人教A版數(shù)學(xué)(選擇性必修一講義)第18講直線的一般式方程(學(xué)生版+解析)

第05講直線的一般式方程課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①理解與掌握直線的一般式方程的形式及條件.會求直線的一般式方程。②能準(zhǔn)確的將直線的五種形式的方程進(jìn)行形式上的轉(zhuǎn)換.理解直線的代數(shù)形式與幾何意義。③會用直線的一般式進(jìn)行有關(guān)的直線位置的判定與參數(shù)的求解，能解決與直線有關(guān)的綜合問題。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)要求能掌握直線一般式方程的形式，會求直線一般式方程，能進(jìn)行五種形式直線方程的相互轉(zhuǎn)換，并能處理與直線位置有關(guān)的問題，并能解決與之有關(guān)的綜合問題.知識點(diǎn)01：直線的一般式方程定義:關(guān)于,的二元一次方程都表示一條直線.我們把關(guān)于,的二元一次方程(其中,不同時(shí)為0)叫做直線的一般式方程,簡稱一般式.說明：1．、不全為零才能表示一條直線，若、全為零則不能表示一條直線.當(dāng)時(shí)，方程可變形為，它表示過點(diǎn)，斜率為的直線．當(dāng)，時(shí)，方程可變形為，即，它表示一條與軸垂直的直線．由上可知，關(guān)于、的二元一次方程，它都表示一條直線．2．在平面直角坐標(biāo)系中，一個(gè)關(guān)于、的二元一次方程對應(yīng)著唯一的一條直線，反過來，一條直線可以對應(yīng)著無數(shù)個(gè)關(guān)于、的一次方程.3.解題時(shí),如無特殊說明,應(yīng)把最終結(jié)果化為一般式.【即學(xué)即練1】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知直線和直線都過點(diǎn)，求過點(diǎn)和點(diǎn)的直線方程.【答案】【詳解】把坐標(biāo)代入直線和直線，得,，∴，過點(diǎn)和點(diǎn)的直線的方程是：，∴，則，∵，∴，∴所求直線方程為．知識點(diǎn)02：直線的一般式方程與其它形式方程的互化【即學(xué)即練2】（2023·上海·高二專題練習(xí)）如果且，那么直線不經(jīng)過第（）象限A．一 B．二 C．三 D．四【答案】C【詳解】∵且，則∴，，∴直線，即直線的斜率小于零，在y軸上的截距大于零，故直線經(jīng)過第一、第二、第四象限，不經(jīng)過第三象限，故選：C．知識點(diǎn)03：直線系方程1．平行直線系方程把平面內(nèi)具有相同方向的直線的全體稱為平行直線系.一般地，與直線平行的直線系方程都可表示為(其中為參數(shù)且≠C)，然后依據(jù)題設(shè)中另一個(gè)條件來確定的值.【即學(xué)即練3】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）經(jīng)過點(diǎn)，且平行于直線的直線方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】平行于直線的直線方程可設(shè)為，又所求直線過點(diǎn)，則，解之得，則所求直線為.故選：A2．垂直直線系方程一般地，與直線垂直的直線系方程都可表示為(其中為參數(shù)），然后依據(jù)題設(shè)中的另一個(gè)條件來確定的值.【即學(xué)即練4】（2023秋·重慶長壽·高二統(tǒng)考期末）經(jīng)過點(diǎn)且與直線垂直的直線方程是________．（用一般式表示）【答案】【詳解】設(shè)與直線垂直的直線方程為，于是，解得，所以所求的直線方程為.故答案為：題型01直線的一般式方程及其辨析【典例1】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線在軸的截距大于在軸的截距，則、、應(yīng)滿足條件（

）A． B． C． D．【典例2】（2023秋·廣東江門·高二統(tǒng)考期末）直線（不同時(shí)為0），則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．無論取任何值，直線都存在斜率 B．當(dāng)，且時(shí)，直線只與軸相交C．當(dāng)，或時(shí)，直線與兩條坐標(biāo)軸都相交 D．當(dāng)，且，且時(shí)，直線是軸所在直線【典例3】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）當(dāng)直線方程的系數(shù)，，滿足什么條件時(shí)，該直線分別具有以下性質(zhì)？(1)過坐標(biāo)原點(diǎn)；(2)與兩條坐標(biāo)軸都相交；(3)只與軸相交；(4)是軸所在直線；(5)設(shè)為直線上一點(diǎn)，證明：這條直線的方程可以寫成．【變式1】（2023春·江蘇南通·高一期末）已知與是直線（為常數(shù)）上兩個(gè)不同的點(diǎn)，則關(guān)于和的交點(diǎn)情況是（

