必刷卷03（文）-2022年高考數(shù)學(xué)考前信息必刷卷（全國(guó)甲卷）

絕密★啟用前2022年高考數(shù)學(xué)考前信息必刷卷03全國(guó)卷地區(qū)專用隨著最近幾年各省逐漸推進(jìn)新高考，高考各地用卷有所調(diào)整，原有的全國(guó)三卷不變，稱為全國(guó)甲卷。數(shù)學(xué)甲卷落實(shí)了高考內(nèi)容改革的要求，貫徹德智體美勞全面發(fā)展的教育方針，把數(shù)學(xué)和實(shí)際生活緊密結(jié)合，體現(xiàn)了高考數(shù)學(xué)對(duì)于實(shí)際生活的指導(dǎo)作用，全面落實(shí)科學(xué)發(fā)展觀，穩(wěn)中有變，穩(wěn)中求新。分析2021年全國(guó)甲卷這次的甲卷，非常符合“難點(diǎn)分散”的原則，沒(méi)有極致的難題，但每道題都有卡到學(xué)生的地方。計(jì)算量和閱讀量較去年有所增加。反套路意味明顯，試題考查的主干知識(shí)內(nèi)容相較前幾年變化不大，但是呈現(xiàn)的形式有較大的變化。2021年整套試卷難度和最近一兩年相比，難度略有降低，但知識(shí)點(diǎn)考察全面，著重考察學(xué)生的數(shù)學(xué)基本功，對(duì)于復(fù)習(xí)中扎實(shí)做題的學(xué)生較為友好，整體而言是一套非常契合最近幾年高考數(shù)學(xué)命題的改革方向的試題。2022年高考將繼續(xù)重視對(duì)學(xué)生抽象概括能力、空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力、數(shù)學(xué)應(yīng)用能力、數(shù)據(jù)處理能力和創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng),特別要重視運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問(wèn)題的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性與創(chuàng)新性。試卷中將融入數(shù)學(xué)文化為背景的新情景問(wèn)題，此類試題蘊(yùn)含濃厚的數(shù)學(xué)文化氣息，將數(shù)學(xué)知識(shí)、方法等融為一體，能有效考查學(xué)生在新情景下對(duì)知識(shí)的理解以及遷移到不同情境中的能力，考查學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力,例如第5題。概率作為簡(jiǎn)答題的難度下降，數(shù)列或三角函數(shù)仍然考查大題，或采用了開(kāi)放設(shè)問(wèn)的形式，引導(dǎo)我們?cè)诮虒W(xué)上要重視數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，培養(yǎng)核心素養(yǎng)，克服機(jī)械刷題。本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，，則（

）A．R B． C． D．【答案】D【分析】求函數(shù)定義域化簡(jiǎn)集合A，解不等式化簡(jiǎn)集合B，再利用交集的定義求解作答.【詳解】由得，則，由解得，即，所以.故選：D2．復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（－2，4），則（

）A．3 B．4 C． D．【答案】C【分析】先求得，然后求得.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（－2，4）．則，所以．所以．故選：C3．已知甲、乙兩家快遞公司一天內(nèi)在4個(gè)居民小區(qū)接收的快遞數(shù)量如下面莖葉圖所示.其中有一個(gè)數(shù)字被損壞，無(wú)法識(shí)別，假設(shè)這個(gè)數(shù)字具有隨機(jī)性，現(xiàn)用a表示，則甲公司快遞數(shù)量的中位數(shù)不低于乙公司快遞數(shù)量的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)莖葉圖求出中位數(shù)，從而求出的可能取值，再根據(jù)古典概型求出結(jié)果.【詳解】甲快遞數(shù)量為：，其中位數(shù)是；乙快遞數(shù)量為：，其中位數(shù)是，由得，因?yàn)?，所以，故所求概率?故選：D4．下列函數(shù)是奇函數(shù)的是(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】，定義域?yàn)镽關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，故該函數(shù)為偶函數(shù)，故A不符題意；，定義域?yàn)閇0，)不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，故B不符題意；，定義域由－x＞0得(－，0)不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，故C不符題意；，定義域?yàn)镽關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，故該函數(shù)為奇函數(shù)，故D符合題意故選：D.5．地震震級(jí)是根據(jù)地震儀記錄的地震波振幅來(lái)測(cè)定的，一般采用里氏震級(jí)標(biāo)準(zhǔn)．震級(jí)是據(jù)震中100千米處的標(biāo)準(zhǔn)地震儀（周期，衰減常數(shù)約等于1，放大倍率2800倍）所記錄的地震波最大振幅值的對(duì)數(shù)來(lái)表示的．里氏震級(jí)的計(jì)算公式：，其中表示“標(biāo)準(zhǔn)地震振幅”（使用標(biāo)準(zhǔn)地震振幅是為了修正測(cè)振儀距離實(shí)際震中的距離造成的偏差），是指我們關(guān)注的這個(gè)地震在距震中100公里處接收到的地震波的最大振幅．4.5級(jí)地震給人的震感已比較明顯，那么6.5級(jí)地震的最大振幅是4.5級(jí)地震的最大振幅的（

