浙江省杭州市蕭山區(qū)高橋教育集團(tuán)2024-2025學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷

2024-2025學(xué)年浙江省杭州市蕭山區(qū)高橋教育集團(tuán)八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、仔細(xì)選一選（本題有10個(gè)小題，每小題3分，共30分。下面每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是正確的．）1．（3分）下面所給的交通標(biāo)志中，軸對(duì)稱圖形是（）A． B． C． D．2．（3分）在下列長(zhǎng)度的四根木棒中，能與4cm、9cm長(zhǎng)的兩根木棒釘成一個(gè)三角形的是（）A．4cm B．5cm C．7cm D．14cm3．（3分）已知實(shí)數(shù)a，b，若a＞b，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．a(chǎn)﹣5＞b﹣5 B．3+a＞b+3 C．＞ D．﹣3a＞﹣3b4．（3分）根據(jù)等腰三角形的周長(zhǎng)為17cm，其中一邊長(zhǎng)為5cm，則該等腰三角形的底邊是（）A．7cm B．5cm或7cm C．6cm或5cm D．5cm5．（3分）如圖，圖中的兩個(gè)三角形是全等三角形，其中一些角和邊的大小如圖所示，那么x的值是（）A．30° B．45° C．50° D．85°6．（3分）下列條件中，能構(gòu)成直角△ABC的是（）A．∠A＝∠B＝∠C B．∠A+∠C＝2∠B C． D．7．（3分）定理“等腰三角形的兩個(gè)底角相等”的逆定理是（）A．有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形 B．有兩個(gè)底角相等的三角形是等腰三角形 C．有兩個(gè)角不相等的三角形不是等腰三角形 D．不是等腰三角形的兩個(gè)角不相等8．（3分）如果△ABC的三邊分別為m2﹣1，2m，m2+1，其中m為大于1的正整數(shù)，則（）A．△ABC是直角三角形，且斜邊為m2﹣1 B．△ABC是直角三角形，且斜邊為2m C．△ABC是直角三角形，且斜邊為m2+1 D．△ABC不是直角三角形9．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∠ACB的平分線與∠ABC的外角的平分線交于E點(diǎn)，連接AE，則∠AEB的度數(shù)是（）A．50° B．45° C．40° D．35°10．（3分）如圖，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，按下列步驟作圖：①分別以點(diǎn)B，C為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M，N，作直線MN交AB于點(diǎn)D；②以C為圓心，CD長(zhǎng)為半徑畫弧交AB于點(diǎn)E．方方探究得到以下兩個(gè)結(jié)論：①△BCE是等腰△；②若AC＝6，BC＝8，則點(diǎn)E到AC的距離為，則（）A．結(jié)論①正確，結(jié)論②正確 B．結(jié)論①正確，結(jié)論②錯(cuò)誤 C．結(jié)論①錯(cuò)誤，結(jié)論②正確 D．結(jié)論①錯(cuò)誤，結(jié)論②錯(cuò)誤二、認(rèn)真填一填（本題有6個(gè)小題，每小題4分，共24分）11．（4分）“x的2倍與1的差不大于3”用不等式表示為．12．（4分）若x＜y，則3x+13y+1．（填“＜”或“＞”）13．（4分）△ABC是等腰三角形，∠C＝100°，則∠A＝°．14．（4分）在Rt△ABC中，AB＝5，AC＝4，則BC＝．15．（4分）如圖，△ABC的外角∠ACD的平分線CP與內(nèi)角∠ABC平分線BP交于點(diǎn)P，若∠BPC＝40°，則∠CAP＝．16．（4分）如圖，A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)順次在直線l上，AC＝a，BD＝b．以AC為底向下作等腰直角三角形ACE，以BD為底向上作等腰三角形BDF，且FB＝FD＝BD．當(dāng)a＝3，b＝6時(shí)，△AEC和△BFD的面積和是．連接AF，DE，當(dāng)BC的長(zhǎng)度變化時(shí)，△ABF與△CDE的面積之差保持不變，則a與b需滿足的條件是．三、全面答一答（本題有7個(gè)小題，共66分）解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或推演步驟．如果覺(jué)得有的題目有點(diǎn)困難，你們把自己能寫出的解答寫出一部分也可以。