江蘇省宿遷市2024-2025學(xué)年高三年級(jí)上冊(cè)第一次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

江蘇省宿遷市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期第一次調(diào)研考試數(shù)學(xué)

試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.已知集合河={引-2〈工vl},N={-2,-l,0,l},則Mf|N=（）

A.{-1,1}B.{-2,—1,0}C.{-1,0,1}D.

2.命題“3xwR,f+x+i<o”的否定為（）

A.★wR,x2+x+l>0B.3x^R,x2+x+l>0

C.VXGR,x2+x+l>0D.\/x^R,x2+x+l>0

3.若。>0*>0,a+2Z?=3,則?的最小值為（）

ab

A.9B.18C.24D.27

4.已知函數(shù)/⑺的值域?yàn)閇-2,3],則函數(shù)2）的值域?yàn)?/p>

A.[T,l]B.[0,5]C.H，1]O[0,5]D.[-2,3]

5.我們把分子、分母同時(shí)趨近于0的分式結(jié)構(gòu)稱為&型，比如：當(dāng)x-?0時(shí)，史匚的極限

即為:型.兩個(gè)無(wú)窮小之比的極限可能存在，也可能不存在，為此，洛必達(dá)在1696年提出

洛必達(dá)法則:在一定條件下通過(guò)對(duì)分子、分母分別求導(dǎo)再求極限來(lái)確定未定式值的方法.如：

r2-l

則lim號(hào)」

lim-------=lim----------=lim—=P)

%—>0JQX—>0￡x—>0]11x\nx

A.0B.-C.1D.2

2

6.2018年9月24日，阿貝爾獎(jiǎng)和菲爾茲獎(jiǎng)雙料得主，英國(guó)89歲高齡的著名數(shù)學(xué)家阿蒂亞

爵士宣布自己證明了黎曼猜想，這一事件引起了數(shù)學(xué)界的震動(dòng).在1859年，德國(guó)數(shù)學(xué)家黎曼

向科學(xué)院提交了題目為《論小于某值的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)》的論文并提出了一個(gè)命題，也就是著名的

黎曼猜想.在此之前著名的數(shù)學(xué)家歐拉也曾研究過(guò)這個(gè)何題，并得到小于數(shù)字x的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)

大約可以表示為兀（尤卜荻的結(jié)論.若根據(jù)歐拉得出的結(jié)論,估計(jì)100。。以內(nèi)的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)為

（）（素?cái)?shù)即質(zhì)數(shù)，IgeR0.43,計(jì)算結(jié)果取整數(shù)）

A.1079B.1075C.434D.2500

V71

7.已知〃尤）=?,若方程f（無(wú)）=M（meR）有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根4，x2,x3,

x*-4x+5,x>l

X4,則%"2，三的取值范圍是（）

A.（3,4）B.（2,4）C.［0,4）D.［3,4）

8.l.〃x）是在［0』上的連續(xù)函數(shù)，設(shè)4=2/（與』一『］￡|,則（）.

工

A.A?<A?B.44+“,C.24<D.24<4+m.

二、多選題

9.已知函數(shù)f（x）=x3+gx2-4x,貝U（

A.元=2是〃尤）的極小值點(diǎn)B./（X）有兩個(gè)極值點(diǎn)

C.“X）的極小值為1D.在［0,2］上的最大值為2

10.下列命題正確的有（）

A.函數(shù)〃2力定義域?yàn)椋?2,2］,則/代）的定義域?yàn)椋?2,2］

B.函數(shù)/■（力="&2+1+*）是奇函數(shù)

C.已知函數(shù)/（x）=|lgx|-左存在兩個(gè)零點(diǎn)看,尤2,則占龍2=左

D.函數(shù)〃彳）=無(wú)+，在（0,+8）上為增函數(shù)

X

11.已知x>0,y>0,2x+y=1,貝。（）

A.4,+2,的最小值為2夜B.logzX+log2y的最大值為-3

c.y-x一孫的最小值為-1D.—1+’的最小值為w

尤+2y+16

三、填空題

12.VxeR,函數(shù)〃x）=/+雙?+3"+4沒有極值的充要條件為.

