北京市海淀區(qū)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期7月期末考試 數(shù)學(xué) 含解析

海淀區(qū)高一年級(jí)練習(xí)數(shù)學(xué)2024.07學(xué)校__________班級(jí)__________姓名__________考生須知1．本試卷共6頁(yè)，共三道大題，19道小題．滿(mǎn)分100分．考試時(shí)間90分鐘．2．在試卷上準(zhǔn)確填寫(xiě)學(xué)校名稱(chēng)、班級(jí)名稱(chēng)、姓名．3．答案一律填涂或書(shū)寫(xiě)在試卷上，用黑色字跡簽字筆作答．4．考試結(jié)束，請(qǐng)將本試卷交回．一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1.若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則的虛部為（）A. B.2 C. D.2.已知向量，則（）A.0 B. C. D.3.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則其解析式為（）A. B.C. D.4.若，且，則（）A B. C. D.75.在中，點(diǎn)D滿(mǎn)足，若，則（）A. B. C.3 D.6.已知，則下列直線中，是函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸為（）A. B. C. D.7.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)，點(diǎn)，其中．若，則（）A. B. C. D.8.在中，已知．則下列說(shuō)法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，是銳角三角形 B.當(dāng)時(shí)，是直角三角形C.當(dāng)時(shí)，是鈍角三角形 D.當(dāng)時(shí)，是等腰三角形9.已知是非零向量，則“”是“對(duì)于任意的，都有成立”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件10.定義域?yàn)楹瘮?shù)的圖象的兩個(gè)端點(diǎn)分別為．點(diǎn)是的圖象上的任意一點(diǎn)，其中，點(diǎn)N滿(mǎn)足向量，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若不等式恒成立，則稱(chēng)函數(shù)在上為k函數(shù)．已知函數(shù)在上為k函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A. B. C. D.二、填空題共5小題，每小題4分，共20分．11.知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，則__________，__________．12.在中，，P滿(mǎn)足，則____________．13.在中，若，則k的一個(gè)取值為_(kāi)_________；當(dāng)時(shí)，__________．14.一名學(xué)生想測(cè)算某風(fēng)景區(qū)山頂上古塔的塔尖距離地面的高度，由于山崖下河流的阻礙，他只能在河岸邊制定如下測(cè)算方案：他在河岸邊設(shè)置了共線的三個(gè)觀測(cè)點(diǎn)A，B，C（如圖），相鄰兩觀測(cè)點(diǎn)之間的距離為200m，并用測(cè)角儀器測(cè)得各觀測(cè)點(diǎn)與塔尖的仰角分別為,,,根據(jù)以上數(shù)據(jù)，該學(xué)生得到塔尖距離地面的高度為_(kāi)_________m．15已知函數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①對(duì)任意的，函數(shù)是周期函數(shù)；②存在，使得函數(shù)在上單調(diào)遞減；③存在，使得函數(shù)的圖象既是軸對(duì)稱(chēng)圖形，又是中心對(duì)稱(chēng)圖形；④對(duì)任意的，記函數(shù)的最大值為，則．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是__________．三、解答題共4小題，共40分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程．16.已知函數(shù)．（1）求的值和的零點(diǎn)；（2）求的單調(diào)遞增區(qū)間．17.已知．（1）求；（2）若，求的最小值．18.在中，．（1）求A的大?。唬?）若，從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得存在，求最長(zhǎng)邊上高線長(zhǎng)．條件①：；條件②：的面積為；條件③：．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問(wèn)得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．19.