河北省張家口市尚義縣2024−2025學(xué)年高二上學(xué)期10月階段測(cè)試 數(shù)學(xué)試卷含答案

河北省張家口市尚義縣2024?2025學(xué)年高二上學(xué)期10月階段測(cè)試數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共2小題）1．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)是（

）A． B．C． D．2．已知，且與共線，則的坐標(biāo)是（

）A． B．C． D．二、多選題（本大題共1小題）3．一組樣本數(shù)據(jù)為6，11，12，16，17，19，31，則錯(cuò)誤的選項(xiàng)為（

）A．該組數(shù)據(jù)的極差為25B．該組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為17C．該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為16D．若該組數(shù)據(jù)去掉一個(gè)數(shù)得到一組新數(shù)據(jù)，則這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)可能相等三、單選題（本大題共5小題）4．在三棱柱中，（

）A． B． C． D．5．若空間中有三點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為（

）A． B． C． D．6．已知點(diǎn)，又點(diǎn)在平面內(nèi)，則的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．47．如圖，二面角等于是棱上兩點(diǎn)，分別在半平面內(nèi)，，且，則CD的長(zhǎng)等于（

）

A． B． C． D．8．已知四棱錐平面BCDE，底面EBCD是為直角，的直角梯形，如圖所示，且，點(diǎn)為AD的中點(diǎn)，則到直線BC的距離為（

）A． B． C． D．四、多選題（本大題共3小題）9．下列利用方向向量、法向量判斷直線、平面位置關(guān)系的結(jié)論中，正確的是（

）A．若兩個(gè)不重合的平面法向量平行，則這兩個(gè)平面平行B．若兩直線的方向向量不平行，則兩直線不平行C．兩條不重合直線的方向向量分別是，則D．直線的方向向量，平面的法向量是，則10．下列說法正確的是（

）A．向量與向量共面B．若與共面，則，使得C．若是空間的一個(gè)基底，則能構(gòu)成空間一個(gè)基底D．若，則共面，反之不正確11．棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)在棱CD上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在側(cè)面上運(yùn)動(dòng)，滿足平面，則（

）A．點(diǎn)在側(cè)面對(duì)角線上 B．點(diǎn)在側(cè)面對(duì)角線上C．線段PQ的最小值為 D．線段PQ的最小值為五、填空題（本大題共3小題）12．已知平面的一個(gè)法向量為，點(diǎn)是平面上的一點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為.13．如圖，兩個(gè)開關(guān)串聯(lián)再與開關(guān)并聯(lián)，在某段時(shí)間內(nèi)每個(gè)開關(guān)能夠閉合的概率都是能夠閉合的概率為0.7，計(jì)算在這段時(shí)間內(nèi)線路正常工作的概率為.

14．空間直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點(diǎn)且法向量為的平面方程為，經(jīng)過點(diǎn)且一個(gè)方向向量為的直線的方程為，閱讀上面的材料并解決下面問題：現(xiàn)給出平面的方程為，經(jīng)過的直線的方程為，則當(dāng)變化時(shí)，直線與平面所成角的正弦值最大時(shí)，平面的方程為.六、解答題（本大題共5小題）15．在第29個(gè)“世界讀書日”到來之際，樹人中學(xué)舉辦了讀書知識(shí)競(jìng)賽，現(xiàn)從參加競(jìng)賽的同學(xué)中，選取100名同學(xué)并將其成績(jī)(百分制，均為整數(shù))分成六組:第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，第6組90,100，得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求a的值，并估計(jì)這100名學(xué)生成績(jī)的第85百分位數(shù)（保留一位小數(shù)）；(2)若先用分層抽樣方法從得分在和的學(xué)生中抽取5人，然后再從抽出的5人中任意選取2人，調(diào)查其讀書情況，求此2人得分不在同一組的概率.16．如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)棱AP的長(zhǎng)為2，且與的夾角都等于在棱PD上，，設(shè)，.

(1)試用表示向量；(2)求與的夾角.17．如圖，在長(zhǎng)方體中，.

(1)證明：平面；(2)求到平面的距離.18．如圖1，等腰中，底分別為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，將沿折起到的位置，使得平面平面，如圖2.(1)求證：平面；(2)為線段上靠近的三等分點(diǎn)，求平面與平面夾角的余弦值.19．如圖，已知四棱臺(tái)的上、下底面分別是邊長(zhǎng)為2和4的正方形，，且底面，點(diǎn)P、Q分別是棱的中點(diǎn).(1)在底面內(nèi)是否存在點(diǎn)，滿足平面?若存在，請(qǐng)說明點(diǎn)的位置，若不存在，請(qǐng)說明理由；(2)設(shè)平面交棱于點(diǎn)T，平面將四棱臺(tái)分成上，下兩部分，求與平面所成角的正弦值.