13.已知函數(shù)〃%）=田/一依+12）在［-1,3］上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

14.設(shè)集合S={xeR+|無(wú)"=","eN+}則集合S中最小的元素是,集合S中最大的元素

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

是

四、解答題

15.已知集合73={了|2彳2-3%+1<0},。={彳|(%-。)(工一。-1)40}.

(1)若。=1,求尸cQ；

(2)若xeP是xeQ的充分條件，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

16.已知函數(shù)〃力=加+法+18,/(x)>0的解集為(―3,2).

⑴求/(久)的解析式；

(2)當(dāng)x>-l時(shí)，求y=〃x)-21的最大值.

X+1

17.如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面A8CO為梯形，AB//DC,AB=2BC=2CD=29

ZABD=60°,PB±AD,PB=PD=l.

⑴求點(diǎn)P到平面ABCD的距離；

(2)在棱尸C上是否存在點(diǎn)尸，使得平面。BE與平面尸BC夾角的余弦值為E?若存在，求出

點(diǎn)尸的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

18.已知函數(shù)/(x)=2l若點(diǎn)己%,%)在y=f(x)的圖像上運(yùn)動(dòng),則點(diǎn)。(%+1,2%+1)在

y=g(x)的圖象上運(yùn)動(dòng)

(1)求尸(x)=/(x)+/(-x)的最小值,及相應(yīng)的X值

(2)求函數(shù)y=g(x)的解析式，指出其定義域￡>,判斷并證明G(x)=/(尤)+g(x)在。上的

單調(diào)性

(3)在函數(shù)y=/(x)和y=g(x)的圖象上是否分別存在點(diǎn)A、3關(guān)于直線>=》-1對(duì)稱，若存

在，求出點(diǎn)4B的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由

19.帕德近似是法國(guó)數(shù)學(xué)家亨利?帕德發(fā)明的用有理多項(xiàng)式近似特定函數(shù)的方法.給定兩個(gè)正

整數(shù)加，"，函數(shù)"X)在x=0處的［〃?,"］階帕德近似定義為：氏("=?+差+…+:4",

1+byX+,?,+bnx

且滿足：/(O)=/?(O)，r(o)=R'(O),f"(O)=R'(O),…,/(i(O)=RS")(O).(注：

rw=[尸⑼'，/"(x)=[r(x)];嚴(yán)(x)=了(3,/⑸(x)=F)⑺],…，嚴(yán)(X)為

尸(X)的導(dǎo)數(shù))已知"X)=ln(x+1)在尤=0處的[1』階帕德近似為g(無(wú))=言.

⑴求實(shí)數(shù)私〃的值；

(2)證明：當(dāng)xNO時(shí)，/(x)>g(x)；

⑶設(shè)。為實(shí)數(shù)，討論方程〃》)-^8(尤)=0的解的個(gè)數(shù).

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

參考答案:

題號(hào)12345678910

答案CCADDBDABDAB

題號(hào)11

答案ABD

1.C

【分析】根據(jù)集合的交集定義即可求解.

【詳解】由題知，

M={x|-2<x<l},W={-2,-1,0,1},

McN={-1,0,1},

故選：c.

2.C

【分析】將存在量詞改為全程量詞，結(jié)論中范圍改為補(bǔ)集即可得解.

2,,

【詳解】“主eR,f+x+l<0”的否定為FeR,X+X+1>Q,

故選：C.

3.A

【分析】利用基本不等式中“1”的妙用即可求得最小值.

【詳解】根據(jù)題意可得

163+效6a+絲6b+12卜15+2.6。6b'

+-=9；

ab3bba31ba,

當(dāng)且僅當(dāng)r=上，即。=11=1時(shí)，等號(hào)成立;

ba

此時(shí)。+1的最小值為9.

ab

故選：A.

