專題03函數(shù)的定義域解析式值域

專題03函數(shù)的定義域、解析式、值域知識點1求函數(shù)的定義域的依據(jù)函數(shù)的定義域是指使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍1、分式的分母不能為零.2、偶次方根的被開方數(shù)的被開方數(shù)必須大于等于零，即中奇次方根的被開方數(shù)取全體實數(shù)，即中，.3、零次冪的底數(shù)不能為零，即中.4、如果函數(shù)是一些簡單函數(shù)通過四則運算復合而成的，那么它的定義域是各個簡單簡單函數(shù)定義域的交集?！咀⒁狻慷x域用集合或區(qū)間表示，若用區(qū)間表示熟記，不能用“或”連接，而應用并集符號“∪”連接。知識點2函數(shù)解析式的四種求法1、待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型（如一次函數(shù)、二次函數(shù)等），可用待定系數(shù)法．（1）確定所有函數(shù)問題含待定系數(shù)的一般解析式；（2）根據(jù)恒等條件，列出一組含有待定系數(shù)的方程；（3）解方程或消去待定系數(shù)，從而使問題得到解決。2、換元法：主要用于解決已知的解析式，求函數(shù)的解析式的問題（1）先令，注意分析的取值范圍；（2）反解出x，即用含的代數(shù)式表示x；（3）將中的x度替換為的表示，可求得的解析式，從而求得。3、配湊法：由已知條件，可將改寫成關于的表達式，然后以x替代g(x)，便得的解析式．4、方程組法：主要解決已知與、、……的方程，求解析式。例如：若條件是關于與的條件（或者與）的條件，可把代為（或者把代為）得到第二個式子，與原式聯(lián)立方程組，求出知識點3求函數(shù)值域的6種常用求法1、單調(diào)性法：如果一個函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，則由定義域結合單調(diào)性可快速求出函數(shù)的最值(值域)．（1）若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增，則ymax＝f(b)，ymin＝f(a)．（2）若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞減，則ymax＝f(a)，ymin＝f(b)．（3）若函數(shù)y＝f(x)有多個單調(diào)區(qū)間，那就先求出各區(qū)間上的最值，再從各區(qū)間的最值中決定出最大(小)值．函數(shù)的最大(小)值是整個值域范圍內(nèi)的最大(小)值．2、圖象法：作出函數(shù)的圖象，通過觀察曲線所覆蓋函數(shù)值的區(qū)域確定值域，以下函數(shù)常會考慮進行數(shù)形結合．（1）分段函數(shù)：盡管分段函數(shù)可以通過求出每段解析式的范圍再取并集的方式解得值域，但對于一些便于作圖的分段函數(shù)，數(shù)形結合也可很方便的計算值域．（2）的函數(shù)值為多個函數(shù)中函數(shù)值的最大值或最小值，此時需將多個函數(shù)作于同一坐標系中，然后確定靠下(或靠上)的部分為該函數(shù)的圖象，從而利用圖象求得函數(shù)的值域．3、配方法：主要用于二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)的函數(shù)，要特別注意自變量的取值范圍.4、換元法：換元法是將函數(shù)解析式中關于x的部分表達式視為一個整體，并用新元t代替，將解析式化歸為熟悉的函數(shù)，進而解出最值(值域)．（1）在換元的過程中，因為最后是要用新元解決值域，所以一旦換元，后面緊跟新元的取值范圍．（2）換元的作用有兩個：①通過換元可將函數(shù)解析式簡化，例如當解析式中含有根式時，通過將根式視為一個整體，換元后即可“消滅”根式，達到簡化解析式的目的．②可將不熟悉的函數(shù)轉化為會求值域的函數(shù)進行處理5、分離常數(shù)法：主要用于含有一次的分式函數(shù)，形如或（，至少有一個不為零）的函數(shù)，求其值域可用此法以為例，解題步驟如下：第一步，用分子配湊出分母的形式，將函數(shù)變形成的形式，第二步，求出函數(shù)在定義域范圍內(nèi)的值域，進而求出的值域。6、判別式法：主要用于含有二次的分式函數(shù)，形如：將函數(shù)式化成關于x的方程，且方程有解，用根的判別式求出參數(shù)y的取值范圍，即得函數(shù)的值域。應用判別式法時必須考慮原函數(shù)的定義域，并且注意變形過程中的等價性。另外，此種形式還可使用分離常數(shù)法解法?？键c1具體函數(shù)的定義域求法【例1】（2022·山東·臨沂二十四中高一階段練習）函數(shù)的定義域是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由題，函數(shù)定義域滿足，解得.