初中幾何十大模型-總匯

第一章8字模型與飛鏢模型模型1角的“8”字模型如圖所示，AB、CD相交于點O，連接AD、BC。結(jié)論：∠A+∠D=∠B+∠C。模型分析8字模型往往在幾何綜合題目中推導(dǎo)角度時用到。模型實例觀察下列圖形，計算角度：（1）如圖①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=；（2）如圖②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=。熱搜精練1．（1）如圖①，求∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=；（2）如圖②，求∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E=。2．如圖，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=。模型2角的飛鏢模型如圖所示，有結(jié)論：∠D=∠A+∠B+∠C。模型分析飛鏢模型往往在幾何綜合題目中推導(dǎo)角度時用到。模型實例如圖，在四邊形ABCD中，AM、CM分別平分∠DAB和∠DCB，AM與CM交于M。探究∠AMC與∠B、∠D間的數(shù)量關(guān)系。熱搜精練1．如圖，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=；2．如圖，求∠A+∠B+∠C+∠D=。模型3邊的“8”字模型如圖所示，AC、BD相交于點O，連接AD、BC。結(jié)論：AC+BD>AD+BC。模型實例如圖，四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O。求證：（1）AB+BC+CD+AD>AC+BD；（2）AB+BC+CD+AD<2AC+2BD.模型4邊的飛鏢模型如圖所示有結(jié)論：AB+AC>BD+CD。模型實例如圖，點O為三角形內(nèi)部一點。求證：（1）2（AO+BO+CO）>AB+BC+AC；（2）AB+BC+AC>AO+BO+CO.熱搜精練1．如圖，在△ABC中，D、E在BC邊上，且BD=CE。求證：AB+AC>AD+AE。2．觀察圖形并探究下列各問題，寫出你所觀察得到的結(jié)論，并說明理由。（1）如圖①，△ABC中，P為邊BC上一點，請比較BP+PC與AB+AC的大小，并說明理由；（2）如圖②，將（1）中的點P移至△ABC內(nèi)，請比較△BPC的周長與△ABC的周長的大小，并說明理由；（3）圖③將（2）中的點P變?yōu)镻1、P2，請比較四邊形BP1P2C的周長與△ABC的周長的大小，并說明理由。

第二章角平分線四大模型模型1角平分線上的點向兩邊作垂線如圖，P是∠MON的平分線上一點，過點P作PA⊥OM于點A，PB⊥ON于點B。結(jié)論：PB=PA。模型分析利用角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點到角兩邊的距離相等，構(gòu)造模型，為邊相等、角相等、三角形全等創(chuàng)造更多的條件，進(jìn)而可以快速找到解題的突破口。模型實例（1）如圖①，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=6，BD=4，那么點D到直線AB的距離是；（2）如圖②，∠1=∠2，+∠3=∠4。求證：AP平分∠BAC。熱搜精練1．如圖，在四邊形ABCD中，BC>AB，AD=DC，BD平分∠ABC。求證：∠BAD+∠BCD=180°。2．如圖，△ABC的外角∠ACD的平分線CP與內(nèi)角∠ABC的平分線BP交于點P，若∠BPC=40°，則∠CAP=。模型2截取構(gòu)造對稱全等如圖，P是∠MON的平分線上一點，點A是射線OM上任意一點，在ON上截取OB=OA，連接PB。結(jié)論：△OPB≌△OPA。模型分析利用角平分線圖形的對稱性，在角的兩邊構(gòu)造對稱全等三角形，可以得到對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等。利用對稱性把一些線段或角進(jìn)行轉(zhuǎn)移，這是經(jīng)常使用的一種解題技巧。模型實例（1）如圖①所示，在△ABC中，AD是△ABC的外角平分線，P是AD上異于點A的任意一點，試比較PB+PC與AB+AC的大小，并說明理由；（2）如圖②所示，AD是△ABC的內(nèi)角平分線，其他條件不變，試比較PC-PB與AC-AB的大小，并說明理由。