2024-2025學(xué)年廣東省珠海市香洲區(qū)紫荊中學(xué)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷

第1頁（共1頁）2024-2025學(xué)年廣東省珠海市香洲區(qū)紫荊中學(xué)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每小題3分，共30分）1．（3分）若關(guān)于x的方程（m﹣1）x2+mx﹣1＝0是一元二次方程，則m的取值范圍是（）A．m＝1 B．m≠1 C．m≥1 D．m≠02．（3分）2024年7月27日，第33屆夏季奧運(yùn)會(huì)在法國巴黎舉行，如圖所示巴黎奧運(yùn)會(huì)項(xiàng)目圖標(biāo)中（）A． B． C． D．3．（3分）已知⊙O的半徑為3cm，點(diǎn)P到圓心O的距離為5cm，則點(diǎn)P（）A．在圓內(nèi) B．在圓上 C．在圓外 D．在圓上或圓外4．（3分）已知拋物線y＝（x+3）2﹣2經(jīng)過點(diǎn)P（1，y1）和Q（3，y2），則y1與y2的大小關(guān)系是（）A．y1＝y(tǒng)2 B．y1＞y2 C．y1＜y2 D．無法確定5．（3分）在“雙減政策”推動(dòng)下，某校學(xué)生課后作業(yè)時(shí)長(zhǎng)明顯減少．原來每天作業(yè)平均時(shí)長(zhǎng)為100min，經(jīng)過兩個(gè)學(xué)期的調(diào)整后，則所列方程為（）A．100（1﹣x2）＝70 B．70（1+x2）＝100 C．100（1﹣x）2＝70 D．70（1+x）2＝1006．（3分）△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)65°后得到△COD，若∠AOB＝30°，則∠BOC的度數(shù)是（）A．25° B．30° C．35° D．65°7．（3分）如圖，已知AC是直徑，AB＝6，D是弧BC的中點(diǎn)，則DE＝（）A．1 B．2 C．3 D．48．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，），將點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)A'，則點(diǎn)A'坐標(biāo)為（）A．（1，﹣） B．（﹣，1） C．（0，2） D．（，1）9．（3分）二次函數(shù)y＝kx2﹣6x+3的圖象與x軸有交點(diǎn)，則k的取值范圍是（）A．k≤3且k≠0 B．k＜3且k≠0 C．k≤3 D．k＜310．（3分）如圖所示，邊長(zhǎng)為2的等邊△ABC是三棱鏡的一個(gè)橫截面．一束光線ME沿著與AB邊垂直的方向射入到BC邊上的點(diǎn)D處（點(diǎn)D與B，C不重合），反射光線沿DF的方向射出去，且入射光線和反射光線使∠MDK＝∠FDK．設(shè)BE的長(zhǎng)為x，△DFC的面積為y（）A． B． C． D．二、填空題（每小題3分，共15分）11．（3分）拋物線y＝﹣（x﹣1）2+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是；與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是．12．（3分）已知m、n是方程x2﹣2x﹣3＝0的兩個(gè)根，則代數(shù)式mn+m2﹣2m的值為．13．（3分）拋物線y＝（x+2）2﹣5先向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移6個(gè)單位長(zhǎng)度得到的拋物線解析式為．14．（3分）如圖，已知AB是⊙O的直徑，C、D是⊙O上兩點(diǎn)、且∠D＝130°度．15．（3分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)（﹣1，0）和點(diǎn)（3，0）．（填寫序號(hào)）①abc＞0；②2a﹣b＝0；③3a+c＝0：④當(dāng)y＞0時(shí)；⑤m為任意實(shí)數(shù)，則am2+bm＞a+b；⑥若，且x1≠x2，則x1+x2＝2．三、解答題（一）（每小題7分，共21分）16．（7分）解方程：（1）x2+3x＝0；（2）x2﹣6x﹣7＝0．17．（7分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A（﹣1，2）（﹣3，1）、C（0，﹣1）．