高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：指數(shù)與指數(shù)函數(shù)（講義）（原卷版+解析）

第04講指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

目錄

考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計考情分析

(1)理解有理數(shù)指數(shù)幕的含義，了從近五年的高考情況來看，指數(shù)

解實(shí)數(shù)指數(shù)基的意義，掌握指數(shù)幕的運(yùn)算與指數(shù)函數(shù)是高考的一個

運(yùn)算性質(zhì).重點(diǎn)也是一個基本點(diǎn)，常與二次

2022年甲卷第12題，5分

(2)通過實(shí)例，了解指數(shù)函數(shù)的實(shí)函數(shù)、募函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三

2020年新高考n卷第H題，5分

際意義，會畫指數(shù)函數(shù)的圖象.角函數(shù)綜合，考查數(shù)值大小的

(3)理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、特殊比較和函數(shù)方程問題.

點(diǎn)等性質(zhì)，并能簡單應(yīng)用.

根式的定義

指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

―夯基?必備基礎(chǔ)知識梳理

1、指數(shù)及指數(shù)運(yùn)算

(1)根式的定義：

一般地，如果無"=口，那么x叫做。的"次方根，其中(〃>1,neN"),記為布，〃稱為根指數(shù)，。稱

為根底數(shù).

(2)根式的性質(zhì)：

當(dāng)”為奇數(shù)時，正數(shù)的"次方根是一個正數(shù)，負(fù)數(shù)的〃次方根是一個負(fù)數(shù).

當(dāng)”為偶數(shù)時，正數(shù)的“次方根有兩個，它們互為相反數(shù).

(3)指數(shù)的概念：指數(shù)是基運(yùn)算中的一個參數(shù)，。為底數(shù)，〃為指數(shù)，指數(shù)位于底數(shù)的右上角，

塞運(yùn)算表示指數(shù)個底數(shù)相乘.

(4)有理數(shù)指數(shù)累的分類

〃個

①正整數(shù)指數(shù)基/“二(nW②零指數(shù)幕?！?1("°)；

CL—ClClCI???ClI"t2V)

③負(fù)整數(shù)指數(shù)幕或"=4(。*0,〃eN*)；④0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)累等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)嘉沒有意義.

a

(5)有理數(shù)指數(shù)哥的性質(zhì)

①曖a"=a'"+"(a＞0,加,〃w。)；②(4')"=曖"(。＞0,m,ncQ)；

___m

③(ab)"'=a"'b"'(a＞0,b＞0,m&Q)■④"m，〃e。).

2、指數(shù)函數(shù)

y=優(yōu)

0<?<1a>l

圖

象

o|1

性①定義域R,值域(。，+8)

質(zhì)②“。=1,即時x=0,y=l,圖象都經(jīng)過(0，1)點(diǎn)

@ax=a,即x=l時，V等于底數(shù)。

④在定義域上是單調(diào)減函數(shù)在定義域上是單調(diào)增函數(shù)

⑤尤<0時，ax>1;x>0時，0<ax<1X<0時，0<優(yōu)<1;%>0時，ax>1

⑥既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)

【解題方法總結(jié)】

1、指數(shù)函數(shù)常用技巧

(1)當(dāng)?shù)讛?shù)大小不定時，必須分和兩種情形討論.

(2)當(dāng)0＜。＜1時，xf+oo,y—o；。的值越小，圖象越靠近'軸，遞減的速度越快.

當(dāng)。＞1時xf+8,y-o；。的值越大，圖象越靠近丫軸，遞增速度越快.

(3)指數(shù)函數(shù)y=優(yōu)與y=(-)x的圖象關(guān)于y軸對稱.

a

一提升?必考題型歸納

【典例例題】

題型一：指數(shù)運(yùn)算及指數(shù)方程、指數(shù)不等式

、"+3

【例1】（2023?海南省直轄縣級單位?統(tǒng)考模擬預(yù)測）

【對點(diǎn)訓(xùn)練1】（2023?全國?高三專題練習(xí)）下列結(jié)論中，正確的是（

A.設(shè)。>。，則於廿二“B.若〃/=2,則加=土蚯

C右。+。,=3,則.5+°2=±逐D.=2—71

【對點(diǎn)訓(xùn)練2】（2023?全國?高三專題練習(xí)）A22

B.2+71C.4一兀D.6—71

【對點(diǎn)訓(xùn)練3】（2023?全國?高三專題練習(xí)）甲、乙兩人解關(guān)于x的方程2，+。?2-'+0=0,甲寫錯了常數(shù)。,

17

得到的根為x=-2或X=log21,乙寫錯了常數(shù)C,得至IJ的根為1=0或%=1,則原方程的根是（）

A.x=-2^x=log23B.x=—1或尤=1

C.x=0或x=2D.X=—1或九=2

【對點(diǎn)訓(xùn)練4】（2023?全國?高三專題練習(xí)）若關(guān)于x的方程9"+3同-根+1=0有解，則實(shí)數(shù)加的取值范圍是

（）

5

A.(l,+°o)—,+coC.(-00,3]D.(1,3]

4

【對點(diǎn)訓(xùn)練5】（2023?上海青浦?統(tǒng)考一模）不等式：的解集為.