熱搜精練1．已知，在△ABC中，∠A=2∠B，CD是∠ACB的平分線，AC=16，AD=8。求線段BC的長。2．已知，在△ABC中，AB=AC，∠A=108°，BD平分∠ABC。求證：BC=AB+CD。3．如圖所示，在△ABC中，∠A=100°，∠A=40°，BD是∠ABC的平分線，延長BD至E，DE=AD。求證：BC=AB+CE。模型3角平分線+垂線構(gòu)造等腰三角形如圖，P是∠MO的平分線上一點，AP⊥OP于P點，延長AP于點B。結(jié)論：△AOB是等腰三角形。模型分析構(gòu)造此模型可以利用等腰三角形的“三線合一”，也可以得到兩個全等的直角三角形，進(jìn)而得到對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等。這個模型巧妙地把角平分線和三線合一聯(lián)系了起來。模型實例如圖，已知等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD，垂足為E。求證：BD=2CE。熱搜精練1．如圖，在△ABC中，BE是角平分線，AD⊥BE，垂足為D。求證：∠2=∠1+∠C。2．如圖，在△ABC中，∠ABC=3∠C，AD是∠BAC的平分線，BE⊥AD于點E。求證：BE=（AC-AB）。模型4角平分線+平行線如圖，P是∠MO的平分線上一點，過點P作PQ∥ON，交OM于點Q。結(jié)論：△POQ是等腰三角形。模型分析有角平分線時，常過角平分線上一點作角的一邊的平行線，構(gòu)造等腰三角形，為證明結(jié)論提供更多的條件，體現(xiàn)了角平分線與等腰三角形之間的密切關(guān)系。模型實例解答下列問題：（1）如圖①所示，在△ABC中，EF∥BC，點D在EF上，BD、CD分別平分∠ABC、∠ACB，寫出線段EF與BE、CF有什么數(shù)量關(guān)系；（2）如圖②所示，BD平分∠ABC、CD平分∠ACG，DE∥BC交AB于點E，交AC于點F，線段EF與BE、CF有什么數(shù)量關(guān)系？并說明理由。（3）如圖③所示，BD、CD分別為外角∠CBM、∠BCN的平分線，，DE∥BC交AB延長線于點E，交AC延長線于點F，直接寫出線段EF與BE、CF有什么數(shù)量關(guān)系？熱搜精練如圖，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線交于點E，過點E作EF∥BC，交AB于點M，交AC于點N。若BM+CN=9，則線段MN的長為。2．如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，點E、F分別在BD、AD上，EF∥AB，且DE=CD。求證：EF=AC。如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，點E在CD上，且AE平分∠BAD，BE平分∠ABC。求證：AD=AB-BC。

第三章截長補短模型截長補短如圖①，若證明線段AB、CD、EF之間存在EF=AB+CD，可以考慮截長補短法。截長法：如圖②，在EF上截取EG=AB，再證明GF=CD即可。補短法：如圖③，延長AB至H點，使BH=CD，再證明AH=EF即可。模型分析截長補短的方法適用于求證線段的和差倍分關(guān)系。截長，指在長線段中截取一段等于已知線段；補短，指將短線段延長，延長部分等于已知線段。該類題目中常出現(xiàn)等腰三角形、角平分線等關(guān)鍵詞句，可以采用截長補短法構(gòu)造全等三角形來完成證明過程。模型實例例1．如圖，已知在△ABC中，∠C=2∠B，AD平分∠BAC交BC于點D。求證：AB=AC+CD。例2．如圖，已知OD平分∠AOB，DC⊥OA于點C，∠A=∠GBD。求證：AO+BO=2CO。熱搜精練1．如圖，在△ABC中，∠BAC=60°，AD是∠BAC的平分線，且AC=AB+BD。求∠ABC的度數(shù)。2．如圖，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分別平分∠BAC、∠ACB。求證：AC=AE+CD。3．如圖，∠ABC+∠BCD=180°，BE、CE分別平分∠ABC、∠BCD。求證：AB+CD=BC。4．如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，AD平分∠BAC交BC于點D，∠C=30°，BE⊥AD于點E。求證：AC-AB=2BE。5．如圖，Rt△ABC中，AC=BC，AD平分∠BAC交BC于點D，CE⊥AD交AD于F點，交AB于點E。求證：AD=2DF+CE。6．如圖，五邊形ABCDE中，AB=AC，BC+DE=CD，∠B+∠E=180°。求證：AD平分∠CDE。

