2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第3章不等式4.2簡單線性規(guī)劃講義教案北師大版必修5

PAGE10-4．2簡潔線性規(guī)劃學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1．了解目標(biāo)函數(shù)、約束條件、二元線性規(guī)劃問題、可行解、可行域、最優(yōu)解等基本概念．(重點(diǎn))2．駕馭二元線性規(guī)劃問題的求解過程，特殊是確定最優(yōu)解的方法．(重點(diǎn)、難點(diǎn))1．通過學(xué)習(xí)與線性規(guī)劃有關(guān)的概念，培育數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．2．通過探討最優(yōu)解的方法，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力．簡潔線性規(guī)劃閱讀教材P100～P101“例6”以上部分，完成下列問題(1)線性規(guī)劃中的基本概念名稱意義約束條件關(guān)于變量x，y的一次不等式(組)線性約束條件關(guān)于x，y的一次不等式(組)目標(biāo)函數(shù)欲求最大值或最小值的關(guān)于變量x，y的函數(shù)解析式線性目標(biāo)函數(shù)關(guān)于變量x，y的一次解析式可行解滿意線性約束條件的解(x，y)可行域由全部可行解組成的集合最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解線性規(guī)劃問題在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問題(2)線性規(guī)劃問題①目標(biāo)函數(shù)的最值線性目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by(b≠0)對應(yīng)的斜截式直線方程是y＝－eq\f(a,b)x＋eq\f(z,b)，在y軸上的截距是eq\f(z,b)，當(dāng)z改變時，方程表示一組相互平行的直線．當(dāng)b＞0，截距最大時，z取得最大值，截距最小時，z取得最小值；當(dāng)b＜0，截距最大時，z取得最小值，截距最小時，z取得最大值．②解決簡潔線性規(guī)劃問題的一般步驟在確定線性約束條件和線性目標(biāo)函數(shù)的前提下，解決簡潔線性規(guī)劃問題的步驟可以概括為：“畫、移、求、答”四步，即(ⅰ)畫：依據(jù)線性約束條件，在平面直角坐標(biāo)系中，把可行域表示的平面圖形精確地畫出來，可行域可以是封閉的多邊形，也可以是一側(cè)開放的無限大的平面區(qū)域．(ⅱ)移：運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，把目標(biāo)函數(shù)表示的直線平行移動，最先通過或最終通過的頂點(diǎn)(或邊界)便是最優(yōu)解．(ⅲ)求：解方程組求最優(yōu)解，進(jìn)而求出目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值．(ⅳ)答：寫出答案．思索：(1)在線性約束條件下，最優(yōu)解唯一嗎？[提示]可能唯一，也可能不唯一．(2)若將目標(biāo)函數(shù)z＝3x＋y看成直線方程時，z具有怎樣的幾何意義？[提示]由z＝3x＋y得y＝－3x＋z，z是直線在y軸上的截距．1．設(shè)變量x，y滿意約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥1，,x＋y－4≤0，,x－3y＋4≤0，))則目標(biāo)函數(shù)z＝3x－y的最大值為()A．－4 B．0C．eq\f(4,3) D．4D[作出可行域，如圖所示．聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－4＝0，,x－3y＋4＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝2.))當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z＝3x－y移到(2,2)時，z＝3x－y有最大值4．]2．若實(shí)數(shù)x，y滿意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－2≥0，,x≤4，,y≤5))則s＝x＋y的最小值為．2[如圖所示陰影部分為可行域，由s＝x＋y得y＝－x＋s，由圖可知，當(dāng)直線y＝－x＋s與直線x＋y－2＝0重合時，s最小，即x＝4，y＝－2時，s的最小值為4－2＝2．]3．如圖，點(diǎn)(x，y)在四邊形ABCD的內(nèi)部和邊界上運(yùn)動，那么z＝2x－y的最小值為．1[法一：目標(biāo)函數(shù)z＝2x－y可變形為y＝2x－z，所以當(dāng)直線y＝2x－z在y軸上的截距最大時，z的值最小．移動直線2x－y＝0，當(dāng)直線移動到經(jīng)過點(diǎn)A時，直線在y軸上的截距最大，即z的值最小，為2×1－1＝1．法二：將點(diǎn)A，B，C，D的坐標(biāo)分別代入目標(biāo)函數(shù)，求出相應(yīng)的z值，比較大小，得在A點(diǎn)處取得最小值為1．]4．已知點(diǎn)P(x，y)的坐標(biāo)滿意條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤4，,y≥x，,x≥1，))點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，那么|PO|的最小值等于，最大值等于．eq\r(2)eq\r(10)[畫出約束條件對應(yīng)的可行域，如圖陰影部分所示，因?yàn)閨PO|表示可行域上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，從而使|PO|取得最小值的最優(yōu)解為點(diǎn)A(1,1)；使|PO|取得最大值的最優(yōu)解為點(diǎn)B(1,3)，所以|PO|min＝eq\r(2)，|PO|max＝eq\r(10)．]