【對點(diǎn)訓(xùn)練6】（2023?全國?高三專題練習(xí)）不等式10,-6工-3工21的解集為.

【解題總結(jié)】

利用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)解題.對于形如a"''=6,aM>b,。/⑺<6的形式常用“化同底”轉(zhuǎn)化，再利用指

數(shù)函數(shù)單調(diào)性解決；或用“取對數(shù)”的方法求解.形如片"+及r'+c=0或1x+&f+C摩）（0）的形式，可借助

換元法轉(zhuǎn)化二次方程或二次不等式求解.

題型二：指數(shù)函數(shù)的圖像及性質(zhì)

【例2】（多選題）（2023?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)/（"=2'+=（awR）的圖象可能為（）

【對點(diǎn)訓(xùn)練7】（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知了⑶=，3?+2如-"—1的定義域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)a的取值范圍

是______

【對點(diǎn)訓(xùn)練8】（2023?寧夏銀川?校聯(lián)考二模）已知函數(shù)/（力=4'-2A2—1,xe［0,3］,則其值域?yàn)?

【對點(diǎn)訓(xùn)練9】（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/（力="（a>0,awl）在［L2］內(nèi)的最大值是最小值的兩

/(x)+l,x>1則g［；］+g(2)=

倍,且g(x)=

log3x-l,0<x<l

【對點(diǎn)訓(xùn)練10］（2023?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)y=（。-2）2/是指數(shù)函數(shù)，則（）

A.a=l或a=3B.a=lC.a=3D.。〉0且awl

【對點(diǎn)訓(xùn)練11】（2023?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)〃耳=（產(chǎn)-6）2的大致圖像如圖，則實(shí)數(shù)a,b的取值只可

B.a>0,0<b<}

C.a<0,b>lD.a<0,0<b<l

【對點(diǎn)訓(xùn)練12］（2023?全國?高三專題練習(xí)）己知函數(shù)/（元）="一4+1（。>0且awl）的圖象恒過定點(diǎn)A,

io

若點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足關(guān)于x,y的方程痛+利=4（根>0,〃>0）,則_*_+二的最小值為（）

mn

A.8B.24C.4D.6

【對點(diǎn)訓(xùn)練13】（多選題）（2023?浙江紹興?統(tǒng)考模擬預(yù)測）預(yù)測人口的變化趨勢有多種方法，“直接推算法”

使用的公式是匕=片（1+燈”伏>-1）,其中匕為預(yù)測期人口數(shù)，益為初期人口數(shù)，%為預(yù)測期內(nèi)人口年增長

率，〃為預(yù)測期間隔年數(shù)，則（）

A.當(dāng)左則這期間人口數(shù)呈下降趨勢

B.當(dāng)左則這期間人口數(shù)呈擺動變化

C.當(dāng)上=$勺226時，”的最小值為3

D.當(dāng)左=-g，e,wg此時，”的最小值為3

【對點(diǎn)訓(xùn)練14】（多選題）（2023?山東聊城?統(tǒng)考二模）已知函數(shù)=則（）

A.函數(shù)〃x）是增函數(shù)

B.曲線y=/（x）關(guān)于對稱

C.函數(shù)的值域?yàn)?/p>

D.曲線y=〃x）有且僅有兩條斜率為g的切線

【解題總結(jié)】

解決指數(shù)函數(shù)有關(guān)問題，思路是從它們的圖像與性質(zhì)考慮，按照數(shù)形結(jié)合的思路分析，從圖像與性質(zhì)

找到解題的突破口，但要注意底數(shù)對問題的影響.

題型三：指數(shù)函數(shù)中的恒成立問題

【例3】（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/（%）=2",%￡R,若不等式尸（%）+/（%）一根>。在R上恒成立，

則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

,X—r）~x/\

【對點(diǎn)訓(xùn)練15】（2023?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)/（x）=三二，當(dāng)xeR時，/+如）+/⑴>0恒成立,

則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

【對點(diǎn)訓(xùn)練16］（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知不等式4，-少2工+2>0,對于ae（ro,3］恒成立，則實(shí)數(shù)x

的取值范圍是.