參考答案1．【答案】C【詳解】在空間直角坐標(biāo)系中，關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)的特征為坐標(biāo)不變，取相反數(shù)，因?yàn)辄c(diǎn)的坐標(biāo)為，所以點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)是.故選：C.2．【答案】B【詳解】因?yàn)?，且與共線，所以，解得，所以.故選：B.3．【答案】ACD【詳解】對(duì)于A，根據(jù)極差定義，該組數(shù)據(jù)的極差為，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)椋栽摻M數(shù)據(jù)的分位數(shù)為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，故C正確；對(duì)于D，若該組數(shù)據(jù)去掉得到一組新數(shù)據(jù)，則新數(shù)據(jù)6，11，12，17，19，31的平均數(shù)為，所以這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等，故D正確.故選：ACD.4．【答案】C【詳解】如圖所示根據(jù)題意知又因三棱柱，所以可知平面都是矩形，則，所以，根據(jù)向量的平行四邊形法則可得故選：C5．【答案】D【詳解】，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由得，令得，所以，則點(diǎn)到平面的距離為.故選：D.6．【答案】C【詳解】，，由于，所以三點(diǎn)不共線，可得，即可得，解得.故選：C.7．【答案】A【詳解】由二面角的平面角的定義知向量，所以，得，由得，因?yàn)?，所以，可?故選：A.8．【答案】A【詳解】由題意知，平面，平面，所以，又，故以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，得所以，，記，則，所以F到直線BC的距離為.故選：A9．【答案】ABC【詳解】解：對(duì)于A，因?yàn)閮蓚€(gè)不重合的平面法向量平行，則其中一個(gè)平面的法向量也垂直于另一個(gè)平面，即可得一平面的法向量垂直于兩個(gè)不同平面，所以這兩個(gè)平面平行，故正確；對(duì)于B，因?yàn)閮芍本€的方向向量不平行，所以這兩直線不平行，故正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，所以，故正確；對(duì)于D，因?yàn)椋?，所以，所以，所以或，故錯(cuò)誤.故選：ABC.10．【答案】AB【詳解】對(duì)于A，令，則，解得，可得，故A正確；對(duì)于B，若與共面，則，使得，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)槭强臻g的一個(gè)基底，所以不共面，假設(shè)共面，則存在實(shí)數(shù)，使得，即，解得，所以假設(shè)成立，所以不能構(gòu)成空間一個(gè)基底，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，則共面，反之也正確，故D錯(cuò)誤.故選：AB.11．【答案】BD【詳解】如圖建立以為坐標(biāo)原點(diǎn)空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則，所以因?yàn)槠矫?，所以，可得，由可知點(diǎn)在側(cè)面對(duì)角線上，故A錯(cuò)誤，B正確；，可得，所以，故當(dāng)時(shí)，，故D正確.故選：BD.12．【答案】【詳解】由題意可知，根據(jù)點(diǎn)到平面的距離為.故答案為：13．【答案】0.775/【詳解】由題意，開關(guān)在某段時(shí)間均正常工作的概率，開關(guān)在某段時(shí)間正常工作的概率，這段時(shí)間內(nèi)線路正常工作的概率為：.故答案為：0.775.14．【答案】【詳解】由題設(shè)知：平面的法向量，直線的方向向量，且平面與直線相交于，所以直線與平面所成角的正弦值為，對(duì)于二次函數(shù)，其是圖象一條開口向上的拋物線，對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取到最小值，且最小值為，此時(shí)直線l與平面α所成角的正弦值取到最大值，最大值為，對(duì)應(yīng)平面的方程為.故答案為：.15．【答案】(1)，(2)【詳解】（1）由頻率分布直方圖可得：，解得；因?yàn)槌煽?jī)?cè)诘念l率為，所以，第百分位數(shù)位于，設(shè)其為，則，解得，所以，第百分位數(shù)約為.（2）由頻率分布直方圖可知：得分在和內(nèi)的頻率分別為0.04和0.06，采用分層抽樣知，抽取的5人，在內(nèi)的人數(shù)為2人，在內(nèi)的人數(shù)為3人，設(shè)分?jǐn)?shù)在[40，50)內(nèi)的2人為，分?jǐn)?shù)在[50，60)內(nèi)的3人為，則在這5人中抽取2人的情況有：，，，，，，，，，，共有10種情況，其中得分不在同一組的2人有：，，，，，，有6種情況，所以概率為.16．【答案】(1)(2)【詳解】（1）；（2）因?yàn)?，，，所以，所以，因?yàn)椋耘c的夾角為.17．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）在長(zhǎng)方體中，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則，所以，，所以，又因，平面，平面，所以平面；（2）設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，到平面的距離為，由，所以，令，可求得則，所以.18．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面；?）如圖，由（1）知平面，取的中點(diǎn)，連接，則，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，所以，可得，，由得，則，設(shè)n=x,y,z為平面則，即，令，則，所以，為平面的一個(gè)法向量，所以，由圖可得平面與平面夾角的余弦值為.19．【答案】(1)存在點(diǎn)(2)【詳解