）A．無論，，如何，總有唯一交點(diǎn) B．存在，，使之有無窮多個(gè)交點(diǎn)C．無論，，如何，總是無交點(diǎn) D．存在，，使之無交點(diǎn)【變式2】（2023春·上海普陀·高二上海市晉元高級中學(xué)校考期中）若，且，則經(jīng)過的直線的一般方程為_________題型02直線的一般式方程與其他形式的相互轉(zhuǎn)化【典例1】（2023春·新疆塔城·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）過點(diǎn)且斜率為的直線的方程是（）A． B．C． D．【典例2】（2023秋·江蘇蘇州·高二統(tǒng)考期末）直線的傾斜角是（

）A． B． C． D．【典例3】（2023春·上海閔行·高二?？茧A段練習(xí)）過點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線一般式方程是______．【變式1】（2023春·上海寶山·高二統(tǒng)考期末）若，，則直線不經(jīng)過第象限（

）A．一 B．二 C．三 D．四【變式2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）直線：的斜率和在軸上的截距分別為（

）A．，3 B．， C．，3 D．，題型03根據(jù)直線平行求參數(shù)【典例1】（2023·廣東深圳·紅嶺中學(xué)?？寄M預(yù)測）“”是“直線與直線平行”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【典例2】（2023秋·江西新余·高三統(tǒng)考期末）已知直線：與直線；相互平行，則實(shí)數(shù)的值是（

）A． B．1 C． D．或1【典例3】（2023秋·湖北武漢·高二武漢市第十七中學(xué)校聯(lián)考期末）若直線和直線平行，則的值為（

）A． B． C．或 D．【變式1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若直線與直線平行，則m的值為（

）A．2 B． C．2或 D．或【變式2】（2023春·高二單元測試）“”是“直線和直線平行且不重合”的（

）.A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分又非必要條件【變式3】（2023春·海南·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）若直線與平行，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．題型04根據(jù)直線垂直求參數(shù)【典例1】（2023·北京·高三專題練習(xí)）“”是“直線與直線相互垂直”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【典例2】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知直線與直線互相垂直，垂足為.則等于（）A． B． C． D．【變式1】（2023春·貴州·高二校聯(lián)考期中）直線與直線垂直，則等于（

）A． B． C． D．【變式2】（2023·陜西西安·陜西師大附中?？寄M預(yù)測）“”是“直線與直線互相垂直”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式31】（2023·上海·高二專題練習(xí)）直線與直線垂直，則的值為（

）A． B．1 C． D．9題型05由兩條直線平行求方程【典例1】（2023春·浙江杭州·高二校聯(lián)考期中）過點(diǎn)且與直線平行的直線方程是（

）A． B．C． D．【典例2】（2023·全國·高三對口高考）已知直線：，則與已知直線平行且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為6的直線方程為_________．【變式1】（2023春·天津北辰·高二天津市第四十七中學(xué)?？茧A段練習(xí)）過點(diǎn)且平行于直線的直線方程為（

）A． B． C． D．【變式2】（2023秋·四川涼山·高二統(tǒng)考期末）已知直線過點(diǎn)，且與直線平行，則直線的方程為（

）A． B．C． D．【變式3】（2023春·上海浦東新·高二統(tǒng)考期中）過點(diǎn)且與直線平行的直線方程為_________.題型06由兩條直線垂直求方程【典例1】（2023·貴州貴陽·高二貴陽一中校考階段練習(xí)）過點(diǎn)且垂直于直線的直線方程為（

）A． B．C． D．【典例2】（2023春·山東濱州·高一?？茧A段練習(xí)）已知直線與垂直，求.【變式1】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）經(jīng)過點(diǎn)，且與直線垂直的直線方程為（

）A． B． C． D．【變式2】（2023春·新疆伊犁·高二奎屯市第一高級中學(xué)校考期中）過點(diǎn)且垂直于直線的直線方程為（

）A． B．C． D．題型07直線過定點(diǎn)問題【典例1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）直線，當(dāng)變動(dòng)時(shí)，所有直線恒過定點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【典例2】（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)校考模擬預(yù)測）若直線恒過點(diǎn)，點(diǎn)也在直線上，其中均為正數(shù)，則的最大值為（

）A． B． C．1 D．2【典例3】（2023春·江蘇南通·高一期末）已知點(diǎn)，.若直線與線段恒相交，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【變式1】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）不論取何值，直線都過定點(diǎn)（