（1）畫出△ABC關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱的△A1B1C1；（2）畫出△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到的△DEC，并寫出點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D的坐標(biāo)．18．（7分）雜技團(tuán)進(jìn)行雜技表演，演員從蹺蹺板右端A處彈跳到人梯頂端椅子B處，其身體（看成一點(diǎn)）的一部分，如圖所示．（1）求演員彈跳離地面的最大高度；（2）已知人梯高BC＝3.6米，在一次表演中，人梯到起跳點(diǎn)A的水平距離是4米四、解答題（二）（每小題9分，共27分）19．（9分）已知關(guān)于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）＝|m|．（1）求證：對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）若方程的一個(gè)根是1，求m的值及方程的另一個(gè)根．20．（9分）如圖，AB是⊙O的一條弦，OD⊥AB于點(diǎn)C，點(diǎn)E在⊙O上．（1）若∠BED＝28°，則∠AOD的度數(shù)為；（2）若點(diǎn)B是的中點(diǎn)，求證：DE＝AB；（3）若CD＝3，AB＝12，求⊙O的半徑長(zhǎng)．21．（9分）某商場(chǎng)將進(jìn)貨價(jià)為30元的臺(tái)燈以40元售出，平均每月能售出600個(gè)，調(diào)查表明：這種臺(tái)燈的售價(jià)每上漲0.5元（1）為了實(shí)現(xiàn)平均每月10000元的銷售利潤，這種臺(tái)燈的售價(jià)應(yīng)定為多少元？這時(shí)應(yīng)進(jìn)臺(tái)燈多少個(gè)？（2）當(dāng)臺(tái)燈的售價(jià)定為多少元時(shí)，獲得的月利潤最大？五、解答題（三）（22題13分，23題14分，共27分）22．（13分）如圖，在正方形ABCD中，線段AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），延長(zhǎng)BE至點(diǎn)F使得CB＝CF，取線段EF的中點(diǎn)G（1）求證：△ADE≌△CDF．（2）如圖（2），當(dāng)E恰好是BF中點(diǎn)時(shí)，求證：．（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，∠BGC的度數(shù)是否發(fā)生改變？若不變，求出∠BGC的度數(shù)，請(qǐng)說明理由．（4）若AB＝4，在旋轉(zhuǎn)過程中，請(qǐng)直接寫出△GDC的面積最大值．23．（14分）如圖所示，拋物線y＝ax2+2x+c的對(duì)稱軸為直線x＝1，與x軸交于點(diǎn)A、點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C（0，5），E兩點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）平移線段CD，若點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C'落在拋物線上，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D'落在直線DE上（3）如圖（2），將DE上方的拋物線沿著直線DE翻折，P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)Q，連接PQ交DE于點(diǎn)G．①當(dāng)四邊形DPEQ是菱形時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；②在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，求線段PQ的最大值．

