題庫-函數(shù)的實際應(yīng)用

類型一最大利潤問題

1.某企業(yè)推銷自己的品牌，設(shè)計了一款籃球工藝品投放市場進(jìn)行試銷.

根據(jù)市場調(diào)查，這種工藝品一段時間內(nèi)每周的銷售量y（個）與銷售單

價x（元）之間的對應(yīng)關(guān)系如圖所示（%為大于6的整數(shù)）.

（1）試判斷y與x的函數(shù)關(guān)系,并求出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；

（2）已知籃球工藝品的進(jìn)價為10元/個,按照上述銷售規(guī)律，當(dāng)銷售

單價x定為多少時，試銷該工藝品每周獲得的利潤攻（元）最大？最大

利潤是多少？

（3屎體育超市每周購進(jìn)該款籃球工藝品的進(jìn)貨成本不超過1000元，

要想每周獲得的利潤最大，試確定該工藝品的單價（規(guī)定取整數(shù)），并

求出此時每周所獲得的最大利潤.

“數(shù)量（個）

第1題圖

解：(1)由題圖可知，)，是X的一次函數(shù).

設(shè)此一次函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b,

把點(10,300),(12,240)代入,

但J104+6=300解但肚=-30

何［124+6=240，畔『6=600'

-,'y關(guān)于X的函數(shù)表達(dá)式為y=-30x4-600；

(2)由題意可得：

w=(x-10)(-30%+600)=-30X2+900X-6000=-30(X-15)2+750,

??--30<0,

，當(dāng)x=15時，w有最大值750,

即當(dāng)銷售單價定為15元時，試銷該工藝品每周獲得的利潤最大，最

大利潤為750元；

(3)由題意得：10(-30x+600)41000,

解得x>y,

由(2)知,w=-30(x75)2+750的函數(shù)圖象開口向下,對稱軸為直線

x=15,

.?.當(dāng)X泮時，W隨X的增大而減小，

又?口取整數(shù)，

.?.當(dāng)x=17時,W最大,且W最大=-30(17-15)2+750=630,

即該工藝品的單價定為17元時，每周獲得的利潤最大，最大利潤為

630元.

2.某公司銷售一種進(jìn)價為20元/個的計算器銷售過程中的其他開支(不

含進(jìn)價)總計40萬元,其銷售量y(萬個)與銷售價格x(元/個)的

變化如下表：

銷售價格x(元/個)銷售量y(萬個)

304x460-18

120

60<x<80

X

(1)求出當(dāng)銷售量為2.5萬個時，銷售價格為多少？

(2)求出該公司銷售這種計算器的凈得利潤w(萬元)與銷售價格(元

/個)的函數(shù)關(guān)系式；

(3)銷售價格定為多少元時，該公司獲得的利潤最大？最大利潤是多

少？

解(1)根據(jù)表格中數(shù)據(jù)可得，當(dāng)產(chǎn)2.5時代入尸忘x+8，得x=55,

120

當(dāng)y=2.5時，代入y=—，得x=48(不合題意,舍去),

當(dāng)銷售量為2.5萬個時，銷售價格為55元/個；

(2)根據(jù)題意得,當(dāng)304x460時,y=-徐+8,

.*.w=(x-20)y-40=(x-20)(-+x+8)-40=-^x2+10x-200=-^(x-50)2+50；

120

當(dāng)60<x<80時，y二---,

1202400

.*.w=(x-20)y-40=(x-20)------40=-------+80.

—'(x—50)2+50(30<x<60)

綜上可得,w=<

2400

--------+80(60<x<80)

x

(3)當(dāng)30<x<60時，w=-j^(x-50)2+50,

???當(dāng)x=50時,w最大=50；

2400

當(dāng)60<x<80時，w=-------+80,

...當(dāng)x=80時，w最大=50.

綜上可得，當(dāng)銷售價格定為50元/個或80元/個時,該公司獲得的利潤

最大，最大利潤為50萬元.