【對點(diǎn)訓(xùn)練17](2023?全國?高三專題練習(xí))若xe[-L,+s),不等式平-巾2工+1>0恒成立，則實(shí)數(shù)加的取

值范圍是.

【對點(diǎn)訓(xùn)練18](2023?上海徐匯?高三位育中學(xué)校考開學(xué)考試)已知函數(shù)〃x)=油是定義域?yàn)镽的奇函

數(shù).

(1)求實(shí)數(shù)6的值，并證明/(x)在R上單調(diào)遞增；

(2)已知a>0且。片1,若對于任意的4、都有〃%)+；2°廿恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【解題總結(jié)】

已知不等式能恒成立求參數(shù)值(取值范圍)問題常用的方法：

(1)函數(shù)法：討論參數(shù)范圍，借助函數(shù)單調(diào)性求解；

(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域或最值問題加以解決；

(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖

象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.

題型四：指數(shù)函數(shù)的綜合問題

171

【例4】(2023?全國?合肥一中校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(X)==^+k^+l+―7,則不等式

'/2、+24x-4x-1

〃2x+3)>/(f)的解集為()

A.(—2,1)口(1,B.(-1,1)U(3，H

C.卜川U(3,+⑹D.(-3,1)U(3,^>)

【對點(diǎn)訓(xùn)練191(2023.上海浦東新.華師大二附中校考模擬預(yù)測)設(shè).若函數(shù)y=/⑺的

I2—U2)

定義域?yàn)?F』)U(1,E),則關(guān)于X的不等式"2/(a)的解集為.

【對點(diǎn)訓(xùn)練20](2023?河南安陽?統(tǒng)考三模)已知函數(shù)〃無)=6+苗[(“>0)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，則

a+b=.

【對點(diǎn)訓(xùn)練211（2023?江西景德鎮(zhèn)?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知/（%）是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x20時，/（x）=e",

則滿足“x+1），f（x）的龍的取值范圍是

____o

【對點(diǎn)訓(xùn)練22】（2023?河南信陽?校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知實(shí)數(shù)。，8滿足半+2a=3,log?炳工+〃=§，則

3]

a+—b=.

2----------------

【對點(diǎn)訓(xùn)練23】（多選題）（2023?黑龍江哈爾濱?哈爾濱三中?？级＃c(diǎn)加（石,%）在函數(shù)y=e，的圖象上,

當(dāng)百40,1）,則￡可能等于（）

A.-1B.-2C.-3D.0

1.(2022.全國.統(tǒng)考高考真題)9m=10,a=10m-11,b=8m-9,則()

A.a>0>bB.a>b>0C.b>a>0D.b>Q>a

2.(2022?北京?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)〃無)=「二，則對任意實(shí)數(shù)x,有()

1+2

A./(-x)+/(%)=0B./(T)-/(X)=0

c./(-x)+/(x)=lD./(-%)-/(%)=1

3.(2020?山東.統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)y=〃x)是偶函數(shù)，當(dāng)xe(0,+◎時，y="(0<a<l),則該函數(shù)

在(一*0)上的圖像大致是()

第04講指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

目錄

考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計考情分析

(1)理解有理數(shù)指數(shù)幕的含從近五年的高考情況來看，

義，了解實(shí)數(shù)指數(shù)塞的意義，指數(shù)運(yùn)算與指數(shù)函數(shù)是高

掌握指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì).考的一個重點(diǎn)也是一個基

2022年甲卷第12題，5分

(2)通過實(shí)例，了解指數(shù)函數(shù)本點(diǎn)，常與二次函數(shù)、塞函

2020年新高考II卷第11題,

的實(shí)際意義，會畫指數(shù)函數(shù)的數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)綜

5分

圖象.合，考查數(shù)值大小的比較

(3)理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、和函數(shù)方程問題.

特殊點(diǎn)等性質(zhì)，并能簡單應(yīng)用.

根式的定義

指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

定點(diǎn)

―夯基?必備基礎(chǔ)知識梳理

1、指數(shù)及指數(shù)運(yùn)算

(1)根式的定義：

一般地，如果無'="，那么x叫做。的〃次方根，其中(〃>1,neN*),記為折，”稱

為根指數(shù)，。稱為根底數(shù).

(2)根式的性質(zhì)：

當(dāng)“為奇數(shù)時，正數(shù)的"次方根是一個正數(shù)，負(fù)數(shù)的“次方根是一個負(fù)數(shù).

當(dāng)“為偶數(shù)時，正數(shù)的〃次方根有兩個，它們互為相反數(shù).