4.D

【詳解】函數(shù)〃x-2）的圖象由的圖象向右平移2個(gè)單位得到，故值域相同，故選D.

5.D

【分析】利用洛必達(dá)法則直接求解即可

【詳解】吟幕=吟2x

=lim__=2,

n3x\nx+x

答案第1頁(yè)，共13頁(yè)

故選：D

6.B

【分析】計(jì)算兀(10000)的值，即可得解.

【詳解】7T(10000)=-10000==25001ge?2500x0.43=1075,

、'In1000041nl0

所以，估計(jì)10000以內(nèi)的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)為1075.

故選：B.

7.D

【分析】利用數(shù)形結(jié)合可得結(jié)合條件可得不馬=1,1<X3<2,2<X4<3,且

X3+X4=4,再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即得.

【詳解】由方程/(無(wú))=m(meR)有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，

得函數(shù)y=/(x)的圖象與直線'=，"有四個(gè)不同的交點(diǎn)，分別作出函數(shù)y=/(x)的圖象與直

線y="

由函數(shù)/(X)的圖象可知，當(dāng)兩圖象有四個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，1<〃/42.

設(shè)>=根與y=|ln(-尤)|(尤<0)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4,%,設(shè)占<%,則為<-1,一1<%<0,

由阿-菁)|=阿一%)|得In(一占)=-ln(-x2),

所以(f)(f)=l,即x/2=l.

設(shè)y=加與y=/-4x+5(xN1)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為鼻，Z，

設(shè)三〈尤4，貝！114%<2,2<x4<3,且X3+%=4,

所以泡無(wú)4=為(4—尤3)=—(無(wú)3—2)+4e[3,4),

貝1]為々/匕e[3,4).

答案第2頁(yè)，共13頁(yè)

故選：D.

8.A

【分析】舉反例即可反駁BCD,利用絕對(duì)值不等式即可判斷A正確.

〃“_1kn1

【詳解】對(duì)CD,取/（x）=x，則有4,=￡----------=￡—=1，

Mnn蓄n

則&“=1,貝|24>為“，故C錯(cuò)誤，4+“,=1,貝|24>4+,“，故D錯(cuò)誤;

對(duì)B,取〃x)=Ml-x),則&=/(。)-嗎)"1)=3

A=八。）-"T+佃-僧+日-，⑴

此時(shí)4>4,則B選項(xiàng)錯(cuò)誤;

由絕對(duì)值不等式得答W黑卜

因此選項(xiàng)A正確.

故選：A.

9.BD

【分析】對(duì)應(yīng)/（%）求導(dǎo)，根據(jù)其符號(hào)確定單調(diào)區(qū)間并判斷極值點(diǎn)、求極值判斷ABC；進(jìn)而

求函數(shù)在［0,2］上的最大值判斷D.

【詳解】由題設(shè)/'（幻=3%2+%一4=（3%+4）（%-1）,

令r（x）>0,貝|》<一：或X>1,令（（x）<o,則=<X<1,

所以y,-：4）、（1,+⑹上/（X）遞增，（一:41）上/（X）遞減,

（、

故/==4方為104極大值，川）=三5為極小值，A、C錯(cuò)誤，B正確；

在［0,2］上,在x）在［0,1）上遞減,在（1,2］上遞增，而f（0）=0</（2）=2,

答案第3頁(yè)，共13頁(yè)

所以〃尤)在[0,2]上的最大值為2,D正確.

故選：BD

10.AB

【分析】根據(jù)抽象函數(shù)定義域求解法則判斷A,根據(jù)奇函數(shù)定義判斷B,根據(jù)零點(diǎn)定義建立

方程，數(shù)形結(jié)合，判斷C,根據(jù)對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性判斷D.

