上將對應(yīng)題目選項的答案信息點涂

黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答案不能答在試卷上.

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)

位置上：如需改動，先畫掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上

要求作答無效.

4.考生必須保證答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.設(shè)集合A={x[—2<%<2},3=何k—2|<2},則AU8=（）

A.(-2,2)B.(0,4)c.(0,2)D.(-2,4)

2.已知復(fù)數(shù)z滿足z+z=l+i,則z=()

1V2

A.-B.C.1D.6

22

3.已知函數(shù)/(%)滿足+占J=

1+x,貝1/(2)=()

3339

A.——B.一C.-D.一

4424

4.外接球半徑為后的正四面體的體積為()

160

A.——B.24C.32D.48A/2

3

5.設(shè)點P為圓(x—3)2+/=1上的一動點,點。為拋物線=4x上的一動點，則PQ的最小值為()

C.1師一29D.屈-2

A.1-—B.272-1

29

6.已知=lg(a*2+26+1)的值域為R,則實數(shù)a的取值范圍為()

A.(0,1)B.(0,1]C.[1,+<?)D.(-oo,0)|J(l,-H?)

P0Ozy

7.設(shè)a,/為銳角，且cos(a—/)=——,則。與/7的大小關(guān)系為()

cos/?

A.a=(3B.a>(3C.a<(3D.不確定

8.若a>b>0,且則l+工的取值范圍是()

ab

B.c.(1,3)D.(3,+00)

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.變量之間的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示，其經(jīng)驗回歸直線公=%+近經(jīng)過點(10,m)，且相對于點(11,5)的殘

差為0.2,則

X99.51010.511

y1110m65

A.m=8B.b=-2.8C.a=36D.殘差和為0

10.已知函數(shù)/(%)=28的%—以圮21(1￡區(qū))，貝!J()

A./(%)的值域是[—3,3]B./(%)的最小正周期是2兀

C./(%)關(guān)于x=E(左eZ)對稱D./(%)在j,7T上單調(diào)遞減

11.甲、乙、丙、丁四人共同參加4項體育比賽，每項比賽的第一名到第四名的得分依次為5分，3分，2分,

1分.比賽結(jié)束甲獲得16分為第一名，乙獲得14分為第二名，且沒有同分的情況.則()

A.第三名可能獲得10分

B.第四名可能獲得6分

C.第三名可能獲得某一項比賽的第一名

D.第四名可能在某一項比賽中拿到3分

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

AXX<0

12.已知函數(shù)/(x)=，一'過原點0(0,0)作曲線y=的切線，其切線方程為___________.

lux,x>0,

13.如圖是一個3x3的九宮格，小方格內(nèi)的坐標(biāo)表示向量，現(xiàn)不改變這些向量坐標(biāo)，重新調(diào)整位置，使得每

行、每列各三個向量的和為零向量，則不同的填法種數(shù)為

(-1,1)(0,1)（U）

(TO)（0,0）(1,0)

(-I)(I)

，九十1,〃八<3,

14.已知數(shù)列｛?｝滿足。計］二<4記｛%｝的前〃項和為5〃若％=1,則80二_____________；若

-j-,a>3,

I3

2*

%二§#wN,貝”35=?

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（13分）AA5c中，A,B,C所對的邊分別為已知》是a與。的等比中項，且sinA是sin（5—A）

與sinC的等差中項.

（1）證明：cosA=—；

b

（2）求cos3的值.

16.（15分）如圖，四邊形ABCD是圓柱0E的軸截面，點尸在底面圓。上，OA=BF=EAD=3,點、G

是線段5萬的中點，點H是8戶的中點.

（1）證明：EG〃平面ZMF；

（2）求點H到平面ZME的距離.

17.（15分）某學(xué)校有A,8兩家餐廳，王同學(xué)每天中午會在兩家餐廳中選擇一家用餐，如果前一天選擇了A餐

廳則后一天繼續(xù)選擇A餐廳的概率為:，前一天選擇5餐廳則后一天選擇A餐廳的概率為p,如此往復(fù).己

2I

知他第1天選擇A餐廳的概率為一，第2天選擇A餐廳的概率為-.

33

（1）求王同學(xué)第1?3天恰好有兩天在A餐廳用餐的概率;

（2）求王同學(xué)第天選擇A餐廳用餐的概率匕.

18.（17分）設(shè)直線乙：y=0x/2：y二一④%.點A和點B分別在直線4和4上運動，點"為AB的中點，

點。為坐標(biāo)原點，且函?赤=-1.

（1）求點M的軌跡方程:T；

（2）設(shè)/（七,%）,求當(dāng)|看|取得最小值時直線A5的方程；

（3）設(shè)點「卜6,0）關(guān)于直線A3的對稱點為Q,證明：直線過定點.

19.（17分）函數(shù)/（九）的定義域為R,若〃尤）滿足對任意.々eR,當(dāng)天-々e/時，都有

則稱/（%）是“連續(xù)的.

⑴請寫出一個函數(shù)“X）是｛1｝連續(xù)的，并判斷了（尤）是否是｛科連續(xù)的（〃eN*）,說明理由；

（2）證明：若/（%）是［2,3］連續(xù)的，則“X）是｛2｝連續(xù)且是｛3｝連續(xù)的；

（3）當(dāng)xe時，”耳=加+3區(qū)+1（其中。,匹2）,且/（%）是［2,3］連續(xù)的，求a,b的值.