類型二最優(yōu)方案問題

3.某物流公司現(xiàn)有31噸貨物，計劃同時租用A型車。輛,5型車6輛，

準(zhǔn)備一次運(yùn)完，且恰好每輛車都載滿貨物.已知：每輛A型車載滿貨物

一次可運(yùn)貨3噸，每輛B型車載滿貨物一次可運(yùn)貨4噸.

(1)該物流公司共有幾種租車方案？請分別寫出來；

(2)若A型車每輛需租金100元/次，B型車每輛需租金120元/次.請

選出最省錢的租車方案，并求出最少租車費(fèi).

解：（1）由題意得3a+4b=31,..Z,。都是整數(shù),

.[a=9tfa=5tfa=1

4=1或值4或值7?

即共有3種租車方案；

分別為方案一：租A型車9輛、3型車1輛；方案二：租A型車5輛、

3型車4輛；方案三：租A型車1輛、3型車7輛.

（2）?.?租A型車每輛需租金100元/次，租B型車每輛需租金120元/

次，

方案一需租金:9x100+1x120=1020（元）；

方案二需租金:5x100+4x120=980（元）,

方案三需租金：1x100+7x120=940（元）.

??-1020>980>940,

二最省錢的租車方案是方案三：租A型車1輛、3型車7輛，最少租車

費(fèi)為940元.

4.現(xiàn)代互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的廣泛應(yīng)用，催生了快遞行業(yè)的高速發(fā)展，小明計劃

給朋友快遞一部分物品，經(jīng)了解有甲、乙兩家快遞公司比較合適.甲公

司表示：快遞物品重量不超過1千克的，按每千克22元收費(fèi)；超過1

千克，超過的部分按每千克15元收費(fèi).乙公司表示：按每千克16元收

費(fèi)，另加包裝費(fèi)3元.設(shè)小明快遞物品x千克.

（1）根據(jù)題意，填寫下表：

公司

0.5134

費(fèi)用（元）

重量（千克）

甲公司2267

乙公司1151

（2）請分別寫出甲、乙兩家快遞公司快遞該物品的費(fèi)用y（元）與x

（千克）之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）小明應(yīng)選擇哪家快遞公司更省錢？

解：（1）11,52,19,67；

【解法提示】當(dāng)尤=0.5時，y甲=22x0.5=11；當(dāng)尤=3時，」甲=22+15x

2=52；當(dāng)x=l時，y乙=16x1+3=19；當(dāng)x=4時，y乙=16x4+3=67；

(2)當(dāng)0<%<1時,y甲=22x；

當(dāng)4>1時，y甲=22+15(x-l)=15x+7.

,_f22x(0<x<l)

…甲—115x+7(x〉l)'

y乙=16x+3(x>0)；

(3)若0<x41,則當(dāng)y甲=丁乙時,即22x=16x+3,解得x=；；

當(dāng)y甲>、乙時，即22x>16x+3,解得x>；；

當(dāng)y甲<y乙時,即22x<16x+3,解得；

若x>l,貝?。莓?dāng)y甲=丁乙時,即15x+7=16x+3,解得x=4；

當(dāng)y甲〉y乙時,即15x+7>16x+3,解得x<4；

當(dāng)y甲<y乙時，即15x+7<16x+3,解得x>4；

綜上可得，當(dāng)小明快遞物品少于1千克或超過4千克時，選擇甲公司更

省錢；當(dāng)快遞物品等于1千克或4千克時，選擇兩家快遞公司的費(fèi)用一

樣；當(dāng)快遞物品超過;千克或不足4千克時，選擇乙公司更省錢.

類型三拋物線型問題

5.如圖①，是安徽省著名的彩虹橋，橋面的截面圖可近似地看成一條拋

物線.(如圖②)已知橋面在拱橋之間的長度CD為40米，橋面CD距

拱形支撐的最高點的距離A3為10米.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)小王準(zhǔn)備在橋面M處豎直搭建一塊廣告牌，〃為3C的中點，廣

告牌與拱形的交點為N,為了廣告效果,規(guī)定廣告牌的最高點P距離N

點不得少于11米，求廣告牌PM的最低高度.

