陜西省咸陽(yáng)市乾縣2024−2025學(xué)年高二第二次階段性檢測(cè) 數(shù)學(xué)試題 含答案

陜西省咸陽(yáng)市乾縣2024?2025學(xué)年高二第二次階段性檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知，，則（

）A． B．C． D．2．若復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．直線的方向向量，直線的方向向量，則不重合直線與的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．平行 C．垂直 D．不能確定4．由數(shù)字2，3，4組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，則這個(gè)三位數(shù)是偶數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．5．已知為實(shí)數(shù)，直線，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．若，，則的值為（

）A． B． C． D．7．邊長(zhǎng)為1的正方體中，，分別是，中點(diǎn)，是靠近的四等分點(diǎn)，在正方體內(nèi)部或表面，，則的最大值是（

）A．1 B． C． D．8．已知函數(shù)y=fx的定義域?yàn)镽，且f?x=fx，若函數(shù)y=fx的圖象與函數(shù)的圖象有交點(diǎn)，且交點(diǎn)個(gè)數(shù)為奇數(shù)，則A． B．0 C．1 D．2二、多選題（本大題共3小題）9．已知直線的方向向量分別是，若且則的值可以是（

）A． B． C． D．10．已知事件A與B發(fā)生的概率分別為，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C． D．11．如圖，在棱長(zhǎng)均為1的平行六面體中，平面，分別是線段和線段上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則下列說(shuō)法正確的是（

）

A．當(dāng)時(shí)，B．當(dāng)時(shí)，若，則C．當(dāng)時(shí)，直線與直線所成角的大小為D．當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積的最大值為三、填空題（本大題共3小題）12．已知，則．13．空間內(nèi)四點(diǎn)，，，可以構(gòu)成正四面體，則.14．已知函數(shù)，點(diǎn)為曲線在點(diǎn)處的切線上的一點(diǎn)，點(diǎn)在曲線上，則的最小值為．四、解答題（本大題共5小題）15．已知向量，向量，(1)求向量，，的坐標(biāo)；(2)求與所成角的余弦值.16．如圖，在四棱錐中，，，，，平面，，E，F(xiàn)分別是棱，的中點(diǎn)．

(1)證明：平面；(2)求二面角的正弦值．17．平行六面體，(1)若，，，，，，求長(zhǎng)；(2)若以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)均為2，且它們彼此的夾角都是60°，則AC與所成角的余弦值．18．某商場(chǎng)舉行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，凡5月1日當(dāng)天消費(fèi)不低于1000元，均可抽獎(jiǎng)一次，抽獎(jiǎng)箱里有6個(gè)形狀、大小、質(zhì)地完全相同的小球，其中紅球有4個(gè)，白球有2個(gè)，抽獎(jiǎng)方案設(shè)置兩種，顧客自行選擇其中的一種方案．方案一：從抽獎(jiǎng)箱中，一次性摸出3個(gè)球，每有1個(gè)紅球，可立減80元；方案二：從抽獎(jiǎng)箱中，有放回地每次摸出1個(gè)球，連摸3次，每摸到1次紅球，立減80元．(1)設(shè)方案一摸出的紅球個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列，數(shù)學(xué)期望和方差；(2)設(shè)方案二摸出的紅球個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量Y，求Y的分布列，數(shù)學(xué)期望和方差；(3)如果你是顧客，如何在上述兩種抽獎(jiǎng)方式中進(jìn)行選擇？請(qǐng)寫(xiě)出你的選擇及簡(jiǎn)要理由．19．已知函數(shù)．(1)函數(shù)是否具有奇偶性?為什么?(2)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(3)若有兩個(gè)不同極值點(diǎn)，，證明：．

參考答案1．【答案】C【詳解】將中的元表依次代入驗(yàn)證，，只有，0，滿足，所以.故選：C.2．【答案】D【分析】求出，化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)的幾何意義可得出結(jié)論.【詳解】由題得，，．故選D．3．【答案】B【詳解】因?yàn)?，所以，所以直線與平行.故選：B4．【答案】A【詳解】將組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，共有種，而其中偶數(shù)有兩種情況：①以為個(gè)位數(shù)的三位數(shù)，是，共有2種②以為個(gè)位數(shù)的三位數(shù)，是，共有2種所以，這個(gè)三位數(shù)是偶數(shù)的情況共有種，所以，這個(gè)三位數(shù)是偶數(shù)的概率為事件，則.故選：A.5．【答案】B【詳解】若，則有，解得，當(dāng)時(shí)，，不重合，符合要求；當(dāng)時(shí)，，不重合，符合要求；故“”是“”的必要不充分條件.故選：B.6．【答案】D【詳解】解：，，.故選：D.7．【答案】D【詳解】