17．（6分）如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高線．（1）CDAC．（填“＜”或“＞”）（2）AC+BCAB．（填“＜”或“＞”）（3）若點(diǎn)E是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)CE，則CDCE．（填“≤”或“≥”）18．（6分）如圖，在邊長(zhǎng)為1的小正方形所組成的網(wǎng)格上，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)都稱為“格點(diǎn)”，△ABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上．（1）直接判斷△ABC的形狀．（2）畫出△ABC關(guān)于直線MN的對(duì)稱圖形△A1B1C1．（3）在直線MN上作一點(diǎn)P，使得PA+PB最小，19．（6分）如圖，已知B，E，C，F(xiàn)在同一條直線上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．AC與DE交于點(diǎn)G，（1）求證△ABC≌△DEF；（2）若∠B＝50°，∠ACB＝60°，求∠EGC的度數(shù)．20．（8分）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)在CD上，且∠AEC＝∠BFD＝90°，AC＝BD，CF＝DE．（1）求證：Rt△AEC≌Rt△BFD．（2）連結(jié)AF，若AC＝5，AE＝3，CF＝1，求AF的長(zhǎng)度．21．（8分）如圖，C為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，E重合），在AE同側(cè)分別作等邊△ABC和等邊△CDE，AD與BE交于點(diǎn)O，AD與BC交于點(diǎn)P，BE與CD交于點(diǎn)Q，連結(jié)PQ．求證：（1）AD＝BE；（2）△CPQ為等邊三角形．22．（10分）如圖，長(zhǎng)方形紙片ABCD的長(zhǎng)AD＝9cm，寬AB＝3cm，將它折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合．（注：該長(zhǎng)方形的性質(zhì)：兩組對(duì)邊平行且相等，每個(gè)內(nèi)角都是90°）（1）求證：△BEF是等腰三角形；（2）求折痕EF的長(zhǎng)．23．（10分）根據(jù)等式和不等式的性質(zhì)，我們可以得到比較兩數(shù)大小的方法：（1）①如果a﹣b＜0，那么ab；②如果a﹣b＝0，那么ab；③如果a﹣b＞0，那么ab．（2）如（1）中這種比較大小的方法稱為“求差法比較大小”，請(qǐng)運(yùn)用這種方法嘗試解決下面的問(wèn)題：①若2a+2b﹣1＞3a+b，比較a，b的大?。虎诒容^3a2﹣2b+2b2與3a2+b2﹣1的大?。?4．（12分）[感知]：如圖1，AD平分∠BAC，∠B+∠C＝180°且∠B＝90°．求證：DB＝DC．[探究]：如圖2，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，求證：DB＝DC．[應(yīng)用]：如圖3，四邊形ABDC中，∠B＝45°，∠C＝135°，，求AB﹣AC的值．

2024-2025學(xué)年浙江省杭州市蕭山區(qū)高橋教育集團(tuán)八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、仔細(xì)選一選（本題有10個(gè)小題，每小題3分，共30分。下面每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是正確的．）1．（3分）下面所給的交通標(biāo)志中，軸對(duì)稱圖形是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的知識(shí)求解．【解答】解：A、是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；B、不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；C、不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；D、不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：A．2．（3分）在下列長(zhǎng)度的四根木棒中，能與4cm、9cm長(zhǎng)的兩根木棒釘成一個(gè)三角形的是（）A．4cm B．5cm C．