專題10導數(shù)及其應用（利用導數(shù)研究函數(shù)圖象及性質(zhì)）（解答題壓軸題）-2022年高考數(shù)學高分必刷必過題

專題10導數(shù)及其應用（利用導數(shù)研究函數(shù)圖象及性質(zhì)）1．（2021·山東萊西·高二期末）已知函數(shù)，．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)的圖象與的圖象有三個不同的交點，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）答案見解析；（2）.【詳解】（1）則，當時，，則為單調(diào)遞增函數(shù)，當時，令，解得，當時，，則為單調(diào)遞增函數(shù)，當時，，則為單調(diào)遞減函數(shù)，綜上：當時，在上單調(diào)遞增，當時，的增區(qū)間為，減區(qū)間為.（2）由，可得，令，則，所以①，由，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又時，，作出圖象，如圖所示，由題意可得方程①的根，有一個必在內(nèi)，令一個根或或，當時，方程①無意義，當時，，不滿足題意，所以當時，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得，解得.綜上：實數(shù)的取值范圍為2．（2021·江蘇省前黃高級中學高三月考）設，函數(shù)，函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）．（1）若且，比較，，的大??；（2）若函數(shù)與函數(shù)的圖象分別位于直線的兩側(cè)，求的所有可能的取值．【答案】（1）；（2）的取值為．【詳解】解：（1）若，則，則，當時，，所以在上遞增，所以，即，所以，所以；又因為，所以，即（2），由，得；由，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則當時，函數(shù)有最大值；由函數(shù)求導，得，由得；由得．所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則當時，函數(shù)有最小值；因為，函數(shù)的最大值，即函數(shù)在直線的下方，故函數(shù)在直線的上方，所以，解得．所以的取值為．3．（2021·全國高三模擬預測）已知函數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù)．（1）求曲線在處的切線方程；（2）若，證明：曲線不落在圖像的下方．【答案】（1）；（2）證明見解析．【詳解】（1）解：由題意知，，故，而，故所求切線方程為，即．（2）證明：要證曲線不落在圖像的下方，即證，即證．令，，．，令，得；令，得或，所以當時，取得極大值，且極大值為2．而，易知在上單調(diào)遞增，且．令，得，令，得，故．故當時，．設，則．設，則．設，則，易知在上單調(diào)遞增，則，則在上單調(diào)遞增，從而，則在上單調(diào)遞增，則，從而在上單調(diào)遞增，所以當時，，故當時，．綜上所述，當時，曲線不落在圖像的下方．4．（2021·河南南陽中學高三月考（文））已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求證：函數(shù)的圖象在軸上方.【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）證明見解析.【詳解】（1）由題意，函數(shù)，則令，解得，當時，，所以函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，所以函數(shù)單調(diào)遞減，所以函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減.（2）由題意，函數(shù)，則，可得函數(shù)的遞增，因為，所以在上存在一個，使得即，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，所以，所以的圖象在軸的上方.5．（2021·蘭州市外國語高級中學高三月考（理））已知函數(shù)，．（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；（2）若直線是函數(shù)圖象的切線，求的最小值；【答案】(1).(2)1.詳解：（1）,則，∵在上單調(diào)遞增，∴對，都有，即對，都有，∵，∴，故實數(shù)的取值范圍是．（2）設切點，則切線方程為，即，亦即，令，由題意得，令，則，當時，，在上單調(diào)遞減；當時，，在上單調(diào)遞增，∴，故的最小值為．6．（2021·黑龍江香坊·哈爾濱市第六中學校高三月考（理））已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，．（I）若，求曲線在點處的切線方程；（II）若，求的單調(diào)區(qū)間；（III）若，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有個不同的交點，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（I）（II）詳見解析（III）試題解析：（I）時，，所以，所以曲線在點處的切線斜率為．