期中考測(cè)試卷（三角函數(shù)平面向量復(fù)數(shù)）-2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)題型歸納與解題策略(人教A版2019)

期中考測(cè)試卷（三）范圍：三角函數(shù)、平面向量、復(fù)數(shù)說明：1．本試題共4頁，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。2．答題前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名、試室號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卷上。3.答題必須使用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卷上各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無效。4．考生必須保持答題卷整潔，考試結(jié)束后，將答題卷交回，試卷自己保存。第I卷(選擇題共60分)一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.）1．（2023秋·廣東汕頭·高一統(tǒng)考期末）下列四個(gè)函數(shù)中，以為最小正周期，且在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】逐個(gè)分析各選項(xiàng)中函數(shù)的最小正周期以及各函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，即可得出結(jié)論.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，函數(shù)的最小正周期為，且該函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；對(duì)于B選項(xiàng)，函數(shù)的最小正周期為，當(dāng)時(shí)，，則該函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)；對(duì)于C選項(xiàng)，函數(shù)的最小正周期為，當(dāng)時(shí)，，則該函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；對(duì)于D選項(xiàng)，函數(shù)的最小正周期為，且該函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)周期和單調(diào)性的判斷，熟悉正弦、余弦和正切函數(shù)的基本性質(zhì)是判斷的關(guān)鍵，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題.2．（2023秋·廣東汕頭·高三統(tǒng)考期末）已知向量，，若，則實(shí)數(shù)（

）A．1 B． C． D．2【答案】A【分析】根據(jù)向量線性運(yùn)算得到，利用向量垂直得到方程，求出.【詳解】由題意得，∵，∴，解得：．故選：A．3．（2022春·廣東茂名·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）若，則（

）A．3 B．2 C．0 D．【答案】D【分析】由復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算及復(fù)數(shù)的相等可求解.【詳解】，再根據(jù)復(fù)數(shù)的相等，有，解得，所以.故選：D4．（2022·廣東佛山·統(tǒng)考三模）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)二倍角公式展開，結(jié)合齊次式化簡(jiǎn)方法，整理計(jì)算，即可得答案.【詳解】.故選：B5．（2023秋·廣東梅州·高二蕉嶺縣蕉嶺中學(xué)?？奸_學(xué)考試）在等邊中，點(diǎn)E在中線上，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用向量的加、減以及數(shù)乘運(yùn)算即可求解.【詳解】因?yàn)?，，所?故選：A6．（2023·陜西榆林·?？寄M預(yù)測(cè)）已知向量，滿足，，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由向量的數(shù)量積與模的關(guān)系消元化簡(jiǎn)計(jì)算即可.【詳解】設(shè)向量，的夾角為，則，易知，即所以，所以，即.故選：D.7．（2023·廣東·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知向量，滿足，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由數(shù)量積運(yùn)算律及向量夾角公式可得，后可得.【詳解】由題可知，，所以，，則為銳角，得，則.故選：D8．（2022春·廣東·高二校聯(lián)考期末）函數(shù)具有性質(zhì)（

）A．最大值為2，圖象關(guān)于對(duì)稱 B．最大值為，圖象關(guān)于對(duì)稱C．最大值為2，圖象關(guān)于直線對(duì)稱 D．最大值為，圖象關(guān)于直線對(duì)稱【答案】D【分析】根據(jù)輔助角公式將函數(shù)化簡(jiǎn)為，然后代入驗(yàn)證是否是對(duì)稱軸和對(duì)稱中心即可.【詳解】，故最大值為;當(dāng)時(shí)，，故圖象關(guān)于直線對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，故不是函數(shù)的對(duì)稱中心，故選：D二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9．（2022春·廣東韶關(guān)·高一統(tǒng)考期末）已知i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z滿足，是復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)，則（