線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題【例1】若x，y滿意約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≥0，,x－2y≤0，,x＋2y－2≤0，))則z＝x＋y的最大值為．eq\f(3,2)[由題意畫出可行域(如圖所示)，其中A(－2，－1)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))，C(0,1)，由z＝x＋y知y＝－x＋z，當(dāng)直線y＝－x＋z經(jīng)過Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))時，z取最大值eq\f(3,2)．]用圖解法解決線性規(guī)劃問題的關(guān)鍵和留意點(diǎn),圖解法是解決線性規(guī)劃問題的有效方法.其關(guān)鍵在于平移目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的直線ax＋by＝0，看它經(jīng)過哪個點(diǎn)或哪些點(diǎn)時最先接觸可行域和最終離開可行域，則這樣的點(diǎn)即為最優(yōu)解，再留意到它的幾何意義，從而確定是取最大值還是最小值.eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．若x，y滿意約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≥0，,x＋y－3≥0，,x－3≤0，))則z＝x－2y的最小值為．－5[畫出可行域，數(shù)形結(jié)合可知目標(biāo)函數(shù)的最小值在直線x＝3與直線x－y＋1＝0的交點(diǎn)(3,4)處取得，代入目標(biāo)函數(shù)z＝x－2y得到－5．]線性規(guī)劃問題中的參數(shù)問題【例2】已知變量x，y滿意的約束條件為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－3≤0，,x＋3y－3≥0，,y－1≤0.))若目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋y(其中a＞0)僅在點(diǎn)(3,0)處取得最大值，求a的取值范圍．[解]依據(jù)約束條件，畫出可行域．∵直線x＋2y－3＝0的斜率k1＝－eq\f(1,2)，目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋y(a＞0)對應(yīng)直線的斜率k2＝－a，若符合題意，則需k1＞k2．即－eq\f(1,2)＞－a，得a＞eq\f(1,2)．含參數(shù)的線性目標(biāo)函數(shù)問題的求解策略1約束條件中含有參數(shù)：此時可行域是可變的，應(yīng)分狀況作出可行域，結(jié)合條件求出不同狀況下的參數(shù)值.2目標(biāo)函數(shù)中含有參數(shù)：此時目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的直線是可變的，假如斜率肯定，則對直線作平移變換；假如斜率可變，則要利用斜率與傾斜角間的大小關(guān)系分狀況確定最優(yōu)解的位置，從而求出參數(shù)的值.eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])2．(1)已知x，y滿意約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≥0，,x＋y≤2，,y≥0.))若z＝ax＋y的最大值為4，則a＝()A．3 B．2C．－2 D．－3(2)已知x，y滿意約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－2≤0，,x－2y－2≤0，,2x－y＋2≥0.))若z＝y(tǒng)－ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則實(shí)數(shù)a的值為()A．eq\f(1,2)或1 B．2或eq\f(1,2)C．2或1 D．2或－1(1)B(2)D[(1)畫出不等式組表示的可行域，如圖中陰影部分所示．因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)z＝ax＋y的最大值為4，即目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)直線與可行域有公共點(diǎn)時，在y軸上的截距的最大值為4，作出過點(diǎn)D(0,4)的直線，由圖可知，目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)B(2,0)處取得最大值，故有2a＋0＝4，解得a＝2．(2)作出可行域，如圖中陰影部分所示．由y＝ax＋z知z的幾何意義是直線在y軸上的截距，故當(dāng)a>0時，要使z＝y(tǒng)－ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則a＝2；當(dāng)a<0時，要使z＝y(tǒng)－ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則a＝－1．]非線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題[探究問題]1．(1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A，B兩點(diǎn)間的距離是什么？(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1≠x2，直線AB的斜率是什么？[提示](1)|AB|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)．(2)kAB＝eq\f(y2－y1,x2－x1)．2．(1)代數(shù)式eq\r(x＋22＋y2)的幾何意義是什么？(2)代數(shù)式eq\f(y＋3,x－2)的幾何意義是什么？(3)代數(shù)式eq\f(|x－2y＋1|,\r(5))的幾何意義是什么？