(3)指數(shù)的概念：指數(shù)是基運(yùn)算a"(aNO)中的一個參數(shù)，a為底數(shù)，〃為指數(shù)，指數(shù)位于

底數(shù)的右上角，幕運(yùn)算表示指數(shù)個底數(shù)相乘.

(4)有理數(shù)指數(shù)累的分類

〃個

①正整數(shù)指數(shù)暴屋丁-；②零指數(shù)累?！?()；

CI_—C°lC7lCI???ClS\rletNIV*))1"°

③負(fù)整數(shù)指數(shù)塞，'=5(。*0,neN*)；④0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)事等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指

數(shù)募沒有意義.

(5)有理數(shù)指數(shù)塞的性質(zhì)

①曖優(yōu)=""+0(。>0,m,n&Q).②(a‘")"="""(〃>0,m,〃e。)；

@(ab/1=ambm(a>0,b>0,m^Q)-④武=/(a>0,"l,n&Q).

2、指數(shù)函數(shù)

y=ax

0<a<la>l

圖

象V

o\1Xo\1X

性①定義域R,值域(0,+8)

質(zhì)②a0=l,即時x=0,y=l,圖象都經(jīng)過(0，D點(diǎn)

@ax=a,即x=l時，V等于底數(shù)。

④在定義域上是單調(diào)減函數(shù)在定義域上是單調(diào)增函數(shù)

⑤xvO時，ax>1;x>0時，0<ax<1xvO時，%>0時，ax>1

⑥既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)

【解題方法總結(jié)】

1、指數(shù)函數(shù)常用技巧

(1)當(dāng)?shù)讛?shù)大小不定時，必須分“a>1”和“0<a<1"兩種情形討論.

(2)當(dāng)0<a<l時，xf+00，y_>o；。的值越小，圖象越靠近'軸，遞減的速度越快.

當(dāng)。>1時xf+oo,>一0;。的值越大，圖象越靠近'軸，遞增速度越快.

⑶指數(shù)函數(shù)y=/與y=(-)%的圖象關(guān)于y軸對稱.

a

.提升?必考題型歸納

【典例例題】

題型一：指數(shù)運(yùn)算及指數(shù)方程、指數(shù)不等式

【例1】（2023.海南省直轄縣級單位.統(tǒng)考模擬預(yù)測）==（）

\277

A.9B.-C.3D.走

99

【答案】B

故選：B.

【對點(diǎn)訓(xùn)練1】（2023?全國?高三專題練習(xí)）下列結(jié)論中，正確的是（）

A.設(shè)"°，則層.=4B.若〃[8=2,貝1|加=±3

C.若。+。一’=3,則a5+q-^:土^^D.,（2-萬）4=2—萬

【答案】B

434325

【解析】對于A,根據(jù)分式指數(shù)幕的運(yùn)算法則，可得拒.萬一萬+W一選項(xiàng)A錯誤;

對于B,優(yōu)8=2,故機(jī)=±啦，選項(xiàng)B正確；

對于C,4+：=3,儲+/）2=〃+〃-|+2=3+2=5，因?yàn)?。＞。，所以?尸=6'，選項(xiàng)

C錯誤；

對于D,42_%）4=|2—同=萬一2，選項(xiàng)D錯誤.

故選：B.

【對點(diǎn)訓(xùn)練2】（2023?全國?高三專題練習(xí)）)

A.兀B.2+兀C.4—兀D.6—7T

【答案】B

-05-2

【解析】閡+7^+（23ml滬g+兀-2+4*.2+兀.

故選：B

【對點(diǎn)訓(xùn)練3】（2023?全國?高三專題練習(xí)）甲、乙兩人解關(guān)于x的方程2工+6?2一*+°=0,甲

寫錯了常數(shù)6,得到的根為x=-2或尸log217，乙寫錯了常數(shù)c,得至U的根為x=0或x=l,

則原方程的根是（）

A.%=-2或x=log23B.x=-l或x=l

C.x=0或x=2D.x=-l或無=2

【答案】D

【解析】令"23則方程2'+力2-、+0=0可化為』+b+6=0，甲寫錯了常數(shù)6,

所以;和U是方程產(chǎn)+”+根=o的兩根，所以+-苫，

44144J2

乙寫錯了常數(shù)C,所以1和2是方程〃+加+6=0的兩根，所以b=lx2=2,

則可得方程/一亍+2=0,解得(=標(biāo)=4,

所以原方程的根是x=-l或x=2

故選：D

【對點(diǎn)訓(xùn)練4】(2023?全國?高三專題練習(xí))若關(guān)于x的方程9'+3用-〃?+1=0有解，則實(shí)數(shù)加

的取值范圍是()

A.。,+8)B.C.(-oo,3]D.(1,3]

【答案】A

【解析】方程9工+3加-"z+l=0有解，

(3)+3x3,-m+l=O有解，

令3*=f>0,

則可化為『+3”機(jī)+1=0有正根，

則產(chǎn)+3f=m-l在(。,+。)有解,又當(dāng)t?0,+oo)時,/2+3z>0

所以m—l>0=>m>l,

故選：A.

