專題05解析幾何中的與三角形面積相關的問題（第五篇）

備戰(zhàn)2020年高考數(shù)學大題精做之解答題題型全覆蓋高端精品第五篇解析幾何專題05解析幾何中的與三角形面積相關的問題類型對應典例橢圓中有關三角形的面積最值典例1拋物線中有關三角形的面積最值典例2橢圓中有關三角形的面積的取值范圍典例3拋物線中有關三角形的面積的取值范圍典例4橢圓中由三角形面積問題求參數(shù)值或范圍典例5拋物線中由三角形面積問題求參數(shù)值或范圍典例6橢圓中由三角形面積問題求直線方程典例7拋物線中由三角形面積問題求直線方程典例8【典例1】【山東省臨沂市2019屆高三模擬考試】已知橢圓：的離心率為，且與拋物線交于，兩點，（為坐標原點）的面積為．（1）求橢圓的方程；（2）如圖，點為橢圓上一動點（非長軸端點），為左、右焦點，的延長線與橢圓交于點，的延長線與橢圓交于點，求面積的最大值．【思路引導】(1)由題意求得a,b,c的值即可確定橢圓方程；(2)分類討論直線的斜率存在和斜率不存在兩種情況，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，結合韋達定理和均值不等式即可確定三角形面積的最大值.【詳解】（1）橢圓與拋物線交于，兩點，可設，，∵的面積為，∴，解得，∴，，由已知得，解得，，，∴橢圓的方程為.（2）①當直線的斜率不存在時，不妨取，，，故；②當直線的斜率存在時，設直線的方程為，，，聯(lián)立方程，化簡得，則，，，，點到直線的距離，因為是線段的中點，所以點到直線的距離為，∴∵，又，所以等號不成立.∴，綜上，面積的最大值為.【典例2】【遼寧省大連市2019屆高三第二次模擬考試】已知拋物線C:x2=2py(p>0)，其焦點到準線的距離為2，直線l與拋物線C交于A，B兩點，過A，B分別作拋物線C的切線l1，l2，l（Ⅰ）求p的值；（Ⅱ）若l1⊥l2【思路引導】(Ⅰ)根據(jù)拋物線的性質(zhì)即可得到結果；(Ⅱ)由直線垂直可構造出斜率關系，得到x1x2=-4，通過直線與拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)根與系數(shù)關系求得m；聯(lián)立兩切線方程，可用k【詳解】(Ⅰ)由題意知，拋物線焦點為：0,p2焦點到準線的距離為2，即p=2.(Ⅱ)拋物線的方程為x2=4y，即y=1設Ax1,l1:y-由于l1⊥l2，所以設直線l方程為y=kx+m，與拋物線方程聯(lián)立，得y=kx+mx2Δ=16k2+16m>0，即l:y=kx+1聯(lián)立方程y=x12x-xM點到直線l的距離d=AB所以S=當k=0時，ΔMAB面積取得最小值4【典例3】【福建省寧德市2019屆高三畢業(yè)班第二次（5月)質(zhì)量檢查】已知橢圓E：x2a2+y2b（Ⅰ）求橢圓E的方程；（Ⅱ）點B為橢圓E上的動點，過點F作平行于OB的直線l交橢圓于C，D兩點，求ΔBCD面積的取值范圍．【思路引導】（Ⅰ）根據(jù)題意可得，c=1，且AF+AF（Ⅱ）討論直線CD的斜率，當直線CD的斜率存在時，設直線CD的方程為y=k(x+1)(k≠0)．聯(lián)立方程利用韋達定理表示SΔACDΔBCD面積的取值范圍．【詳解】解法一：（Ⅰ）依題意得，左焦點F(-1,0)，則右焦點即c=1，且|AF|+則a=得b橢圓方程為x2（Ⅱ）當直線CD的斜率不存在時，|CD|=2此時SΔBCD當直線CD的斜率存在時，設直線CD的方程為y=k(x+1)(k≠0)．由y=k(x+1),x2+21+2k2顯然Δ>0，設Cx1,則x1故|CD|==1+=2因為CD//所以點A到直線CD的距離即為點O到直線CD的距離d=|k|所以SΔACD=2=22因為1+2k2>1所以0<S綜上，SΔACD∈【典例4】【廣東省汕頭市潮南區(qū)2020屆聯(lián)考】已知拋物線的焦點為，過點垂直于軸的直線與拋物線相交于兩點，拋物線在兩點處的切線及直線所圍成的三角形面積為.