河南省鄭州市2024−2025學(xué)年高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試卷含答案

河南省鄭州市2024?2025學(xué)年高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．若直線的一個(gè)方向向量為，則它的傾斜角為（

）A． B． C． D．2．圓心為，且與軸相切的圓的方程是（

）A． B．C． D．3．已知，若不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則（

）A．3 B．1 C．5 D．74．我們把平面內(nèi)與直線垂直的非零向量稱為直線的法向量，在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)的直線的一個(gè)法向量為，則直線的點(diǎn)法式方程為：，化簡(jiǎn)得.類比以上做法，在空間直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點(diǎn)的平面的一個(gè)法向量為，則該平面的方程為（

）A． B．C． D．5．臺(tái)風(fēng)中心從M地以每小時(shí)30km的速度向西北方向移動(dòng)，離臺(tái)風(fēng)中心內(nèi)的地區(qū)為危險(xiǎn)地區(qū)，城市N在M地正西方向60km處，則城市N處于危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)的時(shí)長(zhǎng)為（

）A．1h B． C．2h D．6．如圖，平面平面，四邊形為正方形，四邊形為菱形，，則直線所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．7．直線與曲線恰有1個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．或8．在正三棱柱中，，，，為棱上的動(dòng)點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，且，則線段長(zhǎng)度的最小值為（

）A．2 B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．以下四個(gè)命題為真命題的是（

）A．過點(diǎn)且在軸上的截距是在軸上截距的4倍的直線的方程為B．直線的傾斜角的范圍是C．已知，，則邊的中垂線所在的直線的方程為D．直線關(guān)于對(duì)稱的直線方程為10．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》中有這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)的距離的比為常數(shù)（且）的點(diǎn)的軌跡為圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓，已知，，圓上有且只有一個(gè)點(diǎn)滿足，則的取值可以是（

）A．1 B．4 C．3 D．511．已知正方體的棱長(zhǎng)為3，E，F(xiàn)分別為棱上的動(dòng)點(diǎn).若直線與平面所成角為，則下列說法正確的是（

）A．任意點(diǎn)E，F(xiàn)，二面角的大小為B．任意點(diǎn)E，F(xiàn)，點(diǎn)C到面的距離為32C．存在點(diǎn)E，F(xiàn)，使得直線與AD所成角為D．存在點(diǎn)E，F(xiàn)，使得線段長(zhǎng)度為三、填空題（本大題共3小題）12．已知點(diǎn)到直線和直線的距離相等，則．13．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)分別是棱上的動(dòng)點(diǎn).若異面直線互相垂直，則.14．已知實(shí)數(shù)滿足，，，則的最大值為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知的頂點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，且.(1)求的值；(2)求邊上的中線所在直線的方程.16．如圖，在直四棱柱中，底面四邊形為梯形，，，，.

(1)證明：；(2)若，求點(diǎn)B到平面的距離.17．已知圓，直線．(1)若直線l與圓O相切，求m的值；(2)當(dāng)時(shí)，已知P為直線l上的動(dòng)點(diǎn)，過P作圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，當(dāng)切線長(zhǎng)最短時(shí)，求弦所在直線的方程．18．在四棱錐中，平面，，，，，是的中點(diǎn)，在線段上，且滿足.(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)在線段上是否存在點(diǎn)，使得與平面所成角的正弦值是，若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由.19．一個(gè)幾何系統(tǒng)的“區(qū)徑”是指幾何系統(tǒng)中的兩個(gè)點(diǎn)距離的最大值，如圓的區(qū)徑即為它的直徑長(zhǎng)度.(1)已知為直角邊為1的等腰直角三角形，其中，求分別以三邊為直徑的三個(gè)圓構(gòu)成的幾何系統(tǒng)的區(qū)徑；(2)已知正方體的棱長(zhǎng)為2，求正方體的棱切球（與各棱相切的球）和外接圓構(gòu)成的幾何系統(tǒng)的區(qū)徑；(3)已知正方體的棱長(zhǎng)為2，求正方形內(nèi)切圓和正方形內(nèi)切圓構(gòu)成的幾何系統(tǒng)的區(qū)徑.