【對點(diǎn)訓(xùn)練5】(2023?上海青浦?統(tǒng)考一模)不等式2427VM的解集為.

【答案】(-3,2)

【解析】函數(shù)y=2"在R上單調(diào)遞增，則

3<§)3(—o2/口-3<2-3(Z)od_2x_3<-3(x-l),

BPx2+x-6<0,解得-3<x<2,

所以原不等式的解集為(-3,2).

故答案為:(-3,2)

【對點(diǎn)訓(xùn)練6】(2023?全國?高三專題練習(xí))不等式10工-6*-3工21的解集為.

【答案】[1,+8)

【解析】由10'-6-3,21,可得+(色]+f—<1.

因?yàn)椤?(小;=直;=焦］均為區(qū)上單調(diào)遞減函數(shù)

則/(x)在R上單調(diào)逆減，且/(1)=1,

:.x>\

故不等式ioA-6x-y>i的解集為□，+℃).

故答案為：［1,+8).

【解題總結(jié)】

利用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)解題.對于形如i=b,afM>b,afw<6的形式常用“化同底”

轉(zhuǎn)化，再利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性解決；或用“取對數(shù)”的方法求解.形如a2'+&'+C=0或

/+Bax+C厘)(0)的形式，可借助換元法轉(zhuǎn)化二次方程或二次不等式求解.

題型二：指數(shù)函數(shù)的圖像及性質(zhì)

【例2】(多選題)(2023.全國.高三專題練習(xí))函數(shù)=2'+三(。eR)的圖象可能為()

【答案】ABD

【解析】根據(jù)函數(shù)解析式的形式，以及圖象的特征，合理給。賦值，判斷選項(xiàng).當(dāng)。=0時，

〃力=2，，圖象A滿足；

當(dāng)。=1時，〃a=2工+(,"0)=2,且〃r)=/(x),此時函數(shù)是偶函數(shù)，關(guān)于y軸對

稱，圖象B滿足；

當(dāng)。=—1時，/(x)=21-^,/(0)=0,H.f(-%)=-/(%),此時函數(shù)是奇函數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)

對稱，圖象D滿足；

圖象C過點(diǎn)(0,1),止匕時。=0,故C不成立.

故選：ABD

【對點(diǎn)訓(xùn)練7】(2023?全國?高三專題練習(xí))已知了(%)=的定義域?yàn)镽,則實(shí)

數(shù)a的取值范圍是.

【答案】[-1,0]

【解析】?//(x)=正+2—1的定義域?yàn)镽,

3，+2mT-12。對任意XGR恒成立，

2

即y+2ax-a21=3°恒成立，

即x2+2ax-a20對任意xeR恒成立，

A=4a2+4a<0，則TWaW0.

故答案為FLO].

【對點(diǎn)訓(xùn)練8】(2023嚀夏銀川.校聯(lián)考二模)已知函數(shù)〃X)=4'-2￡+2—1,xe[0,3],則其

值域?yàn)?

【答案】[-5,31]

【解析】令r=23Vxe[0,3]，.-.l<r<8,

r.g(r)=r—4/—1=(t—2)——5,re[l,8]

又>=8(。關(guān)于t=2對稱，開口向上，所以g?)在[1,2)上單調(diào)遞減，在(2,8]上單調(diào)遞增，

M|8-2|>|2-1|,

.」=2時，函數(shù)取得最小值，即g⑺1111n=-5,f=8時，函數(shù)取得最大值，即g”)1mx=31,

.-./(x)e[-5,31].

故答案為：[-5,31].

【對點(diǎn)訓(xùn)練9】(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)〃x)="(a>0,awl)在[L2]內(nèi)的最大

值是最小值的兩倍，且g(尤bl/‘'"：'：卻[，則g「l+g(2)=______

[log3x—<3J

3

【答案】3或--

【解析】當(dāng)a>l時，函數(shù)/(%)在[1，2]內(nèi)單調(diào)遞增，

此時函數(shù)〃力的最大值為〃2)=a1,最小值為/(I)=a,

[2X+1x>l

由題意得儲=2a,解得〃=2,則g(%)=(9",

[log3x-l,0<x<l

lHJ^g[1]+g(2)=log3g-l+22+l=3；

當(dāng)0<〃<1時,函數(shù)〃尤）在［1,2］內(nèi)單調(diào)遞減，

此時函數(shù)“X）的最大值為了⑴=4,最小值為“2）=/,

由題意得4=2/,解得a=；,則g（x）=<I+l,x>l

log3x-l,0<x<l

此時g（；）+g⑵=1鳴；-1+出+1=-1-

3

故答案為：3或-二.