2024-2025學(xué)年廣東省珠海市香洲區(qū)紫荊中學(xué)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（每小題3分，共30分）1．（3分）若關(guān)于x的方程（m﹣1）x2+mx﹣1＝0是一元二次方程，則m的取值范圍是（）A．m＝1 B．m≠1 C．m≥1 D．m≠0【解答】解：由題意得：m﹣1≠0，解得：m≠3，故選：B．2．（3分）2024年7月27日，第33屆夏季奧運(yùn)會(huì)在法國巴黎舉行，如圖所示巴黎奧運(yùn)會(huì)項(xiàng)目圖標(biāo)中（）A． B． C． D．【解答】解：A．圖形既不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；B．圖形不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；C．圖形既不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；D．圖形既是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意故選：D．3．（3分）已知⊙O的半徑為3cm，點(diǎn)P到圓心O的距離為5cm，則點(diǎn)P（）A．在圓內(nèi) B．在圓上 C．在圓外 D．在圓上或圓外【解答】解：∵點(diǎn)P到圓心O的距離為5cm＞3cm，∴點(diǎn)P在圓外．故選：C．4．（3分）已知拋物線y＝（x+3）2﹣2經(jīng)過點(diǎn)P（1，y1）和Q（3，y2），則y1與y2的大小關(guān)系是（）A．y1＝y(tǒng)2 B．y1＞y2 C．y1＜y2 D．無法確定【解答】解：當(dāng)x＝1時(shí)，y1＝（8+3）2﹣7＝14；當(dāng)x＝3時(shí)，y2＝（5+3）2﹣6＝34．∵14＜34，∴y1＜y2．故選：C．5．（3分）在“雙減政策”推動(dòng)下，某校學(xué)生課后作業(yè)時(shí)長(zhǎng)明顯減少．原來每天作業(yè)平均時(shí)長(zhǎng)為100min，經(jīng)過兩個(gè)學(xué)期的調(diào)整后，則所列方程為（）A．100（1﹣x2）＝70 B．70（1+x2）＝100 C．100（1﹣x）2＝70 D．70（1+x）2＝100【解答】解：根據(jù)題意得100（1﹣x）2＝70．故選：C．6．（3分）△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)65°后得到△COD，若∠AOB＝30°，則∠BOC的度數(shù)是（）A．25° B．30° C．35° D．65°【解答】解：∵△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)65°得到△COD，∴∠AOC＝∠BOD＝65°，∵∠AOB＝30°，∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝35°，故選C．7．（3分）如圖，已知AC是直徑，AB＝6，D是弧BC的中點(diǎn)，則DE＝（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：連接OB，∵D是弧BC的中點(diǎn)，∴∠BOD＝∠COD，∵OB＝OD，∴OD⊥BC，BE＝×8＝6，∵AC是圓的直徑，∴∠ABC＝90°，∴AC＝＝＝10，∴OB＝AC＝4，∴OE＝＝＝3，∴DE＝OD﹣OE＝5﹣2＝2．故選：B．8．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，），將點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)A'，則點(diǎn)A'坐標(biāo)為（）A．（1，﹣） B．（﹣，1） C．（0，2） D．（，1）【解答】解：如圖所示，過A作AB⊥x軸于B，∵∠AOA'＝90°＝∠ABO＝∠OCA'，∴∠BAO+∠AOB＝90°＝∠A'OC+∠AOB，∴∠BAO＝∠COA'，又∵AO＝OA'，∴△AOB≌△OA'C（AAS），∴A'C＝BO＝1，CO＝AB＝，∴點(diǎn)A′坐標(biāo)為（，1），故選：D．9．（3分）二次函數(shù)y＝kx2﹣6x+3的圖象與x軸有交點(diǎn)，則k的取值范圍是（）A．k≤3且k≠0 B．k＜3且k≠0 C．k≤3 D．k＜3【解答】解：∵二次函數(shù)y＝kx2﹣6x+4的圖象與x軸有交點(diǎn)，∴k≠0且Δ＝（﹣6）7﹣4k?3≥8，∴k≤3且k≠0．故選：A．10．（3分）如圖所示，邊長(zhǎng)為2的等邊△ABC是三棱鏡的一個(gè)橫截面．一束光線ME沿著與AB邊垂直的方向射入到BC邊上的點(diǎn)D處（點(diǎn)D與B，C不重合），反射光線沿DF的方向射出去，且入射光線和反射光線使∠MDK＝∠FDK．