又因為，所以所求切線方程為，即．（II），①若，則當或時，；當時，．所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，；單調(diào)遞增區(qū)間為．②若，則，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為．③若，則當或時，；當時，．所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，；單調(diào)遞增區(qū)間為．（III）時，，由（II）知，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)．所以在處取得極小值，在處取得極大值．由，得．當或時，；當時，．所以在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．故在處取得極大值，在處取得極小值．因為函數(shù)與的圖象有個不同的交點，所以，即，所以．故實數(shù)的取值范圍是．7．（2020·全國高三模擬預測（理））已知函數(shù)的圖象與直線相切，是的導函數(shù)，且.（1）求；（2）函數(shù)的圖象與曲線關(guān)于軸對稱，若直線與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，求證：.【答案】（1）（2）證明見解析【詳解】假設直線與函數(shù)圖象的切點為，因為，則由題意知，即所以，即①，又，所以②由①②可得，所以（2）由題可知，則，即，兩式相加得，兩式相減得，以上兩式相除得，即，不妨設，要證，即證，即，即證，令，那么，則，所以在上遞增，又，所以當時，恒成立，所以在上遞增，且.所以，從而成立.8．（2020·嘉祥縣萌山高級中學高三模擬預測）設函數(shù)，，，（1）求在處的切線的一般式方程；（2）請判斷與的圖像有幾個交點?（3）設為函數(shù)的極值點，為與的圖像一個交點的橫坐標，且，證明：.【答案】（1）（2）與的圖像有2交點（3）證明見解析【詳解】（1）由得切線的斜率為，切點為.∴切線方程為：，∴所求切線的一般式方程為.（2）令由題意可知，的定義域為，且.令，得，由，得，可知在內(nèi)單調(diào)遞減，又，且，故在內(nèi)有唯一解，從而在內(nèi)有唯一解，不妨設為，則，當時，，∴在內(nèi)單調(diào)遞增；當時，，∴在內(nèi)單調(diào)遞減，因此是的唯一極值點.令，則當時，，故在內(nèi)單調(diào)遞減，∴當時，，即，從而，又因為，∴在內(nèi)有唯一零點，又在內(nèi)有唯一零點1，從而，在內(nèi)恰有兩個零點.所以與的圖像有2交點；（3）由（2）及題意，即從而，即,∵當時，，又，故,兩邊取對數(shù)，得，于是，整理得，命題得證.9．（2020·江西上高二中高二月考（理））已知函數(shù).（1）若在上單調(diào)，求的取值范圍.（2）若的圖象恒在軸上方，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【詳解】（1）由題意得，.在上單調(diào)，即在上大于等于0或者小于等于0恒成立.令，則.時，.當時，，∴在上單調(diào)遞減，∴由題意得，或.∴的取值范圍是.（2）的圖像恒在軸上方，也即當時，恒成立.也即在上恒成立.令，，由可得：1+0單調(diào)遞增0單調(diào)遞減當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增；∴為極大值.所以.∴的取值范圍是.10．（2020·江蘇泰州·高二期中）已知函數(shù)（1）若函數(shù)在區(qū)間上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；（2）若函數(shù)在區(qū)間上有兩個極值點，求實數(shù)a的取值范圍；（3）若函數(shù)的導函數(shù)的圖象與函數(shù)圖象有兩個不同的交點，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）；（2）；（3）.【詳解】（1）即當時，恒成立，設，因為，所以，在上單調(diào)遞增，所以，所以，．（2）因為，所以在區(qū)間上有兩個極值點的必要條件為在區(qū)間上有兩個不同零點，則，當時，在上遞減，在上遞增，，所以存在唯一的，使得，因為在區(qū)間大于零，在區(qū)間小于零，在區(qū)間上大于零，所以在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減，在上遞增，所以，分別為極大值與極小值，所以當時函數(shù)在區(qū)間上有兩個極值點；（3）因為所以，令，，令，解得（舍去），.0＋↓極小值↑因為有兩個零點，所以，①又因為，所以②代入①得到，令，所以在上遞減，因為，所以，因為在區(qū)間上遞增，所以．i）因為，所以，，令，，所以所以在上遞增，，所以所以在區(qū)間上存在唯一一個零點．ⅱ）又因為，且，所以在區(qū)間上存在唯一一個零點，綜