數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)第四版 教案-教學(xué)設(shè)計(jì) 6-方差分析 實(shí)驗(yàn)6.1-6.2 單因素方差分析、雙因素方差分析

PAGE1PAGE授課題目(教學(xué)章、節(jié)或主題)6.1單因素方差分析需用學(xué)時(shí)1學(xué)時(shí)教學(xué)目標(biāo)（知識(shí)、能力、素養(yǎng)）1、了解單因素方差分析有關(guān)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)；2、會(huì)借助MATLAB軟件會(huì)進(jìn)行單因素方差分析，并對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行解釋分析；3、初步培養(yǎng)用統(tǒng)計(jì)分析方法解決相關(guān)實(shí)際問題的素養(yǎng)。重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：MATLAB的單因素方差分析有關(guān)函數(shù)的用法；難點(diǎn)：方差分析知識(shí)的理解、適用條件的驗(yàn)證課程思政元素1.通過對(duì)Fisher生平和偉大成就的了解，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)力和對(duì)科學(xué)的追求；2.通過教學(xué)案例的講解讓學(xué)生感受到方差分析應(yīng)用的廣泛、知識(shí)的重要性。教學(xué)內(nèi)容及過程方差分析概述通過例1，講解方差分析的有關(guān)術(shù)語(yǔ)、方差分析的作用。試驗(yàn)指標(biāo)是指試驗(yàn)中所要考察的指標(biāo).在例1中產(chǎn)品的銷售量就是試驗(yàn)指標(biāo).因素是指影響試驗(yàn)指標(biāo)的條件、原因等.在例1中，要分析不同銷售方式對(duì)銷售量是否有顯著影響，銷售方式是影響銷售量這個(gè)試驗(yàn)指標(biāo)的因素.在實(shí)際問題中，影響試驗(yàn)指標(biāo)的因素可能不止一種.如果方差分析只針對(duì)影響試驗(yàn)指標(biāo)的一個(gè)因素進(jìn)行，稱為單因素方差分析.如果同時(shí)針對(duì)多個(gè)因素進(jìn)行，稱為多因素方差分析.本章介紹單因素方差分析和雙因素方差分析，它們是方差分析中最常用的.水平指因素的具體表現(xiàn)，如銷售的四種方式就是銷售方式這個(gè)因素的四個(gè)水平.有時(shí)水平是人為劃分的，比如質(zhì)量被評(píng)定為好、中、差.如果一個(gè)試驗(yàn)設(shè)計(jì)中任一因素各水平試驗(yàn)數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)相同，則稱該試驗(yàn)為均衡（Balance）試驗(yàn)，否則，就被稱為不均衡.例1是均衡的.方差分析的目的是推斷出對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)影響顯著的因素.其方法是通過檢驗(yàn)因素下不同水平的均值是否相等，從而推斷出該因素對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)的影響是否顯著.單因素方差分析的數(shù)學(xué)模型模型定義取因素A的r個(gè)水平每個(gè)水平下要考察的指標(biāo)看作一個(gè)總體，并假定這個(gè)總體相互獨(dú)立且，,即(1)每個(gè)總體均服從正態(tài)分布,均值可能不同,也可以未知；(2)每個(gè)正態(tài)總體的方差相同,但方差可以未知；這r個(gè)總體相互獨(dú)立.對(duì)每個(gè)水平進(jìn)行次獨(dú)立試驗(yàn),，得到樣本,其觀測(cè)值見表6.2.表6.2水平樣本觀測(cè)值表中的可以相等，也可以不等，記所有樣本的總個(gè)數(shù)為n=.由假設(shè)知每個(gè)樣本(和未知)，，且相互獨(dú)立,即有~，故可視為隨機(jī)誤差.記=，從而得到如下數(shù)學(xué)模型稱其為單因素方差分析的數(shù)學(xué)模型.假設(shè)檢驗(yàn)要檢驗(yàn)的原假設(shè)是：備擇假設(shè)是記在水平下數(shù)據(jù)的樣本均值為，，因素下的所有水平的樣本總均值為，為了分析對(duì)比樣本之間產(chǎn)生的差異，我們引入偏差平方和來度量各個(gè)體間的差異程度，反映了全部試驗(yàn)數(shù)據(jù)之間的差異，又稱為總偏差平方和.把分解如下其中,它反映了在每個(gè)水平下的樣本均值與樣本總均值的差異，是由因素A取不同水平引起的，稱為組間(偏差)平方和，也稱為因素A的偏差平方和.