）A． B． C． D．【變式2】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）不論為何實(shí)數(shù)，直線恒通過一個(gè)定點(diǎn)，這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B．C． D．【變式3】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）不論取何值時(shí)，直線恒過第____象限．題型08直線綜合【典例1】（2023春·湖南常德·高二常德市一中?？计谥校┮阎本€的方程為．(1)求直線過的定點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)直線與軸正半軸和軸正半軸分別交于點(diǎn)，，當(dāng)面積最小時(shí)，求直線的方程；【典例2】（2023春·福建福州·高二校聯(lián)考期中）已知直線：，.(1)證明直線過定點(diǎn)，并求出點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)在（1）的條件下，若直線過點(diǎn)，且在軸上的截距是在軸上的截距的，求直線的方程；(3)若直線不經(jīng)過第四象限，求的取值范圍.【典例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知直線：，（1）直線過定點(diǎn)，求點(diǎn)P坐標(biāo)；（2）若直線交軸負(fù)半軸于點(diǎn)，交軸正半軸于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)三角形的面積為4，求出直線方程．【變式1】（2023秋·遼寧葫蘆島·高二興城市高級中學(xué)?？计谀┮阎本€，若直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則實(shí)數(shù)的值為___________；若直線不經(jīng)過第三象限，則的取值范圍是___________.【變式1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）過點(diǎn)作直線分別交軸、軸的正半軸于，兩點(diǎn).(1)求的最小值，及此時(shí)直線的截距式方程；(2)求的最小值，及此時(shí)直線的截距式方程.【變式2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知直線.（1）若直線不經(jīng)過第四象限，求的取值范圍；（2）若直線交軸負(fù)半軸于點(diǎn)，交軸正半軸于點(diǎn)，求面積的最小值；（3）已知，若點(diǎn)到直線的距離為，求最大時(shí)直線的方程.A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2023春·河南周口·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知直線，的傾斜角分別為，，則（

）A． B． C． D．2．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）若直線與垂直，則m的值為（

）A． B． C．5 D．3．（2023春·安徽·高二池州市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）過點(diǎn)且與直線平行的直線方程為（

）A． B．C． D．4．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）經(jīng)過點(diǎn)，且傾斜角為的直線的一般式方程為（

）A． B． C． D．5．（2023·全國·高三對口高考）如果且，那么直線不通過（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限6．（2023·江西·江西師大附中?？既＃┤魹閷?shí)數(shù)，則“”是“直線與平行”的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分14．（2023·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）已知直線l過定點(diǎn)，且交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A、交y軸正半軸于點(diǎn)B，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)若的面積為4，求直線l的方程；(2)求的最小值，并求此時(shí)直線l的方程；(3)求的最小值，并求此時(shí)直線l的方程．B能力提升1．（2023秋·廣東廣州·高二廣州市天河中學(xué)?？计谀┮阎本€：經(jīng)過定點(diǎn)P，直線經(jīng)過點(diǎn)P，且的方向向量，則直線的方程為（

）A． B．C． D．2．（2023·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)，過定點(diǎn)的動(dòng)直線和過定點(diǎn)的動(dòng)直線相交于點(diǎn)不重合），則面積的最大值是（

）A． B．5 C． D．3．（2023·全國·高二專題練習(xí)）萊昂哈德·歐拉于1765年在他的著作《三角形的幾何學(xué)》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共線．后來人們稱這條直線為該三角形的歐拉線．已知的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，，則的垂心坐標(biāo)為______，的歐拉線方程為______．4．（2023·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）直線l過點(diǎn)P（3，2）且與x軸、y軸正半軸分別交于A、B兩點(diǎn)．(1)若直線l與2x+3y﹣2＝0法向量平行，寫出直線l的方程；(2)求△AOB面積的最小值；(3)如圖，若點(diǎn)P分向量AB所成的比的值為2，過點(diǎn)P作平行于x軸的直線交y軸于點(diǎn)M，動(dòng)點(diǎn)E、F分別在線段MP和OA上，若直線EF平分直角梯形OAPM的面積，求證：直線EF必過一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)．C綜合素養(yǎng)1．（2023秋·全國·高二期末）已知直線方程為.（1）證明：直線恒過定點(diǎn)；（2）為何值時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最大，最大值為多少?（3）若直線分別與軸，軸的負(fù)半軸交于兩點(diǎn)，求面積的最小值及此時(shí)直線的方程.2．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）如圖直線過點(diǎn)(3，4)，與軸、軸的正半軸分別交于、兩點(diǎn)，的面積為24.點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，且交于點(diǎn).（1）求直線斜率的大??；（2）若的面積與四邊形的面積滿足：時(shí)，請你確定點(diǎn)在上的位置，并求出線段的長；（3）在軸上是否存在點(diǎn)，使為等腰直角三角形，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.3．（2022秋·河南·高二校聯(lián)考期中）已知直線．(1)證明:無論取何值，直線與直線總相交．(2)若，直線與軸分別交于兩點(diǎn)，，求面積的最小值．