圖①圖②

第5題圖

解：(1)如解圖,以A為坐標(biāo)原點,過點A的水平線為x軸，朋所在

直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，

由題意知，點C(-20,-10)，點。(20,-10),

設(shè)該拋物線的解析式為y=a/,

將點D的坐標(biāo)代入，得a=-木

,該拋物線的解析式為y=-奈(-204x420)；

第5題解圖

(2)；M為BC中點，，設(shè)點N的坐標(biāo)為(-10,k),

則k=-a(TO”-2.5,

：.MN=\Q+k=1.5,

：.PM=MN+PN>1.5+\A=3.6,

???廣告牌PM的疑氐高度為8.6米.

6.某中學(xué)陽光體育跳大繩規(guī)定：2名同學(xué)甩繩，5名同學(xué)跳繩，甩繩的

形狀可看作拋物線.如圖，以。為坐標(biāo)原點,所在直線為y軸，

所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，正在甩繩的甲乙兩名同學(xué)拿繩

的手間距A3為6米，到地面的距離AO和BD均為0.9米，點C為拋

物線的最低點，且在x軸上，5名同學(xué)在之間站立.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)如果小華站在之間，且離原點。的距離為2米，他至少跳起

多少米，才能順利通過?

(3)若小剛的連續(xù)彈跳高度為0.4米，作為一名體育老師，應(yīng)安排他

在哪個位置才能順利通過?

解：(1)由題意，設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-3)2,

將點A(0,0.9)代入，得0.9=a(x-3)2,解得a=0.1,

.-.y=0.1(x-3)2,即y=0.1x2-0.6x+0.9；

(2)當(dāng)x=2時，y=0.1x(2-3)2=81,

???小華至少跳起0.1米；

(3)當(dāng)y=0.4時,0.1(x-3)2=0.4,解得xi=l,X2=5,

二可安排他距離。點1米至5米范圍內(nèi).

類型四幾何面積最大值問題

7.如圖,在一面墻的周圍用籬笆圍成一個矩形ABCD的草坪,在AD、

BC邊上有一個寬為1m的小路在草坪中間用籬笆做出一個隔斷EF,

EF±AB,AB>EF,矩形ADRE種植蘭花，矩形3CRE種植月季，已知

所用籬笆總長度為40m.設(shè)矩形A3CD的面積為ym2.

(1)設(shè)隔斷EF的長為xm,請用含x的代數(shù)式表示出AB的長；

(2)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(川,?

1m隔斷:Im

(3)所圍成的矩形草坪面積是否能為150m2,

AEB

若能，請求出x的值，若不能,_回用

第7題圖

求出當(dāng)x為多少時，所圍成的矩形草坪面積最大？并求出這個最大值.

解：(1)二?隔斷所的長為xm,

/.AB=40-3x+2=(42-3xJm；

(2)3/=X-(42-3X)=-3X2+42X,

.,.y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=-3x2+42x；

(3謂y=150時，即-3/+42x=150,b2-4ac=422-4x(-3)x(-150)=-36<0,

，所圍成的矩形面積不能為150m2,

21

：AB>EF,：A2-3x>x,.-.l<x<y,

1.1y==-3x2+42x=-3(x-7)2+147,

???當(dāng)x=7時，所圍成的矩形草坪面積最大,最大面積為147n?.

8.為了節(jié)省材料，某水產(chǎn)養(yǎng)殖戶利用水庫的一個135。的角(如圖，即N

MON=135°)兩邊為邊,用總長為120m的圍網(wǎng)圍成了①、②、③三塊

區(qū)域，其中區(qū)域①為直角三角形，區(qū)域②、③均為矩形.

(1)若①、②、③這三塊區(qū)域的面積相等，求的長；

(2)設(shè)OB=x,四邊形OBDG的面積為yn?,求y與x之間的函數(shù)關(guān)

系式，并注明自變量的取值范圍；

(3