它表示每個(gè)水平下樣本值與該水平下的樣本均值之間的差異的總和，它是由隨機(jī)誤差引起的，稱為誤差(偏差)平方和，也稱為組內(nèi)(偏差)平方和.是的無偏估計(jì)量.在模型的假定下可得F統(tǒng)計(jì)量及其分布=.對(duì)于給定的顯著性水平，查得臨界值的值.由樣本觀測(cè)值計(jì)算得到統(tǒng)計(jì)量F的觀測(cè)值，如果(1)，則應(yīng)拒絕，說明組間差異的影響顯著地勝過隨機(jī)誤差的影響，認(rèn)為因素A的各水平下的均值有顯著差異；(2)，則接受，認(rèn)為因素A的各水平下的均值無顯著差異.實(shí)際應(yīng)用中，常采用如下做法：(1)當(dāng)時(shí)，認(rèn)為因素A對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)影響不顯著；(2)當(dāng)時(shí)，認(rèn)為因素A對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)影響顯著，用記號(hào)“*”表示；(3)當(dāng)時(shí)，認(rèn)為因素A對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)影響特別顯著，用記號(hào)“**”表示.為表達(dá)的方便和直觀，將上面的分析過程和結(jié)果制成一個(gè)表格，如下表表6.3單因素方差分析表方差來源平方和自由度值臨界值顯著性組間誤差總計(jì)軟件中大都使用P值法進(jìn)行結(jié)論判斷，這里我們對(duì)P值的計(jì)算方法不做深究.給定顯著性水平后.當(dāng)拒絕原假設(shè)，認(rèn)為該因素對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)影響顯著.單因素方差分析的MATLAB實(shí)現(xiàn)有關(guān)函數(shù)介紹單因素方差分析的相關(guān)函數(shù)有[p,t,s]=anova1(x,group)anova是analysisofvariance的縮寫,最后一位是數(shù)字1；輸入變量x是nχr數(shù)據(jù)矩陣,n是每個(gè)水平數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)(注意,每個(gè)水平的數(shù)據(jù)必須寫成一列的形式),r是水平個(gè)數(shù)，group是用于標(biāo)識(shí)不同水平的數(shù)據(jù)的向量,均衡試驗(yàn)可以缺省;輸出變量p是大于統(tǒng)計(jì)量F的觀測(cè)值的概率，當(dāng)p<α?xí)r，原拒絕H0.t是方差分析表的文本數(shù)據(jù),s是進(jìn)行多重比較的結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù).拒絕原假設(shè)后需要進(jìn)行多重比較，以判斷各水平之間差異的顯著性.c=multcompare(s)其中輸入變量s是anova1的輸出結(jié)果s;輸出結(jié)果c是兩兩顯著性差異的比較.案例例1某公司采用四種方式推銷其產(chǎn)品.為檢驗(yàn)不同方式推銷產(chǎn)品的效果，隨機(jī)抽樣如下（見表6.1）.試分析銷售方式對(duì)銷售量是否有顯著影響(α=0.05).表6.1某公司產(chǎn)品銷售方式所對(duì)應(yīng)的銷售量序號(hào)銷售方式12345水平均值方式一778681888383方式二959278968990方式三717668817474方式四808479708279總均值81.5具體操作見課件。例2用四種不同的的工藝生產(chǎn)電燈泡，從各種工藝生產(chǎn)的電燈泡中分別抽取樣品，并測(cè)的樣品的使用壽命（單位：h）如表6.6所示.表6.6工藝A1A2A3A4樣本觀測(cè)值1620167017001750180015801600164017201460154016201500155016101680平均值1708163515401585檢驗(yàn)這四種不同的工藝生產(chǎn)電燈泡的使用壽命是否有顯著的差異（=0.05）.具體操作詳見課件。討論、思考、作業(yè)練習(xí)例題1和例題2，熟悉相關(guān)函數(shù)用法。完成教材課后題1和2。