【詳解】對(duì)于A,由函數(shù)/(2”定義域?yàn)閇-2,2],則2xe[<4],

因此在/(f)中，x2e[-4,4],解得了?[-2,2],即/'儼)的定義域?yàn)閇-2,2],故A正確；

對(duì)于B,函數(shù)〃尤)=ln(G7T+x)定義域?yàn)镽,

且〃T)=lnQ(-x)2+l-xj=ln(Jx2+l+x)=-/(x),所以函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，故B正

確；

對(duì)于C,由函數(shù)/(x)=|lgx|-左存在兩個(gè)零點(diǎn)再，尤2，即占，%為1坨幻=%的兩根，

則可得|lgxj=|lg4|，令旦=13*1，%=k,

結(jié)合函數(shù)>=|lg無(wú)I圖象可設(shè)石e(0,l),%e(l,+8),貝！jlg^i〈OJg>0,

OX\1X2A

所以-1gxi=1酩，所以占-X2=1,而左不一定為1,故C不正確；

對(duì)于D,函數(shù)f(x)=x+J為對(duì)勾函數(shù)，在區(qū)間(0,1)單調(diào)遞減，在(1,+8)單調(diào)遞增，故D

不正確.

故選：AB.

11.ABD

【分析】根據(jù)指數(shù)運(yùn)算，結(jié)合基本不等式即可判斷A；結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算，利用基本不等式可判

斷B；將y-x-沖化為關(guān)于尤的二次函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可判斷是c；通過(guò)變量代換,

2x2V2

令〃2=x+2,〃=y+l,得到2"?+〃=6,根據(jù)“1”的巧用，將+變形后，利用基本不

尤+2y+1

等式，即可判斷D..

答案第4頁(yè)，共13頁(yè)

【詳解】對(duì)于A,由于x>0,y>0,2x+y=l,故4*+2>=2?，+2》2=2班,

當(dāng)且僅當(dāng)2x=y,結(jié)合2無(wú)+y=l,即尤=：?=1時(shí)，等號(hào)成立，

42

即4*+2,的最小值為2及，A正確；

對(duì)于由于％也孫，則孫

B,>0,y>0,2x+y=122v8

當(dāng)且僅當(dāng)x=；,y=；時(shí)，等號(hào)成立，

log2x+log2)7=log2(xy)<log21=-3,即log2x+log2y的最大值為一3,B正確;

o

對(duì)于C,又％>0,y>0,2%+y=l,得y=l-2x,

^Cy-x-xy=(1-2x)-x-x(l-2x)=2x2-4x+l

由于0<2%<1/.0<%<工，而y=2/—4x+i對(duì)稱軸為%=1,

2

則y=2/-4x+l在(0,g)上單調(diào)遞減，在(0、)上無(wú)最值，C錯(cuò)誤;

對(duì)于D,令機(jī)=%+2,〃=y+1,則|%=機(jī)—2,y=〃一1,

2x2y22m2-8m+8n2-2n+l

故—Q=—益—=2m+n+—+--10,

mn

由于%〉0,y〉0,故根〉2,〃〉1,

2m+n=2(x+2)+(y+1)=2x+y+5=6,

則一

mn

當(dāng)且僅當(dāng)?shù)?2竺，結(jié)合2根+〃=6,即機(jī)=號(hào),〃=?時(shí)，等號(hào)成立，

mn55

oiosi

所以2根+〃+—+—-10>6+——10=-,

mn66

Q22[

即*三+二7的最小值為J，D正確，

x+2y+16

故選：ABD

【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了基本不等式的應(yīng)用，主要是求最值問(wèn)題，難點(diǎn)是選項(xiàng)D的

判斷，解答時(shí)要通過(guò)變量代換，令機(jī)=%+2,〃=y+l,得至!)2機(jī)+〃=6,根據(jù)“1”的巧用，將

22

—2X+\V變形后，利用基本不等式，即可求解.

x+2y+1

12.0<a<9

【分析】求導(dǎo)后可得尸(X)20恒成立，計(jì)算A=4/-36。40即可得.

