專題15-2022年北京高考數(shù)學(xué)滿分限時題集

專題15大題限時練151．在中，，再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求：（Ⅰ）的值；（Ⅱ）的面積．條件①：，；條件②：，為等腰三角形．【答案】見解析【詳解】選條件①：（Ⅰ）由余弦定理知，，即，化簡得，解得或（舍，，且，，由正弦定理知，，即，．（Ⅱ）的面積．選條件②：（Ⅰ），且為等腰三角形，，，，，而，且，．（Ⅱ），且，，的面積．2．如圖，長方體中，，，點為的中點．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求證：平面；（Ⅲ）求二面角的余弦值．【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）【詳解】（Ⅰ）證明：連接交于，連接、，因為、分別為、中點，所以，又因為平面，平面，所以平面；（Ⅱ）證明：在長方體中，，，點為的中點．所以，，，所以，于是，因為，，所以平面，又因為平面，所以，即，又因為，平面，平面，所以平面；（Ⅲ）解：因為二面角與二面角互補，取中點，連接、，因為，所以，因為，所以，所以為二面角的平面角，其余弦值為，故二面角的余弦值為．3．第二十四屆冬季奧林匹克運動會將于2022年在北京市和張家口舉行．為了調(diào)查學(xué)生對冬奧會知識的了解情況，某校對高一、高二年級全體學(xué)生進行了相關(guān)知識測試，然后從高一、高二各隨機抽取了20名學(xué)生成績（百分制），并對數(shù)據(jù)（成績）進行了整理、描述和分析．下面給出了整理的相關(guān)信息：高一年級成績分布表成績（分數(shù)），，，，，人數(shù)123410（Ⅰ）從高一和高二樣本中各抽取一人，這兩個人成績都不低于90分的概率是多少？（Ⅱ）分別從高一全體學(xué)生中抽取一人，從高二全體學(xué)生中抽取2人，這三人中成績不低于90分的人數(shù)記為，用頻率估計概率，求的分布列和期望？（Ⅲ）若按照得分從高到低分為、、、、，學(xué)校為提高對冬奧會知識的了解情況需要在高一或高二進行一場講座，假設(shè)講座能夠使學(xué)生成績普遍提高一個級別，若高一高二學(xué)生數(shù)量一致，那么若要想高一和高二學(xué)生的平均分盡可能的高，需要在高一講座還是高二講座？【答案】見解析【詳解】（Ⅰ）設(shè)從高一樣本中抽取一人成績不低于90分為事件，從高二抽取一人成績不低于90分為事件；兩人成績都不低于90分的概率為：；（Ⅱ）由題意可知從高一年級中抽取一人此人成績不低于90分的概率為；從高二年級中抽取一人此人成績不低于90分的概率為；的可取值為0，1，2，3，，，，，的分布列如下表0123所以．（Ⅲ）需要在高二講座．4．已知函數(shù)．（Ⅰ）若，求曲線在點，處的切線方程；（Ⅱ）若，求證：當(dāng)時，；（Ⅲ）若對任意的實數(shù)，恒成立，求的最大值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）【詳解】（Ⅰ）當(dāng)時，，則，，又，切線方程為；（Ⅱ）證明：（證法當(dāng)時，，當(dāng)時，設(shè)．則當(dāng)時，，單調(diào)遞增，注意到，當(dāng)時，，結(jié)論成立．當(dāng)時，；（證法當(dāng)時，，．則，；令，解得．當(dāng)，；當(dāng)時，．故是的極小值點，．注意到，（1）．當(dāng)，，同時；當(dāng)，；（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，當(dāng)時，在上恒成立；當(dāng)時，不可能恒成立，，，等價于等價于；設(shè)，則令，解得，．由于題目探尋的最大值，我們先來研究的情形：當(dāng)變化時，與的變化情況如下表所示：100極小值極大值由于，要使恒成立，只需（1）即可；，，的最大值不可能在取到，對任意的實數(shù)，恒成立，的最大值是．5．已知橢圓．（Ⅰ）求橢圓的離心率；（Ⅱ）經(jīng)過原點的直線與橢圓交于，兩點，直線與直線垂直，且與橢圓的另一個交點為．（ⅰ）當(dāng)點為橢圓的右頂點時，求證：為等腰三角形；（ⅱ）當(dāng)點不是橢圓的頂點時，求直線和直線的斜率之比．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（?。┮娊馕?；（ⅱ）6【詳解】（Ⅰ）因為橢圓方程，所以，所以．所以離心率．（Ⅱ）（?。┰O(shè)，由題設(shè)知，．因為，所以點，在以線段為直徑的圓上，所以有．又，解得（舍．所以，所以，又所以，即為等腰三角形．（ⅱ）設(shè)，，且．記直線，，率分別為，，，所以，因為，所以．又，因為，所以．所以．所以，即直線和直線的斜率之比為6，因為點不是橢圓的頂點，所以直線，，的斜率都存在且不為0，設(shè)直線的方程為，由得，由△，所以．設(shè)，，，，的中點，．因為，所以，，因為，所以，又因為，所以．所認．6．對于給定的區(qū)間，和非負數(shù)列，，，，若存在，，，，使，，2，，成立，其中，，，1，，，則稱數(shù)列可“嵌入”區(qū)間，．（Ⅰ）分別指出下列數(shù)列是否可“嵌入”區(qū)間，；①，3；②，0，1．（Ⅱ）已知數(shù)列滿足，2，，，若數(shù)列可“嵌入”區(qū)間，，求數(shù)列的項數(shù)的最大值；（Ⅲ）求證：任取數(shù)列，，，滿足，，2，，，均可以“嵌入”區(qū)間，．【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）見解析【詳解】（Ⅰ）①，3，由定義可得，，對顯然不存在，故不可以“嵌入”區(qū)間，；②，0，1，由，即存在或1，所以可以“嵌入”區(qū)間，