湖南省衡陽市衡陽縣2025屆高三一模 數(shù)學(xué)試題含答案

衡陽縣2025屆高考第一次模擬試題數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4．考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交。第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合，，則（）A.B.C.D.2.復(fù)數(shù)滿足，則的實(shí)部為（）A.B.C.D.3.已知古典概型的樣本空間，“事件”，則命題“事件”是命題“事件與事件相互獨(dú)立”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件4.已知，，，，則（）A.B.C.D.5.的展開式中的系數(shù)為（）A.B.C.D.6.某城市隨機(jī)選取個(gè)人參加活動，假設(shè)該城市人口年齡分布均勻，要使得參加該活動有人生肖相同的概率大于，則至少需要選?。ǎ﹤€(gè)人.A.B.C.D.7.已知雙曲線，兩焦點(diǎn)分別為，，過右焦點(diǎn)作直線交右支于，點(diǎn)，且，若.則雙曲線的離心率為（）A.B.C.D.8.平面直角坐標(biāo)系中，若過點(diǎn)，作斜率不為0的直線，使得與正弦曲線的交點(diǎn)中，存在點(diǎn)，滿足是線段的中點(diǎn)，則稱是曲線的“平均割線”，為“平衡點(diǎn)”，則對任何一個(gè)整數(shù)，下列描述正確的是（）A.為偶數(shù)時(shí)，存在“平均割線”B.若存在“平均割線”，則唯一C.若存在“平均割線”，則所有“平衡點(diǎn)”共線D.若存在“平均割線”，則所有“平衡點(diǎn)”，中間隔相等，按從小到大順序排列成等差數(shù)列二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得3分，有選錯(cuò)的得0分。9.已知一組樣本數(shù)據(jù)：，，，.其中，，將改組數(shù)據(jù)排列，下列關(guān)于該組數(shù)據(jù)結(jié)論正確的是（）A.序列不可能既是等比數(shù)列又是等差數(shù)列B.若成等比數(shù)列，和有組可能取值C.若成等差數(shù)列，和有組可能取值D.若該數(shù)據(jù)平均數(shù)是，則方差最小值為10.按指對數(shù)運(yùn)算律定義兩個(gè)函數(shù)與，則（）A.在定義域上單調(diào)遞增B.在定義域上單調(diào)遞減C.D.若存在，則11.，，非常數(shù)函數(shù)都有，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.若，是偶函數(shù)C.若，則D.的值不可能是第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知三角形中，，是上中線的三等分點(diǎn)滿足，記，則________.13.函數(shù)的值域?yàn)開_______.14.已知由系列圓構(gòu)成的點(diǎn)集為，圖形如圖中的陰影部分所示，將平面剩余部分分為內(nèi)外兩部分（空白區(qū)域），給出以下命題：①圖形內(nèi)部空白區(qū)域的面積最小值為②圖形到原點(diǎn)的最小距離為③時(shí)，圖形關(guān)于直線對稱④時(shí)，圖形內(nèi)外邊界的長度和為其中正確的有________.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15.（13分）如圖所示，在三棱柱中，，側(cè)面底面，，分別為棱和的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若，且平面平面，求二面角的余弦值大小.16.（15分）已知函數(shù)（1）若在處的切線方程為，求、的值；（2）若時(shí)，在上恒成立，求的取值范圍；17.（15分）如圖，已知點(diǎn)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是負(fù)半軸上的一點(diǎn)，，過點(diǎn)的直線與交于點(diǎn)與點(diǎn).（1）求面積的最大值；（7分）（2）設(shè)直線的斜率為和直線的斜率為，橢圓上是否存在點(diǎn)，使得為定值，若存在，求出點(diǎn)與值，若不存在，請說明理由.（8分）18.（17分）學(xué)校教學(xué)樓的每兩層樓之間的上下樓梯有個(gè)臺階，從下至上記臺階所在位置為，同學(xué)甲在上樓的過程中，每一步等可能地跨或個(gè)臺階（位置或）.（1）記甲邁步后所在的位置為，寫出的分布列和期望值.