第四章手拉手模型模型手拉手如圖，△ABC是等腰三角形、△ADE是等腰三角形，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=。結(jié)論：△BAD≌△CAE。模型分析手拉手模型常和旋轉(zhuǎn)結(jié)合，在考試中作為幾何綜合題目出現(xiàn)。模型實例例1．如圖，△ADC與△EDC都為等腰直角三角形，連接AG、CE，相交于點H，問：（1）AG與CE是否相等？（2）AG與CE之間的夾角為多少度？例2．如圖，直線AB的同一側(cè)作△ABD和△BCE都為等邊三角形，連接AE、CD，二者交點為H。求證：（1）△ABE≌△DBC；（2）AE=DC；（3）∠DHA=60°；（4）△AGB≌△DFB；（5）△EGB≌△CFB；（6）連接GF，GF∥AC；（7）連接HB，HB平分∠AHC。熱搜精練1．如圖，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F(xiàn)為AB延長線上一點，點E在BC上，且AE=CF。（1）求證：BE=BF；（2）若∠CAE=30°，求∠ACF度數(shù)。2．如圖，△ABD與△BCE都為等邊三角形，連接AE與CD，延長AE交CD于點H．證明：（1）AE=DC；（2）∠AHD=60°；（3）連接HB，HB平分∠AHC。3．在線段AE同側(cè)作等邊△CDE（∠ACE<120°），點P與點M分別是線段BE和AD的中點。求證：△CPM是等邊三角形。4．將等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE按圖①方式放置，∠A=90°，AD邊與AB邊重合，AB=2AD=4。將△ADE繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)一個角度（0°<>180°），BD的延長線交CE于P。（1）如圖②，證明：BD=CE，BD⊥CE；（2）如圖③，在旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)AD⊥BD時，求出CP的長。

第五章三垂直全等模型模型三垂直全等模型如圖，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。結(jié)論：Rt△BCD≌Rt△CAE。模型分析說到三垂直模型，不得不說一下弦圖，弦圖的運用在初中直角三角形中占有舉足輕重的地位，很多利用垂直倒角，勾股定理求邊長，相似求邊長都會用到從弦圖中支離出來的一部分幾何圖形去求解。圖①和圖②就是我們經(jīng)常會見到的兩種弦圖。三垂直圖形變形如下圖③、圖④，這也是由弦圖演變而來的。模型實例例1．如圖，AB⊥BC，CD⊥BC，AE⊥DE，AE=DE。求證：AB+CD=BC。例2．如圖，∠ACB-90°，AC=BC，BE⊥CE于點D，AD=2.5cm，BE=0.8cm。求DE的長。例3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰Rt△ABC有兩個頂點在坐標(biāo)軸上，求第三個頂點的坐標(biāo)。熱搜精練1．如圖，正方形ABCD，BE=CF。求證：（1）AE=BF；（2）AE⊥BF。2．直線上有三個正方形a、b、c，若a、c的面積分別是5和11，則b的面積是。3．已知，△ABC中，∠BAC-90°，AB=AC，點P為BC上一動點（BP<CP），分別過B、C作BE⊥AP于點E、CF⊥AP于點F。（1）求證：EF=CF-BE；（2）若P為BC延長線上一點，其它條件不變，則線段BE、CF、EF是否存在某種確定的數(shù)量關(guān)系？畫圖并直接寫出你的結(jié)論。4．如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=3，設(shè)∠BCD=，以D為旋轉(zhuǎn)中心，將腰DC繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°至DE。（1）當(dāng)=45°時，求△EAD的面積；（2）當(dāng)=30°時，求△EAD的面積；（3）當(dāng)0°<<90°時，猜想△EAD的面積與大小有無關(guān)系？若有關(guān)，寫出△EAD的面積S與的關(guān)系式；若無關(guān)，請證明結(jié)論。5．如圖，向△ABC的外側(cè)作正方形ABDE、正方形ACFG，過點A作AH⊥BC于H，AH的反向延長線與EG交于點P。求證：BC=2AP。