4

【對點(diǎn)訓(xùn)練10］（2023?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)y=（a-2）2優(yōu)是指數(shù)函數(shù)，則（）

A.4=1或a=3B.<7=1C.a=3D.a>0且

【答案】C

【解析】由指數(shù)函數(shù)定義知（。-2）2=1,同時。>0,且。工1,所以解得“=3.

故選：C

【對點(diǎn)訓(xùn)練11X2023?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)〃x）=（泮-"的大致圖像如圖,則實(shí)數(shù)a,

6的取值只可能是（）

C.tz<0,Z?>lD.a<0,0<b<l

【答案】C

【解析】若。>0,y=e^—b為增函數(shù)，

且％—>+oo,yf+oo,/(%)f+oo,與圖象不符，

若a<0,>=為減函數(shù)，

且xf+℃,yf—b,f（x）—>,與圖象相符，所以。<0,

當(dāng)/（x）=0時，em=b,

結(jié)合圖象可知，止匕時x<0,所av>0,貝Ue">e°=l,所以6>1,

故選:C.

【對點(diǎn)訓(xùn)練12］（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/。）="-4+1">0且"1）的圖

io

象恒過定點(diǎn)4若點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足關(guān)于x,y的方程皿+利=4（加>0,〃>0）,則▲+女的最

mn

小值為（）

A.8B.24C.4D.6

【答案】C

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)〃力=。1+1（，>0,々。1）圖象恒過定點(diǎn)（4,2）

又點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足關(guān)于X,y的方程痛+〃y=4（m>0,〃>0）,

所以4機(jī)+2〃=4,

即2根+〃=2

4mn)

4+

勿

當(dāng)且僅當(dāng)4絲7=?T即1〃=2m=1時取等號；

nm

1?

所以上+女的最小值為4.

mn

故選：C.

【對點(diǎn)訓(xùn)練13】（多選題）（2023?浙江紹興?統(tǒng)考模擬預(yù)測）預(yù)測人口的變化趨勢有多種方法，

“直接推算法”使用的公式是工=《（1+幻”（左>-1），其中尸，為預(yù)測期人口數(shù)，庶為初期人口

數(shù)，%為預(yù)測期內(nèi)人口年增長率，九為預(yù)測期間隔年數(shù)，則（）

A.當(dāng)左€（-1,0）,則這期間人口數(shù)呈下降趨勢

B.當(dāng)Ze（-l,0）,則這期間人口數(shù)呈擺動變化

C.當(dāng)左=5《22用時，〃的最小值為3

D.當(dāng)左=一（勺4；《時，〃的最小值為3

【答案】AC

【解析】4>0,0<1+左<1,由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知：匕=《（1+幻"伏>-1）是關(guān)于力的單調(diào)

遞減函數(shù)，

即人口數(shù)呈下降趨勢，故A正確，B不正確；

k=^,P?=P0^>2P0,所以O(shè),所以心*2（〃eN）,

log,2e（2,3）；所以"的最小值為3,故C正確;

3

%=T，d審?fù)?，所以自今所以〃a'""）,

bg2；=bg22e（l,2）,所以”的最小值為2,故D不正確;

32

故選：AC.

【對點(diǎn)訓(xùn)練14】（多選題）（2023?山東聊城?統(tǒng)考二模）已知函數(shù),則（）

A.函數(shù)/（x）是增函數(shù)

B.曲線y=〃x）關(guān)于（。,￡|對稱

C.函數(shù)/（無）的值域?yàn)椋ā?