7cm D．14cm【答案】C【分析】判定三條線段能否構(gòu)成三角形，只要兩條較短的線段長(zhǎng)度之和大于第三條線段的長(zhǎng)度即可判定這三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形．【解答】解：設(shè)三角形的第三邊為x，則9﹣4＜x＜4+9即5＜x＜13，∴當(dāng)x＝7時(shí)，能與4cm、9cm長(zhǎng)的兩根木棒釘成一個(gè)三角形，故選：C．3．（3分）已知實(shí)數(shù)a，b，若a＞b，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．a(chǎn)﹣5＞b﹣5 B．3+a＞b+3 C．＞ D．﹣3a＞﹣3b【答案】D【分析】根據(jù)不等式性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可．【解答】解：A、根據(jù)不等式性質(zhì)1，在不等式兩邊同時(shí)加上同一個(gè)數(shù)（或式），不等號(hào)的方向不變，在a＞b兩邊都加﹣5可得：a﹣5＞b﹣5，故A不符合題意；B、根據(jù)不等式性質(zhì)1，在不等式兩邊同時(shí)加上同一個(gè)數(shù)（或式），不等號(hào)的方向不變，在a＞b兩邊都加3可得：3+a＞b+3，故B不符合題意；C、根據(jù)不等式性質(zhì)2，在不等式兩邊同時(shí)除以同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變，在a＞b兩邊都乘以可得：，故C不符合題意；D、根據(jù)不等式性質(zhì)3，在不等式兩邊同時(shí)乘以同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變，在a＞b兩邊都乘以﹣3，可得：﹣3a＜﹣3b，故D符合題意；故選：D．4．（3分）根據(jù)等腰三角形的周長(zhǎng)為17cm，其中一邊長(zhǎng)為5cm，則該等腰三角形的底邊是（）A．7cm B．5cm或7cm C．6cm或5cm D．5cm【答案】B【分析】此題分為兩種情況：5cm是等腰三角形的底邊或5cm是等腰三角形的腰．然后進(jìn)一步根據(jù)三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行分析能否構(gòu)成三角形．【解答】解：當(dāng)5cm是等腰三角形的底邊時(shí)，則其腰長(zhǎng)是（17﹣5）÷2＝6（cm），能夠組成三角形；當(dāng)5cm是等腰三角形的腰時(shí)，則其底邊是17﹣5×2＝7（cm），能夠組成三角形．故該等腰三角形的底邊長(zhǎng)為：5cm或7cm．故選：B．5．（3分）如圖，圖中的兩個(gè)三角形是全等三角形，其中一些角和邊的大小如圖所示，那么x的值是（）A．30° B．45° C．50° D．85°【答案】C【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和，可以求得x的值．【解答】解：∵圖中的兩個(gè)三角形是全等三角形，∴第二個(gè)三角形中x是邊長(zhǎng)為3對(duì)應(yīng)的角的度數(shù)，∵180°﹣85°﹣45°＝50°，∴第一個(gè)三角形中邊長(zhǎng)為3對(duì)應(yīng)的角的度數(shù)是50°，∴x＝50°，故選：C．6．（3分）下列條件中，能構(gòu)成直角△ABC的是（）A．∠A＝∠B＝∠C B．∠A+∠C＝2∠B C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出三角形的最大角，由直角三角形的定義．即可判斷．【解答】解：A、由∠A＝∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，得到∠A＝∠B＝∠C＝60°，因此△ABC不是直角三角形，故A不符合題意；B、由∠A+∠C＝2∠B，∠A+∠B+∠C＝180°，求出∠B＝60°，得到∠A+∠C＝2∠B＝120°，不能證明△ABC是直角三角形，故B不符合題意；C、由∠B＝∠C＝∠A，∠A+∠B+∠C＝180°，得到∠A+∠A+∠A＝180°，求出∠A＝120°，則△ABC不是直角三角形，故C不符合題意；D、由∠A＝∠B＝∠C，得到∠B＝2∠A，∠C＝3∠A，又∠A+∠B+∠C＝180°，求出∠A＝30°，得到∠C＝90°，則△ABC是直角三角形，故D符合題意；故選：D．7．（3分）定理“等腰三角形的兩個(gè)底角相等”的逆定理是（）A．有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形 B．有兩個(gè)底角相等的三角形是等腰三角形 C．