2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第五章數(shù)列第二節(jié)等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和課時(shí)規(guī)范練理含解析新人教版

PAGE第五章數(shù)列其次節(jié)等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和[A組基礎(chǔ)對(duì)點(diǎn)練]1．設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若a1＋a3＋a5＝3，則S5＝()A．5 B．7C．9 D．11解析：∵{an}是等差數(shù)列，∴a1＋a5＝2a3，即a1＋a3＋a5＝3a3＝3，∴a3∴S5＝eq\f(5（a1＋a5）,2)＝5a3＝5.答案：A2．在單調(diào)遞增的等差數(shù)列{an}中，若a3＝1，a2a4＝eq\f(3,4)，則a1＝()A．－1 B．0C．eq\f(1,4) D．eq\f(1,2)解析：由題知，a2＋a4＝2a3＝2，又∵a2a4＝eq\f(3,4)，數(shù)列{an}單調(diào)遞增，∴a2＝eq\f(1,2)，a4＝eq\f(3,2)，∴公差d＝eq\f(a4－a2,2)＝eq\f(1,2)，∴a1＝a2－d＝0.答案：B3．(2024·河北唐山市高三摸底考試)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若a3＋a11＝4，則S13＝()A．13 B．26C．39 D．52解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，a1＋a13＝a3＋a11＝4，∴S13＝eq\f(13（a1＋a13）,2)＝26.答案：B4．等差數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝100(n≥3).若{an}的公差為某一自然數(shù)，則n的全部可能取值為()A．3，7，9，15，100B．4，10，12，34，100C．5，11，16，30，100D．4，10，13，43，100解析：由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得，公差d＝eq\f(an－a1,n－1)＝eq\f(99,n－1).又因?yàn)閐∈N，n≥3，所以n－1可能為3，9，11，33，99，n的全部可能取值為4，10，12，34，100.答案：B5．(2024·廣東六校第一次聯(lián)考)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若S5＝2S4，a2＋a4＝8，則a5＝()A．6 B．7C．8 D．10解析：法一：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由題意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5a1＋\f(5×4,2)d＝2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4a1＋\f(4×3,2)d))，,a1＋d＋a1＋3d＝8，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝－2，,d＝3，))故a5＝a1＋4d＝－2＋12＝10.法二：因?yàn)镾5＝2S4，所以a5＝S4＝eq\f(1,2)S5.因?yàn)閍1＋a5＝a2＋a4＝8，所以S5＝eq\f(（a1＋a5）·5,2)＝eq\f(8×5,2)＝20，所以a5＝eq\f(1,2)S5＝eq\f(1,2)×20＝10.答案：D6．(2024·廣東百校聯(lián)考)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若a1≠0，S2＝a4，則eq\f(a5,S3)＝()A．1 B．eq\f(2,3)C．eq\f(5,3) D．eq\f(7,9)解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由S2＝a4，得2a1＋d＝a1＋3d，所以a1＝2d，所以eq\f(a5,S3)＝eq\f(a1＋4d,3a1＋3d)＝eq\f(6d,9d)＝eq\f(2,3).答案：B7．(2024·安徽八校聯(lián)考)在公差不為0的等差數(shù)列{an}中，4a3＋a11－3a5＝10，則eq\f(1,5)a4＝()A．－1 B．0C．1 D．2解析：法一：設(shè)數(shù)列{an}的公差為d(d≠0)，由4a3＋a11－3a5＝10，得4(a1＋2d)＋(a1＋10d)－3(a1＋4d)＝10，即2a1＋6d＝10，即a1＋3d＝5，故a4＝5，所以eq\f(1,5)a4＝1.法二：設(shè)數(shù)列{an}的公差為d(d≠0)，因?yàn)閍n＝am＋(n－m)d，所以由4a3＋a11－3a5＝10，得4(a4－d)＋(a4＋7d)－3(a4＋d)＝10，整理得a4＝5，所以eq\f(1,5)a4＝1.法三：由等差數(shù)列的性質(zhì)，得2a7＋3a3－3a5＝10，所以4a5＋a3－3a5＝10，即a5＋a3＝10，則2a4＝10，即a4＝5，所以eq\f(1,5)答案：C8．已知{an}是等差數(shù)列，a1＝9，S5＝S9，那么使其前n項(xiàng)和Sn最大的n是()A．6 B．7C．8 D．9解析：因?yàn)閍1＞0，S5＝S9，所以公差小于零，數(shù)列{an}的散點(diǎn)圖對(duì)應(yīng)的拋物線開口向下且對(duì)稱軸為x＝7，故n＝7時(shí)，Sn最大．答案：B9．中位數(shù)為1010的一組數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，其末項(xiàng)為2015，則該數(shù)列的首項(xiàng)為________．解析：設(shè)數(shù)列首項(xiàng)為a1，則eq\f(a1＋2015,2)＝1010，故a1＝5.答案：510．設(shè)等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，若對(duì)隨意正整數(shù)n都有eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(2n－3,4n－3)，則eq\f(a9,b5＋b7)＋eq\f(a3,b8＋b4)的值為________．解析：因?yàn)閧an}，{bn}為等差數(shù)列，所以eq\f(a9,b5＋b7)＋eq\f(a3,b8＋b4)＝eq\f(a9,2b6)＋eq\f(a3,2b6)＝eq\f(a9＋a3,2b6)＝eq\f(a6,b6).因?yàn)閑q\f(S11,T11)＝eq\f(a1＋a11,b1＋b11)＝eq\f(2a6,2b6)＝eq\f(2×11－3,4×11－3)＝eq\f(19,41)，所以eq\f(a9,b5＋b7)＋eq\f(a3,b8＋b4)＝eq\f(19,41).