已知n維向量，給定，定義變換；選取，再選取一個(gè)實(shí)數(shù)x，對(duì)的坐標(biāo)進(jìn)行如下改變：若此時(shí)，則將同時(shí)加上x(chóng)．其余坐標(biāo)不變；若此時(shí)，則將及同時(shí)加上x(chóng)，其余坐標(biāo)不變．若a經(jīng)過(guò)有限次變換（每次變換所取的i，x的值可能不同）后，最終得到的向量滿(mǎn)足，則稱(chēng)a為k階可等向量．例如，向量經(jīng)過(guò)兩次變換可得：，所以是2階可等向量．（1）判斷是否是2階可等向量？說(shuō)明理由；（2）若取1，2，3，4的一個(gè)排序得到的向量是2階可等向量，求；（3）若任取的一個(gè)排序得到的n維向量均為k階可等向量．則稱(chēng)為k階強(qiáng)可等向量．求證：向量是5階強(qiáng)可等向量．海淀區(qū)高一年級(jí)練習(xí)數(shù)學(xué)2024.07學(xué)校__________班級(jí)__________姓名__________考生須知1．本試卷共6頁(yè)，共三道大題，19道小題．滿(mǎn)分100分．考試時(shí)間90分鐘．2．在試卷上準(zhǔn)確填寫(xiě)學(xué)校名稱(chēng)、班級(jí)名稱(chēng)、姓名．3．答案一律填涂或書(shū)寫(xiě)在試卷上，用黑色字跡簽字筆作答．4．考試結(jié)束，請(qǐng)將本試卷交回．一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1.若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則的虛部為（）A. B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)，再判斷其虛部.【詳解】因?yàn)?，所以，所以的虛部?故選：A2.已知向量，則（）A.0 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示計(jì)算．【詳解】由題意，故選：B．3.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則其解析式為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由最小值求得，由求得，再結(jié)合最小值點(diǎn)和周期求得．【詳解】由圖象知，所以，則或，又，所以，，，，，又，，已知，所以，所以，故選：D．4.若，且，則（）A. B. C. D.7【答案】D【解析】分析】根據(jù)正弦得到正切值，利用正切差角公式計(jì)算出答案.【詳解】因?yàn)椋?，又，所以，故，所?故選：D5.在中，點(diǎn)D滿(mǎn)足，若，則（）A. B. C.3 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平面向量的三角形法則即可得解【詳解】如圖，因?yàn)樵谥?，，所以，又，所?所以，故選：B.6.已知，則下列直線中，是函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸的為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】舉例說(shuō)明判斷ABD；利用軸對(duì)稱(chēng)的意義判斷C.【詳解】依題意，，解得，對(duì)于A，，，則函數(shù)的圖象關(guān)于不對(duì)稱(chēng)，A不是；對(duì)于B，，，則函數(shù)的圖象關(guān)于不對(duì)稱(chēng)，B不是；對(duì)于C，，即，，則函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，C是；對(duì)于D，，，則函數(shù)的圖象關(guān)于不對(duì)稱(chēng)，D不是.故選：C7.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)，點(diǎn)，其中．若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先的坐標(biāo)，然后求出模長(zhǎng)，然后結(jié)合輔助角公式化簡(jiǎn)，建立關(guān)于的方程，解方程即可得解.【詳解】因平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)，點(diǎn)所以所以又所以，即所以，又因?yàn)樗?，即，故選：A.8.在中，已知．則下列說(shuō)法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，是銳角三角形 B.當(dāng)時(shí)，是直角三角形C.當(dāng)時(shí)，是鈍角三角形 D.當(dāng)時(shí)，是等腰三角形【答案】B【解析】【分析】根據(jù)邊長(zhǎng)應(yīng)用正弦定理計(jì)算分別判斷各個(gè)選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A:因?yàn)橛烧叶ɡ?當(dāng)時(shí)，是鈍角三角形,當(dāng)時(shí)，是鈍角三角形,A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B:因?yàn)?