[提示](1)點(diǎn)(x，y)與(－2,0)間的距離．(2)點(diǎn)(x，y)與(2，－3)連線的斜率．(3)點(diǎn)(x，y)到直線x－2y＋1＝0的距離．【例3】設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿意約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y－2≤0，,x＋2y－4≥0，,2y－3≤0，))求(1)x2＋y2的最小值；(2)eq\f(y,x)的最大值．[解]如圖，畫出不等式組表示的平面區(qū)域ABC，(1)令u＝x2＋y2，其幾何意義是可行域ABC內(nèi)任一點(diǎn)(x，y)與原點(diǎn)的距離的平方．過原點(diǎn)向直線x＋2y－4＝0作垂線y＝2x，則垂足為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－4＝0，,y＝2x))的解，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，\f(8,5)))，又由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－4＝0，,2y－3＝0，))得Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))，所以垂足在線段AC的延長線上，故可行域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最小值為|OC|＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(2))＝eq\f(\r(13),2)，所以，x2＋y2的最小值為eq\f(13,4)．(2)令v＝eq\f(y,x)，其幾何意義是可行域ABC內(nèi)任一點(diǎn)(x，y)與原點(diǎn)相連的直線l的斜率為v，即v＝eq\f(y－0,x－0)．由圖形可知，當(dāng)直線l經(jīng)過可行域內(nèi)點(diǎn)C時，v最大，由(1)知Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))，所以vmax＝eq\f(3,2)，所以eq\f(y,x)的最大值為eq\f(3,2)．1．(變結(jié)論)例3的條件不變，求x2＋(y＋1)2的最大值．[解]令z＝x2＋(y＋1)2，其幾何意義是可行域ABC內(nèi)任一點(diǎn)(x，y)與(0，－1)的距離的平方，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2y－3＝0,x－y－2＝0))解得點(diǎn)B的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)，\f(3,2)))，由例3的解答可知，點(diǎn)B與(0，－1)間的距離的平方最大，zmax＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)－0))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)＋1))eq\s\up12(2)＝eq\f(37,2)．2．(變條件)把例3的線性約束條件換為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≤1，,x≤1，,x＋y≥1，))求z＝x2＋y2的最小值．[解]實(shí)數(shù)x，y滿意的可行域如圖中陰影部分所示，則z的最小值為原點(diǎn)到直線AB的距離的平方，故zmin＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(2))))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,2)．非線性目標(biāo)函數(shù)的最值的求解策略1z＝x－a2＋y－b2型的目標(biāo)函數(shù)可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)x，y與點(diǎn)a，b距離的平方；特殊地，z＝x2＋y2型的目標(biāo)函數(shù)表示可行域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方.2z＝eq\f(y－b,x－a)型的目標(biāo)函數(shù)可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)x，y與點(diǎn)a，b連線的斜率.3z＝|Ax＋By＋C|可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)x，y到直線Ax＋By＋C＝0的距離的eq\r(A2＋B2)倍.1．用圖解法求線性目標(biāo)函數(shù)的最值時，要清晰z的含義，z一般與直線在y軸上的截距有關(guān)．2．作不等式組表示的可行域時，留意標(biāo)出相應(yīng)的直線方程，平移直線時，要留意線性目標(biāo)函數(shù)的斜率與可行域中邊界直線的斜率進(jìn)行比較，確定最優(yōu)解．1．推斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)只有當(dāng)可行域是封閉的圖形時，目標(biāo)函數(shù)才有最優(yōu)解． ()(2)最優(yōu)解指的是使目標(biāo)函數(shù)取得最大值的變量x或y的值． ()(3)目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by(b≠0)中，z的幾何意義是直線ax＋by－z＝0在y軸上的截距． ()[答案](1)×(2)×(3)×[提示](1)錯誤，可行域不是封閉的圖形，目標(biāo)函數(shù)也有最優(yōu)解；(2)錯誤，最優(yōu)解指的是使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解；(3)錯誤，由ax＋by－z＝0得y＝－eq\f(a,b)x＋eq\f(z,b)，知z的幾何意義是直線ax＋by－z＝0在y軸上截距的b倍．2．目標(biāo)函數(shù)z＝－3