）A．z的虛部是 B．C． D．復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限【答案】ACD【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念判定A正確，根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念判斷B錯(cuò)誤，根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式判斷C正確，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義判斷D正確.【詳解】原式化簡(jiǎn)得，虛部為，A對(duì)；，B錯(cuò)；，C對(duì)；z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第一象限，D對(duì)，故選：ACD.10．（2022秋·廣東東莞·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，若且對(duì)任意都有，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．的圖象向左平移個(gè)單位后，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱D．的圖象向右平移個(gè)單位后，圖象關(guān)于軸對(duì)稱【答案】BD【分析】先根據(jù)條件求得b值，根據(jù)可知為函數(shù)最大值，據(jù)此列出關(guān)于a的方程，求出a值，得到函數(shù)f(x)的解析式，結(jié)合輔助角公式和誘導(dǎo)公式，可判斷A、B的正誤，再根據(jù)三角函數(shù)圖象的變換規(guī)律，可判斷B、D的正誤.【詳解】，，又對(duì)任意都有，則為的最大值，，整理得：，則，所以，因此A選項(xiàng)錯(cuò)誤，B正確；的圖象向左平移個(gè)單位后得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為：，該函數(shù)圖象不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故C錯(cuò)誤；的圖象向右平移個(gè)單位后，得到函數(shù)的圖象，該圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故D正確，故選：BD11．（2023·廣東梅州·統(tǒng)考一模）函數(shù)（，）的部分圖像如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱C．函數(shù)在單調(diào)遞減D．函數(shù)是偶函數(shù)【答案】AB【分析】根據(jù)函數(shù)圖象可得最小正周期為可求得；利用檢驗(yàn)法代入可知是函數(shù)的一條對(duì)稱軸；根據(jù)整體代換法可求得函數(shù)在不是單調(diào)遞減的；利用函數(shù)奇偶性定義可得是奇函數(shù)；即可得到正確選項(xiàng).【詳解】根據(jù)函數(shù)圖象可得，即函數(shù)的最小正周期為，可得，即A正確；又因?yàn)楹瘮?shù)圖象過，所以，可得，又可得，所以；將代入可得，所以為函數(shù)的一條對(duì)稱軸，即B正確；當(dāng)時(shí)，，根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)性可得函數(shù)在上先減后增，所以C錯(cuò)誤；易得是奇函數(shù)，即D錯(cuò)誤.故選：AB12．（2022春·廣東汕頭·高一統(tǒng)考期末）已知向量，，則下列結(jié)論正確的是（