（2）求甲步內(nèi)到過位置的概率；（3）求步之內(nèi)同時(shí)到過位置和的有多少種走法，及發(fā)生的概率.19.（17分）某次生日會上，餐桌上有一個(gè)披薩餅，小華同學(xué)準(zhǔn)備用刀切的方式分給在座的位小伙伴，由此思考一個(gè)數(shù)學(xué)問題：假設(shè)披薩近似可看成平面上的一個(gè)圓，第條切痕看作直線，設(shè)切下，最多能切出的塊數(shù)為，如圖易知，.（1）試寫出，，作出對應(yīng)簡圖，并指出要將披薩分給在座的位小伙伴（不考慮大小平分），最少要切幾下；（2）這是一個(gè)平面幾何問題，利用“降維打擊”思想，聯(lián)想到一條線段被切下能劃分成段，由此求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）若將披薩換成一個(gè)蛋糕（近似看成空間中的一個(gè)圓柱體），同樣用刀切方式分蛋糕，可以從上下底面和側(cè)面各方向切入，每次切面都看作一個(gè)平面.若切下，最多能切出的塊數(shù)為，求出的通項(xiàng)公式，并指出這時(shí)最多需要切幾下能分給個(gè)人.（已知）

數(shù)學(xué)答案1.【答案】D【解析】為函數(shù)的值域，令或，，為函數(shù)的定義域，即，定義域?yàn)?，故，故選D.2.【答案】C【解析】設(shè)，，，，，所以的實(shí)部為，故選C.3.【答案】A【解析】樣本空間中事件包含樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)可能為，，，，，對應(yīng)的概率可能值為，，，，，，，事件與事件相互獨(dú)立，有①時(shí)，，，即“事件”是命題“事件與事件相互獨(dú)立”的充分條件②，，即，且或時(shí)事件與事件相互獨(dú)立，此時(shí)“事件”，故命題“事件”是命題“事件與事件相互獨(dú)立”的充分不必要條件，故選B.4.【答案】C【解析】由已知可得解得，∴，∵，，.故，故選C.5.【答案】D【解析】，項(xiàng)對應(yīng)，，項(xiàng)對應(yīng)系數(shù)為，展開后系數(shù)為，故選D.6.【答案】C【解析】已知個(gè)生肖，按先后順序選擇個(gè)人，每次選中的人有種等概率可能，由分步乘法原理共有種情況，若選取個(gè)人中生肖均不相同，有種可能，故選取個(gè)人中生肖均不相同概率，要使得參加該活動有人生肖相同的概率大于，即，，，故至少要選個(gè)人，故選C7.【答案】C【解析】如圖，由令，則，，由雙曲線定義，，在中由余弦定理，故在中由余弦定理，故選C.8.【答案】C【解析】由題意，設(shè)，則，滿足①.當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，①式為或，直線與軸重合，與題意不符，故不存在“平均割線”；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，若，，①式為，，（若，，），由于有無窮解，如圖，故對任一為奇數(shù)有無數(shù)條“平均分割線”；亦有無窮個(gè)，且在同一直線上，不成等差.9.【答案】A、B【解析】若為等比數(shù)列，由，可知若成等比公比小于，正負(fù)交替，而等差數(shù)列具單調(diào)性，相互矛盾，故不可能既是等比數(shù)列又是等差數(shù)列，A項(xiàng)正確；若排列后成等比數(shù)列，設(shè)公比絕對值大于有：①公比為，數(shù)列為，，，，，數(shù)列為，，，，.②公比為，數(shù)列為，，，，，公比絕對值小于，對應(yīng)同解，故，有組可能取值，B項(xiàng)正確；由，，若，，，若排序后成等差數(shù)列，設(shè)公差大于有：①公差，數(shù)列為，，，，；②公差，數(shù)列為，，，，不符；③公差，數(shù)列為，，，，不符；公差小于，對應(yīng)上述倒序排列，同解，故，有組可能取值，C項(xiàng)錯(cuò)誤；數(shù)據(jù)平均數(shù)是1，，方差.D項(xiàng)錯(cuò)誤；故選AB10.【答案】B、C、D【解析】由，，時(shí)，單調(diào)遞減，時(shí)，單調(diào)遞增，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；，可知在單調(diào)遞減，故B項(xiàng)正確；，由，由，故C項(xiàng)正確；由，則，，令，，，，故上單調(diào)遞減，故，又由時(shí)，單調(diào)遞增得，故D項(xiàng)正確.故選BCD11.【答案】A、B、C【解析】條件①，取，有即，若，則為常數(shù)，故，A項(xiàng)正確；由，①式中取有②，再取，有或.