故選：C【變式11】（2022·四川省內(nèi)江市第二中學高一開學考試）函數(shù)中，自變量的取值范圍是（）A．B．C．且D．【答案】C【解析】由題意知：且.故選：C.【變式12】（2022·全國·高一專題練習）函數(shù)的定義域為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由已知得，解得且，所以函數(shù)的定義域為，故選：B.【變式13】（2022·貴州·黔西南州金成實驗學校高一期末）的定義域為_________.【答案】【解析】由題意，函數(shù)有意義，則滿足，解得，即函數(shù)的定義域為.故答案為：.【變式14】（2022·全國·高一單元測試）函數(shù)的定義域為______．【答案】【解析】由題意得，解得或，所以函數(shù)的定義域是．故答案為：.考點2抽象函數(shù)的定義域求法【例2】（2022·全國·高一專題練習）已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵的定義域為，∴，由，得，則函數(shù)的定義域為，故選：A.【變式21】（2022·全國·高一專題練習）已知f(x)的定義域是，則函數(shù)的定義域是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因f(x)的定義域是，則在中有：，解得且，所以函數(shù)的定義域是.答案：B【變式22】（2022·全國·高一課時練習）若函數(shù)y=f(x)的定義域是[0，3]，則函數(shù)g(x)=的定義域是（）A．[0，1)B．(0，1)C．[0，1]D．[0，1)∪(1，9]【答案】A【解析】因為函數(shù)y=f(x)的定義域是[0，3]，所以，解得，所以函數(shù)g(x)=的定義域是故選：A【變式23】（2022·全國·高一課時練習）函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】函數(shù)的定義域為，即，所以，所以，所以函數(shù)的定義域為.故選：D【變式24】（2022·全國·高一課時練習）已知函數(shù)的定義域為，求函數(shù)的定義域．【答案】【解析】因為函數(shù)的定義域為，所以，，所以函數(shù)的定義域為，所以要使函數(shù)有意義，則有，解得，所以函數(shù)的定義域為.考點3根據(jù)函數(shù)定義域求參數(shù)【例3】（2022·江蘇·高一）已知函數(shù).（1）若函數(shù)定義域為，求的取值范圍；（2）若函數(shù)值域為，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】（1）函數(shù)定義域為，對任意都成立，當時，顯然不恒成立，不合題意；當時，由二次函數(shù)的性質可知，需滿足，解得，綜上，實數(shù)的取值范圍為（2）函數(shù)值域為，能取遍所有正數(shù)，1：，解得，2：，符合題意實數(shù)的取值范圍為【變式31】（2022·全國·高一專題練習）已知函數(shù)的定義域為，求實數(shù)的取值范圍.【答案】【解析】由題意，函數(shù)的定義域為，即在上恒成立，當時，對任意恒成立；當時，要使恒成立，即方程無實根，只需判別式，解得，綜上，實數(shù)的取值范圍是.【變式32】（2022·全國·高一課時練習）（1）若函數(shù)的定義域為，則實數(shù)a的值為______；（2）若函數(shù)在區(qū)間上有意義，則實數(shù)a的取值范圍為______.【答案】【解析】（1）根據(jù)題意，知關于x的不等式的解集為.當時，不符合題意；當時，關于x的不等式的解集為，故，所以.綜上，.（2）根據(jù)題意，知當時，關于x的不等式恒成立.當a＝0時，符合題意；當a≠0時，設，根據(jù)一次函數(shù)的性質，得解得.綜上，.故答案為：1；【變式33】（2022·湖南·新邵縣教研室高一期末）已知的定義域為，那么a的取值范圍為_________．【答案】【解析】依題可知，的解集為，所以，解得．故答案為：．【變式34】（2022·全國·高一課時練習）（1）若函數(shù)的定義域為，則實數(shù)的取值范圍是___________；（2）若函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【解析】（1）當時，符合題意；當時，欲使在上恒成立，則,解得，綜上，實數(shù)a的取值范圍是；（2）當時，，不符合題意；當時，欲使取遍所有正數(shù)，只須使，解得，綜上，實數(shù)a的取值范圍是.故答案為：；.考點4待定系數(shù)法求解析式【例4】（2022·全國·高一課時練習）已知是一次函數(shù)，，，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】依題意，設，則有，解得，所以.