第六章將軍飲馬“將軍飲馬”問題主要利用構(gòu)造對稱圖形解決求兩條線段和差、三角形周長、四邊形周長等一類最值問題，會與直線、角、三角形、四邊形、圓、拋物線等圖形結(jié)合，在近年的中考和競賽中經(jīng)常出現(xiàn)，而且大多以壓軸題的形式出現(xiàn)。模型1定直線與兩定點模型作法結(jié)論當(dāng)兩定點A、B在直線異側(cè)時，在直線上找一點P，使PA+PB最小。連接AB交直線于點P，點P即為所求作的點。PA+PB的最小。當(dāng)兩定點A、B在直線同側(cè)時，在直線上找一點P，使PA+PB最小。作點B關(guān)于直線的對稱點B′，連接AB′交直線于點P，點P即為所求作的點。PA+PB的最小值為AB′。當(dāng)兩定點A、B在直線同側(cè)時，在直線上找一點P，使最大。連接AB并延長交直線于點P，點P即為所求作的點。的最大值為AB。當(dāng)兩定點A、B在直線同側(cè)時，在直線上找一點P，使最大。作點B關(guān)于直線的對稱點B′，連接AB′并延長交直線于點P，點P即為所求作的點。的最大值為AB′。當(dāng)兩定點A、B在直線同側(cè)時，在直線上找一點P，使最小。連接AB，作AB的垂直平分線交直線于點P，點P即為所求作的點。的最小值為0。模型實例例1．如圖，正方形ABCD的面積是12，△ABE是等邊三角形，點E 在正方形ABCD內(nèi)，在對角線AC上有一點P，則PD+PE的最小值為。例2．如圖，已知△ABC為等腰直角三角形，AC=BC=4，∠BCD=15°，P為CD上的動點，則的最大值是多少？熱搜精練1．如圖，在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB-90°，D是BC邊的中點，E是AB邊上一動點，則EC+ED的最小值是。2．如圖，點C的坐標(biāo)為（3，），當(dāng)△ABC的周長最短時，求的值。3．如圖，正方形ABCD中，AB-7，M是DC上的一點，且DM-3，N是AC上的一動點，求的最小值與最大值。模型2角到定點模型作法結(jié)論點P在∠AOB的內(nèi)部，在OB上找點D，在OA上找點C，使得△PCD周長最小。分別作點P關(guān)于OA、OB的對稱點P′、P"，連接P′P"，交OA、OB于點C、D，點C、D即為所求?！鱌CD周長最小為P′P"。點P在∠AOB的內(nèi)部，在OB上找點D，在OA上找點C，使得PD+CD最小。作點P關(guān)于OB的對稱點P′，過點P′作P′C⊥OA交OB于點C，點C、D即為所求。PC+CD的最小值為P′C。點P、Q在∠AOB的內(nèi)部，在OB上找點D，在OA上找點C，使得四邊形PQDC周長最小。分別作點P、Q關(guān)于OA、OB的對稱點P′、Q′，連接P′Q′，交OA、OB于點C、D，點C、D即為所求。PC+CD+DQ的最小值為P′Q′，所以四邊形PQDC的周長的最小值為P′Q′+PQ。模型實例例1．如圖，∠AOB=30°，∠AOB內(nèi)有一定點P，且OP=10，在OA上有一點Q，OB上有一點R。若△PQR周長最小，則最小周長是多少？熱搜精練1．如圖，∠MON=40°，P為∠MON內(nèi)一定點，A為OM上的點，B為ON上的點，當(dāng)△PAB的周長取最小值時：（1）找到A、B點，保留作圖痕跡；（2）求此時∠APB等于多少度。如果∠MON=，∠APB又等于多少度？2．如圖，四邊形ABCD中，∠BAD=110°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分別找一點M、N，使△AMN周長最小，并求此時∠AMN+∠ANM的度數(shù)。3．如圖，在軸上找一點C，在軸上找一點D，使AD+CD+BC最小，并求直線CD的解析式及點C、D的坐標(biāo)。4．如圖∠MON=20°，A、B分別為射線OM、ON上兩定點，且OA=2，OB=4，點P、Q分別為射線OM、ON上兩動點，當(dāng)P、Q運動時，線段AQ+PQ+PB的最小值是多少？模型3兩定點一定長模型作法結(jié)論如圖，在直線上找M、N兩點（M在左），使得AM+MN+NB最小，且MN=。將點A向右平移個單位到A′，作A′關(guān)于直線的對稱點A"，連接A"B交直線于點N，將點N向左平移個單位到M，點M、N即為所求。