設(shè)BE的長(zhǎng)為x，△DFC的面積為y（）A． B． C． D．【解答】解：∵△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，∴∠B＝∠C＝60°，BC＝2，∵M(jìn)E⊥AB，∴∠BED＝90°，∴∠BDE＝30°，又∵BE＝x，ME沿著與AB邊垂直的方向射入到BC邊上的點(diǎn)D處（點(diǎn)D與B，∴2＜x＜1，∴BD＝2x，CD＝6﹣2x．∵∠MDK＝∠FDK，DK與BC垂直，∴∠CDF＝∠BDE＝30°，∴∠DFC＝180°﹣∠CDF﹣∠C＝90°，∴FC＝CD＝，F(xiàn)D＝CD?sin60°＝（8﹣2x）×＝，∴y＝FC?FD＝（7﹣x）×＝（1﹣x）2．∴函數(shù)圖象為開口向上的拋物線，其對(duì)稱軸為直線x＝5．故選：A．二、填空題（每小題3分，共15分）11．（3分）拋物線y＝﹣（x﹣1）2+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1，3）；與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（0，2）．【解答】解：由題意，∵拋物線為y＝﹣（x﹣1）2+2，∴其頂點(diǎn)為（1，3）．又令x＝4，∴y＝﹣（0﹣1）3+3＝2．∴與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2）．故答案為：（1，2），2）．12．（3分）已知m、n是方程x2﹣2x﹣3＝0的兩個(gè)根，則代數(shù)式mn+m2﹣2m的值為0．【解答】解：∵m、n是方程x2﹣2x﹣5＝0的兩個(gè)根，∴m2﹣7m﹣3＝0，mn＝﹣3，∴m2﹣2m＝5，∴mn+m2﹣2m＝﹣2+3＝0．故答案為：4．13．（3分）拋物線y＝（x+2）2﹣5先向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移6個(gè)單位長(zhǎng)度得到的拋物線解析式為y＝（x+3）2+1．【解答】解：由題知，將拋物線y＝（x+2）2﹣8向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得拋物線的解析式為y＝（x+3）6﹣5，再將所得拋物線向上平移6個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得拋物線的解析式為y＝（x+7）2+1．故答案為：y＝（x+2）2+1．14．（3分）如圖，已知AB是⊙O的直徑，C、D是⊙O上兩點(diǎn)、且∠D＝130°40度．【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠B＝180°﹣∠D＝50°，∴∠BAC＝90°﹣∠B＝40°．15．（3分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)（﹣1，0）和點(diǎn)（3，0）①③⑥．（填寫序號(hào)）①abc＞0；②2a﹣b＝0；③3a+c＝0：④當(dāng)y＞0時(shí)；⑤m為任意實(shí)數(shù)，則am2+bm＞a+b；⑥若，且x1≠x2，則x1+x2＝2．【解答】解：由所給函數(shù)圖象可知，a＞0，b＜0，所以abc＞2．故①正確．因?yàn)閽佄锞€與x軸交于點(diǎn)（﹣1，0）和點(diǎn)（7，所以拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝，則，所以2a+b＝0．故②錯(cuò)誤．因?yàn)閽佄锞€經(jīng)過點(diǎn)（﹣2，0），所以a﹣b+c＝0，又因?yàn)閎＝﹣2a，所以a﹣（﹣2a）+c＝0，即8a+c＝0．故③正確．由函數(shù)圖象可知，當(dāng)x＜﹣1或x＞8時(shí)，函數(shù)圖象在x軸上方，所以當(dāng)y＞0時(shí)，x＜﹣1或x＞4．故④錯(cuò)誤．因?yàn)閽佄锞€開口向上，且對(duì)稱軸為直線x＝1，所以當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)取值最小值為a+b+c，則對(duì)于拋物線上任意一點(diǎn)（橫坐標(biāo)為m），且函數(shù)值不小于a+b+c，所以am4+bm+c≥a+b+c，即am2+bm≥a+b．故⑤錯(cuò)誤．因?yàn)?，所以．又因?yàn)閤1≠x8，所以，即x1+x7＝2．故⑥正確．故答案為：①③⑥．