廣東省2025屆普通高中畢業(yè)班第一次調(diào)研考試

數(shù)學(xué)參考答案

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

題號12345678

選項DCDABCAD

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

題號91011

選項ADBCDABD

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.x—ey=013.7214.99——學(xué)1+6左（前空2分，后空3分）

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.解：（1）由題，得sin（5-A）=sinBcosA-cosBsinA,

sinC=sin（兀一（4+5》=sin（B+A）=sinBcosA+cosBsinA,

因為sinA是sin（5—A）與sinC的等差中項，

A

所以2sinA=sin（5—A）+sinC=2sinBcosA,則cosA=----,

''sinB

八4八—一abZl=,sinAa

在AABC中，由正弦定理二—=-,得二---二一，

sinAsinBsinBb

因此cosA=g.

b

（2）在ZkABC中，由余弦定理得cosA=^—

2bc

,z.,.Cl.b2+02—a?（j922c

由（1）知cosA——,則-----------——，即Z?+c—Q—2〃c.

b2bcb

因為Z?是。與。的等比中項，所以Z?2=QC,從而QC+/一〃2=2〃c,即。2+砒一，=0,

“（a）a1八A,a—I+A/5_p.a—1—A/5八/冬+、

從而一+——1=0,解得一=-------或一=--------<0（舍去）

ycJcc2c2

〃。卜〃

2_/2+2_2_22a2_a_y/5-1

在ZWC中，由余弦定理得cosB=巴士——=----------------

2ac2ac2acc2

J5-I

因此cos5=e—

2

16.(1)證明：取A方的中點為M,連接MD,MG.

因為點”,G分別是E4和用的中點，所以MG〃AO,且MG=工/止=A。.

2

在圓柱0E的軸截面四邊形ABC。中，AO//DE,AO=DE.

所以MG〃DE,MG=DE,因此四邊形。EGW是平行四邊形.

所以EG〃/)又成?<2平面。4尸,￡)/欣(=平面加e，所以EG〃平面產(chǎn).

(2)解：由圓的性質(zhì)可知，連接OG延長必與圓。交于點H,連接因為OG〃A￡OGu平面

OEH,AFu平面ZMR,所以0G〃面ZM尸，又因為已證EG〃平面ZME,且EGn(9G=G,所以平面

ZMF〃平面OEH.

從而點H到平面DAF的距離即為點E到平面DAF的距離.

以。為坐標(biāo)原點，A5的中垂線為x軸，03為y軸，0E為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.

、

則E（O,O,3）,A（O,-AO）,D（O,-73,3）,與,0

7

/

M=（0,0,3）,AF=m￥,。、

所以通=(0,百,3),

7

n-AD=3z=0,

設(shè)為=(x,y,z)為平面IMF的法向量，則由<Wn=（V3-1,0）

y=0,

22

因此點E到平面DAF的距離d=即點H到平面DAF的距離為—

Ml—A/3+T—T'2

17.(15分)解：(1)設(shè)4="王同學(xué)第，天選擇A餐廳”[=1,2,3〉

p(A)=|,P(d)=；;P(4)=g,P(不)=g；p(&|4)=+p(4|4)=p.

由全概率公式,得P(4)=P(A)P(4|A)+P(A)P(4|A)=|x：+；xp=；,解得p=g.

設(shè)5=”王同學(xué)第1?3天恰好有兩天在A餐廳用餐”，則3=444+444+4.24，

34-4,324"34-212

(2)設(shè)4="王同學(xué)第九天選擇A餐廳”(〃eN*),則與=。(4),網(wǎng)工)=1—巴，

由題與⑴可得p(Aj4)=}p(D=g.

由全概率公式，得匕M=p(4M)=p(4)p(Aj4)+P(&)p(D=N+g(i-q)=-N+j

21，2、24

則只彳，又因為6—N=RWO,

JI\J7JL

所以1匕-2]是以首項為百，公比為-工的等比數(shù)列.

I"5]154

2424

因此月_1=百x,即月=—+—x

"515

18.解:⑴設(shè)人(司,必),5(%2，%)，河(工，丁)，貝！IX=—及為2，

x+x2x+\/2y

X=12

2，2-'

所以，從而＜

H+%2x--Jly

y=

22

因為。4?08=-1,所以+X,2=X\X2-2項尤2=一尤1%2=-1，即=1?

則…"I,化簡得一L

所以點〃的軌跡方程為爐-工=1.

2

(2)由(1)得其=1+年21,則%|的最小值為1，此時/=1或%=-1，

即"(1,0)或/(—1,0).

當(dāng)以(1,0)時，可得西=1,々=1,從而直線A3的方程為％=1；

當(dāng)Af(—1,0)時，同理可得直線AB的方程為x=—l.

(3)設(shè)/(%,%),由(2)知，

當(dāng)以(1,0)時，直線AB:x=l,得Q(2+G,0),直線MQ:y=0；

當(dāng)〃(—1,0)時，直線AB:x=—1,得以—2+6,0),直線MQ:y=0.

當(dāng)〃(%,%)是其他點時，直線A3的斜率存在，且3江1AM?+')=史2x0=注

X1~X2X1~X212%%

則直線AB的方程為y—%=2%(x—/)，注意到"—￡=1，化簡得AB:2%%——2=0.

-y—0J.=]

設(shè)w,y')'則由1；+。2。解得

2/x--------------2=0，

y0(y/3x0-l]+2y0vv

又"(/，％)，所以左“2=-^―-----不='°0，從而M0：y-〉o=.0右(_一/)

x0y\13x0—ij—x0—v3x。-X0-A/3

令x=，得y=0，因此直線MQ過定點T(省,0).

19.解：(1)/(x)=x是｛1｝連續(xù)的，也是｛博連續(xù)的.理由如下：

由/_%2=1，有/(玉)_/(&)=/_兀2=1，

同理當(dāng)苞_%=〃，有/(玉)_/(/)=玉_X2=”，

所以〃尤)=%是｛1｝連續(xù)的，也是｛科連續(xù)的.

(2)因為