AM+MN+NB最小為A"B。如圖，∥，，之間距離為，在，分別找M、N兩點，使得MN⊥，且AM+MN+NB最小。將點A向下平移個單位到A′，連接A′B交直線于點N，將點N向上平移個單位到M，點M、N即為所求。AM+MN+NB的最小值為A′B+。模型實例例1．在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC如圖所示，點A在軸正半軸上，點C在軸正半軸上，且OA=6，OC=4，D為OC中點，點E、F在線段OA上，點E在點F左側(cè)，EF=2。當(dāng)四邊形BDEF的周長最小時，求點E的坐標(biāo)。熱搜精練1．在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OACB的頂點O在坐標(biāo)原點，頂點A、B分別在，軸、軸的正半軸上，A（3，0），B（0，4），D為邊OB的中點。（1）若E為邊OA上的一個動點，求△CDE的周長最小值；（2）若E、F為邊OA上的兩個動點，且EF=1，當(dāng)四邊形CDEF的周長最小時，求點E、F的坐標(biāo)。2．村莊A和村莊B位于一條小何的兩側(cè)，若河岸彼此平行，要架設(shè)一座與河岸垂直的橋，橋址應(yīng)如何選擇，才使A與B之間的距離最短？

第八章中點四大模型模型1倍長中線或類中線（與中點有關(guān)的線段）構(gòu)造全等三角形模型分析如圖①，AD是△ABC的中線，延長AD至點E使DE=AD，易證：△ADC≌△EDB（SAS）。如圖②，D是BC中點，延長FD至點E使DE=FD，易證：△FDB≌△FDC（SAS）。當(dāng)遇見中線或者中點的時候，可以嘗試倍長中線或類中線，構(gòu)造全等三角形，目的是對已知條件中的線段進(jìn)行轉(zhuǎn)移。模型實例例1．如圖，已知在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點，連接BE并延長AC于點F，AF=EF。求證：AC=BE。熱搜精練1．如圖，在△ABC中，AB=12，AC=20，求BC邊上中線AD的范圍。2．如圖，在△ABC中，D是BC的中點，DM⊥DN，如果。求證：。模型2已知等腰三角形底邊中點，可以考慮與頂點連接用“三線合一”模型分析等腰三角形中有底邊中點時，常作底邊的中線，利用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)得到角相等或邊相等，為解題創(chuàng)造更多的條件，當(dāng)看見等腰三角形的時候，就應(yīng)想到：“邊等、角等、三線合一”。模型實例例1．如圖，在△ABC中，AB=AC-5，BC=6，M為BC的中點，MN⊥AC于點N，求MN的長度。熱搜精練1．如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中點，AE⊥DE，AF⊥DF，且AE=AF。求證：∠EDB=∠FDC。2．已知Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D為AB邊的中點，∠EDF=90°，∠EDF繞點D旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AC、CB（或它們的延長線）于E、F。（1）當(dāng)∠EDF繞點D旋轉(zhuǎn)到DE⊥AC于E時（如圖①），求證：；（2）當(dāng)∠EDF繞點D旋轉(zhuǎn)到DE和AC不垂直時，在圖②和圖③這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，、、又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明。模型3已知三角形一邊的中點，可以考慮中位線定理模型分析在三角形中，如果有中點，可構(gòu)造三角形的中位線，利用三角形中位線的性質(zhì)定理：DE∥BC，且來解題，中位線定理既有線段之間的位置關(guān)系又有數(shù)量關(guān)系，該模型可以解決相等，線段之間的倍半、相等及平行問題。。模型實例例1．如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD，E、F分別是BC、AD的中點，連接EF并延長，分別與BA、CD的延長線交于點M、N。求證：∠BME=∠CNE。熱搜精練1．（1）如圖①，BD、CE分別是△ABC的外角平分，過點A作AD⊥BD、AE⊥CE，垂足分別為D、E，連接DE。