2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題6.5數(shù)列的綜合應(yīng)用知識點(diǎn)講解文科版含解析

專題6.5數(shù)列的綜合應(yīng)用【考情分析】1.理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念，駕馭等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式及其應(yīng)用。2.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系。3.會(huì)用數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系解決實(shí)際問題。【重點(diǎn)學(xué)問梳理】學(xué)問點(diǎn)一等差數(shù)列和等比數(shù)列比較等差數(shù)列等比數(shù)列定義＝常數(shù)＝常數(shù)通項(xiàng)公式判定方法(1)定義法；(2)中項(xiàng)公式法：?為等差數(shù)列；(3)通項(xiàng)公式法：(為常數(shù),)?為等差數(shù)列；(4)前n項(xiàng)和公式法：(為常數(shù),)?為等差數(shù)列；(5)為等比數(shù)列，且，那么數(shù)列(，且)為等差數(shù)列(1)定義法(2)中項(xiàng)公式法：()?為等比數(shù)列(3)通項(xiàng)公式法：(均是不為0的常數(shù)，)?為等比數(shù)列(4)為等差數(shù)列?(總有意義)為等比數(shù)列性質(zhì)(1)若，，，，且，則(2)(3)SKIPIF1<0，…仍成等差數(shù)列(1)若，，，，且，則(2)(3)等比數(shù)列依次每項(xiàng)和()，即SKIPIF1<0，…仍成等比數(shù)列前n項(xiàng)和時(shí)，；當(dāng)時(shí)，或.學(xué)問點(diǎn)二數(shù)列求和1.等差數(shù)列的前n和的求和公式：.2．等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式一般地，設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和是，當(dāng)時(shí)，或；當(dāng)時(shí)，（錯(cuò)位相減法）.3.數(shù)列前n項(xiàng)和①重要公式：（1）（2）（3）（4）②等差數(shù)列中，；③等比數(shù)列中，.【典型題分析】高頻考點(diǎn)一數(shù)列在數(shù)學(xué)文化與實(shí)際問題中的應(yīng)用【例1】(2024·重慶八中模擬)某地區(qū)2024年人口總數(shù)為45萬．實(shí)施“二孩”政策后，專家估計(jì)人口總數(shù)將發(fā)生如下改變：從2024年起先到2028年，每年人口總數(shù)比上一年增加0.5萬人，從2029年起先到2038年，每年人口總數(shù)為上一年的99%.(1)求實(shí)施“二孩”政策后第n年的人口總數(shù)an(單位：萬人)的表達(dá)式(注：2024年為第一年)；(2)若“二孩”政策實(shí)施后的2024年到2038年人口平均值超過49萬，則需調(diào)整政策，否則接著實(shí)施，問到2038年結(jié)束后是否須要調(diào)整政策？(參考數(shù)據(jù)：0.9910≈0.9)【解析】(1)由題意知，當(dāng)1≤n≤10時(shí)，數(shù)列{an}是首項(xiàng)為45.5，公差為0.5的等差數(shù)列，可得an＝45.5＋0.5×(n－1)＝0.5n＋45，則a10＝50；當(dāng)11≤n≤20時(shí)，數(shù)列{an}是公比為0.99的等比數(shù)列，則an＝50×0.99n－10.故實(shí)施“二孩”政策后第n年的人口總數(shù)an(單位：萬人)的表達(dá)式為an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0.5n＋45，1≤n≤10，,50×0.99n－10，11≤n≤20.))(2)設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．從2024年到2038年共20年，由等差數(shù)列及等比數(shù)列的求和公式得S20＝S10＋(a11＋a12＋…＋a20)＝477.5＋4950×(1－0.9910)≈972.5.所以“二孩”政策實(shí)施后的2024年到2038年人口平均值為eq\f(S20,20)≈48.63，則eq\f(S20,20)＜49，故到2038年結(jié)束后不須要調(diào)整政策．【方法技巧】數(shù)列實(shí)際應(yīng)用中的常見模型(1)等差模型：假如增加(或削減)的量是一個(gè)固定的數(shù)，則該模型是等差模型，這個(gè)固定的數(shù)就是公差．(2)等比模型：假如后一個(gè)量與前一個(gè)量的比是一個(gè)固定的數(shù)，則該模型是等比模型，這個(gè)固定的數(shù)就是公比．