參考答案1．【答案】B【詳解】因?yàn)橹本€的一個(gè)方向向量為，所以直線的斜率，故直線的傾斜角為．故選：B．2．【答案】C【詳解】由題意，圓心坐標(biāo)為，可知AB錯(cuò)誤；設(shè)圓心半徑為，且圓心到軸的距離為，則由圓與軸相切可得，故圓的方程為：.故選：C.3．【答案】B【分析】直接利用基底的定義和共面向量求出結(jié)果.【詳解】∵不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，共面，存在，使，即，解得.故選.4．【答案】B【詳解】根據(jù)題意進(jìn)行類比，在空間任取一點(diǎn)，則，平面的法向量為，，所以該平面的方程為.故選：B.5．【答案】C【詳解】如圖所示，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，則，以為圓心，為半徑作圓，則圓的方程為，當(dāng)臺(tái)風(fēng)進(jìn)入圓內(nèi)，則城市處于危險(xiǎn)區(qū)，又臺(tái)風(fēng)的運(yùn)動(dòng)軌跡為，設(shè)直線與圓的交點(diǎn)為，，圓心到直線的距離，則，所以時(shí)間，故選：C.6．【答案】D【詳解】取的中點(diǎn)，連接，由四邊形為菱形，，得，又平面平面，且平面平面，平面，所以平面，又四邊形為正方形，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，故，所以，即直線所成角的余弦值為.故選：D7．【答案】D【詳解】曲線，整理得，畫出直線與曲線的圖象，當(dāng)直線與曲線相切時(shí)，則圓心到直線的距離為，可得（正根舍去），當(dāng)直線過時(shí)，，如圖，直線與曲線恰有1個(gè)公共點(diǎn)，則或.故選：D.8．【答案】D【分析】根據(jù)正三棱柱建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合線線關(guān)系求線段的表達(dá)式，利用函數(shù)求最值即可.【詳解】因?yàn)檎庵?，有，所以為的中點(diǎn)，取中點(diǎn)，連接，如圖，以為原點(diǎn)，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，因?yàn)槭抢馍弦粍?dòng)點(diǎn)，設(shè)，且，因?yàn)?，且，所以，于是令，所以，，又函?shù)在上為增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，即線段長(zhǎng)度的最小值為.故選D.9．【答案】BCD【詳解】選項(xiàng)，當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)直線方程為，當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為，將點(diǎn)代入得，解得，所以直線方程為，綜上所述該直線方程為或，錯(cuò)誤；選項(xiàng)，因?yàn)橹本€的斜率為，所以，所以傾斜角的范圍是，正確；選項(xiàng)，點(diǎn)，的中點(diǎn)為，直線的傾斜角為，則邊的中垂線所在的直線平行于軸，即該直線方程為，故正確；選項(xiàng)，設(shè)直線關(guān)于對(duì)稱的直線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為，則該點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)為，將點(diǎn)代入得，即，故正確；故選：.10．【答案】AD【詳解】設(shè)，由，得，整理得，又圓上有且僅有一點(diǎn)滿足，所以兩圓相切，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為2，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，兩圓的圓心距為3，當(dāng)兩圓外切時(shí)，，得，當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，，得.綜上可知，或5.故選：AD.11．【答案】ABD【詳解】如圖，作，垂足為，連接，因?yàn)槠矫?，所以是在平面上的射影，所以，是二面角的平面角，是平面?nèi)兩條相交直線，所以平面，而平面，所以平面平面，則是在平面內(nèi)的射影，是直線與平面所成的角，又是直角三角形，由已知，所以，A正確；，則，，中斜邊上的高為，由平面平面，得到直線的距離就是到平面的距離，B正確；，所以（它是銳角）就是與所成的角，在中，顯然有，因此，銳角，因此直線與所成角不可能是，C錯(cuò)；設(shè)，則，由三角形面積有，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，取等號(hào)時(shí)，，D正確．故選：ABD．12．【答案】或【詳解】由題知，化簡(jiǎn)得，所以，解得或.故答案為：或.13．【答案】1【詳解】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)則故所以，故答案為114．【答案】【詳解】解：設(shè)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則，由，可得兩點(diǎn)在圓上，且，則，所以三角形為等邊三角形，，的幾何意義為兩點(diǎn)到直線的距離與之和，