(1)求拋物線的方程；(2)設是拋物線上異于原點的兩個動點，且滿足，求面積的取值范圍.【思路引導】（1）求出坐標，利用導數(shù)的幾何意義求出切線方程，得到切線與軸的交點，利用三角形的面積列方程解出，從而可得結果；（2）計算，設出方程，求出與軸的交點，聯(lián)立方程組，根據(jù)韋達定理及弦長公式可得，得出面積關于的函數(shù)，從而可得函數(shù)的最值.【詳解】(1)依題意得，由，得，∴拋物線在處的切線斜率為，由拋物線的對稱性，知拋物線在處的切線斜率為，拋物線在A處的切線方程為,令y=0,得,∴S=，解得.∴拋物線的方程為.(2)由已知可得，設則，∴.令直線的方程為，聯(lián)立方程組消去得，則，∵，∴.∴直線MN過定點（1，0）,∴.∵，∴.綜上所示，面積的取值范圍是.【典例5】【廣西柳州高級中學2020屆月考】已知橢圓的左、右焦點分別為、,橢圓的離心率為,過橢圓的左焦點,且斜率為的直線,與以右焦點為圓心,半徑為的圓相切.（1）求橢圓的標準方程;（2）線段是橢圓過右焦點的弦,且,求的面積的最大值以及取最大值時實數(shù)的值.【思路引導】（1）設,,可得:直線的方程為:,即,直線與圓相切,圓心到直線的距離為,解得,結合已知,即可求得答案.（2）將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立,求得,結合導數(shù)知識,即可求得答案.【詳解】（1）設,,直線斜率為,且過橢圓的左焦點.直線的方程為:,即.直線與圓相切,圓心到直線的距離為,解得.橢圓的離心率為,即,解得:,根據(jù):橢圓的方程為.（2）由（1）得,,直線的斜率不為,設直線的方程為:,將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立可得:消掉可得:,恒成立,設,,則,是上述方程的兩個不等根,根據(jù)韋達定理可得:,.的面積:設,則,,可得:.令恒成立,函數(shù)在上為減函數(shù),故的最大值為:,的面積的最大值為,當且僅當,即時取最大值,此時直線的方程為,即直線垂直于軸,此時,即.綜上所述,的面積的最大值,時的面積的最大.【典例6】【安徽省蕪湖市2019屆高三模擬考試】設曲線C:?x2=2py(p>0)，點F為C的焦點，過點F作斜率為1的直線l與曲線C交于A，B兩點，點A（1）求曲線C的標準方程；（2）過焦點F作斜率為k的直線l'交曲線C于M，N兩點，分別以點M，N為切點作曲線C的切線相交于點P，過點P作x軸的垂線交x軸于點Q，求三角形MNQ面積的最小值【思路引導】（1）設直線l的方程，與拋物線聯(lián)立，由點A，B的橫坐標的倒數(shù)和為1，結合韋達定理代入求值即可；（2）設l'的方程為y=kx+1，與拋物線聯(lián)立求得|MN|,求過M,N的切線方程求得Q(2k,0),利用點到線的距離求點Q到直線/的距離為dQ=【詳解】（1）由題意可知：F(0,p2)，故可設直線l的方程為聯(lián)立方程x2=2pyx-y+p由題意知：1xA+1xB=-1∴曲線C的標準方程為x2（2）由題意知直線l'的斜率是存在的，故設l'的方程為設l'與曲線C相交于點M(x1,聯(lián)立方程x2=4yy=kx+1可得∴|MN|=(1+由x2=4y，得y=14∴kMP=12x∴kNP=12x上述兩式相減得：xP=x1+x22=2k，∴點Q到直線l的距離為dQ∴S又∵k∈R，∴k2?0.易知當k2=0時，即(S【典例7】【河北省石家莊市2019屆高中畢業(yè)班模擬考試】在平面直角坐標系中，，，設直線、的斜率分別為、且，（1）求點的軌跡的方程；（2）過作直線交軌跡于、兩點，若的面積是面積的倍，求直線的方程．【思路引導】（1）由題意，設，得到，，根據(jù)，即可求解橢圓的標準方程；（2）設直線，聯(lián)立方程組，利用韋達定理求得，再由，得到，列出關于的方程，即可求解．