求證：DE∥BC，；（2）如圖②，BD、CE分別是△ABC的內(nèi)角平分，其它條件不變。上述結(jié)論是否成立？（3）如圖③，BD是△ABC的內(nèi)角平分，CE是△ABC的外角平分，其它條件不變。DE與BC還平行嗎？它與△ABC三邊又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，并對其中一種情況進(jìn)行證明。2．問題一：如圖①，在四邊形ACBD中，AB與CD相交于點O，AB=CD，E、F分別是BC、AD的中點，連接EF分別交DC、AB于點M、N，判斷△OMN的形狀，請直接寫出結(jié)論；問題二：如圖②，在△ABC中，AC>AB，點D在AC上，AB=CD，E、F分別是BC、AD的中點，連接EF并延長，與BA的延長線交于點G，若∠EFC=60°，連接GD，判斷△AGD的形狀并證明。模型4已知直角三角形斜邊中點，可以考慮構(gòu)造斜邊中線模型分析在直角三角形中，當(dāng)遇見斜邊中點時，經(jīng)常會作斜邊上的中線，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即，來證明線段間的數(shù)量關(guān)系，而且可以得到兩個等腰三角形：△ACD和△BCD，該模型經(jīng)常會與中位線定理一起綜合應(yīng)用。模型實例例1．如圖，在△ABC中，BE、CF分別為AC、AB上的高，D為BC的中點，DM⊥EF于點M。求證：FM=EM。熱搜精練1．如圖，在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于點D，M為BC的中點，AB=10。求DM的長度。2．已知，△ABD和△ACE都是直角三角形，且∠ABD=∠ACE=90°，連接DE，M為DE的中點，連接MB、MC。求證：MB=MC。3．問題1：如圖①，△ABC中，點D是AB邊的中點，AE⊥BC，BF⊥AC，垂足分別為點E、F，AE、BF交于點M，連接DE、DF。若，則的值為；問題2：如圖②，△ABC中，CB=CA，點D是AB邊的中點，點M在△ABC內(nèi)部，且∠MAC=∠MBC。過點M分別作ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分別為點E、F，連接DE、DF。若DE=DF；問題3：如圖③，若將上面問題②中的條件“CB=CA”變?yōu)椤癈B≠CA”，其它條件不變，試探究DE與DF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論。

第九章半角模型模型1倍長中線或類中線（與中點有關(guān)的線段）構(gòu)造全等三角形已知如圖：∠2=∠AOB；②OA=OB。連接F′B，將△FOB繞點O旋轉(zhuǎn)至△FOA的位置，連接F′E、FE，可得△OEF′≌△OEF。模型分析（1）半角模型的命名：存在兩個角度是一半關(guān)系，并且這兩個角共頂點；（2）通過先旋轉(zhuǎn)全等再軸對稱全等，一般結(jié)論是證明線段和差關(guān)系；（3）常見的半角模型是90°含45°，120°含60°。模型實例例1．如圖，已知正方形ABCD中，∠MAN=45°，它的兩邊分別交線段CB、DC于點M、N。（1）求證：BM+DN=MN；（2）作AH⊥MN于點H，求證：AH=AB。例2．在等邊△ABC的兩邊AB、AC上分別有兩點M、N，D為△ABC外一點，且∠MDN=60°，∠BDC=60°，BD=DC。探究：當(dāng)M、N分別在線段AB、AC上移動時，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系。（1）如圖①，當(dāng)DM=DN時，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是；（2）如圖②，當(dāng)DM≠DN時，猜想（1）問的結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明。例3．如圖，在四邊形ABCD中，∠B+∠ADC=180°，E、F分別是BC、CD延長線上的點，且∠EAF=∠BAD。求證：EF=BE-FD。熱搜精練1．如圖，正方形ABCD，M在CB延長線上，N在DC延長線，∠MAN=45°。求證：MN=DN-BM。2．已知，如圖①，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D、E分別為線段BC上兩動點，若∠DAE=45°。