有兩個(gè)角不相等的三角形不是等腰三角形 D．不是等腰三角形的兩個(gè)角不相等【答案】A【分析】根據(jù)題意可以寫出原定理的逆定理，本題得以解決．【解答】解：定理“等腰三角形的兩個(gè)底角相等”的逆定理是有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形，故選：A．8．（3分）如果△ABC的三邊分別為m2﹣1，2m，m2+1，其中m為大于1的正整數(shù)，則（）A．△ABC是直角三角形，且斜邊為m2﹣1 B．△ABC是直角三角形，且斜邊為2m C．△ABC是直角三角形，且斜邊為m2+1 D．△ABC不是直角三角形【答案】C【分析】用三勾股定理的逆定理即可作出判斷．【解答】解：（m2﹣1）2+（2m）2＝m4+2m2+1＝（m2+1）2，故△ABC是直角三角形，m2+1是斜邊．故選：C．9．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∠ACB的平分線與∠ABC的外角的平分線交于E點(diǎn)，連接AE，則∠AEB的度數(shù)是（）A．50° B．45° C．40° D．35°【答案】B【分析】作EF⊥AC交CA的延長(zhǎng)線于F，EG⊥AB于G，EH⊥BC交CB的延長(zhǎng)線于H，根據(jù)角平分線的性質(zhì)和判定得到AE平分∠FAG，求出∠EAB的度數(shù)，根據(jù)角平分線的定義求出∠ABE的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算得到答案．【解答】解：作EF⊥AC交CA的延長(zhǎng)線于F，EG⊥AB于G，EH⊥BC交CB的延長(zhǎng)線于H，∵CE平分∠ACB，BE平分∠ABD，∴EF＝EH，EG＝EH，∴EF＝EG．又EF⊥AC，EG⊥AB，∴AE平分∠FAG，∵∠BAC＝30°，∴∠BAF＝150°，∴∠EAB＝75°，∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴∠ABC＝60°，∴∠ABH＝120°，又∵BE平分∠ABD，∴∠ABE＝60°，∴∠AEB＝180°﹣∠EAB﹣∠ABE＝45°．故選：B．10．（3分）如圖，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，按下列步驟作圖：①分別以點(diǎn)B，C為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M，N，作直線MN交AB于點(diǎn)D；②以C為圓心，CD長(zhǎng)為半徑畫弧交AB于點(diǎn)E．方方探究得到以下兩個(gè)結(jié)論：①△BCE是等腰△；②若AC＝6，BC＝8，則點(diǎn)E到AC的距離為，則（）A．結(jié)論①正確，結(jié)論②正確 B．結(jié)論①正確，結(jié)論②錯(cuò)誤 C．結(jié)論①錯(cuò)誤，結(jié)論②正確 D．結(jié)論①錯(cuò)誤，結(jié)論②錯(cuò)誤【答案】C【分析】①錯(cuò)誤，理由反證法判斷即可；②正確．求出AE，再利用平行線分線段成比例定理求解．【解答】解：①錯(cuò)誤．當(dāng)∠B＝30°時(shí)，E，A重合，△BCE明顯不是等腰三角形；②正確．理由：過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AC于點(diǎn)G．∵AC＝6，BC＝8，∠ACB＝90°，∴AB＝＝＝10，∴CH＝＝＝，∴AH＝＝＝，由作圖可知DA＝DC＝DB＝5，∵CE＝CD＝5，∴EH＝＝＝，∴AE＝AH＝EH＝﹣＝，∵S△ACE＝?AC?EG＝?AE?CH，∴EG＝，故②正確．故選：C．二、認(rèn)真填一填（本題有6個(gè)小題，每小題4分，共24分）11．（4分）“x的2倍與1的差不大于3”用不等式表示為2x﹣1≤3．【答案】2x﹣1≤3．【分析】根據(jù)“x的2倍與1的差不大于3”即可得出關(guān)于x的一元一次不等式，此題得解．【解答】解：依題意得：2x﹣1≤3．故答案為：2x﹣1≤3．12．（4分）若x＜y，則3x+1＜3y+1．（填“＜”或“＞”）【答案】＜．【分析】根據(jù)x＜y，應(yīng)用不等式的性質(zhì)，判斷出3x+1與3y+1的大小關(guān)系即可．【解答】解：∵x＜y，∴3x＜3y，∴3x+1＜3y+1．故答案為：＜．13．（4分）△ABC是等腰三角形，∠C＝100°，則∠A＝40°．【答案】40．【分析】根據(jù)等腰三角形兩底角相等，結(jié)合三角形內(nèi)角和為180°即可求解．【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，∠C＝100°，∴∠C是頂角，∴∠A＝（180°﹣100°）÷2＝40°．