參考資料（含參考書、文獻(xiàn)等）：《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)》，蕭樹鐵主編高等教育出版社《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)》，李尚志主編高等教育出版社教學(xué)過程設(shè)計(jì)：復(fù)習(xí)0分鐘，授新課85分鐘，安排討論4分鐘，布置作業(yè)1分鐘授課類型：√理論課討論課實(shí)驗(yàn)課練習(xí)課其他教學(xué)方式：√講授討論指導(dǎo)其他教學(xué)資源：√課件√在線課程動(dòng)畫其他授課題目(教學(xué)章、節(jié)或主題)6.2雙因素方差分析需用學(xué)時(shí)1學(xué)時(shí)教學(xué)目標(biāo)（知識(shí)、能力、素養(yǎng)）1、了解雙因素方差分析有關(guān)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)；2、會(huì)借助MATLAB軟件會(huì)進(jìn)行雙因素方差分析，并對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行解釋分析；3、初步培養(yǎng)用統(tǒng)計(jì)分析方法解決相關(guān)實(shí)際問題的素養(yǎng)。重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：MATLAB的雙因素方差分析有關(guān)函數(shù)的用法；難點(diǎn)：方差分析知識(shí)的理解、適用條件的驗(yàn)證課程思政元素1.通過對(duì)Fisher生平和偉大成就的了解，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)力和對(duì)科學(xué)的追求；2.通過教學(xué)案例的講解讓學(xué)生感受到方差分析應(yīng)用的廣泛、知識(shí)的重要性。教學(xué)內(nèi)容及過程一、無交互作用的雙因素方差分析模型定義設(shè)因素取個(gè)水平，因素取個(gè)水平，我們假定在水平組合下的總體，，方差都等于(可以是未知的)，但總體均值(也是未知的)可能不相等，并假定所有的試驗(yàn)是相互獨(dú)立的.若每一種因素組合僅做一次試驗(yàn)，則稱雙因素?zé)o重復(fù)試驗(yàn).設(shè)水平得到的樣本觀測(cè)值為，試驗(yàn)結(jié)果列表6.15如下表6.15無交互作用雙因素方差分析的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)因素B……均值因素A…………┋┋┋┋┋┋……均值…… 其中行平均值列平均值方差分析的目的是判斷兩個(gè)因素A和B對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)的影響是否顯著，就是要檢驗(yàn)如下假設(shè):判讀因素對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)影響是否顯著，就是要檢驗(yàn)下列假設(shè)：,即，因素A的影響不顯著：不全相等，即因素A的顯著影響判斷因素B的影響是否顯著，就要檢驗(yàn)下列假設(shè)：，即，因素B的影響不顯著：不全相等，即，因素B的影響顯著下面構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行檢驗(yàn).設(shè)總的樣本均值雙因素方差分析時(shí)對(duì)總變差平方和進(jìn)行分解為三部分：、和分別反映因素A的組間差異、因素B的組間差異和隨機(jī)誤差的總平方和.它們的計(jì)算公式分別為：；為檢驗(yàn)因素A的影響是否顯著，采用下面的統(tǒng)計(jì)量及分布：為檢驗(yàn)因素B的影響是否顯著，采用下面的統(tǒng)計(jì)量及分布：由平方和與自由度可以計(jì)算出均方，從而計(jì)算出F檢驗(yàn)值，如表6.16所示.表6.16無交互作用的雙因素方差分析表方差來源平方和自由度F值臨界值顯著性因素AQAr-1因素BQBs-1誤差QE(r-1)(s-1)總計(jì)Qrs-1根據(jù)給定的顯著性水平α在F分布表中查找相應(yīng)的臨界值，將統(tǒng)計(jì)量F與進(jìn)行比較，作出拒絕或不能拒絕原假設(shè)的決策.若>，則拒絕原假設(shè)，表明均值之間有顯著差異，即因素A對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)有顯著影響；反之,則說明因素A對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)沒有顯著影響；若>，則拒絕原假設(shè)，表明均值之間有顯著差異，即因素B對(duì)觀察值有顯著影響.反之,這說明因素B對(duì)觀察值沒有顯著影響；軟件中常通過F統(tǒng)計(jì)量對(duì)應(yīng)的p值小于顯著性水平,來拒絕原假設(shè).