(3)遞推數(shù)列模型：假如題目中給出的前后兩項(xiàng)之間的關(guān)系不固定，隨項(xiàng)的改變而改變，則應(yīng)考慮考查的是第n項(xiàng)an與第n＋1項(xiàng)an＋1的遞推關(guān)系還是前n項(xiàng)和Sn與前n＋1項(xiàng)和Sn＋1之間的遞推關(guān)系．【變式探究】（2024·安徽省銅陵中學(xué)模擬）我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有如下問題：“今有蒲生一日，長三尺．莞生一日，長一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．問幾何日而長等？”意思是：“今有蒲草第一天長高3尺，莞草第一天長高1尺．以后，蒲草每天長高前一天的一半，莞草每天長高前一天的2倍．問第幾天蒲草和莞草的高度相同？”依據(jù)上述的已知條件，可求得第________天時(shí)，蒲草和莞草的高度相同(結(jié)果實(shí)行“只入不舍”的原則取整數(shù)，相關(guān)數(shù)據(jù)：lg3≈0.4771，lg2≈0.3010)．【答案】3【解析】由題意得，蒲草的高度組成首項(xiàng)為a1＝3，公比為eq\f(1,2)的等比數(shù)列{an}，設(shè)其前n項(xiàng)和為An；莞草的高度組成首項(xiàng)為b1＝1，公比為2的等比數(shù)列{bn}，設(shè)其前n項(xiàng)和為Bn.則An＝eq\f(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n))),1－\f(1,2))，Bn＝eq\f(2n－1,2－1)，令eq\f(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n))),1－\f(1,2))＝eq\f(2n－1,2－1)，化簡得2n＋eq\f(6,2n)＝7(n∈N*)，解得2n＝6，所以n＝eq\f(lg6,lg2)＝1＋eq\f(lg3,lg2)≈3，即第3天時(shí)蒲草和莞草高度相同。高頻考點(diǎn)二等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題【例2】(2024·高考北京卷)設(shè){an}是等差數(shù)列，且a1＝ln2，a2＋a3＝5ln2.(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)求ea1＋ea2＋…＋ean.【解析】(1)設(shè){an}的公差為d.因?yàn)閍2＋a3＝5ln2，所以2a1＋3d＝5ln2.又a1＝ln2，所以d＝ln2.所以an＝a1＋(n－1)d＝nln2.(2)因?yàn)閑a1＝eln2＝2，eq\f(ean,ean－1)＝ean－an－1＝eln2＝2，所以{ean}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列．所以ea1＋ea2＋…＋ean＝2×eq\f(1－2n,1－2)＝2(2n－1)＝2n＋1－2.【方法技巧】等差數(shù)列、等比數(shù)列綜合問題的解題策略(1)分析已知條件和求解目標(biāo)，為最終解決問題設(shè)置中間問題，例如求和須要先求出通項(xiàng)、求通項(xiàng)須要先求出首項(xiàng)和公差(公比)等，確定解題的依次．(2)留意細(xì)微環(huán)節(jié)：在等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合問題中，假如等比數(shù)列的公比不能確定，則要看其是否有等于1的可能，在數(shù)列的通項(xiàng)問題中第一項(xiàng)和后面的項(xiàng)能否用同一個(gè)公式表示等，這些細(xì)微環(huán)節(jié)對解題的影響也是巨大的．【變式探究】（2024·江西省瑞昌市其次中學(xué)模擬）設(shè)公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a2，a5，a11成等比數(shù)列，且a11＝2(Sm－Sn)(m＞n＞0，m，n∈N*)，則m＋n的值是.【解析】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0)，因?yàn)閍2，a5，a11成等比數(shù)列，所以aeq\o\al(2,5)＝a2a11，所以(a1＋4d)2＝(a1＋d)(a1＋10d)，解得a1＝2d，又a11＝2(Sm－Sn)(m＞n＞0，m，n∈N*)，所以2ma1＋m(m－1)d－2na1－n(n－1)d＝a1＋10d，化簡得(m＋n＋3)(m－n)＝12，因?yàn)閙＞n＞0，m，n∈N*，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－n＝1，,m＋n＋3＝12))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－n＝2，,m＋n＋3＝6，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝5，,n＝4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(5,2)，,n＝\f(1,2)))(舍去)，所以m＋n＝9.