）倍．A． B．10 C．100 D．【答案】C【分析】由求得，然后求得6.5級(jí)地震的最大振幅與4.5級(jí)地震的最大振幅的比值.【詳解】由于，所以，所以6.5級(jí)地震的最大振幅與4.5級(jí)地震的最大振幅的比值為：.故選：C6．劉徽注《九章算術(shù)·商功》中，將底面為矩形，一棱垂直于底面的四棱錐叫做陽(yáng)馬．如圖，是一個(gè)陽(yáng)馬的三視圖，則其外接球的半徑為（

）A． B．3 C． D．4【答案】C【分析】將其置入到長(zhǎng)方體中，利用長(zhǎng)方體體對(duì)角線為外接球的直徑來(lái)解決.【詳解】由三視圖可知，該幾何體為四棱錐，底面是一個(gè)正方形，設(shè)四棱錐外接球的半徑為，將其置入到長(zhǎng)方體中，如圖所示易得，所以，所以.故選：C7．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的平方關(guān)系結(jié)合二倍角的正弦公式可求得的值.【詳解】由已知可得，等式兩邊平方得，解得.故選：B.8．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則（

）A．129 B．132 C．381 D．384【答案】C【分析】根據(jù)與的關(guān)系可證得數(shù)列是等比數(shù)列，再根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可得出答案.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，由，得；當(dāng)時(shí)，由，得，所以數(shù)列是以3為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故，所以．故選：C．9．在正方體中，為線段的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，，得到，把異面直線與所成角轉(zhuǎn)化為直線與所成角，取的中點(diǎn)，在直角中，即可求解.【詳解】在正方體中，連接，，可得，所以異面直線與所成角即為直線與所成角，即為異面直線與所成角，不妨設(shè)，則，，取的中點(diǎn)，因?yàn)?，所以，在直角中，可?故選：B.10．“勾3股4弦5”是勾股定理的一個(gè)特例.根據(jù)記載，西周時(shí)期的數(shù)學(xué)家商高曾經(jīng)和周公討論過(guò)“勾3股4弦5”的問(wèn)題，畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)勾股定理早了500多年，如圖，在矩形ABCD中，△ABC滿足“勾3股4弦5”，且AB=3，E為AD上一點(diǎn)，BE⊥AC.若=λ+μ，則λ+μ的值為（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，進(jìn)而利用向量的坐標(biāo)表示，設(shè)，由可得，再由，利用坐標(biāo)表示建立方程組求解即可.【詳解】解：由題意建立如圖所示直角坐標(biāo)系因?yàn)锳B=3，BC=4，則B(0，0)，A(0，3)，C(4，0)，，，設(shè)，因?yàn)锽E⊥AC，所以，解得.由，得，所以解得所以，故選：B.11．已知中，角的對(duì)邊分別為．若，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用正弦定理邊化角，可得，再次角化邊可得關(guān)系，利用余弦定理和基本不等式可求得的最小值.【詳解】由正弦定理得：，即，，則，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），的最小值為.故選：C.12．已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，高為的梯形的兩頂點(diǎn)A，B分別在雙曲線的左、右支上，且，則該雙曲線的離心率等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，，在和中，利用余弦定理得解.【詳解】解：由梯形的高為得到，設(shè)，，在中，，因此，即，①在中，，因此，即，②①②相減得．故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知向量，若，則向量與的夾角為_(kāi)__________.【答案】【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算，即可求得答案.【詳解】，且則即與的夾角為故答案為：.14．已知函數(shù)，則函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程是____．【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)，所以，所以，所以切線方程為，即．故答案為；15．已知數(shù)列滿足（），為其前項(xiàng)和，若，則___________.【答案】【分析】根據(jù)題意和等比數(shù)列的定義得數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，即可求解.【詳解】由題意，數(shù)列滿足（），可得數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，因?yàn)?，可得，解得，所?故答案為：.16．已知一個(gè)圓柱的上?下底面圓周均在球O的表面上，若圓柱的體積為，則球O的表面積的最小值為_(kāi)__________.【答案】【分析】設(shè)圓柱的底面圓半徑為，高為，球O的半徑為，列出方程組，求得，求得其導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得到的最小值，即可求得球的表面積的最小值.【詳解】設(shè)圓柱的底面圓半徑為，高為，球O的半徑為，則，可得，所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)球O的表面積有最小值，且最小值為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17．（12分）新高考按照“”的模式設(shè)置，其中“3”為全國(guó)統(tǒng)考科目語(yǔ)文、數(shù)學(xué)，外語(yǔ)，所有考生必考；“1”為首選科目，考生須在物理、歷史兩科中選擇一科；“2”為再選科目，考生可在化學(xué)、生物，政治，地理四科中選擇兩科．某校為了解該校考生首選科目的選科情況，從該校考生中隨機(jī)選擇了100名考生進(jìn)行調(diào)查，得到下面的列聯(lián)表：選擇物理不選擇物理男4614女2020假設(shè)考生選擇每個(gè)科目的可能性相等，且他們的選擇互不影響．