57三角函數(shù)的應(yīng)用（備作業(yè)）2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)（人教A版2019）

5.7三角函數(shù)的應(yīng)用一、單選題1．為了研究鐘表與三角函數(shù)的關(guān)系，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)秒針針尖指向位置.若初始位置為，秒針從(注：此時(shí))開始沿順時(shí)針方向走動(dòng)，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)與時(shí)間(秒)的函數(shù)關(guān)系式為（）A． B．C． D．【答案】C【詳解】∵秒針每秒轉(zhuǎn)動(dòng)，而初始相位為且初始位置為，∴，且秒針從(此時(shí))開始沿順時(shí)針方向走動(dòng)，∴.故選：C2．已知簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅是，圖象上相鄰最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的距離是5，且過點(diǎn)，則該簡(jiǎn)諧振動(dòng)的頻率和初相是（）A．， B．，C．， D．，【答案】C【詳解】由題意可知，A＝，32＋2＝52，則T＝8，ω＝＝，y＝sin.由sinφ＝，得sinφ＝.∵|φ|＜，∴φ＝.因此頻率是，初相為.故選：C3．如圖是某市夏季某一天從6時(shí)到14時(shí)的溫度變化曲線，若該曲線近似地滿足函數(shù)，則該市這一天中午12時(shí)天氣的溫度大約是（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】對(duì)于函數(shù)，由圖像可知：解得：；從到為函數(shù)的半個(gè)周期，即，所以，即，解得：；所以又有圖像經(jīng)過，所以，解得：所以，當(dāng)x=12時(shí)，.故選：C4．已知某摩天輪的旋轉(zhuǎn)半徑為60米，最高點(diǎn)距地面135米，運(yùn)行一周大約30分鐘，某游客在最低點(diǎn)的位置坐上摩天輪，則第10分鐘時(shí)他距地面大約為（）A．95米 B．100米 C．105米 D．110米【答案】C【詳解】設(shè)該游客在摩天輪上離地面高度（米）與時(shí)間t（分鐘）的函數(shù)關(guān)系為，由題意可知，，，所以，即．又，得，故，所以，所以．故選：C．5．某市一年12個(gè)月的月平均氣溫與月份的關(guān)系可近似地用函數(shù)（）來表示，已知該市6月份的平均氣溫最高，為，12月份的平均氣溫最低，為，則該市8月份的平均氣溫為（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題意可得：即，解得：，所以，所以該市8月份的平均氣溫為，故選：A.6．在一個(gè)港口，相鄰兩次高潮發(fā)生的時(shí)間相距12h，低潮時(shí)水深為9m，高潮時(shí)水深為15m．每天潮漲潮落時(shí)，該港口水的深度關(guān)于時(shí)間的函數(shù)圖象可以近似地看成函數(shù)的圖象，其中，且時(shí)漲潮到一次高潮，則該函數(shù)的解析式可以是（）A． B．C． D．【答案】A【詳解】依題意，，解得，又，．又（3），，．，．故選：A7．某校高一年級(jí)研究性學(xué)習(xí)小組利用激光多普勒測(cè)速儀實(shí)地測(cè)量復(fù)興號(hào)高鐵在某時(shí)刻的速度，其工作原理是：激光器發(fā)出的光平均分成兩束射出，在披測(cè)物體表面匯聚，探測(cè)器接收反射光，當(dāng)被測(cè)物體橫向速度為零時(shí)，反射光與探測(cè)光頻串相同，當(dāng)橫向速度不為零時(shí)，反射光相對(duì)探測(cè)光會(huì)發(fā)生頻移，其中為測(cè)速儀測(cè)得被測(cè)物體的橫向速度，為激光波長(zhǎng)，為兩束探測(cè)光線夾角的一半，如圖若激光測(cè)速儀安裝在距離高鐵處，發(fā)出的激光波長(zhǎng)為，測(cè)得某時(shí)刻頻移為，則該時(shí)刻高鐵的速度約等于（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意：，故，即，故.故選：C8．水車在古代是進(jìn)行灌溉引水的工具，是人類的一項(xiàng)古老的發(fā)明，也是人類利用自然和改造自然的象征.如圖是一個(gè)半徑為的水車，以水車的中心為原點(diǎn)，過水車的中心且平行于水平面的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，一個(gè)水斗從點(diǎn)出發(fā)，沿圓周按逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)，且旋轉(zhuǎn)一周用時(shí)120秒.經(jīng)過秒后，水斗旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，其縱坐標(biāo)滿足，當(dāng)時(shí)，（）A．6 B． C． D．【答案】A【詳解】由題意得：，，所以，所以，當(dāng)時(shí)，，可得，即，因?yàn)?，所以，所以，所以，?dāng)時(shí)，，此時(shí)，即點(diǎn)，所以，故選：A.二、填空題9．如圖某地夏天從8～14時(shí)用電量變化曲線近似滿足函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋b.（1）這一天的最大用電量為_____萬度，最小用電量為____萬度；（2）這段曲線的函數(shù)解析式為______________.【答案】5030【詳解】由圖知，最大用電量為50，最小用電量為30，故，所以，又由圖象可得半周期為，，故，又時(shí)，，∴，∴.