【詳解】（1）由題意，設，則，，又由，整理得，由點不共線，所以，所以點的軌跡方程為.（2）設，，易知直線不與軸重合，設直線，聯(lián)立方程組，整理得得，易知，且，由，故，即，從而，解得，即，所以直線的方程為或．【典例8】【福建省泉州市2019屆普通高中畢業(yè)班第二次質(zhì)量檢查】已知拋物線的焦點為，點在上，為線段的中點，.（1）求的方程；（2）過的直線與交于兩點.若上僅存在三個點，使得的面積等于16，求的方程.【思路引導】(1)利用對稱性或者中點得出方程.(2)設的方程為，代入拋物線方程利用韋達定理得出弦長,利用導數(shù)求出切點坐標,求出點線距3,利用面積是16確定直線.或者建立所以關于的方程恰有三個不同實根，即恰有三個不同實根，求出直線方程.【詳解】解法1：（1）由拋物線的對稱性，可知∥軸，且的坐標分別為，所以，解得，故的方程為.（2）如圖，作與平行且與相切的直線，切點為.由題意，可知的面積等于16.設的方程為，方程可化為，則，令，解得，將代入，得，故，所以到的距離，由消去，得，從而，所以，故的面積，從而，解得或.所以的方程為或.解法2：（1）設，則，，因為為的中點，所以，，故，從而，故，所以，解得，故的方程為.（2）直線斜率顯然存在，設直線的方程為.由消去，得，設，則，所以，點在上，設點，則點到直線的距離，的面積等于16，所以關于的方程恰有三個不同實根，即恰有三個不同實根，所以，，解得或.所以的方程為或.【針對訓練】1.【福建省龍巖市（漳州市)2019屆高三5月月考】已知離心率為的橢圓的右焦點與拋物線的焦點重合，且點到的準線的距離為2.（1）求的方程；（2）若直線與交于兩點，與交于兩點，且（為坐標原點），求面積的最大值.【思路引導】(1)先求P,再列a,b,c的方程組求解即可（2）設的方程為，與拋物線聯(lián)立將坐標化代入韋達定理解得n=2，利用即可求解；【詳解】（1）因為點到的準線的距離為2，所以，，由解得所以的方程為（2）解法一.由（1）知拋物線的方程為.要使直線與拋物線交于兩點，則直線的斜率不為0，可設的方程為，由得所以，得.設則所以，因為，所以，所以，所以，所以直線的方程為，所以直線過橢圓的右頂點，不妨設，，且，所以，當且僅當時，.2.【天津市河北區(qū)2019屆高三一?！恳阎獧E圓C：過點，且離心率為（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）若過原點的直線與橢圓C交于P、Q兩點，且在直線上存在點M，使得為等邊三角形，求直線的方程．【思路引導】（Ⅰ）列a,b,c的方程組求解即可求得方程；（Ⅱ）當?shù)男甭蔾=0時符合題意；當?shù)男甭蔾0時，設直線與橢圓聯(lián)立，求得P，Q坐標，進而求得設直線的中垂線方程：,求其與的交點M,由為等邊三角形,得到解方程求得k值即可【詳解】（Ⅰ）由題解得a=,b=,c=,橢圓C的方程為（Ⅱ）由題，當?shù)男甭蔾=0時，此時PQ=4直線與y軸的交點（0，滿足題意；當?shù)男甭蔾0時，設直線與橢圓聯(lián)立得=8,,設P（）,則Q（）,,又PQ的垂直平分線方程為由，解得,,,∵為等邊三角形即解得k=0(舍去)，k=,直線的方程為y=綜上可知，直線的方程為y=0或y=3.【山東省淄博市2020屆模擬】已知點，的坐標分別為，，三角形的兩條邊，所在直線的斜率之積是。（I）求點的軌跡方程：（II）設直線方程為，直線方程為，直線交于點，點，關于軸對稱，直線與軸相交于點。若面積為，求的值?！舅悸芬龑А?1)本題可以先將點的坐標設出，然后寫出直線的斜率與直線的斜率,最后根據(jù)、所在直線的斜率之積是即可列出算式并通過計算得出結果；(2)首先可以聯(lián)立直線的方程與直線的方程，得出點兩點的坐標，然后聯(lián)立直線的方程與點的軌跡方程得出點坐標并寫出直線的方程，最后求出點坐標并根據(jù)三角形面積公式計算出的值?！