第05講直線的一般式方程課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①理解與掌握直線的一般式方程的形式及條件.會求直線的一般式方程。②能準(zhǔn)確的將直線的五種形式的方程進(jìn)行形式上的轉(zhuǎn)換.理解直線的代數(shù)形式與幾何意義。③會用直線的一般式進(jìn)行有關(guān)的直線位置的判定與參數(shù)的求解，能解決與直線有關(guān)的綜合問題。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)要求能掌握直線一般式方程的形式，會求直線一般式方程，能進(jìn)行五種形式直線方程的相互轉(zhuǎn)換，并能處理與直線位置有關(guān)的問題，并能解決與之有關(guān)的綜合問題.知識點(diǎn)01：直線的一般式方程定義:關(guān)于,的二元一次方程都表示一條直線.我們把關(guān)于,的二元一次方程(其中,不同時(shí)為0)叫做直線的一般式方程,簡稱一般式.說明：1．、不全為零才能表示一條直線，若、全為零則不能表示一條直線.當(dāng)時(shí)，方程可變形為，它表示過點(diǎn)，斜率為的直線．當(dāng)，時(shí)，方程可變形為，即，它表示一條與軸垂直的直線．由上可知，關(guān)于、的二元一次方程，它都表示一條直線．2．在平面直角坐標(biāo)系中，一個(gè)關(guān)于、的二元一次方程對應(yīng)著唯一的一條直線，反過來，一條直線可以對應(yīng)著無數(shù)個(gè)關(guān)于、的一次方程.3.解題時(shí),如無特殊說明,應(yīng)把最終結(jié)果化為一般式.【即學(xué)即練1】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知直線和直線都過點(diǎn)，求過點(diǎn)和點(diǎn)的直線方程.【答案】【詳解】把坐標(biāo)代入直線和直線，得,，∴，過點(diǎn)和點(diǎn)的直線的方程是：，∴，則，∵，∴，∴所求直線方程為．知識點(diǎn)02：直線的一般式方程與其它形式方程的互化【即學(xué)即練2】（2023·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）如果且，那么直線不經(jīng)過第（）象限A．一 B．二 C．三 D．四【答案】C【詳解】∵且，則∴，，∴直線，即直線的斜率小于零，在y軸上的截距大于零，故直線經(jīng)過第一、第二、第四象限，不經(jīng)過第三象限，故選：C．知識點(diǎn)03：直線系方程1．平行直線系方程把平面內(nèi)具有相同方向的直線的全體稱為平行直線系.一般地，與直線平行的直線系方程都可表示為(其中為參數(shù)且≠C)，然后依據(jù)題設(shè)中另一個(gè)條件來確定的值.【即學(xué)即練3】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）經(jīng)過點(diǎn)，且平行于直線的直線方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】平行于直線的直線方程可設(shè)為，又所求直線過點(diǎn)，則，解之得，則所求直線為.故選：A2．垂直直線系方程一般地，與直線垂直的直線系方程都可表示為(其中為參數(shù)），然后依據(jù)題設(shè)中的另一個(gè)條件來確定的值.【即學(xué)即練4】（2023秋·重慶長壽·高二統(tǒng)考期末）經(jīng)過點(diǎn)且與直線垂直的直線方程是________．（用一般式表示）【答案】【詳解】設(shè)與直線垂直的直線方程為，于是，解得，所以所求的直線方程為.故答案為：題型01直線的一般式方程及其辨析【典例1】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線在軸的截距大于在軸的截距，則、、應(yīng)滿足條件（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由已知，令得直線在y軸的截距為，令得直線在x軸的截距為，由直線在x軸的截距大于在y軸的截距可得，即.故選：D.【典例2】（2023秋·廣東江門·高二統(tǒng)考期末）直線（不同時(shí)為0），則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．無論取任何值，直線都存在斜率 B．當(dāng)，且時(shí)，直線只與軸相交C．當(dāng)，或時(shí)，直線與兩條坐標(biāo)軸都相交 D．當(dāng)，且，且時(shí)，直線是軸所在直線【答案】D【詳解】解：對于A選項(xiàng)，當(dāng)，且時(shí)，直線斜率不存在，故錯(cuò)誤；對于B選項(xiàng)，當(dāng)，且，時(shí)，直線只與軸相交；當(dāng)，且，時(shí)，直線與軸重合，故錯(cuò)誤；對于C選項(xiàng)，當(dāng)，且時(shí)，直線與兩條坐標(biāo)軸都相交，故錯(cuò)誤；對于D選項(xiàng)，當(dāng)，且，且時(shí)，直線方程為，即軸所在直線，故正確.故選：D【典例3】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）當(dāng)直線方程的系數(shù)，，滿足什么條件時(shí)，該直線分別具有以下性質(zhì)？(1)過坐標(biāo)原點(diǎn)；(2)與兩條坐標(biāo)軸都相交；(3)只與軸相交；(4)是軸所在直線；(5)設(shè)為直線上一點(diǎn)，證明：這條直線的方程可以寫成．【答案】(1)且不同為(2)都不為0(3)且(4)(5)證明見解析【詳解】（1）將代入得，當(dāng)且不同為方程表示過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線；（2）直線與兩條坐標(biāo)軸都相交說明橫縱截距都存在，當(dāng)且時(shí)直線過原點(diǎn)滿足條件，當(dāng)時(shí)，令時(shí)，令時(shí)，所以都不為0，綜上所述，時(shí)直線與兩條坐標(biāo)軸都相交；（3）直線只與x軸相交，就是與軸平行、重合均可，因此直線方程可化成形式，故且；（4）x軸的方程為，因此方程中時(shí)方程表示的直線是x軸所在直線；（5）因?yàn)闉橹本€上一點(diǎn)，所以，所以，所以方程可化為，即，所以這條直線的方程可以寫成．【變式1】（2023春·江蘇南通·高一期末）已知與是直線（為常數(shù)）上兩個(gè)不同的點(diǎn)，則關(guān)于和的交點(diǎn)情況是（