答案：eq\f(19,41)11．(2024·廣東第一次模擬)等差數(shù)列l(wèi)og3(2x)，log3(3x)，log3(4x＋2)，…的第四項(xiàng)等于________．解析：∵log3(2x)，log3(3x)，log3(4x＋2)成等差數(shù)列，∴l(xiāng)og3(2x)＋log3(4x＋2)＝2log3(3x)，∴l(xiāng)og3[2x(4x＋2)]＝log3(3x)2，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x（4x＋2）＝（3x）2，,2x＞0，,4x＋2＞0，,3x＞0，))解得x＝4，∴等差數(shù)列的前三項(xiàng)為log38，log312，log318，∴公差d＝log312－log38＝log3eq\f(3,2)，∴數(shù)列的第四項(xiàng)為log318＋log3eq\f(3,2)＝log327＝3.答案：312．(2024·廣東六校第三次聯(lián)考)等差數(shù)列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，求a9－eq\f(1,3)a11的值．解析：依題意，由a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，得5a8＝120，即a8＝24，所以a9－eq\f(1,3)a11＝eq\f(1,3)(3a9－a11)＝eq\f(1,3)(a9＋a7＋a11－a11)＝eq\f(1,3)(a9＋a7)＝eq\f(2,3)a8＝eq\f(2,3)×24＝16.[B組素養(yǎng)提升練]1．(2024·河北石家莊模擬)已知函數(shù)f(x)在(－1，＋∞)上單調(diào)，且函數(shù)y＝f(x－2)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，若數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列，且f(a50)＝f(a51)，則{an}的前100項(xiàng)的和為()A．－200 B．－100C．0 D．－50解析：由y＝f(x－2)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，可得y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝－1對(duì)稱，由數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列，且f(a50)＝f(a51)，函數(shù)f(x)在(－1，＋∞)上單調(diào)，可得a50＋a51＝－2.又由等差數(shù)列的性質(zhì)得a1＋a100＝a50＋a51＝－2，則{an}的前100項(xiàng)的和為eq\f(100（a1＋a100）,2)＝－100.答案：B2．已知等差數(shù)列{an}中，an≠0，若n≥2且an－1＋an＋1－aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))＝0，S2n－1＝38，則n等于__________．解析：∵{an}是等差數(shù)列，∴2an＝an－1＋an＋1.又∵an－1＋an＋1－aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))＝0，∴2an－aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))＝0，即an(2－an)＝0.∵an≠0，∴an＝2，∴S2n－1＝(2n－1)an＝2(2n－1)＝38，解得n＝10.答案：103．已知數(shù)列{an}滿意a1＝2，n(an＋1－n－1)＝(n＋1)(an＋n)(n∈N*).(1)求證數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))是等差數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn＝eq\r(2an)－15，求數(shù)列{|bn|}的前n項(xiàng)和Tn.解析：(1)證明：∵n(an＋1－n－1)＝(n＋1)(an＋n)(n∈N*)，∴nan＋1－(n＋1)an＝2n(n＋1)，∴eq\f(an＋1,n＋1)－eq\f(an,n)＝2，∴數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))是等差數(shù)列，其公差為2，首項(xiàng)為2，∴eq\f(an,n)＝2＋2(n－1)＝2n.(2)由(1)知an＝2n2，∴bn＝eq\r(2an)－15＝2n－15，則數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn＝eq\f(n（－13＋2n－15）,2)＝n2－14n.令bn＝2n－15≤0，解得n≤7.∴當(dāng)n≤7時(shí)，數(shù)列{|bn|}的前n項(xiàng)和Tn＝－b1－b2－…－bn＝－Sn＝－n2＋14n.當(dāng)n≥8時(shí)，數(shù)列{|bn|}的前n項(xiàng)和Tn＝－b1－b2－…－b7＋b8＋…＋bn＝－2S7＋Sn＝－2×(72－14×7)＋n2－14n＝n2－14n＋98.∴Tn＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(14n－n2，n≤7，,n2－14n＋98，n≥8.))4．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝－2，公差為d(d∈N*).(1)若a5＝30，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)是否存在d，n使Sn＝10成立？若存在，試找出全部滿意條件的d，n的值，并求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；若不存在，請說明理由．解析：(1)當(dāng)a5＝30時(shí)，由a5＝a1＋4d，得30＝－2＋4d，解得d＝8，所以an＝a1＋(n－1)d＝8n－10，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝8n－10.(2)由Sn＝10，得－2n＋eq\f(n（n－1）,2)d＝10，即－4n＋dn2－dn＝20，所以dn2－(d＋4)n－20＝0.當(dāng)n＝1時(shí)，得－24＝0不存在；當(dāng)n＝2時(shí)，得d＝14符合，此時(shí)數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝a1＋(n－1)d＝14n－16；當(dāng)n＝3時(shí)，得d＝eq\f(16,3)不符合；當(dāng)n＝