2024-2025學(xué)年河北省保定市安國中學(xué)高二（上）第二次月考數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年河北省保定市安國中學(xué)高二（上）第二次月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)點(diǎn)A(2,3,?4)在xOy平面上的射影為B，則|OB|等于(

)A.29 B.5 C.252.若直線l:x+my+1=0的傾斜角為5π6，則實(shí)數(shù)m值為(

)A.

3 B.?3 C.3.若雙曲線x29?y211=1的右支上一點(diǎn)P到右焦點(diǎn)的距離為A.3 B.12 C.15 D.3或154.點(diǎn)P(x,y)是直線2x+y+4=0上的動點(diǎn)，PA，PB是圓C：x2+(y?1A.4+5 B.5+55.如圖，在直三棱柱ABC?AB1C1中，AC=2，BC=3，CC1=4，∠ACB=90°，則BCA.3210 B.8210 6.“a=3”是“直線l1：(a?1)x+2y+1=0與直線l2：3x+ay?1=0平行”的(

)A.充分非必要條件 B.必要非充分條件

C.充要條件 D.既非充分也非必要條件7.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為x2+y2?4y+3=0，若直線y=kx?1上存在點(diǎn)P，使以P點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)A.(?∞,?14]∪[14,+∞) B.(?∞,?8.已知曲線C：(x2+y2A.曲線C的圖象不關(guān)于原點(diǎn)對稱

B.曲線C經(jīng)過4個整點(diǎn)(橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))

C.若直線y=kx與曲線C只有一個交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為(?∞,?1]

D.曲線C上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離都不超過3

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.若M(1,0)，N(4,0)，點(diǎn)Q滿足|QN|=2|QM|，記點(diǎn)Q的軌跡為曲線C，直線l：x+y?4=0，P為l上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作曲線C的兩條切線PA、PB，切點(diǎn)為A、BA.|PQ|的最小值為22?2

B.線段AB的最小值為2

C.PA?PB的最小值為0

D.10.已知A(x1,y1)，B(x2,y2)是拋物線y2=4x(p>0)上的兩點(diǎn)，若直線ABA.x1x2=1 B.AB=4sin211.已知曲線C:x2cosθ+y2A.若cosθ=0，則曲線C表示兩條直線

B.若cosθ>0，則曲線C是橢圓

C.若cosθ<0，則曲線C是雙曲線

D.若cosθ=?三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知橢圓y2a2+x2b2=1(a>b>0)的長軸長為4，離心率為32.若A，B分別是橢圓的上、下頂點(diǎn)，13.在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=1，點(diǎn)P是邊AB上異于A，B的一點(diǎn)，光線從點(diǎn)P出發(fā)，經(jīng)BC，CA反射后又回到點(diǎn)P，如圖所示，若光線QR經(jīng)過△ABC的重心G，則AP=

．14.如圖，棱長為1的正方體中，P為線段A1B上的動點(diǎn)(不含端點(diǎn))，以下正確的是______．

①C1P⊥B1D；

②存在點(diǎn)P，使得D1P//面DBC1；

③AP+PD1的最小值為10四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.已知兩直線l1：3x?y?1=0，l2：x+2y?5=0．

(1)求過兩直線的交點(diǎn)，且垂直于直線3x+4y?5=0的直線方程；

(2)求過兩直線的交點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程；

(3)已知兩點(diǎn)A(?1,1)，B(0,2)，動點(diǎn)P在直線l1運(yùn)動，求|PA|+|PB|16.已知圓M過點(diǎn)A3,3，圓心M在直線2x+y?5=0上，且直線x?2y+5=0與圓M相切．(1)求圓M的方程；(2)過點(diǎn)D0,?2的直線l交圓M于A,B兩點(diǎn).若A為線段DB的中點(diǎn)，求直線l的方程．17.如圖，四棱錐P?ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，AB=PC=2，M,N分別為PD,PB

(1)證明：MN⊥平面PAC；(2)求二面角C?PB?D的正弦值．18.如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=AC=BC=AA1=2，∠A1AB=∠A1AC，D是棱B1C1的中點(diǎn)．

(1)證明：AA119.由橢圓的兩個焦點(diǎn)和短軸的一個頂點(diǎn)組成的三角形稱為該橢圓的“特征三角形”.如果兩個橢圓的“特征三角形”是相似的，則稱這兩個橢圓是“相似橢圓”，并將三角形的相似比稱為橢圓的相似比．已知橢圓C1：x24+y2=1．