答案第5頁(yè)，共13頁(yè)

【詳解】f\x)=3^+2ax+3a,注意到了'("是開口向上的二次函數(shù)，

若/(“沒有極值，則只能是尸(久)20恒成立，

即A=46—36aW0,解得0WaW9.

故答案為：0<?<9,

13.［6,7)

【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合二次不等式恒成立問(wèn)題，列不等式組求解即可.

【詳解】/(x)=lg(%2-ar+12)由y=lgf(f>0),t=x2-ax+i2(-l〈xW3)復(fù)合而成.

2

而y=>0)單調(diào)遞增,只需要t=x-ax+12(-1<x<3)單調(diào)遞減.

一、、氏3

且在［-L3］上/=x?-ax+12>0恒成".則，2即可，解得64a<7.

［32-3a+12>0

故實(shí)數(shù)。的取值范圍是叵7).

故答案為：［6,7).

14.1%

InYInY1

【分析】構(gòu)造函數(shù)y=1,借助函數(shù)y的單調(diào)性找到且(尤)=r的單調(diào)性即可求解.

【詳解】則赤

xeR+,weN+,人—7JI—I￡

3r①In%jw,1-lnx

構(gòu)造函數(shù)y=——,xe［l,+oo),貝!|y=-j—,

xx

令"。，貝ijx=e,

當(dāng)xe［l,e),/>0,當(dāng)xw(e,+e),/<0,

「?函數(shù)y=(在［1,e)上單調(diào)遞增，在(e,+“)上單調(diào)遞減，

x

又y==\nx,貝|JQy=gn￡=/，

11_...

令8(尤)=6,則函數(shù)g(x)=》在［l，e)上單調(diào)遞增，在(e,+8)上單調(diào)遞減，

且Xf+8時(shí)，

因此結(jié)合函數(shù)g(x)=l的性質(zhì)知，x=〃：，xeR+，〃eN+，

當(dāng)〃=1時(shí)，xmin=l,

又當(dāng)”=2時(shí)，x=應(yīng)，當(dāng)"=3時(shí)，x=冷,

答案第6頁(yè)，共13頁(yè)

又9=(g『>(也『=8,故我〉夜，因此當(dāng)〃=3時(shí)，尤a=近.

故答案為：1;為.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，它的應(yīng)用貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)的

教學(xué)之中.某些數(shù)學(xué)問(wèn)題從表面上看似乎與函數(shù)的單調(diào)性無(wú)關(guān)，但如果我們能挖掘其內(nèi)在聯(lián)

系，抓住其本質(zhì)，那么運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題，能起到化難為易、化繁為簡(jiǎn)的作用.因此對(duì)

函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行全面、準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí)，并掌握好使用的技巧和方法，這是非常必要的.根據(jù)

題目的特點(diǎn)，構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.許多問(wèn)題，

如果運(yùn)用這種思想去解決，往往能獲得簡(jiǎn)潔明快的思路，有著非凡的功效.

15.(1){1}；(2)0.1.

【解析】(1)由集合描述可得「={尤44尢41},0={x|l〈x<2},根據(jù)集合交運(yùn)算即可求

尸cQ；(2)由尤eP是xeQ的充分條件知P=Q列不等式組即可求a的范圍.

【詳解】(1)P={x\2x1-3x+l<0]=[x\-<x<l},

2

當(dāng)a=l時(shí)，Q={X|(X_D(X_2)V0}={X|1WXW2},

則尸CQ={1}；

(2)Va<a+\,

Q={x\^x—a)^x—a—\)<G}={x\a<x<a+l]

?.?xwP是XEQ的充分條件，

.?尸a。,

a<-i

<2,解得OWaW],

l<a+l~

即實(shí)數(shù)。的取值范圍是0,1.

【點(diǎn)睛】本題考查了集合的關(guān)系以及基本運(yùn)算，首先根據(jù)集合描述寫出集合，利用交運(yùn)算求

交集，再由充分條件得到包含關(guān)系，列不等式組求參數(shù)范圍.

16.(1)〃力=-3/—3x+18；(2)^max=-3.