(1)能否有的把握認(rèn)為考生是否選擇物理與性別有關(guān)?(2)已知該校有考生2200名，以上表中該?？忌x擇物理科目的頻率代替該?？忌x擇物理科目的概率，估計(jì)該校考生選擇物理作為首選科目的人數(shù)．參考公式：，其中．參考數(shù)據(jù)：0.100.050.0100.0012.7063.8416.63510.828【答案】(1)能；(2)．【分析】（1）：根據(jù)公式求解，結(jié)合表格參考數(shù)據(jù)即可判斷結(jié)果；（2）：先求出該?？忌x擇物理科目的概率，再結(jié)合校人數(shù)可得結(jié)果．(1)根據(jù)題意可得所以有的把握認(rèn)為考生是否選擇物理與性別有關(guān)；(2)該校考生選擇物理科目的概率為所以估計(jì)該?？忌x擇物理作為首選科目的人數(shù)為．18．（12分）已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，滿足.(1)求角的大?。?2)若，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知條件，利用正弦定理角化邊可得，再根據(jù)余弦定理即可求解；（2）由角A的正切值求出角A的正弦和余弦值，從而根據(jù)二倍角公式可得、，再根據(jù)兩角差的正弦公式即可求解.(1)解：，，即，，，；(2)解：由，可得，，19．（12分）在三棱錐中，底面ABE，AB⊥AE，，D是AE的中點(diǎn)，C是線段BE上的一點(diǎn)，且，連接PC，PD，CD.(1)求證：平面PAB；(2)求點(diǎn)E到平面PCD的距離.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）通過(guò)證明來(lái)證得平面.（2）通過(guò)等體積法求得點(diǎn)E到平面PCD的距離.(1)因?yàn)椋?又，.所以在中，由勾股定理，得.因?yàn)?，所以是的斜邊BE上的中線.所以C是BE的中點(diǎn).又因?yàn)镈是AE的中點(diǎn)，所以直線CD是的中位線，所以.又因?yàn)槠矫鍼AB，平面PAB，所以平面PAB.(2)由（1）得，.又因?yàn)椋?所以.又因?yàn)?，所?由題意得，且，所以.設(shè)點(diǎn)E到平面PCD的距離為d，則由得，即，解得.故點(diǎn)E到平面PCD的距離為.20．（12分）已知函數(shù).(1)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；(2)不等式對(duì)于恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)1；(2).【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)在上的單調(diào)性求解作答.（2）將給定不等式分離參數(shù)并作等價(jià)變形，構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的最大值作答.(1)，，，，在單調(diào)遞增，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，因此，函數(shù)在上的單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上的最小值是1.(2)，，令，函數(shù)在上單調(diào)遞增，其值域?yàn)镽，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則有函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，于是得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.21．（12分）已知橢圓方程為，若拋物線的焦點(diǎn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)．(1)求該拋物線的方程；(2)過(guò)拋物線焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，分別在點(diǎn)A，B處作拋物線的切線，兩條切線交于P點(diǎn)，則的面積是否存在最小值？若存在，求出這個(gè)最小值及此時(shí)對(duì)應(yīng)的直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)存在；最小值為64，此時(shí)直線l的方程為【分析】（1）先求出橢圓的焦點(diǎn)，從而可求得的值，求出，進(jìn)而可得拋物線的方程，（2）由題意可得直線l的斜率存在，則設(shè)直線l的方程為，設(shè)，，將直線方程代入拋物線方程中消去，利用根與系數(shù)的關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的方程，聯(lián)立求出點(diǎn)的坐標(biāo)，則利用點(diǎn)到直線的距離公式求出到直線的距離，再利用弦長(zhǎng)公式求出，從而可表示出的面積，進(jìn)而可求出其最小值(1)由橢圓，知．又拋物線的焦點(diǎn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)．所以，則．所以拋物線的方程為．(2)由拋物線方程知，焦點(diǎn)．易知直線l的斜率存在，則設(shè)直線l的方程為．由消去y并整理，得．．設(shè)，，則，．對(duì)求導(dǎo)，得，∴直線AP的斜率，則直線AP的方程為，即．同理得直線BP的方程為．設(shè)點(diǎn)，聯(lián)立直線AP與BP的方程，即．，點(diǎn)P到直線AB的距離，所以的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．所以面積的最小值為64，此時(shí)直線l的方程為．（二）選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。22．[選修4–4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.(1)求C的普通方程和的直角坐標(biāo)方程；(2)若與C交于A，B兩點(diǎn)，，求的值.【答案】(1)，(2)21【分析】（1）根據(jù)參數(shù)方程化為普通方程、極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程的公式求得C的普通方程和的直角坐標(biāo)方程；（2）寫出直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程并代入的普通方程，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系求得的值.(1)，