如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，所以，則，因?yàn)椋?，所以，即，所以，又，所以，?dāng)且僅當(dāng)，此時(shí)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值是.故選：D.8．【答案】C【詳解】令，其定義域?yàn)?，因?yàn)椋詾榕己瘮?shù)，由題易知也為偶函數(shù)，因?yàn)閮蓚€(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為奇數(shù)，所以兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)，必有一個(gè)是原點(diǎn)，故.故選：C.9．【答案】AC【解析】根據(jù)空間向量模的計(jì)算公式以及向量垂直的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】，若且，則，解得或，所以或.故選：AC10．【答案】BD【分析】利用概率的運(yùn)算性質(zhì)，即可得出判斷.【詳解】對(duì)于A，由于題目中不確定事件A與B是否相互獨(dú)立，所以，不一定成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由于，則，則，故B正確；對(duì)于C，由于題目中不確定事件A與B是否相互獨(dú)立，所以，也不一定成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，故，故D正確.故選BD.11．【答案】ABD【分析】利用直棱柱的性質(zhì)，以及空間向量的有關(guān)知識(shí)逐項(xiàng)計(jì)算可得結(jié)論.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，分別是線段和線段的中點(diǎn)，所以P也是的中點(diǎn)，所以，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，所以，，，滿足，故B正確；對(duì)于C，過(guò)作交于，

可知面，與直線成角即為，當(dāng)時(shí)，，在中，則，所以，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，易知是正三角形，三棱錐體積為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故D正確；故選ABD.【關(guān)鍵點(diǎn)撥】本題D選項(xiàng)解決的關(guān)鍵是，分析得是正三角形，從而得到所需各線段長(zhǎng)，從而利用三棱錐的體積公式即可得解.12．【答案】2或1【詳解】將左右兩邊同時(shí)除以，可得.得，所以或2.13．【答案】【詳解】由已知正四面體的棱長(zhǎng)為1，所以的豎坐標(biāo)為正四面體的高，的外接圓半徑為，所以正四面體的高為，而橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)即底面三角形的重心坐標(biāo)，，，所以，故答案為：.14．【答案】【詳解】，，解得：，，則，切線的方程為：，即；若最小，則為與平行且與曲線相切的切點(diǎn)，所求最小距離為到直線的距離，設(shè)所求切點(diǎn)，由，可得，所以，即，又單調(diào)遞增，而時(shí)，所以，即，.故答案為：.15．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)橄蛄浚?，解得：，，則，，又因?yàn)椋瑒t，解得，所以（2）由（1）知，所以，，則，，，即與所成角的余弦值16．【答案】(1)證明見(jiàn)詳解(2)【詳解】（1）如圖，連接，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，

所以，，又，，所以，，所以四邊形是平行四邊形，則，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平?（2）因?yàn)槠矫妫矫?，所以，，又，是平面?nèi)兩條相交直線，平面，又平面，，所以兩兩互相垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為，，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

則A0,0,0，，，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為n1=則，即，令，得，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，得，，，設(shè)二面角的平面角為，，則.所以二面角的正弦值為.17．【答案】(1)；(2).【詳解】（1），，，，∴，；（2）∵，，∴，∵，∴，∵＝8，∴，設(shè)與所成的角為，則.18．【答案】(1)分布列見(jiàn)解析，，；(2)分布列見(jiàn)解析，，；(3)應(yīng)選擇方案一的抽獎(jiǎng)方式，理由見(jiàn)解析.【分析】(1)由條件確定的可能取值，求取各值得概率，可得分布列，結(jié)合公式求期望和方差；(2)由條件確定的可能取值，判斷，結(jié)合二項(xiàng)分布的分布列求法確定其分布列，再由公式求期望和方差，(3)通過(guò)比較隨機(jī)變量期望和方差的大小，確定選擇方案.【詳解】(1)設(shè)方案一摸出的紅球個(gè)數(shù)為X，則X的所有可能取值為，，，．X的分布列為：X123P所以，．(2)設(shè)方案二摸出的紅球個(gè)數(shù)為Y，則Y的所有可能取值為．則，所以，，，，所以隨機(jī)變量的分布列為：0123所以，．(3)因?yàn)椋?，即兩種方案抽取的紅球個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望一樣，但方案一更穩(wěn)定，所以應(yīng)選擇方案一的抽獎(jiǎng)方式．19．【答案】(1)函數(shù)不具有奇偶性(2)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為(3)證明見(jiàn)解析【詳解】