故答案為：40．14．（4分）在Rt△ABC中，AB＝5，AC＝4，則BC＝3或．【答案】3或．【分析】分兩種情況，①當(dāng)AB為斜邊時(shí)，②當(dāng)AB為直角邊時(shí)，分別由勾股定理求出BC的長(zhǎng)即可．【解答】解：分兩種情況：①當(dāng)AB為斜邊時(shí)，由勾股定理得：BC＝＝＝3；②當(dāng)AB為直角邊時(shí)，由勾股定理得：BC＝＝＝；綜上所述，BC的長(zhǎng)為3或，故答案為：3或．15．（4分）如圖，△ABC的外角∠ACD的平分線CP與內(nèi)角∠ABC平分線BP交于點(diǎn)P，若∠BPC＝40°，則∠CAP＝50°．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)外角與內(nèi)角性質(zhì)得出∠BAC的度數(shù)，再利用角平分線的性質(zhì)以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP＝∠FAP，即可得出答案．【解答】解：延長(zhǎng)BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，設(shè)∠PCD＝x°，∵CP平分∠ACD，∴∠ACP＝∠PCD＝x°，PM＝PN，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN，∴PF＝PM，∵∠BPC＝40°，∴∠ABP＝∠PBC＝∠PCD﹣∠BPC＝（x﹣40）°，∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝2x°﹣（x°﹣40°）﹣（x°﹣40°）＝80°，∴∠CAF＝100°，在Rt△PFA和Rt△PMA中，∵，∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL），∴∠FAP＝∠PAC＝50°．故答案為：50°．16．（4分）如圖，A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)順次在直線l上，AC＝a，BD＝b．以AC為底向下作等腰直角三角形ACE，以BD為底向上作等腰三角形BDF，且FB＝FD＝BD．當(dāng)a＝3，b＝6時(shí)，△AEC和△BFD的面積和是16.5．連接AF，DE，當(dāng)BC的長(zhǎng)度變化時(shí)，△ABF與△CDE的面積之差保持不變，則a與b需滿足的條件是．【答案】16.5；．【分析】過(guò)點(diǎn)E作EM⊥AD于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)F作FN⊥AD于點(diǎn)N，先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出，，再利用勾股定理求出，然后根據(jù)三角形面積公式計(jì)算△AEC和△BFD的面積和，同時(shí)表示出△ABF與△CDE的面積之差，然后根據(jù)“當(dāng)BC的長(zhǎng)度變化時(shí)，△ABF與△CDE的面積之差保持不變”建立等式，化簡(jiǎn)即可得．【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)E作EM⊥AD于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)F作FN⊥AD于點(diǎn)N，∵△ACE是等腰直角三角形，且AC＝a，∴，∵△BDF是等腰三角形，且BD＝b，∴，∵，∴，∴△AEC和△BFD是面積和是：，△ABF與△CDE的面積之差為：＝＝＝，∵當(dāng)BC的長(zhǎng)度變化時(shí)，△ABF與△CDE的面積之差保持不變，∴，∴，故答案為：16.5，．三、全面答一答（本題有7個(gè)小題，共66分）解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或推演步驟．如果覺(jué)得有的題目有點(diǎn)困難，你們把自己能寫出的解答寫出一部分也可以。17．（6分）如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高線．（1）CD＜AC．（填“＜”或“＞”）（2）AC+BC＞AB．（填“＜”或“＞”）（3）若點(diǎn)E是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)CE，則CD＜CE．（填“≤”或“≥”）【答案】（1）＜；（2）＞；（3）＜．【分析】（1）利用垂線段最短進(jìn)行分析作答；（2）利用三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行分析作答；（3）利用垂線段最短進(jìn)行分析作答．