由,所以是直角三角形,B選項(xiàng)正確；對(duì)于C:因?yàn)?由當(dāng)時(shí)，,是銳角三角形,C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D:因?yàn)?由,,,因?yàn)?，所以不是等腰三角?D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：B.9.已知是非零向量，則“”是“對(duì)于任意的，都有成立”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義及數(shù)量積的運(yùn)算律判斷即可.【詳解】因?yàn)槭欠橇阆蛄浚簦瑒t，所以，所以對(duì)于任意的，都有成立，故充分性成立；若對(duì)于任意的，都有成立，則，即，所以，所以，所以，故必要性成立；所以“”是“對(duì)于任意的，都有成立”的充要條件.故選：C10.定義域?yàn)榈暮瘮?shù)的圖象的兩個(gè)端點(diǎn)分別為．點(diǎn)是的圖象上的任意一點(diǎn)，其中，點(diǎn)N滿(mǎn)足向量，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若不等式恒成立，則稱(chēng)函數(shù)在上為k函數(shù)．已知函數(shù)在上為k函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出兩個(gè)端點(diǎn)，設(shè)的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，進(jìn)一步確定，從而求出，求出，得到答案.【詳解】在上的兩個(gè)端點(diǎn)分別為，設(shè)的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，則，故，，故，，所以，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故實(shí)數(shù)k的取值范圍為.故選：B二、填空題共5小題，每小題4分，共20分．11.知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，則__________，__________．【答案】①.；②..【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，及共軛復(fù)數(shù)的定義即可求解【詳解】因?yàn)椋?；所以的共軛?fù)數(shù)，故答案為：，12.在中，，P滿(mǎn)足，則____________．【答案】0【解析】【分析】根據(jù)已知及數(shù)量積運(yùn)算律，即可求解.【詳解】由題意可知，.故答案為：13.在中，若，則k的一個(gè)取值為_(kāi)_________；當(dāng)時(shí)，__________．【答案】①.（答案不唯一）②.1【解析】【分析】根據(jù)正弦定理，可以進(jìn)行邊化角，然后得到，根據(jù)，可得k的取值，又，即可得到的具體值.【詳解】因?yàn)?，由正弦定理可得，，又，所以，所以，又，取，所以，所以?dāng)時(shí)，，故答案為：，1.14.一名學(xué)生想測(cè)算某風(fēng)景區(qū)山頂上古塔的塔尖距離地面的高度，由于山崖下河流的阻礙，他只能在河岸邊制定如下測(cè)算方案：他在河岸邊設(shè)置了共線的三個(gè)觀測(cè)點(diǎn)A，B，C（如圖），相鄰兩觀測(cè)點(diǎn)之間的距離為200m，并用測(cè)角儀器測(cè)得各觀測(cè)點(diǎn)與塔尖的仰角分別為,,,根據(jù)以上數(shù)據(jù)，該學(xué)生得到塔尖距離地面的高度為_(kāi)_________m．【答案】【解析】【分析】首先根據(jù)幾何關(guān)系表示邊長(zhǎng)，再根據(jù)余弦定理求解.【詳解】由題意可知，，，，，設(shè)，則，，，根據(jù)，則，解得：所以塔尖距離底面的高度為米.故答案為：15.已知函數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①對(duì)任意的，函數(shù)是周期函數(shù)；②存在，使得函數(shù)在上單調(diào)遞減；③存在，使得函數(shù)的圖象既是軸對(duì)稱(chēng)圖形，又是中心對(duì)稱(chēng)圖形；④對(duì)任意的，記函數(shù)的最大值為，則．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是__________．【答案】①②③【解析】【分析】根據(jù)周期函數(shù)的定義可以證明①，取時(shí)可以判斷②，取時(shí)可以判斷③、④.【詳解】對(duì)于①，令，則，所以對(duì)任意的，函數(shù)是周期函數(shù)，故①正確；對(duì)于②，當(dāng)時(shí)，，所以所以，當(dāng)時(shí)，即，因?yàn)椋裕字谏蠁握{(diào)遞減，即存在，使得函數(shù)在上單調(diào)遞減，故②正確；對(duì)于③，當(dāng)時(shí)，令，即，易知定義域?yàn)镽.因?yàn)樗詧D象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)；又因?yàn)?