故選：D【變式41】（2022·全國·高一課時練習）設為一次函數(shù)，且．若，則的解析式為（）A．或B．C．D．【答案】B【解析】設，其中，則，所以，，解得或.當時，，此時，合乎題意；當時，，此時，不合乎題意.綜上所述，.故選：B.【變式42】（2022·全國·高一專題練習）（1）已知是一次函數(shù)，且，求；（2）已知是二次函數(shù)，且滿足，求.【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）設，則因為，所以所以解得或所以或（2）設由，得由，得整理，得所以所以所以【變式43】已知函數(shù)是二次函數(shù)，，．（1）求的解析式；（2）解不等式．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由，知此二次函數(shù)圖象的對稱軸為，又因為，所以是的頂點，所以設因為，即所以得所以（2）因為所以化為，即或不等式的解集為考點5換元法與配湊法求解析式【例5】（2022·浙江·溫州市第二十二中學高一開學考試）已知，則的解析式為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因為令，所以所以，故選：C.【變式51】（2022·全國·高一課時練習）已知函數(shù)，則函數(shù)的解析式為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】方法一（配湊法）∵，∴.方法二（換元法）令，則，∴，∴.故選：A【變式52】（2022·全國·高一課時練習）已知，則（）．A．B．C．D．【答案】A【解析】因為，所以．故選：A【變式53】（2022·全國·高一專題練習）已知，則函數(shù)的解析式為____．【答案】【解析】因為所以.故答案為：【變式54】（2022·全國·高一課時練習）已知函數(shù).求函數(shù)的解析式；【答案】，．【解析】設，則，，所以，所以，．考點6方程組法求解析式【例6】（2022·全國·高一課時練習）已知函數(shù)的定義域為，且，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】令為，則，與聯(lián)立可解得，．故選：D．【變式61】（2022·全國·高一專題練習）若，則______．【答案】【解析】由①，將用代替得②，由①②得.故答案為：.【變式62】（2022·全國·高一專題練習）若對任意實數(shù)，均有，求.【答案】.【解析】利用方程組法求解即可；∵（1）∴（2）由得，∴.故答案為：.【變式63】（2022·全國·高一單元測試）已知，，則的解析式為________．【答案】【解析】由題知，，①；又，②；由①②得，，則，故答案為：【變式64】（2022·河北·邢臺市第二中學高一開學考試）已知函數(shù)滿足，且，，則a的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由①，得②，由，得，即．因為在上單調(diào)遞增，所以，所以，解得．故選：D.考點7利用函數(shù)單調(diào)性求值域【例7】（2022·全國·高一單元測試）函數(shù)，的值域是（）．A．B．C．D．【答案】A【解析】任取，且，則，當，且時，，，所以，即，當，且時，，，所以，即，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，因為，所以，所以在上的值域為故選：A【變式71】（2022·四川雅安·高一期末）的值域是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因為，所以，又在時單調(diào)遞增，所以當時，函數(shù)取得最大值為，所以值域是，故選：A.【變式72】（2022·全國·高一課時練習）函數(shù)的值域為_______________．【答案】【解析】因為，，所以此函數(shù)的定義域為，又因為是減函數(shù)，當當所以值域為故答案為：．【變式73】（2022·浙江·溫州市第二十二中學高一開學考試）已知函數(shù)，且，，則函數(shù)的值域是______.【答案】【解析】因為，，所以，即，解得：所以，設且，所以，因為且，所以，所以，即，所以，即在上單調(diào)遞減，所以，所以，函數(shù)的值域是故答案為：【變式74】（2022·四川涼山·高一期末）函數(shù)在區(qū)間上的最大值為______.【答案】11【解析】，因為、、、在上都為增函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，所以當時取得最大值，即故答案為：.考點8換元法求函數(shù)值域【例8】（2022·遼寧·高一期末）已知函數(shù)，則的最小值（）A．