高頻考點(diǎn)三數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題【例3】(2024·湖北黃岡中學(xué)模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,x)，正項(xiàng)數(shù)列{an}滿意a1＝1，an＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,an－1)))，n∈N*，且n≥2.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)對n∈N*，求證：eq\f(1,a1a2)＋eq\f(1,a2a3)＋eq\f(1,a3a4)＋…＋eq\f(1,anan＋1)<2.【解析】(1)由an＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,an－1)))，所以an＝eq\f(1,2)＋an－1，n∈N*，且n≥2，所以數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)，以eq\f(1,2)為公差的等差數(shù)列，所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋eq\f(1,2)(n－1)＝eq\f(n＋1,2).(2)證明：由(1)可知eq\f(1,anan＋1)＝eq\f(4,（n＋1）（n＋2）)＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n＋1)－\f(1,n＋2)))，Sn＝eq\f(1,a1a2)＋eq\f(1,a2a3)＋eq\f(1,a3a4)＋…＋eq\f(1,anan＋1)＝4[eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,4)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)－\f(1,5)))…＋(eq\f(1,n＋1)－eq\f(1,n＋2))]＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,n＋2)))＝2－eq\f(4,n＋2)<2，得證．【方法技巧】數(shù)列與其他學(xué)問交匯問題的常見類型及解題策略(1)數(shù)列與函數(shù)的交匯問題①已知函數(shù)條件，解決數(shù)列問題，此類問題一般利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象探討數(shù)列問題；②已知數(shù)列條件，解決函數(shù)問題，解題時(shí)要留意數(shù)列與函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，駕馭遞推數(shù)列的常見解法．(2)數(shù)列與不等式的交匯問題①函數(shù)方法：即構(gòu)造函數(shù)，通過函數(shù)的單調(diào)性、極值等得出關(guān)于正實(shí)數(shù)的不等式，通過對關(guān)于正實(shí)數(shù)的不等式特別賦值得出數(shù)列中的不等式；②放縮方法：數(shù)列中不等式可以通過對中間過程或者最終的結(jié)果放縮得到；③比較方法：作差或者作商比較．【變式探究】(2024·湖南岳陽一模)曲線y＝eq\f(n,2)x＋lnx(n∈N*)在x＝eq\f(2,n)處的切線斜率為an，則數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,anan＋1)))的前n項(xiàng)的和為．【解析】對y＝eq\f(n,2)x＋lnx(n∈N*)求導(dǎo)，可得y′＝eq\f(n,2)＋eq\f(1,x)，由曲線y＝eq\f(n,2)x＋lnx(n∈N*)在x＝eq\f(2,n)處的切線斜率為an，可得an＝eq\f(n,2)＋eq\f(n,2)＝n.所以eq\f(1,anan＋1)＝eq\f(1,n（n＋1）)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)，則數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,anan＋1)))的前n項(xiàng)的和為1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)＝eq\f(n,n＋1).【答案】eq\f(n,n＋1)【舉一反三】(2024·浙江杭州模擬)已知數(shù)列{an}，{bn}滿意a1＝1，且an，an＋1是函數(shù)f(x)＝x2－bnx＋2n的兩個(gè)零點(diǎn)，則a5＝，b10＝．【解析】因?yàn)閍n，an＋1是函數(shù)f(x)＝x2－