）A．無論，，如何，總有唯一交點(diǎn) B．存在，，使之有無窮多個(gè)交點(diǎn)C．無論，，如何，總是無交點(diǎn) D．存在，，使之無交點(diǎn)【答案】A【詳解】因?yàn)榕c是直線（為常數(shù)）上兩個(gè)不同的點(diǎn)，所以即，故既在直線上，也在直線上.因?yàn)榕c是兩個(gè)不同的點(diǎn)，故、不重合，故無論，，如何，總有唯一交點(diǎn).故選：A.【變式2】（2023春·上海普陀·高二上海市晉元高級中學(xué)?？计谥校┤?，且，則經(jīng)過的直線的一般方程為_________【答案】【詳解】若,則點(diǎn)在直線上,點(diǎn)在直線上即、都在同一直線上因?yàn)閮牲c(diǎn)確定一條直線,所以由、確定的直線即為故答案為:題型02直線的一般式方程與其他形式的相互轉(zhuǎn)化【典例1】（2023春·新疆塔城·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）過點(diǎn)且斜率為的直線的方程是（）A． B．C． D．【答案】C【詳解】過點(diǎn)且斜率為的直線的方程是，即.故選：C【典例2】（2023秋·江蘇蘇州·高二統(tǒng)考期末）直線的傾斜角是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：直線的方程可化為，可知傾斜角，滿足，因此.故選：B.【典例3】（2023春·上海閔行·高二?？茧A段練習(xí)）過點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線一般式方程是______．【答案】或【詳解】解：由題意，當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，此時(shí)所求直線方程的斜率，所以直線方程為，即；當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為，代入點(diǎn)，可得，所以直線方程為，故答案為：或.【變式1】（2023春·上海寶山·高二統(tǒng)考期末）若，，則直線不經(jīng)過第象限（

）A．一 B．二 C．三 D．四【答案】D【詳解】依題意、、均不為，所以直線可化為，因?yàn)?，，所以，，所以直線的斜率為正，縱截距為正，即直線通過第一、二、三象限，不通過第四象限.故選：D【變式2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）直線：的斜率和在軸上的截距分別為（

）A．，3 B．， C．，3 D．，【答案】B【詳解】，則直線斜率為，又令，則，故直線在x軸上的截距分別為.故選：B題型03根據(jù)直線平行求參數(shù)【典例1】（2023·廣東深圳·紅嶺中學(xué)?？寄M預(yù)測）“”是“直線與直線平行”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】若直線與直線平行，則有解得或，所以當(dāng)時(shí)，直線與直線平行，當(dāng)直線與直線平行時(shí)，或.故選：A【典例2】（2023秋·江西新余·高三統(tǒng)考期末）已知直線：與直線；相互平行，則實(shí)數(shù)的值是（

）A． B．1 C． D．或1【答案】A【詳解】因?yàn)橹本€：的斜率，斜率存在，且，所以直線；的斜率存在，且，化簡得：，解得或.當(dāng)時(shí)，直線：，直線；，此時(shí).當(dāng)時(shí)，直線：，直線；，此時(shí)重合，舍去.所以.故選：A【典例3】（2023秋·湖北武漢·高二武漢市第十七中學(xué)校聯(lián)考期末）若直線和直線平行，則的值為（

）A． B． C．或 D．【答案】A【詳解】直線和直線平行，可得，得.故選：A.【變式1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若直線與直線平行，則m的值為（

）A．2 B． C．2或 D．或【答案】B【詳解】由題意知直線與直線平行，而直線的斜率為，則直線必有斜率，即，則，故，解得或，當(dāng)時(shí)，直線與直線重合，不合題意；當(dāng)時(shí)，直線與直線平行，符合題意，故，故選：B【變式2】（2023春·高二單元測試）“”是“直線和直線平行且不重合”的（

）.A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分又非必要條件【答案】C【詳解】當(dāng)時(shí)，兩直線分別為：，，∴兩直線斜率相等且，∴兩條直線平行且不重合；若兩直線平行且不重合，則，∴，綜上所述，是兩直線平行且不重合的充要條件，故選：C.【變式3】（2023春·海南·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）若直線與平行，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由可知，其斜率為，又兩直線平行，所以可得，解得.故選：B題型04根據(jù)直線垂直求參數(shù)【典例1】（2023·北京·高三專題練習(xí)）“”是“直線與直線相互垂直”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】因?yàn)橹本€與直線相互垂直，所以，所以.所以時(shí)，直線與直線相互垂直，所以“”是“直線與直線相互垂直”的充分條件；當(dāng)直線與直線相互垂直時(shí)，不一定成立，所以“”是“直線與直線相互垂直”的非必要條件.所以“”是“直線與直線相互垂直”的充分非必要條件.故選：A【典例2】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知直線與直線互相垂直，垂足為.則等于（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由兩直線垂直得，解得，所以原直線直線可寫為，又因?yàn)榇棺銥橥瑫r(shí)滿足兩直線方程，所以代入得，解得，所以，故選:D【變式1】（2023春·貴州·高二校聯(lián)考期中）直線與直線垂直，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)橹本€與直線垂直，所以，解得.故選：B【變式2】（2023·陜西西安·陜西師大附中校考模擬預(yù)測）“”是“直線與直線互相垂直”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【詳解】若直線與直線互相垂直，則，解得.所以“”是“直線與直線互相垂直”的充要條件，選C.【變式31】（2023·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）直線與直線垂直，則的值為（