）.A．若，則B．若，則C．若取得最大值，則D．的最大值為【答案】BCD【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合同角三角函數(shù)的關(guān)系，可判斷A的正誤；根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合同角三角函數(shù)的關(guān)系，可判斷B的正誤；根據(jù)數(shù)量積公式、輔助角公式、誘導(dǎo)公式，化簡(jiǎn)整理，即可判斷C的正誤；根據(jù)求模公式、輔助角公式，化簡(jiǎn)整理，可判斷D的正誤，即可得答案.【詳解】對(duì)于A：若，則，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：若，則，所以，故B正確；對(duì)于C：，其中，當(dāng)取得最大值時(shí)，則，所以，故C正確；對(duì)于D：，所以，其中，當(dāng)時(shí)，，故D正確故選：BCD第Ⅱ卷(非選擇題共90分)三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13．（2023秋·廣東汕頭·高一統(tǒng)考期末）若，則______．【答案】【分析】利用整體代換及三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式即可求解.【詳解】由，得，所以.由，得，所以，所以.故答案為：.14．（2023秋·廣東深圳·高二深圳市南山區(qū)華僑城中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)是空間兩個(gè)不共線的向量，已知，，且A，B，D三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)k＝___．【答案】1【分析】由列方程組，由此求得的值.【詳解】∵A，B，D三點(diǎn)共線，∴向量和共線，故存在實(shí)數(shù)λ，使，，所以故可得，解得.故答案為：115．（2022·廣東·高三?？茧A段練習(xí)）已知中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.若，，則___________.【答案】##0.75【分析】利用正弦定理、三角變換公式可得及，故可得，消元后可得的值.【詳解】由正弦定理可得，故，故，整理得到，而，故，所以，故，解得或，若，則，故同為鈍角，這與矛盾，故.故答案為：.16．（2022秋·廣東廣州·高三?？茧A段練習(xí)）如圖，已知扇形的半徑為，以為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，，，則的中點(diǎn)的坐標(biāo)為__________.【答案】【分析】根據(jù)三角函數(shù)定義、二倍角公式、同角三角函數(shù)關(guān)系可求得，由此可求得點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】由三角函數(shù)定義得：，，，，，，點(diǎn)坐標(biāo)為.故答案為：.解答題（本題共6個(gè)小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．（2022春·廣東深圳·高一深圳中學(xué)?？计谥校┮阎獮殇J角，．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)；(2)1.【分析】（1）由二倍角的余弦公式，結(jié)合正余弦齊次式法計(jì)算作答.（2）由同角公式求出，再利用差角的正切公式計(jì)算作答.【詳解】（1）因，所以.（2）因?yàn)殇J角，則，而，則，于是得，所以.18．（2022春·廣東梅州·高一統(tǒng)考期末）已知復(fù)數(shù)，i是虛數(shù)單位）．(1)若是純虛數(shù)，求m的值和；(2)設(shè)是z的共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，求m的取值范圍．【答案】(1)，；(2).【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再根據(jù)純虛數(shù)的實(shí)部為，虛部不為求出的值，進(jìn)而求出復(fù)數(shù)的模；（2）首先根據(jù)第（1）問求出，然后根據(jù)復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第二象限，則實(shí)部小于，虛部大于，解不等式組求出的取值范圍.【詳解】（1）依題意得，，若是純虛數(shù)，則，解得，，.（2）由（1）知，，，，復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，，解得，即.19．（2022秋·廣東廣州·高二廣州市第二中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值.【答案】(1)(2)最大值為，最小值為【分析】（1）由三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)為，由整體法求單調(diào)遞減區(qū)間即可；（2）由整體法求得函數(shù)值域，即可得最值.【詳解】（1），令，解得，故的單調(diào)遞減區(qū)間為.（2），則，故.故函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為.20．（2022秋·廣東東莞·高三校考階段練習(xí)）設(shè)內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.(1)求角的大??；(2)若，且___________，求的周長(zhǎng).請(qǐng)?jiān)谙铝腥齻€(gè)條件中，選擇其中的一個(gè)條件補(bǔ)充到上面的橫線中，并完成作答.①的面積為；②；③.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，那么按第一解答計(jì)分.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，再由兩角和的正弦公式及誘導(dǎo)公式計(jì)算可得；（2）若選①，②，③均可得，進(jìn)而由余弦定理可得的值，可求周長(zhǎng)．【詳解】（1）解：因?yàn)?，由正弦定理可得，所以，在中，，所以，因?yàn)?，所以；?）解：若選①，因?yàn)榈拿娣e為，所以，所以.若選②，因?yàn)?，所以，所?若選③，由正弦定理，所以，，因?yàn)?所以，由余弦定理得：，即，所以，則或（舍去），所以的周長(zhǎng)為.21．（2023秋·廣東梅州·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)f（x）＝2sin（3ωx），其中ω＞0．（1）若f（x+θ）是最小周期為2π的偶函數(shù)，求ω和θ的值；（2）若f（x）在（0，]上是增函數(shù)，求ω的最大值．【答案】（1）ω，θ＝kπ，k∈Z．（2）最大值為．【解析】（1）先求得的表達(dá)式，根據(jù)的最小正周期和奇偶性，求得的值，（2）先有，求得，由求得的最大值.【詳解】（1）由f（x）＝2sin（3ωx），其中ω＞0，∴f（x+θ）＝2sin（3ωx+3ωθ），∵f（x+θ）是最小周期為2π的偶函數(shù)，∴2π，∴ω，∵3ωθkπ，k∈Z，即θ＝kπ，k∈Z．綜上可得，ω，θ＝kπ，k∈Z．（2）（x）＝2sin（3ωx）在（0，]上是增函數(shù)，在（0，]上，3ωx∈（，ωπ]，∴ωπ，∴ω，即ω的最大值為．【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)三角函數(shù)的周期性和奇偶性求參數(shù)值，考查根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍，屬于中檔題.22．（2022秋·廣東·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知向量．(1)當(dāng)時(shí)，求的值；