，所以為奇函?shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，所以存在，使得函數(shù)的圖象既是軸對(duì)稱(chēng)圖形，又是中心對(duì)稱(chēng)圖形；故③正確；對(duì)于④，假設(shè)④為假命題，則它的否定：“存在，記函數(shù)的最大值為，則”為真命題，由③知，當(dāng)時(shí)，所以，所以，存在，函數(shù)的最大值為，則，所以假設(shè)成立，即④為假命題，故答案為：①②③.三、解答題共4小題，共40分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程．16.已知函數(shù)．（1）求的值和的零點(diǎn)；（2）求的單調(diào)遞增區(qū)間．【答案】（1），的零點(diǎn)為；（2）的單調(diào)遞增區(qū)間為.【解析】【分析】（1）先應(yīng)用誘導(dǎo)公式及兩角和差化簡(jiǎn)，再根據(jù)正弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心求出零點(diǎn)即可；（2）應(yīng)用正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求解即可.【小問(wèn)1詳解】令，所以．所以的零點(diǎn)為【小問(wèn)2詳解】因?yàn)榈膯握{(diào)遞增區(qū)間為所以．所以所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為17.已知．（1）求；（2）若，求的最小值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先求，然后直接求的平方即可得解；（2）利用向量的運(yùn)算律，將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次函數(shù)，然后求出最值即可.小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，，因?yàn)樗?，【小?wèn)2詳解】由（1）知，，因?yàn)樗援?dāng)時(shí)，的最小值為18.在中，．（1）求A的大??；（2）若，從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得存在，求最長(zhǎng)邊上高線的長(zhǎng)．條件①：；條件②：面積為；條件③：．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問(wèn)得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】（1）；（2）答案見(jiàn)解析，最長(zhǎng)邊上高線長(zhǎng).【解析】【分析】（1）利用二倍角的余弦公式，化簡(jiǎn)求值；（2）若選擇條件①，方法一，根據(jù)正弦定理和余弦定理求三邊，判斷最長(zhǎng)邊，再根據(jù)幾何關(guān)系求高，方法二，根據(jù)邊長(zhǎng)和角，根據(jù)大角對(duì)大邊，直接判斷最長(zhǎng)邊，再求高；若選擇條件②，根據(jù)面積求，再根據(jù)余弦定理求邊長(zhǎng)，再求最長(zhǎng)邊的高；如選擇條件③，根據(jù)正弦定理，判斷是否存在.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以所以，所以，因?yàn)?，所以舍所以，則；【小問(wèn)2詳解】選擇①因?yàn)椋烧叶ɡ泶耄梅ㄒ唬河捎嘞叶ɡ泶氲盟运曰颍ㄉ幔赃呑铋L(zhǎng)，邊上的高線法二：因?yàn)?，所以，所以，所以，所以為最長(zhǎng)邊邊上的高線選擇②因?yàn)樗砸驗(yàn)?，由余弦定理所以所以或所以最長(zhǎng)邊上的高線，若選擇③，，根據(jù)正弦定理，，則，不成立，此時(shí)不存在.19.已知n維向量，給定，定義變換；選取，再選取一個(gè)實(shí)數(shù)x，對(duì)的坐標(biāo)進(jìn)行如下改變：若此時(shí)，則將同時(shí)加上x(chóng)．其余坐標(biāo)不變；若此時(shí)，則將及同時(shí)加上x(chóng)，其余坐標(biāo)不變．若a經(jīng)過(guò)有限次變換（每次變換所取的i，x的值可能不同）后，最終得到的向量滿(mǎn)足，則稱(chēng)a為k階可等向量．例如，向量經(jīng)過(guò)兩次變換可得：，所以是2階可等向量．（1）判斷是否是2階可等向量？說(shuō)明理由；（2）若取1，2，3，4的一個(gè)排序得到的向量是2階可等向量，求；（3）若任取的一個(gè)排序得到的n維向量均為k階可等向量．則稱(chēng)為k階強(qiáng)可等向量．求證：向量是5階強(qiáng)可等向量．【答案】（1）是2階可等向量，理由見(jiàn)解析；（2）5；（3）證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)的定義即可求解，（2）根據(jù)的定義即可求解，，即可結(jié)合是2階可等向量求解，（3）根據(jù)是階可等向量，等價(jià)于是階可等向量，即可根據(jù)變換求證.【小問(wèn)1詳解】是2階可等向量．例如經(jīng)過(guò)兩次變換可得：【小問(wèn)2詳解