故.故答案：50，30，.10．如圖，某地一天從時(shí)到時(shí)的溫度變化曲線近似滿足函數(shù),則時(shí)的溫度大約為________℃(精確到).【答案】.【詳解】由圖像可得,,.圖像最低點(diǎn)的坐標(biāo)為,,得,于是,.取,.當(dāng)時(shí),.故答案為:.三、解答題11．如圖，某年某動(dòng)物種群數(shù)量1月1日低至700，7月1日高至900，其總量在此兩值之間依正弦型曲線變化．（1）求出種群數(shù)量y關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)表達(dá)式．（2）猜測(cè)當(dāng)年3月1日該動(dòng)物的種群數(shù)量．【答案】（1）．（答案不唯一）（2）750【詳解】（1）設(shè)種群數(shù)量y關(guān)于時(shí)間t的表達(dá)式為，則，解得，．又周期，∴，∴．又當(dāng)時(shí)，，∴，∴，∴，∴可取，∴．（答案不唯一）（2）當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)年3月1日該動(dòng)物種群數(shù)量約是750．12．如圖，某公園摩天輪的半徑為40m，圓心O距地面的高度為50m，摩天輪做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，每3min轉(zhuǎn)一圈，摩天輪上的點(diǎn)P的起始位置在距地面的最近處．（1）已知在t(min)時(shí)點(diǎn)P距離地面的高度為，求t=2019時(shí)，點(diǎn)P距離地面的高度．（2）當(dāng)離地面（）m以上時(shí)，可以看到公園的全貌，求轉(zhuǎn)一圈中在點(diǎn)P處有多少時(shí)間可以看到公園的全貌．【答案】（1）10m；（2）0.5min.【詳解】解：（1）依題意知，A＝40，h＝50，T＝3，由T＝＝3，解得ω＝，所以f（t）＝40sin（t+φ）+50．因?yàn)閒（0）＝10，所以sinφ＝﹣1，又|φ|≤，所以φ＝﹣．所以f（t）＝40sin（t﹣）+50（t≥0），所以f（2019）＝40sin（×2019﹣）+50＝10．即t＝2019時(shí)點(diǎn)P距離地面的高度為10m．（2）由（1）知f（t）＝40sin（t﹣）+50＝50﹣40cost（t≥0）．令f（t）＞50+20，即cost＜﹣，解得2kπ+＜t＜2kπ+（k∈N*），即3k+＜t＜3k+（k∈N*）．又3k+﹣（3k+）＝＝0.5（k∈N*），所以轉(zhuǎn)一圈中在點(diǎn)P處有0.5min的時(shí)間可以看到公園的全貌．13．用彈簧掛著的小球做上下運(yùn)動(dòng)，它在t秒時(shí)相對(duì)于平衡位置的高度h厘米由下列關(guān)系式確定：．以t為橫坐標(biāo)，h為縱坐標(biāo)，作出這個(gè)函數(shù)在上的圖象，并回答下列問題．（1）小球在開始振動(dòng)時(shí)（即時(shí)）的位置在哪里？（2）小球的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)與平衡位置的距離分別是多少？（3）經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間小球往復(fù)運(yùn)動(dòng)一次？（4）每秒鐘小球能往復(fù)運(yùn)動(dòng)多少次？【答案】（1）小球在開始振動(dòng)時(shí)在距離平衡位置厘米處（2）都是2厘米（3）秒（4）【詳解】（1）函數(shù)在上的圖象如圖．當(dāng)時(shí)，（厘米），即小球在開始振動(dòng)時(shí)在距離平衡位置厘米處．（2）小球的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)與平衡位置的距離都是2厘米．（3）小球往復(fù)運(yùn)動(dòng)一次就是一個(gè)周期，易知秒，即經(jīng)過秒往復(fù)運(yùn)動(dòng)一次．（4）每秒鐘往復(fù)運(yùn)動(dòng)的次數(shù)．14．彈簧振子的振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)．某個(gè)彈簧振子在完成一次全振動(dòng)的過程中，時(shí)間t（單位：s）與位移y（單位：mm）之間的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)記錄如下表：t0.000.050.100.150.200.250.300.350.400.450.500.550.60y20.017.310010.117.220.017.210.3010．117.320.0（1）試根據(jù)這些數(shù)據(jù)確定這個(gè)振子的位移關(guān)于時(shí)間的函數(shù)解析式；（2）畫出該函數(shù)在的圖象；（3）在這次全振動(dòng)過程中，求位移為10mm時(shí)t的取值集合．【答案】（1）（2）圖象見解析（3）【詳解】（1）設(shè)函數(shù)解析式為，，由表格可知：，，則，即．由函數(shù)圖象過點(diǎn)，得，即，可取．則這個(gè)振子的位移關(guān)于時(shí)間的函數(shù)解析式為；（2）列表：t00.150.30.450.60y20020020由表格數(shù)據(jù)知，，的圖象如圖所示．；（3）由題意得，即，則或，所以或．又，所以或0.4．所以在這次全振動(dòng)過程中，位移為時(shí)t的取值集合為．15．某商圈準(zhǔn)備在其室外廣場(chǎng)上設(shè)計(jì)一個(gè)綠化人文景觀帶，具體操作如下：下圖中的正方形的邊長(zhǎng)為40米，以點(diǎn)A為頂點(diǎn)，引出放射角為的陰影部分的區(qū)域作為綠化人文景觀排，其中，根據(jù)預(yù)測(cè)，修好后人