三、解答題（一）（每小題7分，共21分）16．（7分）解方程：（1）x2+3x＝0；（2）x2﹣6x﹣7＝0．【解答】解：（1）∵x2+3x＝4，∴x（x+3）＝0，則x＝6或x+3＝0，解得x7＝0，x2＝﹣6；（2）∵x2﹣6x﹣2＝0，∴（x﹣7）（x+8）＝0，則x﹣7＝4或x+1＝0，解得x4＝7，x2＝﹣8．17．（7分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A（﹣1，2）（﹣3，1）、C（0，﹣1）．（1）畫出△ABC關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱的△A1B1C1；（2）畫出△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到的△DEC，并寫出點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D的坐標(biāo)．【解答】解：（1）如圖，△A1B1C6即為所求．（2）如圖，△DEC即為所求．由圖可得，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣3．18．（7分）雜技團(tuán)進(jìn)行雜技表演，演員從蹺蹺板右端A處彈跳到人梯頂端椅子B處，其身體（看成一點(diǎn)）的一部分，如圖所示．（1）求演員彈跳離地面的最大高度；（2）已知人梯高BC＝3.6米，在一次表演中，人梯到起跳點(diǎn)A的水平距離是4米【解答】解：（1）由題意，∵二次函數(shù)為y＝﹣x5+2x+2＝﹣（x﹣）2+，∴當(dāng)x＝時(shí)，y有最大值，y最大值＝．∴演員彈跳離地面的最大高度是4.4米．（2）能成功表演．理由是：當(dāng)x＝4時(shí)，y＝﹣2+2×4+2＝3.3．即點(diǎn)B（4，3.6）在拋物線y＝﹣x5+2x+2上，因此，能表演成功．四、解答題（二）（每小題9分，共27分）19．（9分）已知關(guān)于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）＝|m|．（1）求證：對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）若方程的一個(gè)根是1，求m的值及方程的另一個(gè)根．【解答】（1）證明：∵（x﹣3）（x﹣2）＝|m|，∴x5﹣5x+6﹣|m|＝7，∵Δ＝（﹣5）2﹣5（6﹣|m|）＝1+2|m|，而|m|≥0，∴Δ＞0，∴方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）解：∵方程的一個(gè)根是6，∴|m|＝2，解得：m＝±2，∴原方程為：x2﹣5x+4＝5，解得：x1＝1，x2＝4．即m的值為±2，方程的另一個(gè)根是6．20．（9分）如圖，AB是⊙O的一條弦，OD⊥AB于點(diǎn)C，點(diǎn)E在⊙O上．（1）若∠BED＝28°，則∠AOD的度數(shù)為56°；（2）若點(diǎn)B是的中點(diǎn)，求證：DE＝AB；（3）若CD＝3，AB＝12，求⊙O的半徑長(zhǎng)．【解答】（1）解：∵OD⊥AB于點(diǎn)C，交⊙O于點(diǎn)D，∴弧AD＝弧BD，∵∠DEB＝28°，∴∠AOD＝2∠DEB＝56°，故答案為：56°；（2）證明：∵點(diǎn)B是的中點(diǎn)，∴＝，∵OD⊥AB于點(diǎn)C，交⊙O于點(diǎn)D，∴＝，∴+＝+，即＝，∴DE＝AB；（3）解：∵OD⊥AB，∴AC＝BC＝AB＝，∵CD＝4，∴OC＝OD﹣CD＝OA﹣CD，在直角三角形AOC中，AO2＝OC2+AC3，∴AO2＝（OA﹣3）2+62，解得AO＝，∴⊙O的半徑長(zhǎng)為．21．（9分）某商場(chǎng)將進(jìn)貨價(jià)為30元的臺(tái)燈以40元售出，平均每月能售出600個(gè)，調(diào)查表明：這種臺(tái)燈的售價(jià)每上漲0.5元（1）為了實(shí)現(xiàn)平均每月10000元的銷售利潤，這種臺(tái)燈的售價(jià)應(yīng)定為多少元？這時(shí)應(yīng)進(jìn)臺(tái)燈多少個(gè)？（2）當(dāng)臺(tái)燈的售價(jià)定為多少元時(shí)，獲得的月利潤最大？【解答】解：（1）設(shè)這種臺(tái)燈的售價(jià)應(yīng)定為x元，則平均每月可售出[[600﹣，∴（x﹣30）[600﹣10（x﹣40）]＝10000，∴x2﹣130x+4000＝0，∴x7＝50，x2＝80．