D.曲線y=/（x）有且僅有兩條斜率為;的切線

【答案】AB

【解析】根據(jù)題意可得了（尤）=5,X=1-不、1，易知、=黃1石是減函數(shù)，

所以/（尤）=1-”■是增函數(shù)，即A正確；

2r12X1

由題意可得〃T）=M=六，所以+=F—+—一=1,

v7v72X+12X+1

即對于任意xeR,滿足〃r）+/（x）=l,所以y=〃x）關(guān)于］。，［對稱，即B正確;

11

由指數(shù)函數(shù)值域可得2工+1?1,y），所以冊即〃句=1_"?0,1）,

所以函數(shù)八》）的值域?yàn)椋?,1）,所以C錯誤；

2、In2

易知/（了）=令r（x）=g,整理可得（2，）2-（51n2-2）?2，+l=0,

（2'+1『

令2—e（0,+oo）,即r-（51n2—2?+l=0,

易知A=（51n2-2）2-4,又因?yàn)?32<36<6.252=2.5,<e“，即25<e%

2

所以51n2<4,BP0<51n2-2<2,HittA=（51n2-2）-4<0:

即關(guān)于f的一元二次方程產(chǎn)-（51n2-2"+l=0無實(shí)數(shù)根；

所以（2工丫-（51n2-2>2工+1=0無解，即曲線y=〃x）不存在斜率為g的切線，即D錯誤;

故選：AB

【解題總結(jié)】

解決指數(shù)函數(shù)有關(guān)問題，思路是從它們的圖像與性質(zhì)考慮，按照數(shù)形結(jié)合的思路分析,

從圖像與性質(zhì)找到解題的突破口，但要注意底數(shù)對問題的影響.

題型三：指數(shù)函數(shù)中的恒成立問題

【例3】(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=2、,xeR,若不等式「(無)+/(乃-倘

在R上恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

【答案】(F,。〉

【解析】令/(尤)=「。>。),”")=*+0>。，

因?yàn)椤ā?=?+工)2-工在區(qū)間(0,+8)上是增函數(shù)，

24

所以“⑺>"(0)=0.

因此要使r+/>m在區(qū)間(。，+8)上恒成立，應(yīng)有機(jī)4。，即所求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為

故答案為：(-8,0］.

【對點(diǎn)訓(xùn)練15】(2023?全國?高三專題練習(xí))設(shè)〃同=主心二,當(dāng)xeR時，

/卜2+如)+/(1)>0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

【答案】(-2⑵

?x—r)~x111

【解析】由函數(shù)/(%)=三—三.(2、-2-*)=？2=(扣，

?.?X=2，,y2=-1g［均為在R上的增函數(shù)，故函數(shù)/(X)是在R上的單調(diào)遞增函數(shù)，

且滿足/(-%)=2*1一2-=-(2--2*|)=-/(%),所以函數(shù)為奇函數(shù)，

因?yàn)閒(x2+mx)+/(I)>0,即f(x2+mx)>-/(I)=/(-I),

可得d+爾>-1恒成立，即+如+1>o在xeR上恒成立，

則滿足根2-4<0，即毋<4,解得一2<〃?<2,

所以實(shí)數(shù)優(yōu)的取值范圍是(-2,2).

故答案為：(-2⑵.

【對點(diǎn)訓(xùn)練16】(2023?全國?高三專題練習(xí))已知不等式4*-幺2*+2>0,對于恒

成立，則實(shí)數(shù)尤的取值范圍是.

【答案】y,0)D(l,+8)

【解析】設(shè)t=2%t>0,

則產(chǎn)-8+2>0,對于。€(-8,3］恒成立,

2

即0</+-,對于ae(-oo,3］恒成立，

即產(chǎn)一3t+2>0,

解得/>2或7<1,

即2*>2或2工<1，

解得x>l或x<0，

綜上，x的取值范圍為（-8,O）D（1,+00）.

故答案為：（-8,0）0（1,+8）.

【對點(diǎn)訓(xùn)練17]（2023?全國?高三專題練習(xí)）若無e[-l,+oo）,不等式4,+1>0恒成立,

則實(shí)數(shù)加的取值范圍是.

【答案】（一8,2）

【解析】令t=2",；無1+°°），

：軍-加-2x+l>0恒成立，：.m<^+t,te+8）恒成立，

\-t+->2,當(dāng)且僅當(dāng)r=l時，即x=0時，表達(dá)式取得最小值，

t

m<2,

故答案為（-s,2）.

【對點(diǎn)訓(xùn)練18]（2023?上海徐匯?高三位育中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)/（力="V7+子h是定

義域?yàn)镽的奇函數(shù).

⑴求實(shí)數(shù)匕的值，并證明“X）在R上單調(diào)遞增；

⑵已知a>0且awl,若對于任意的4、X2e[l,3],都有/（xJ+52°廿恒成立，求實(shí)數(shù)“

的取值范圍.