探究線段BD、DE、EC三條線段之間的數(shù)量關(guān)系。小明的思路是：把△AEC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABE′，連接E′D，使問題得勁解決。請你參考小明的思路探究并解決以下問題：（1）猜想BD、DE、EC三條線段之間的數(shù)量關(guān)系式，并對你的猜想給予證明；（2）當(dāng)動點E在線段BC上，動點D運動到線段CB的延長線上時，如圖②，其它條件不變，（1）中探究的結(jié)論是否發(fā)生改變？請說明你的猜想并給予證明。3．已知，在等邊△ABC中，點O是邊AC、BC的垂直平分線的交點，M、N分別在直線AC、BC上，且∠MON=60°。（1）如圖①，當(dāng)CM=CN時，M、N分別在邊AC、BC上時，請寫出AM、CN、MN三者之間的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖②，當(dāng)CM≠CN時，M、N分別在邊AC、BC上時，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請你加以證明；若不成立，請說明理由；（3）如圖③，當(dāng)點M在邊AC上，點N在BC的延長線上時，請直接寫出線段AM、CN、MN三者之間的數(shù)量關(guān)系。4．如圖，在四邊形ABCD中，∠B+∠D=180°，AB=AD，E、F分別是線段BC、CD上的點，且BE+FD=EF。求證：∠EAF=∠BAD。5．如圖①，已知四邊形ABCD，∠EAF的兩邊分別與DC的延長線交于點F，與CB的延長線交于點E連接EF。（1）若四邊形ABCD為正方形，當(dāng)∠EAF=45°時，EF與DF、BE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？（只需直接寫出結(jié)論）（2）如圖②，如果四邊形ABCD中，AB=AD，∠ABC與∠ADC互補，當(dāng)∠EAF=∠BAD時，EF與DF、BE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出結(jié)論并證明；（3）在（2）中，若BC=4，DC=7，CF=2，求△CEF的周長（直接寫出結(jié)論即可）。

第十章相似模型模型1A、8模型已知：∠1=∠2結(jié)論：△ADE∽△ABC模型分析如圖，在相似三角形的判定中，我們常通過作平行線，從而得出A型或8型相似，在做題時，我們也常常關(guān)注題目中由平行線所產(chǎn)生的相似三角形。模型實例例1．如圖，在△ABC中，中線AF、BD、CE相交于點O。求證：。例2．如圖，點E、F分別在菱形ABCD的邊AB、AD上，且AE=DF，BF交DE于點G，延長BF交CD的延長線于H，若。求的值。熱搜精練如圖，D、E分別是△ABC的邊AB、BC上的點，且DE∥AC，AE、CD相交于點O，若S△DOE：S△COA=1：25，則S△BDE與S△CDEE的比是。如圖所示，□ABCD中，G是BC延長線上的一點，AG與BD交于點E，與DC交于點F，此圖中的相似三角形共有對。3．如圖，在△ABC中，中線BD、CE相交于點O，連接AO并延長，交BC于點F。求證：點F是BC的中點。4．在△ABC中，AD是角平分線，求證：。5．如圖，△ABC為等腰直角三角形，∠ACB-90°，D是邊BC的中點，E在AB上，且AE：BE=2：1。求證：CE⊥AD。模型2共邊共角型已知：∠1=∠2結(jié)論：△ACD∽△ABC模型分析上圖中，不僅要熟悉模型，還要熟記模型的結(jié)論，有時候題目中會給出三角形邊的乘積或比例關(guān)系，我們要能快速判斷題中的相似三角形，模型中由△ACD∽△ABC，進(jìn)而可以得到。模型實例例1．如圖，D是△ABC邊BC上的一點，AB=4，AD=2，∠DAC=∠B，如果△ABD的面積為15，那么△ACD的面積為。例2．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC-90°，AD⊥BC于D。（1）圖中有多少對相似三角形？寫出來；（2）求證：熱搜精練1．如圖所示，能判定△ABC∽△DAC的有；①∠B=∠DAC；②∠BAC=∠ADC；③；④。2．已知△AMN是等邊三角形，∠BAC=120°。求證：（1）；（2）；（3）。3．如圖，AB是半圓O的直徑，C是半圓上的一點，過C作CD⊥AB于D，，AD：DB=4：1。