【分析】(1)由/(x)>0的解集為(-3,2),結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系求可求。，人的值，進(jìn)而得到/(?

答案第7頁(yè)，共13頁(yè)

的解析式；⑵化簡(jiǎn)函數(shù)式為尸-3(x+D+.-l,結(jié)合基本不等式求最大值即可;

【詳解】⑴因?yàn)楹瘮?shù)〃力=加+法+18,〃力＞0的解集為(-3,2),

那么方程砒2+區(qū)+18=0的兩個(gè)根是-3,2,且avO,

-3+2=-l=--a=-3

由韋達(dá)定理有，an

or,18b=—3'

—3-2=—6=—

a

所以〃X)=_3X2_3X+18.

4x)-21-3/一3尤-3x(x+l)+l=-3(x+l)+占一1,由

(2)y=—3---------------

x+1x+1x+1

x>-l,則:

根據(jù)均值不等式有3+1++”當(dāng)且僅當(dāng)

x+1=,即x=0時(shí)取等號(hào),

x+l

...當(dāng)X=0時(shí)，Xnax=—3.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與一元二次方程、不等式，根據(jù)一元二次不等式解集求二次函

數(shù)解析式，利用基本不等式求函數(shù)最值；

17.⑴2

(2)存在，在PC的三等分點(diǎn)處

【分析】(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)以及線面垂直的判定，結(jié)合面面垂直的判定，作圖明確

四棱錐的高，利用勾股定理，可得答案；

(2)由題意建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的法向量，結(jié)合夾角公式建立方程，可得答案.

【詳解】(1)由題設(shè)，知ABIIDC,所以NABZ)=N3DC=60。.

又BC=CD=1,所以△BCD為等邊三角形，所以&)=BC=1.

在△ABD中，AB=2,BD=1,所以AD?=452+302一2AsxBDxcosNABD.

HPAD2=22+l2-2x2xlxcos60°=3,貝UAD=g.

所以MABL即AD_LBD,

又PBLAD,PBcBD=B,且u平面PBD,所以AD_L平面尸5D.

因?yàn)锳Du平面ABC。，所以平面PSD_L平面ABCD

如圖1,設(shè)。為BD的中點(diǎn)，連接尸O,因?yàn)槭?=尸。，所以尸

答案第8頁(yè)，共13頁(yè)

又因?yàn)槠矫媸?￡>n平面ABCD=3Z),PO_L平面P3￡).

所以尸O，平面ABCD，所以尸O即為點(diǎn)尸到平面ABCD的距離.

在Rt^POB中，PB=\,BO=~,所以PO=JPB?-BO2=也

22

即點(diǎn)P到平面ABCD的距離為由.

2

圖1

(2)如圖2,連接。C,則OC_L3D,且OCu平面ABC。,

所以POJ_OC,所以P。，BD,0c兩兩互相垂直.

以。為原點(diǎn)，OB,OC,、0P所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系。孫z.

則出,0,0}C0,,oj,D|-1,0,0l,P0,0,

2

T7J

一(也、、

所以PC=0,1,-,DB=(1,O,O),BC=,0,BP=f10V3

I2’2

77

若PC上存在點(diǎn)下滿足題意，不妨設(shè)評(píng)=2定,則可0,

所以而=一1,當(dāng)入,當(dāng)(1一司-

設(shè)沅=(x,y,z)是平面b的法向量,

m-BF=--x+^-A.y+^-(l-A]z=0

A-1

則22-2I'，解得y=

m-DB=%=0

不妨取z=l,則平面BD尸的一個(gè)法向量為玩=0,

同理，設(shè)為=a，x，zj是平面P2C的法向量,

n^BP=——z、-0

則-2「,解得西=,不妨取％=Z[=1,

為說(shuō)一9+%=0

則玉=石，所以平面PBC的一個(gè)法向量為n=(A/3,1,1),

答案第9頁(yè)，共13頁(yè)

所以|cos成，司=

12

化簡(jiǎn)整理得9萬(wàn)-92+2=0,解得彳=；或幾=:

—.1―.—.7—?