驹斀狻浚?）設點的坐標為，因為點的坐標分別為、，所以直線的斜率，直線的斜率，由題目可知，化簡得點的軌跡方程；（2）直線的方程為，與直線的方程聯(lián)立，可得點，故.將與聯(lián)立，消去，整理得，解得，或，根據(jù)題目可知點，由可得直線的方程為，令，解得，故，所以，的面積為又因為的面積為，故，整理得，解得，所以。4.【天津市新華中學2019屆高三下學期第八次統(tǒng)練】已知橢圓的離心率為，其短軸的端點分別為，且直線分別與橢圓交于兩點，其中點，滿足，且.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）若面積是面積的5倍，求的值.【思路引導】（Ⅰ）由題意得到關于a,b,c的方程組，求解方程組即可確定橢圓方程；（Ⅱ）由題意得到直線AM,BM的方程，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，求得點E,F的坐標結合題意即可得到關于m的方程，解方程即可確定m的值.【詳解】（Ⅰ）由題意可得：，解得：，橢圓的方程為.（Ⅱ）且，∴直線的斜率為，直線的斜率為，∴直線的方程為，直線的方程為，由得，∴，∴.由得，∴，∴.∵，，，∴，∴∴∵，且∴整理方程得，∴為所求.5．【廣東省汕頭市2019屆高三第二次模擬考試】已知橢圓C:x2a2+（1）求橢圓C的方程；（2）設過點F的直線l交橢園C于M，N兩點，若△OMN（O為坐標原點）的面積為23，求直線l的方程【思路引導】（1）根據(jù)題意，得到c,a，進而求出b2（2）先由題意設直線l的方程為x=my+1，聯(lián)立直線與橢圓方程，設Mx1,y1，Nx2,【詳解】（1）由題意可知c=1，離心率ca=所以b所以橢圓C的方程為x22（2）由題意可以設直線l的方程為x=my+1，由x22+yΔ=4設Mx1所以，y1+y所以ΔOMN的面積S=12=因為ΔOMN的面積為23，所以m解得m=±1.所以直線l的方程為x+y-1=0或x-y-1=0.6.【山西省2019屆高三3月高考考前適應性測試】已知拋物線：的焦點為，準線為，若點在上，點在上，且是邊長為的正三角形．（1）求的方程；（2）過點的直線與交于兩點，若，求的面積．【思路引導】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，即可求出p的值，則拋物線方程可求；設過點的直線n的方程為，聯(lián)立直線方程與拋物線方程，得利用根與系數(shù)的關系結合求得t，進一步求出與F到直線的距離，代入三角形面積公式求解．【詳解】由題知，，則．設準線與x軸交于點D，則．又是邊長為8的等邊三角形，，，，即．拋物線C的方程為；設過點的直線n的方程為，聯(lián)立，得．設，，則，．．．由，得，解得．不妨取，則直線方程為．．而F到直線的距離．的面積為．7.【湖南省桃江縣第一中學2019屆高三5月模擬考試】已知曲線上的點到點的距離比它到直線的距離小2.（1）求曲線的方程.（2）是否存在過的直線，使得與曲線相交于，兩點，點關于軸的對稱點為，且的面積等于4？若存在，求出此時直線的方程；若不存在，請說明理由.【思路引導】（1）根據(jù)拋物線的定義求出拋物線的方程即可；（2）設直線：，聯(lián)立，設，則，由利用韋達定理計算即可.【詳解】（1）設為曲線上任意一點，已知曲線上的點到點的距離比它到直線的距離小2.所以點到的距離與它到直線的距離相等，根據(jù)拋物線的定義得曲線是以為焦點，直線為準線的拋物線，所以曲線的方程為.（2）設直線的方程為，與拋物線的方程聯(lián)立，得，消去，得.設，，恒成立，則，.，解得，則直線為.8.【山東省淄博市部分學校2019屆高三階段性診斷考試】已知拋物線的焦點到準線距離為.（1）若點，且點在拋物線上，求的最小值；（2）若過點的直線與圓相切，且與拋物線有兩個不同交點，求的面積.【思路引導】（1）由拋物線圖像的幾何特征可知