又∵每個(gè)臺(tái)燈的利潤不得高于進(jìn)價(jià)的90%，即利潤≤30×90%＝27，∴x﹣30≤27．∴x≤57．∴x＝50．∴這時(shí)應(yīng)進(jìn)臺(tái)燈為：600﹣（50﹣40）＝500（個(gè)）．答：為了實(shí)現(xiàn)平均每月10000元的銷售利潤，這種臺(tái)燈的售價(jià)應(yīng)定為50元．（2）由題意，設(shè)臺(tái)燈的售價(jià)為x元，依題意：y＝（x﹣30）[600﹣，∴y＝﹣10x2+1300x﹣30000＝﹣10（x﹣65）2+12250．又∵0＜x≤57．∴當(dāng)x＝57時(shí)，y最大＝11610元．答：這種臺(tái)燈的售價(jià)應(yīng)定為57元，每月的最大利潤是11610元．五、解答題（三）（22題13分，23題14分，共27分）22．（13分）如圖，在正方形ABCD中，線段AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），延長(zhǎng)BE至點(diǎn)F使得CB＝CF，取線段EF的中點(diǎn)G（1）求證：△ADE≌△CDF．（2）如圖（2），當(dāng)E恰好是BF中點(diǎn)時(shí)，求證：．（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，∠BGC的度數(shù)是否發(fā)生改變？若不變，求出∠BGC的度數(shù)，請(qǐng)說明理由．（4）若AB＝4，在旋轉(zhuǎn)過程中，請(qǐng)直接寫出△GDC的面積最大值．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝BC＝CD，∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝90°，∵線段AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°）得到線段AE，∴AB＝AE，∠BAE＝α，∴∠DAE＝90°﹣α，∠ABE＝90°﹣，∴∠CBF＝，∵BC＝CF，∴∠CBF＝∠CFB＝，CF＝CD＝AD＝AE，∴∠BCF＝180°﹣α，∴∠DCF＝90°﹣α，∴∠DCF＝∠DAE，∴△ADE≌△CDF（SAS）；（2）證明：如圖2，連接BD，∵△ADE≌△CDF，∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF，∴∠ADC＝∠EDF＝90°，∴△DEF是等腰直角三角形，∵G是EF的中點(diǎn)，∴DG＝EG＝GF，DG⊥EF，∴∠DGB＝90°＝∠BCD，∠DEG＝45°，∴點(diǎn)G，點(diǎn)D，點(diǎn)C四點(diǎn)共圓，∴∠BGC＝∠BDC＝45°，∴∠DEG＝∠BGC，∴DE∥CG，∵BC＝CF，點(diǎn)E是BF中點(diǎn)，∴CE⊥BF，BE＝EF＝6DG，∴DG∥CE，∴四邊形DGCE是平行四邊形，∴CE＝DG，∴CF＝＝＝DG，∴AE＝DG；（3）解：∠BGC的度數(shù)不會(huì)改變，理由如下：如圖2，連接BD，∵△ADE≌△CDF，∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF，∴∠ADC＝∠EDF＝90°，∴△DEF是等腰直角三角形，∵G是EF的中點(diǎn)，∴DG＝EG＝GF，DG⊥EF，∴∠DGB＝90°＝∠BCD，∠DEG＝45°，∴點(diǎn)G，點(diǎn)D，點(diǎn)C四點(diǎn)共圓，∴∠BGC＝∠BDC＝45°；（4）解：如圖7，連接AC，連接OG，∵四邊形ABCD是正方形，AB＝4，∴CD＝AB＝4，AC＝BD＝2，∵點(diǎn)G，點(diǎn)D，點(diǎn)C四點(diǎn)共圓，∴點(diǎn)G在以O(shè)為圓心，OD為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，∵線段AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（8°＜α＜90°）得到線段AE，∴點(diǎn)G在上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)OG⊥CD時(shí)，△GDC的面積有最大值，∵OD⊥OC，OD＝OC，∴OH＝CH＝DH＝2，∴△GDC的面積的最大值＝×4×（2﹣4．23．（14分）如圖所示，拋物線y＝ax2+2x+