B．C．0D．1【答案】A【解析】對于函數(shù)，任取，，其中，所以，所以在上遞增.，令，則，由于在上遞增，當時有最小值為，所以的最小值為.故選：A【變式81】（2022·全國·高一課時練習）函數(shù)的最小值為（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】設，則則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，故選A．【變式81】（2022·全國·高一課時練習）已知函數(shù)，則的值域為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】對于函數(shù)，，當且僅當時等號成立，所以.令，則，由于時，遞減，所以，也即的值域為.故選：D【變式83】（2022·全國·高一課時練習）函數(shù)在區(qū)間上的最大值為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】設，則問題轉化為求函數(shù)在區(qū)間上的最大值．根據(jù)對勾函數(shù)的性質，得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以．故選：B【變式84】（2022·全國·高一課時練習）函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的值域為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】的定義域為，中，，解得，即的定義域為，令，則則，當時，；當時，，的值域為.故選：B.【變式85】（2022·全國·高一課時練習）若函數(shù)的值域是，則函數(shù)的值域是________.【答案】【解析】因函數(shù)的值域是，從而得函數(shù)值域為，函數(shù)變?yōu)?，，由對勾函?shù)的性質知在上遞減，在上遞增，時，，而時，，時，，即，所以原函數(shù)值域是.故答案為：【變式86】（2022·山西·臨汾第一中學校高一期末）函數(shù)的值域為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】令，則，∵，∴，∴函數(shù)的值域為，故選：D考點9二次型函數(shù)的值域【例9】（2022·全國·高一課時練習）已知函數(shù)f(x)，，則函數(shù)的值域是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】,對稱軸,當,又因為,所以函數(shù)的值域為.故選:D【變式91】（2022·全國·高一課時練習）函數(shù)在區(qū)間上的值域為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，因此該函數(shù)的對稱軸為：，因為，所以當時，函數(shù)有最小值，最小值為，而，所以最大值為，因此值域為，故選：C【變式92】（2022·全國·高一課時練習）函數(shù)的值域為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】令，則且又因為，所以，所以，即函數(shù)的值域為，故選：B.【變式93】（2022·上海市徐匯中學高一階段練習）函數(shù)的最大值是________【答案】【解析】因為，當時取等號，所以，所以.故答案為：.【變式94】（2022·浙江杭州·高一期末）已知設，則函數(shù)的最大值是（）A．B．1C．2D．3【答案】B【解析】當，即時，在上單調(diào)遞增，所以，當，即時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因為，，所以；綜上：函數(shù)的最大值為1故選：B【變式95】（2022·湖北·武漢市第十五中學高一期末）函數(shù)（，且）在上的最大值為13，則實數(shù)的值為___________.【答案】或【解析】∵令，則，則，其對稱軸為.該二次函數(shù)在上是增函數(shù).①若，由，得，故當，即時，，解得(舍去).②若，由，可得，故當，即時，.∴或(舍去).綜上可得或.故答案為：或.考點10分式型函數(shù)的值域【例10】（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，則該函數(shù)在上的值域是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，是在，上的最小值，且，，在，上的值域為，．故選：A．【變式101】（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)的值域為A．B．C．D．