）A． B．1 C． D．9【答案】B【詳解】由題意，得，解得.故選：B.題型05由兩條直線平行求方程【典例1】（2023春·浙江杭州·高二校聯(lián)考期中）過點(diǎn)且與直線平行的直線方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】設(shè)過點(diǎn)且與直線平行的直線方程是，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的方程得，解得，故所求直線方程為，即.故選：A.【典例2】（2023·全國·高三對口高考）已知直線：，則與已知直線平行且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為6的直線方程為_________．【答案】【詳解】

由題意可設(shè)方程為：，令，得，令，得，由題意知：，得，故直線方程為：，故答案為：【變式1】（2023春·天津北辰·高二天津市第四十七中學(xué)校考階段練習(xí)）過點(diǎn)且平行于直線的直線方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】平行于直線的直線方程可設(shè)為又所求直線過點(diǎn)則，解之得，則所求直線為故選：A【變式2】（2023秋·四川涼山·高二統(tǒng)考期末）已知直線過點(diǎn)，且與直線平行，則直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】設(shè)與直線即平行的直線l的方程為，把點(diǎn)代入可得，解得．因此直線l的方程為故選：D【變式3】（2023春·上海浦東新·高二統(tǒng)考期中）過點(diǎn)且與直線平行的直線方程為_________.【答案】【詳解】令所求直線為，且在直線上，所以，即，故所求直線為.故答案為：題型06由兩條直線垂直求方程【典例1】（2023·貴州貴陽·高二貴陽一中?？茧A段練習(xí)）過點(diǎn)且垂直于直線的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】設(shè)垂直于直線的直線為，代入點(diǎn)得，則所求直線為.故選：A.【典例2】（2023春·山東濱州·高一校考階段練習(xí)）已知直線與垂直，求.【答案】m=1或m=3【詳解】因?yàn)橹本€與垂直，所以，解得m=1或m=3.【變式1】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）經(jīng)過點(diǎn)，且與直線垂直的直線方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】設(shè)與直線垂直的直線方程為，于是，解得，所以所求的直線方程為.故選：A【變式2】（2023春·新疆伊犁·高二奎屯市第一高級中學(xué)校考期中）過點(diǎn)且垂直于直線的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】設(shè)所求的直線方程為，代入方程解得，所求的直線方程為.故選：B.題型07直線過定點(diǎn)問題【典例1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）直線，當(dāng)變動(dòng)時(shí)，所有直線恒過定點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】把直線方程整理為，令，故，所以直線恒過定點(diǎn)為.故選：C.【典例2】（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測）若直線恒過點(diǎn)，點(diǎn)也在直線上，其中均為正數(shù)，則的最大值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【詳解】因?yàn)?，則，令，解得，即直線恒過點(diǎn).又因?yàn)辄c(diǎn)A也在直線上，則，可得，且，則，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立所以的最大值為.故選：B.【典例3】（2023春·江蘇南通·高一期末）已知點(diǎn)，.若直線與線段恒相交，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】由直線方程，令，解得，故直線過定點(diǎn)，如下圖：則直線的斜率，直線的斜率，由圖可知：.故選：D.【變式1】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）不論取何值，直線都過定點(diǎn)（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)?，整理得，令，解得，所以直線過定點(diǎn).故選：B.【變式2】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）不論為何實(shí)數(shù)，直線恒通過一個(gè)定點(diǎn)，這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】原方程可化為，由直線恒過定點(diǎn)可知，，解得，所以直線恒過定點(diǎn)故選：B【變式3】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）不論取何值時(shí)，直線恒過第____象限．【答案】四【詳解】直線可化為，由，得，所以直線恒過定點(diǎn)，因?yàn)樵诘谒南笙蓿手本€恒過第四象限．故答案為：四.題型08直線綜合【典例1】（2023春·湖南常德·高二常德市一中?？计谥校┮阎本€的方程為．(1)求直線過的定點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)直線與軸正半軸和軸正半軸分別交于點(diǎn)，，當(dāng)面積最小時(shí)，求直線的方程；【答案】(1)；(2)【詳解】（1）由題意，直線的方程可化為，聯(lián)立方程組解得，所以直線過的定點(diǎn)．（2）設(shè)直線，則，由（1）知，直線過的定點(diǎn)，可得，因?yàn)?，所以，解得，?dāng)且僅當(dāng)且即時(shí)，等號成立，所以面積為，此時(shí)對應(yīng)的直線方程為，即．【典例2】（2023春·福建福州·高二校聯(lián)考期中）已知直線：，.(1)證明直線過定點(diǎn)，并求出點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)在（1）的條件下，若直線過點(diǎn)，且在軸上的截距是在軸上的截距的，求直線的方程；(3)若直線不經(jīng)過第四象限，求的取值范圍.【答案】(1)證明見解析，點(diǎn)的坐標(biāo)為(2)或(3)【詳解】（1）證明：整理直線的方程，得，所以直線過直線與的交點(diǎn)，聯(lián)立方程組，解得，所以直線過定點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為.（2）當(dāng)截距為0時(shí)，直線的方程為，即，當(dāng)截距不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，則，解得，直線的方程為，即，故直線的方程為或.（3）當(dāng)時(shí)，直線的方程為，符合題意；當(dāng)時(shí)，直線的方程為，不符合題意；當(dāng)，且時(shí)，，所以解得或，綜上所述，當(dāng)直線不經(jīng)過第四象限時(shí)，的取值范圍是：.【典例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知直線：，（1）直線過定點(diǎn)，求點(diǎn)P坐標(biāo)；（2）若直線交軸負(fù)半軸于點(diǎn)，交軸正半軸于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)三角形的面積為4，求出直線方程．【答案】（1）（2）【詳解】解：（1）由，可得，∴直線：必過直線，的交點(diǎn)，∴；（2）∵直線交軸負(fù)半軸于點(diǎn)，交軸正半軸于點(diǎn)，∴，令，得；令，得，三角形的面積為，解得，∴直線方程為：.【變式1】（2023秋·遼寧葫蘆島·高二興城市高級中學(xué)?？计谀┮阎本€，若直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則實(shí)數(shù)的值為___________；若直線不經(jīng)過第三象限，則的取值范圍是___________.【答案】或；.【詳解】因?yàn)橹本€l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，所以，在中，令，得，令，得，依題意可得，即，解得或；直線的方程可化為，所以，所以，所以直線過定點(diǎn)，所以，由直線可得：，若不經(jīng)過第三象限，則，故答案為：或；.【變式1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）過點(diǎn)作直線分別交軸、軸的正半軸于，兩點(diǎn).(1)求的最小值，及此時(shí)直線的截距式方程；(2)求的最小值，及此時(shí)直線的截距式方程.【答案】(1)8，(2)4，【詳解】（1）根據(jù)題意可設(shè)直線l的方程為，則，，因?yàn)橹本€l過點(diǎn)，所以，又（當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號），所以，即，所以的最小值為8，此時(shí)直線l的截距式方程為.（2）由（1）可知，所以，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號.所以的最小值為4，此時(shí)，，直線l的截距式方程為.【變式2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知直線.（1）若直線不經(jīng)過第四象限，求的取值范圍；（2）若直線交軸負(fù)半軸于點(diǎn)，交軸正半軸于點(diǎn)，求面積的最小值；（3）已知，若點(diǎn)到直線的距離為，求最大時(shí)直線的方程.【答案】（1）；（2）；（3）.【詳解】（1）直線l的方程為，直線l恒過定點(diǎn)，∴若直線l不經(jīng)過第四象限，則，（2）因?yàn)橹本€l交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A，交y軸正半軸于點(diǎn)B，所以取，，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.（3）當(dāng)時(shí)，d最大，，可得直線的斜率為，則直線的方程，即.A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2023春·河南周口·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知直線，的傾斜角分別為，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題意得，，所以為鈍角，為銳角，所以．故選：A．2．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）若直線與垂直，則m的值為（