【解析】（1）因?yàn)楹瘮?shù)/（"=1r'是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，

則〃。）=￥=。，解得6=-1，止匕時〃x）=2二=1--—,

23X+13X+1

對任意的xeR,3x+l>0,即函數(shù)/（x）的定義域?yàn)镽,

3-“—]3"3”―1）1_

/（一"）=笆1=?盧司=匚彳=一""，即函數(shù)”X）為奇函數(shù)，合乎題意，

任?。ァⅰ盧且…2,則0<3"<3'2,

所以，小）-仆）力-島卜卜；則/⑹<“），

所以，函數(shù)“X）在R上單調(diào)遞增.

(2)由(1)可知,函數(shù)/(x)在[1,3]上為增函數(shù)，

QQ1

對于任意的公、馬e[L3],都有/(%)+廣*2,則六2一日⑴=(

a"W2，

因?yàn)椋[1,3],則題-2右[-1,1].

當(dāng)。<”1時，則有解得gwo<l；

當(dāng)°>1時，貝!]有a<2,1b匕時l<aW2.

綜上所述，實(shí)數(shù)。的取值范圍是；，ju(l，2].

【解題總結(jié)】

已知不等式能恒成立求參數(shù)值(取值范圍)問題常用的方法：

(1)函數(shù)法：討論參數(shù)范圍，借助函數(shù)單調(diào)性求解；

(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域或最值問題加以解決；

(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系

中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.

題型四：指數(shù)函數(shù)的綜合問題

171

【例4】(2023?全國?合肥一中校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=k?+kz+l+—7，

-2*+24尤一4x-1

則不等式“2%+3)>/卜2)的解集為()

A.(-2,1)51，y)B.(-1,1)U(3,^?)

C.,；,1)U(3,+S)D.(-3,l)U(3,y)

【答案】B

【解析】依題意，xwl,f(x\=^—+^,

'/4x-4x-1

QX+1iQ1—x-iz^x+1QX+1

故〃l+x)+〃l—x)=—■—+1+-+------+1--=—：—+------+2=2,

v7v74-4x4x-4x4X-44-4r

故函數(shù)的圖象關(guān)于(1,1)中心對稱，

121

當(dāng)x>l時，y=——y=——j=l+—；單調(diào)遞減，

2+24-4x-1

1O1

故/(X)在(1,+8)上單調(diào)遞減，且=M■萬+疝三+1+匕>1,

函數(shù)/(X)的圖象關(guān)于(1,1)中心對稱，/(X)在("』)上單調(diào)遞減,/(X)<L

[^/(2%+3)>/(x2),故2X+3<X2<1或尤2<I<2X+3或1<2尤+3<%2,

解得-1<X<1或X>3,故所求不等式的解集為（-1,1）U（3,笆），

故選：B.

【對點(diǎn)訓(xùn)練19］（2023.上海浦東新.華師大二附中?？寄M預(yù)測）設(shè)/"）=?/^+￡|.若

函數(shù)y=的定義域?yàn)椋╕』）U（i，y），則關(guān)于x的不等式/>/（?）的解集為

【答案】［1,+8）

【解析】若。40,對任意的xeR,21-?>0,則函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽,不合乎題意，

所以，a>0,由2工一。W0可得xwbg?。，

因?yàn)楹瘮?shù)y=〃x）的定義域?yàn)閧無歸片1},所以，/og2a=1,解得a=2,

所以，仆）<=+與，則/（力”2）=2］=+；2,

由可得2注2，解得x21.

因此，不等式就2〃.）的解集為［1,+向.

故答案為：［1,+8）.

2/7-1

【對點(diǎn)訓(xùn)練20］（2023?河南安陽?統(tǒng)考三模）已知函數(shù)/⑴=6+正工（〃〉0）的圖象關(guān)于坐

標(biāo)原點(diǎn)對稱，則J〃+b=.

【答案】13/1.5

【解析】依題意函數(shù)/（X）是一個奇函數(shù)，

又2,-。20，所以X*log2。，

所以/（x）定義域?yàn)閧x\x^log2a},

因?yàn)?（x）的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，所以臃2。=0,解得a=L

z—1\Z—1/

所以八5T+占;2]__12X-1

^2b=

2X-1~2X-12X-1

13

所以匕=彳，所以〃+6=不

22

3

故答案為：—.

2

【對點(diǎn)訓(xùn)練21］（2023?江西景德鎮(zhèn)?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知〃可是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)

xNO時，〃x)=e，，則滿足〃x+l)N/(x)的x的取值范圍是.

【答案】」

【解析】由函數(shù)性質(zhì)知產(chǎn)(x)=/(2x),

?.?/(X+1)>/2(X)=/(2X),

.?.f(|x+l|)>/(|2x|),|x+l|>|2x|,

1「1-

即(x+19)2(2x7),解得一xe——,1,

故答案為：一.

【對點(diǎn)訓(xùn)練