【答案】C【解析】令，，令，則，原函數(shù)化為，該函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，又當時，，當時，，當時，.∴函數(shù)的值域為，則函數(shù)的值域為.故選：C.【變式102】（2022·全國·高一課時練習）函數(shù)在區(qū)間的最大值是______．【答案】1【解析】∵函數(shù)，∴函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)增函數(shù)∴當時，函數(shù)取得最大值，為.故答案為：.【變式103】（2022·山東·濟南市天橋區(qū)黃河雙語實驗學校高三階段練習）若不等式對于一切恒成立，則的取值范圍為A．B．C．D．【答案】C【解析】對于一切成立，則等價為a?對于一切x∈(0,)成立，即a??x?對于一切x∈(0,)成立，設y=?x?,則函數(shù)在區(qū)間(0,〕上是增函數(shù)∴?x?<??2=，∴a?.故選C.【變式104】（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)的最小值為（）A．2B．C．1D．不存在【答案】B【解析】令，函數(shù)在上是增函數(shù)，在上也是增函數(shù)．當，即，時，．故選：B．【變式105】（2022·全國·高一課時練習）已知冪函數(shù)的圖象過點(9,3)，則函數(shù)在區(qū)間［1,9]上的值域為（）A．［－1,0]B．C．［0,2]D．【答案】B【解析】解法一：因為冪函數(shù)的圖象過點，所以，可得，所以，．因為，所以，故．因此，函數(shù)在區(qū)間[1,9]上的值域為．故選：B．解法二：因為冪函數(shù)的圖象過點，所以，可得，所以．因為，所以．因為，所以，所以，解得，即函數(shù)在區(qū)間[1,9]上的值域為．故選：B．1．（2021·江蘇·鹽城市田家炳中學高一期中）函數(shù)的定義域為（）A．B．C．且D．且【答案】D【解析】由函數(shù)解析式有意義可得且，所以函數(shù)的定義域是且，故選：D.2．（2022·遼寧·高一期末）已知函數(shù)的定義域為，則的定義域為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】依題意函數(shù)的定義域為，，所以，解得或，所以的定義域為.故選：B3．（2022·重慶巴蜀中學高一期末）已知函數(shù)的定義域為[1，10]，則的定義域為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由題意可知，函數(shù)的定義域為[1，10]，則函數(shù)成立需要滿足，解得.故選：B.4．（2022·湖南·雅禮中學高一期中）函數(shù)的值域是（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】因為，所以，因此，函數(shù)的值域是.故選：B.5．（2022·四川雅安·高一期末）的值域是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因為，所以，又在時單調(diào)遞增，所以當時，函數(shù)取得最大值為，所以值域是，故選：A.6．（2022·貴州·遵義市南白中學高一期末）已知函數(shù)的定義域與值域均為，則（）A．B．C．D．1【答案】A【解析】∵的解集為，∴方程的解為或4，則，，，∴，又因函數(shù)的值域為，∴，∴.故選：A.7．（2022·黑龍江·勃利縣高級中學高一期末）若函數(shù)滿足，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因為函數(shù)滿足①所以②聯(lián)立①②，得，解得，∴，故選：A8．（2022·全國·高一期中）若函數(shù)的值域為，則的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】當時，，即值域為，滿足題意；若，設，則需的值域包含，，解得：；綜上所述：的取值范圍為.故選：C.9．（2022·甘肅·蘭州市第二中學高一期末）已知的值域為，那么的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】當，，所以當時，，因為的值域為R，所以當時，值域最小需滿足所以，解得，故選：C10．（2021·湖北·宜昌市夷陵中學高一期中）（多選）已知函數(shù)關于函數(shù)的結論正確的是（）A．的定義域為RB．的值域為C．若，則x的值是D．的解集為【答案】BC【解析】函數(shù)的定義域是，故A錯誤；當時，，值域為，當時，，值域為，故的值域為，故B正確；當時，令，無解，當時，令，得到，故C正確；當時，令，解得，當時，令，解得，故的解集為，故D錯誤．故選：BC．11．（2022·湖北武漢·高一期末）（多選）下列函數(shù)中，最小值為2