）A． B． C．5 D．【答案】D【詳解】直線：的斜率，當(dāng)時(shí)，直線：的斜率為，由于兩直線垂直，，解得；若，，直線的斜率不存在，要保證必有，顯然不成立；；故選：D.3．（2023春·安徽·高二池州市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）過點(diǎn)且與直線平行的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】直線的斜率為-2，所以所求直線的方程為，即.故選：A.4．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）經(jīng)過點(diǎn)，且傾斜角為的直線的一般式方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由直線的傾斜角為知，直線的斜率，因此，其直線方程為，即.故選：A5．（2023·全國·高三對口高考）如果且，那么直線不通過（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】C【詳解】因?yàn)?，且，所以、、均不為零，由直線方程，可化為，因?yàn)?，且，可得，，所以直線經(jīng)過第一、二、四象限，所以不經(jīng)過第三象限．故選：C.6．（2023·江西·江西師大附中?？既＃┤魹閷?shí)數(shù)，則“”是“直線與平行”的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要【答案】C【詳解】若“直線與平行”，則，解得或，當(dāng)時(shí)，直線，，此時(shí)//，符合題意；當(dāng)時(shí)，直線，即，，此時(shí)，重合，不符合題意；綜上所述：“直線與平行”等價(jià)于.所以“”是“直線與平行”的充要條件.故選：C.7．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）直線與連接的線段相交，則a的取值范圍是（