若則，則②式為即為偶函數(shù)，B項(xiàng)正確；若取，①式為，由B項(xiàng)知為偶函數(shù)，①中令，有③，令，有（替換成）④，③④聯(lián)立，結(jié)合，，，，可知，故，故C項(xiàng)正確；取符合①式，故，D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選ABC.12.【答案】【解析】如圖，，，所以.13.【答案】【解析】，，周期，且關(guān)于點(diǎn)對稱，故只要考慮的值域，設(shè)，，滿足，，可知，或時(shí)，，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞減，且，由且，，由，，故由圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，上，，，周期性可知在上值域?yàn)?4.【答案】①②③【解析】如圖，當(dāng)時(shí)，內(nèi)部空白區(qū)域面積最小，即半徑為的圓，內(nèi)部空白區(qū)域的面積最小值為，①項(xiàng)正確；圖形到原點(diǎn)距離為，方法一（計(jì)算）：由，（其中），時(shí)，取最小值.方法二（分析）：由構(gòu)成該圖形的動圓中，圓心到原點(diǎn)距離，半徑，故每個(gè)圓到原點(diǎn)最小距離均為，故圖形到原點(diǎn)的最小距離為，②正確；時(shí)，若點(diǎn)，存在參數(shù)滿足，則點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對稱，由，取代入，即點(diǎn)也在中，故時(shí)，圖形關(guān)于直線對稱，③正確；時(shí)，如圖，內(nèi)邊界的長度，其中為圓，半徑為，、為圓半徑為外邊界，而由，，為半圓，半徑為，為半圓半徑為，為圓，半徑為，為圓，半徑為，故內(nèi)外邊界和為，④錯(cuò)誤.故答案為①②③.15.【解析】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，，在中，，分別為，的中點(diǎn)，且.在三棱柱中，.又為棱的中點(diǎn)，且，四邊形為平行四邊形，，又因?yàn)槠矫妫矫?，所以平?（2）三棱柱中所有棱長都相等，則與都是等邊三角形，取上的四等分點(diǎn)，滿足則四點(diǎn)共面.由平面平面，平面平面，平面平面平面，且，則如圖：可建立以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸的空間直角坐標(biāo)系，令可知，，，設(shè)平面法向量為，則，底面的法向量，，，設(shè)二面角的平面角為，則，由圖知二面角為銳二面角，故二面角的余弦值為.16.【解析】（1），，，故，.，故若上恒成立，，故是在上的極小值，，，，下證時(shí)，,令，,①在上單調(diào)遞減，，，由零點(diǎn)存在定理，，使得，在上，單調(diào)遞增，在上，單調(diào)遞減，，，，由零點(diǎn)存在定理，使得在上，單調(diào)遞增，在上，單調(diào)遞減，所以上，，，，②在上，單調(diào)遞增，，單調(diào)遞減所以,綜上，只有時(shí)上，.17.【解析】（1）由，設(shè)，由題意，聯(lián)立得，,整理得，由，且，，所以的面積，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)（此時(shí)適合的條件）取得等號.故面積的最大值為.（2）設(shè)橢圓上存在滿足條件的點(diǎn)，定值，由題意，，，，，由，在上，，，，當(dāng)，，時(shí)，該等式成立與取值無關(guān)，此時(shí)，故滿足條件的橢圓上的點(diǎn)對應(yīng)或?qū)?yīng).18.【解析】（1）由題意可知甲每步跨或個(gè)臺階的概率都為，可能的取值為，，，.取值分別對應(yīng)步中分別有，，，次跨兩個(gè)臺階.故，的分布列如下，.（2）步內(nèi)到過位置記為事件可分為：步到達(dá)位置（記為）、步到達(dá)位置（記為）和步到達(dá)位置（記為）三種情況.即步中每步都；即步中有兩步，步；即步中有兩步，步.則.（3）記步內(nèi)到過位置為事件，走法為，則由題意，故由，，遞推，依次為，其中步和步到達(dá)位置的走法分別為和種，步到達(dá)位置情況下再到達(dá)位置只有種走法，步到達(dá)位置不可能再到達(dá)位置，其他到達(dá)位置的情況再到達(dá)位置都有種走法.故步之內(nèi)同時(shí)到過位置和的走法為：種，記為，由題意，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，，，記步和步到達(dá)位置為分別為事件，，，，記步內(nèi)到過位置為事件，則，，，其余情況下