(1)若橢圓C2：x216+y42=1，判斷C2與C1是否相似？如果相似，求出C2與C1的相似比；如果不相似，請說明理由；

(2)寫出與橢圓參考答案1.D

2.A

3.C

4.C

5.D

6.C

7.B

8.D

9.ACD

10.C

11.ACD

12.213.1314.①②

15.解：(1)聯(lián)立3x?y?1=0x+2y?5=0，解得x=1，y=2，

可得兩條直線的交點(diǎn)為(1,2)，

設(shè)垂直于直線3x+4y?5=0的直線的方程為：4x?3y+c=0，

將交點(diǎn)(1,2)代入可得：4×1?3×2+c=0，

解得c=2，

所以所求直線方程為4x?3y+2=0；

(2)由(1)得兩直線的交點(diǎn)為(1,2)，

當(dāng)所求的直線過原點(diǎn)時，直線的方程為：y=2x，

當(dāng)所求的直線不過原點(diǎn)時，設(shè)方程為x+y?a=0，

把交點(diǎn)(1,2)代入可得1+2?a=0，求得a=3，

可得所求的直線方程為x+y?3=0，

綜上，所求的直線方程為y=2x或x+y?3=0；

(3)設(shè)點(diǎn)B(0,2)關(guān)于直線l1對稱的點(diǎn)為C(x,y)，A(?1,1)，

聯(lián)立y?2x=?13x2×3?y+22=1，解得x=95,y=75，

即C(95,716.解：(1)設(shè)圓M的方程為(x?a)2+(y?b因?yàn)閳AM過點(diǎn)A3,3，所以(3?a又因?yàn)閳A心M在直線2x+y?5=0上，所以2a+b?5=0②，直線x?2y+5=0與圓M相切，得到r=a?2b+5由①②③解得：a=2,b=1,r=5，

因此圓M的方程為(2)設(shè)Ax,y，因?yàn)锳為線段BD的中點(diǎn)，所以B因?yàn)锳,B在圓M上，所以x?22+y?12當(dāng)A0,0時，由D0,?2可知直線l的方程為當(dāng)A2413,?1613故直線l的方程為y=512x?2綜上，直線l的方程為x=0或5x?12y?24=0．

17.解：(1)連接AC,BD，如下圖所示：

由PC⊥底面ABCD，BD?底面ABCD，可得PC⊥BD，又因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，所以AC⊥BD，顯然PC∩AC=C,PC,AC?平面PAC，因此BD⊥平面PAC，又M,N分別為PD,PB的中點(diǎn)，所以MN??BD，即MN⊥平面PAC；(2)記AC,BD的交點(diǎn)為O，取AP的中點(diǎn)為E，連接OE，易知OE??PC，由(1)可得OE⊥平面ABCD，又AC,BD?平面ABCD，所以O(shè)E⊥AC,OE⊥BD，因?yàn)锳C⊥BD，所以AC,BD,OE兩兩垂直；以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AC,BD,OE所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系；

又∠BAD=60°，AB=PC=2，所以則C?所以CP=設(shè)平面CPB的一個法向量為m=可得m?CP=2z1=0m即m=1,?設(shè)平面PBD的一個法向量為n=可得n?BD=?2y2=0n即n=2,0,可得cosm設(shè)二面角C?PB?D為θ，

可得sin?θ=所以二面角C?PB?D的正弦值為42

18.(1)證明：如圖，取BC中點(diǎn)E，連接AE，A1E，A1C.

因?yàn)锳B=AC，所以AE⊥BC，

因?yàn)锳B=AC，AA1=AA1，∠A1AB=∠A1AC，

所以△A1AB與△A1AC全等，

所以A1B=A1C，所以A1E⊥BC，

因?yàn)锳E∩A1E=E，A1E、AE?平面A1AE，

所以BC⊥平面A1AE，

因?yàn)锳A1?平面A1AE，所以AA1⊥BC．

(2)解：不存在，理由如下：

由(1)得，BC⊥平面A1AE，

因?yàn)锽C?平面ABC，

所以平面ABC⊥平面A1AE，

如圖，過點(diǎn)A1作A1O⊥AE于點(diǎn)O．

因?yàn)槠矫鍭BC∩平面A1AE=AE，A1O?平面A1AE，所以A1O⊥平面ABC，

由題意得A1D//AE，A1D⊥B1C1，AE⊥BC，B1D=1,A1D=AE=3，

所以S△A1B1D=12×1×3=32，設(shè)三棱柱的高為?，

因?yàn)槿忮FB1?A1BD的體積為3912，

所以三棱錐B?A1B1D的體積為3912，即13S△19.解：(1)橢圓C2與C1相