求CD的長。4．如圖①，Rt△ABC中，∠ACB-90°，CD⊥AB，我們可以利用△ABC∽△ACD證明，這個結(jié)論我們稱之為射影定理，結(jié)論運用：如圖②，正方形ABCD的邊長為6，點O是對角線AC、BD的交點，點E在CD上，過點C作CE⊥BE，垂足為F，連接OF。（1）試?yán)蒙溆岸ɡ碜C明△BOF∽△BED；（2）若DE=2CE，求OF的長。模型3一線三角型已知，如圖①②③中：∠B=∠ACE=∠D。結(jié)論：△ABC∽△CDE模型分析在一線三等角的模型中，難點在于當(dāng)已知三個相等的角的時候，容易忽略隱含的其它相等的角，此模型中的三垂直相似應(yīng)用較多，當(dāng)看見該模型的時候，應(yīng)立刻能看出相應(yīng)的相似三角形。模型實例例1．如圖在等邊△ABC中，P為BC上一點，D為AC上一點，且∠APD=60°，BP=1，CD=，則△ABC的邊長為。例2．如圖，∠A=∠B=90°，AB=7，AD=2，BC=3，在邊AB上取一點P，使得△PAD民△PBC相似，則這樣的P點共有個。熱搜精練1．如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，點D是BC邊上的一個動點（不與B、C點重合），∠ADE=45°。（1）求證：△ABD∽△DCE；（2）設(shè)BD=，AE=，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（3）當(dāng)△ADE是等腰三角形時，求AE的長。2．如圖，在△ABC中，AB=AC=10，點D是邊BC上一動點（不與B、C重合），∠ADE=∠B=，DE交AC于點E，且，下列結(jié)論。①△ADE∽△ACD；②當(dāng)BD=6時，△ABD與△DCE全等；③△DCE為直角三角形時，BD等于8或12.5；④0<CE≤6.4.其中正確的結(jié)論是。（把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號都填上）3．如圖，已知矩形ABCD的一條邊AD=8，將矩形ABCD折疊，使得頂點B落在CD邊上的P點外，折痕與邊BC交于O，連接AP、OP、OA。（1）求證：△OCP∽△PDA；（2）若△OCP與△PDA的面積比為1：4，求邊AB的長。模型4倒數(shù)型條件：AF∥DE∥BC結(jié)論：模型分析仔細(xì)觀察，會發(fā)現(xiàn)該模型中含有兩個A型相似模型，它的結(jié)論是由兩個A型相似的結(jié)論相加而得到的，該模型的練習(xí)有助于提高綜合題能力水平。模型實例例1．如圖，AF∥BC，AC、BF相交于點E，過D作ED∥AF交AB于點D。求證：。熱搜精練1．如圖，在△ABC中，CD⊥AB于點D，正方形EFGH的四個頂點都在△ABC的邊上。求證：。2．正方形ABCD中，以AB為邊作等邊三角形ABE，連接DE交AC于F，交AB于G，連接BF。求證：（1）AF+BF=EF；（2）。模型5與圓有關(guān)的簡單相似圖①中，由同弧所對的圓周角相等，易得△PAC∽△PDB；圖②中，由圓的內(nèi)接四邊形的一個外角等于它的內(nèi)對角，易得△PAC∽△PDB；圖③中，通過作輔助線構(gòu)造，易得△PAC∽△PCB。模型實例例1．如圖，點P在⊙O外，PB交⊙O于A、B兩點，PC交⊙O于D、C兩點。求證：。熱搜精練1．如圖，P是⊙O內(nèi)的一點，AB是過點P的一條弦，設(shè)圓的半徑為r，OP=d。求證：。2．如圖，已知AB是⊙O的直徑，C、D是半圓的三等分點，延長AC、BD交于點E。（1）求∠E的度數(shù)；（2）點M是BE上一點，且滿足，連接CM，求證：CM是⊙O的切線。模型6相似與旋轉(zhuǎn)如圖①，已知DE∥BC，將△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)一定的角度，連接BD、CE，得到如圖②，結(jié)論：△ABD∽△ACE。模型分析該模型難度較大，常出現(xiàn)在壓軸題中，以直角三角形為背景出題，對學(xué)生的綜合能力要求較高，考察知識點有相似、旋轉(zhuǎn)、勾股定理、三角函數(shù)等，是優(yōu)等生必須掌握的一種題型。模型實例例1．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=60°，點P在△ABC內(nèi)，且，PB=5，PC=2。求S△ABC。熱搜精練1．如圖，△ABC和△CEF均為等腰三角形，E在