記線段的中點(diǎn)分別是，到直線的距離為，則有，且，所以，所以的最大值為，故答案為：.15．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式以及垂直滿足的斜率關(guān)系即可求解，（2）根據(jù)中點(diǎn)公式以及斜率公式即可根據(jù)點(diǎn)斜式求解方程.【詳解】（1）因?yàn)?，所以的坐?biāo)為，因?yàn)?，所以，解?（2）設(shè)線段的中點(diǎn)為，由（1）知，則，所以，所以直線的方程為，化簡(jiǎn)得，即邊上的中線所在直線的方程為.16．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以，因?yàn)闉橹彼睦馔?，因?yàn)?，，面，所以面，因?yàn)椋悦?，因?yàn)槊?，所?（2）由（1）及題意知，，，兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)?，，?所以A0,0,0，，，，，所以，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，解得，，，所以點(diǎn)B到平面的距離為.17．【答案】(1)(2)．【分析】根據(jù)直線和圓相切求出圓心到直線的距離，即可求出的值；根據(jù)題意可知四點(diǎn)共圓，且為直徑，要使切線長(zhǎng)最短，即時(shí)最短，求出新圓圓心和半徑，進(jìn)而求得新圓的方程，兩圓方程相減即可求得直線的方程.【詳解】（1）（1）設(shè)圓心O到直線l的距離為d，因?yàn)橹本€l與圓O相切，所以，解得；（2）當(dāng)時(shí)，直線，連接，則，所以O(shè)，A，P，B四點(diǎn)共圓，切線長(zhǎng)，故最短當(dāng)且僅當(dāng)最短，即時(shí)最短，因?yàn)椋?，此時(shí)，所以，聯(lián)立得，故以為直徑的圓的方程為，因?yàn)橄壹磮AO與上述圓的公共弦，所以弦所在直線方程為．18．【答案】(1)證明見解析；(2)；(3)，理由見解析.【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，且，因?yàn)?，且，所以且，所以四邊形是平行四邊形，可得，因?yàn)槊?，面，所以平?（2）因?yàn)?，，所以，因?yàn)槠矫?，面，面，所以，，兩兩垂直，以為原點(diǎn)，分別以，，所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，在等于直接三角形中，，則，，，，設(shè)，，，由，可得，所以，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，令，則，，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，令，則，，所以，所以，所以平面與平面夾角的余弦值為.（3）由（2）知：平面的一個(gè)法向量，假設(shè)在線段上是否存在點(diǎn)，設(shè)，，則，因?yàn)榕c平面所成角的正弦值是，所以，整理可得，解得或（舍），，，所以在線段上是否存在點(diǎn)符合題意，的長(zhǎng)為.19．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）如圖，若幾何系統(tǒng)中的兩點(diǎn)分別在兩圓上，不妨設(shè)其中一點(diǎn)在上.若另一點(diǎn)在上，則，當(dāng)共線時(shí)取到等號(hào)；若另一點(diǎn)在上，則，當(dāng)共線時(shí)取到等號(hào)；若兩點(diǎn)在同一圓上，則最大距離為直徑，即2.綜上，該幾何系統(tǒng)的區(qū)徑為.（2）記棱切球的球心為O，即為正方體的中心，易求得棱切球的半徑為．因?yàn)闉檎切?，記它的外接圓圓心為，得其半徑為.又，則球心到的外接圓上任意一點(diǎn)的距離均為，圓