PF=-PC^PF=-PC.

故在PC的三等分點(diǎn)處存在點(diǎn)F,可使得平面DBF與平面PBC夾角的余弦值為g.

18.(1)F(x)的最小值為2,對(duì)應(yīng)的x為0；(2)gW=21og2(x-l)+l,定義域?yàn)?1,+(?),

G(x)=2"+21og,(x-l)+l,單調(diào)遞增，證明見解析；(3)存在4(-2,3,-3)

44

【分析】(1)寫出尸(x)=/(x)+/(-x)的解析式，依據(jù)基本不等式性質(zhì)即可求解；

(2)根據(jù)點(diǎn)的關(guān)系求出y=g(尤)解析式，寫出G(x)=/(x)+g(x)的解析式即可判斷單調(diào)性；

(3)設(shè)A,8兩點(diǎn)的坐標(biāo)根據(jù)位置和對(duì)稱關(guān)系列方程組求解.

【詳解】⑴F(x)=7'(x)+/(-尤)=2、+2一”敢,2"2二=2，當(dāng)且僅當(dāng)2*=2一，即無(wú)=。時(shí)，等

號(hào)成立，即尸(無(wú))的最小值為2,對(duì)應(yīng)的x為。

(2)設(shè)y=g(x)圖象上點(diǎn)Q(x,y),由題：.所以。2

v=2x?+11

點(diǎn)尸(不，%)在y=/(X)的圖像上運(yùn)動(dòng)，則%=2'。,

所以尤-1=2?，y=21og2(x-D+l,由x-l>°得其定義域?yàn)?L+8)

所以g(x)=21og2(x-l)+l,定義域?yàn)?1,+℃)

G(x)=/(x)+g(x)=2，+210g2(尤-1)+1在定義域內(nèi)為增函數(shù),證明如下:

任取1〈芯<%,根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性有:

2演一2*<0,log2(x1-1)-log2(x2-1)<0,

答案第10頁(yè)，共13頁(yè)

G(X])-G(%)=(2為+21og2(Xj-l)+l)-(2也+21og2(x2-1)+1)

=(2'i—2?)+2(log2(^-l)-log2(x2-l))<0,

即G(^)<G(X2)

所以G(尤)=f(尤)+g(x)在定義域內(nèi)是增函數(shù).

(3)假設(shè)函數(shù)y=/(%)和y=g(x)的圖象上分別存在點(diǎn)關(guān)于直線y=無(wú)-1對(duì)稱,

設(shè)其坐標(biāo)A(w),，則有：

n=2mm=-2

b=210g2(。一1)+11

n=—

n-bi解得：4

5

m—aci——

n+bm+a,4

----=-------1

22b=-3

故在函數(shù)>=/(X)和y=g(尤)的圖象上分別存在點(diǎn)4-2,：),8("-3)關(guān)于直線y=X-1對(duì)稱.

44

【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)函數(shù)關(guān)系求解析式，并判斷證明單調(diào)性，求解點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱相關(guān)問(wèn)

題，考查理解辨析數(shù)形結(jié)合的能力.

19.(l)m=l,/7=—；

2

⑵證明見解析；

(3)答案見解析.

【分析】(1)根據(jù)/'(o)=g'(o)""(o)=g"(o)列方程組求解可得;

(2)構(gòu)造函數(shù)0a)=/(x)-g(x),利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性，由砒x)之砒0)即可得證:

(3)構(gòu)造函數(shù)無(wú))=〃x)-￡g(H，分aW2,a>2利用導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)性，利用單調(diào)性判

斷零點(diǎn)個(gè)數(shù).當(dāng)a>2時(shí)，分單調(diào)區(qū)間討論，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理判斷即可.

【詳解】(1)由“尤)=ln(x+l),g(x)=得,有〃O)=g(O),

可知〃止占尸(吁告7和)=謂