雙因素方差分析的MATLAB實(shí)現(xiàn)單因素方差分析的相關(guān)函數(shù)有[p,t,s]=anova2(x)最后一位是數(shù)字2；輸入變量x是nχr數(shù)據(jù)矩陣,n是數(shù)據(jù)在行上的因素水平數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)，r是因素在列上的水平個(gè)數(shù)，輸出變量p是大于統(tǒng)計(jì)量F的觀測(cè)值的概率，當(dāng)p<α?xí)r，原拒絕H0.t是方差分析表的文本數(shù)據(jù),s是進(jìn)行多重比較的結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù).拒絕原假設(shè)后需要進(jìn)行多重比較，以判斷各水平之間差異的顯著性.c=multcompare(s)其中輸入變量s是anova1的輸出結(jié)果s;輸出結(jié)果c是兩兩顯著性差異的比較.3.案例例3某公司想知道產(chǎn)品銷售量與銷售方式及銷售地點(diǎn)是否有關(guān)，隨機(jī)抽樣得如表6.17所示資料，以0.05的顯著性水平進(jìn)行檢驗(yàn).表6.17某公司產(chǎn)品銷售方式及銷售地點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的銷售量地點(diǎn)一地點(diǎn)二地點(diǎn)三地點(diǎn)四地點(diǎn)五方式一7786818883方式二9592789689方式三7176688174方式四8084797082具體操作見課件。二、有交互作用的雙因素方差分析1.模型定義設(shè)兩個(gè)因素分別是A和B，因素A共有個(gè)水平，因素B共有個(gè)水平，為對(duì)兩個(gè)因素的交互作用進(jìn)行分析，每組試驗(yàn)條件的試驗(yàn)至少要進(jìn)行兩次，若對(duì)每個(gè)水平組合水平下（）重復(fù)t次試驗(yàn)，假定每種組合的總體且相互獨(dú)立.每個(gè)水平下的樣本與總體服從同一分布，即每次試驗(yàn)的結(jié)果用表示，有交互作用的雙因素方差分析的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)如表6.19所示.表6.19有交互作用雙因素方差分析的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)因素B……均值因素A,,…,……,,…,,,…,……,,…,┋┋┋┋┋,,…,……,,…,均值水平的均值，，總均值.其任務(wù)就是要根據(jù)這些樣本觀測(cè)值來檢驗(yàn)因素、及其交互作用對(duì)試驗(yàn)的結(jié)果的影響是否顯著.因此我們提出如下假設(shè)：對(duì)于因素提出假設(shè)：：因素的影響不顯著，：因素的影響顯著.對(duì)于因素提出假設(shè)：：因素的影響不顯著，，因素的影響顯著.對(duì)于因素、的交互作用提出假設(shè)：：因素、交互作用的影響不顯著，：因素、交互作用的影響顯著.與無交互作用的雙因素方差分析不同，總變差平方和將被分解為四個(gè)部分.其中，、、和分別反映因素A的組間差異、因素B的組間差異、因素A、B的交互效應(yīng)和隨機(jī)誤差.由平方和除以自由度可以計(jì)算出均方差，從而計(jì)算出F檢驗(yàn)值，如表6.20所示.表6.20有交互作用的雙因素方差分析表方差來源平方和自由度F值臨界值顯著性因素AQAr-1因素BQBs-1交互作用IQI(r-1)(s-1)誤差QErs(t-1)總計(jì)Qrst-1根據(jù)給定的顯著性水平α在F分布表中查找相應(yīng)的臨界值，將統(tǒng)計(jì)量F與進(jìn)行比較，作出拒絕或不能拒絕原假設(shè)的決策.若>，則拒絕原假設(shè)，表明因素A對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)有顯著影響；若>，則拒絕原假設(shè)，表明因素B對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)有顯著影響；若>，則拒絕原假設(shè)，表明因素A、B的交互效應(yīng)對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)有顯著影響.軟件中常通過F統(tǒng)計(jì)量對(duì)應(yīng)的p值小于顯著性水平,來拒絕原假設(shè).MATLAB函數(shù)介紹在MATLAB統(tǒng)計(jì)工具箱中，雙因素方差分析的命令是p=anova2(x,rep)其中，x數(shù)據(jù)矩陣,rep給出重復(fù)試驗(yàn)的次數(shù).應(yīng)用案例例4電池的板極材料與使用的環(huán)境溫度對(duì)電池的輸出電壓均有影響.今材料類型與環(huán)境溫度都取了三個(gè)水平，測(cè)得輸出電壓數(shù)據(jù)如表6.21所示，問不同材料、不同溫度及它們的交互作用對(duì)輸出電壓有無顯著影響（α=0.05）.表6.21材料與環(huán)境溫度的輸出電壓影響的測(cè)試表材料類型環(huán)境溫度15℃25℃35℃11551804080757082582188159