）A．B． C． D．【答案】D【詳解】直線過點(diǎn).如圖，

由題意，直線與線段總有公共點(diǎn)，即直線以直線為起始位置，繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到直線即可，直線的斜率為，直線的斜率分別為，于是或，而，因此或，所以或，解得或，即a的取值范圍是.故選：D.8．（2023·山東青島·統(tǒng)考三模）瑞士數(shù)學(xué)家歐拉在《三角形的幾何學(xué)》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上．這條直線被稱為歐拉線．已知的頂點(diǎn)，，，若直線l：與的歐拉線平行，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A．－2 B．－1 C．－1或3 D．3【答案】B【詳解】由的頂點(diǎn)，，知，重心為，即，又三角形為直角三角形，所以外心為斜邊中點(diǎn)，即，所以可得的歐拉線方程，即，因?yàn)榕c平行，所以，解得，故選：B二、多選題9．（2023秋·福建莆田·高二?？计谀┮阎本€，則（

）A．若，則B．若，則C．若與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為1，則D．當(dāng)時(shí)，不經(jīng)過第一象限【答案】BCD【詳解】由題知，直線對于A，當(dāng)時(shí)，，解得或，故A錯(cuò)誤；對于B，當(dāng)時(shí)，，解得，故B正確；對于C，在直線中，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為，解得，故C正確；對于D，由題知當(dāng)時(shí)，的圖象為故D正確；故選：BCD10．（2023春·廣西南寧·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．直線必過定點(diǎn)B．過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線l的方程為C．經(jīng)過點(diǎn)，傾斜角為的直線方程為D．已知直線和以，為端點(diǎn)的線段相交，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為【答案】BCD【詳解】A選項(xiàng)，直線方程變形為，令，解得，即原直線必過定點(diǎn)，A正確；B選項(xiàng)，當(dāng)直線l過原點(diǎn)時(shí)，也滿足在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，此時(shí)直線l的方程為，B不正確；C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，無意義，故C不正確；D選項(xiàng)，直線經(jīng)過定點(diǎn)，當(dāng)直線經(jīng)過M時(shí)，斜率為，當(dāng)直線經(jīng)過N點(diǎn)時(shí)，斜率為，由于線段MN與y軸相交，故實(shí)數(shù)k的取值范圍為或，D不正確.故選：BCD.三、填空題11．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知直線在x軸上的截距是它在y軸上截距的4倍，則________.【答案】/-0.5【詳解】令，得，令，得．由于直線在軸上的截距是它在y軸上截距的4倍，故，解得．故答案為：12．（2023春·上海浦東新·高二上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谥校┮阎本€，當(dāng)變化時(shí)，直線總是經(jīng)過定點(diǎn)，則定點(diǎn)坐標(biāo)為______.【答案】【詳解】因?yàn)橹本€可化為，令，解得，所以直線過定點(diǎn)，故答案為：.四、解答題13．（2023秋·安徽蚌埠·高二統(tǒng)考期末）已知直線和直線.(1)若，求實(shí)數(shù)的值；(2)若，求實(shí)數(shù)的值.【答案】(1)0或2(2)【詳解】（1）若，則，解得或2；（2）若，則，解得或1.時(shí)，，滿足，時(shí)，，此時(shí)與重合，所以.14．（2023·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）已知直線l過定點(diǎn)，且交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A、交y軸正半軸于點(diǎn)B，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)若的面積為4，求直線l的方程；(2)求的最小值，并求此時(shí)直線l的方程；(3)求的最小值，并求此時(shí)直線l的方程．【答案】(1)(2)，(3)，【詳解】（1）設(shè)直線l：，由直線過可得，∴，由可得.所以直線l的方程為，即.（2）設(shè)直線l：，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等號，此時(shí)直線方程.（3）設(shè)直線l：，∵三點(diǎn)共線，且，，即，，∴|，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等號，此時(shí)直線方程．B能力提升1．（2023秋·廣東廣州·高二廣州市天河中學(xué)?？计谀┮阎本€：經(jīng)過定點(diǎn)P，直線經(jīng)過點(diǎn)P，且的方向向量，則直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】可變形為，解得，即點(diǎn)坐標(biāo)為.因?yàn)?，所以直線的斜率為，又過點(diǎn)，代入點(diǎn)斜式方程可得，整理可得.故選：A.2．（2023·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)，過定點(diǎn)的動(dòng)直線和過定點(diǎn)的動(dòng)直線相交于點(diǎn)不重合），則面積的最大值是（

）A． B．5 C． D．【答案】D【詳解】由題意直線過定點(diǎn)，直線可變?yōu)?，所以該直線過定點(diǎn)，所以，又，所以直線與直線互相垂直，所以，所以即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號,所以，，即面積的最大值是.故選：D.3．（2023·全國·高二專題練習(xí)）萊昂哈德·歐