【解答】解：（1）∵CD是斜邊AB上的高線，∴CD⊥AB，∴CD＜AC．故答案為：＜；（2）由三角形的三邊關(guān)系得：AC+BC＞AB．故答案為：＞；（3）由（1）知，CD⊥AB，∵點(diǎn)E是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∴CD＜CE．故答案為：＜．18．（6分）如圖，在邊長(zhǎng)為1的小正方形所組成的網(wǎng)格上，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)都稱為“格點(diǎn)”，△ABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上．（1）直接判斷△ABC的形狀．（2）畫出△ABC關(guān)于直線MN的對(duì)稱圖形△A1B1C1．（3）在直線MN上作一點(diǎn)P，使得PA+PB最小，【答案】（1）△ABC為直角三角形；（2）（3）見解答．【分析】（1）利用勾股定理的逆定理可判斷△ABC為直角三角形；（2）利用網(wǎng)格特點(diǎn)和軸對(duì)稱的性質(zhì)畫出點(diǎn)A、B、C關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)即可；（3）連接AB1交直線MN于P點(diǎn)，由于PB＝PB1，則PA+PB＝AB1，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可判斷P點(diǎn)滿足條件．【解答】解：（1）∵AC2＝12+22＝5，AB2＝22+42＝20，BC2＝52＝25，∴AC2+AB2＝BC2，∴△ABC為直角三角形；（2）如圖，△A1B1C1為所作；（3）如圖，點(diǎn)P為所作．19．（6分）如圖，已知B，E，C，F(xiàn)在同一條直線上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．AC與DE交于點(diǎn)G，（1）求證△ABC≌△DEF；（2）若∠B＝50°，∠ACB＝60°，求∠EGC的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）∠EGC＝70°．【分析】（1）由BE＝CF，可得BC＝EF，證明△ABC≌△DEF（SSS）即可；（2）如圖，由（1）知，△ABC≌△DEF（SSS），則∠B＝∠DEF，AB∥DE，∠EGC＝∠A，由三角形內(nèi)角和定理可得∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝70°，進(jìn)而可求∠EGC的度數(shù)．【解答】（1）證明：∵BE＝CF，∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝EF，∵AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF，∴△ABC≌△DEF（SSS）；（2）解：如圖，由（1）知，△ABC≌△DEF（SSS），∴∠B＝∠DEF，∴AB∥DE，∴∠EGC＝∠A，∵∠B＝50°，∠ACB＝60°，∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝70°，∴∠EGC＝70°．20．（8分）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)在CD上，且∠AEC＝∠BFD＝90°，AC＝BD，CF＝DE．（1）求證：Rt△AEC≌Rt△BFD．（2）連結(jié)AF，若AC＝5，AE＝3，CF＝1，求AF的長(zhǎng)度．【答案】（1）證明過(guò)程見解答；（2）AF的長(zhǎng)度是3．【分析】（1）先由CF＝DE，推導(dǎo)出CE＝DF，即可根據(jù)直角三角形全等的判定定理“HL”證明Rt△AEC≌Rt△BFD；（2）先由勾股定理求得CE＝4，則EF＝CE﹣CF＝3，再由勾股定理求出AF的長(zhǎng)度即可．【解答】（1）證明：∵CF＝DE，∴CF+EF＝DE+EF，∴CE＝DF，在Rt△AEC和Rt△BFD中，，∴Rt△AEC≌Rt△BFD（HL）．（2）解：∠AEC＝90°，AC＝5，AE＝3，∴CE＝＝＝4，∵CF＝1，∴EF＝CE﹣CF＝4﹣1＝3，∴AF＝＝＝3，∴AF的長(zhǎng)度是3．21．（8分）如圖，C為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，E重合），在AE同側(cè)分別作等邊△ABC和等邊△CDE，AD與BE交于點(diǎn)O，AD與BC交于點(diǎn)P，BE與CD交于點(diǎn)Q，連結(jié)PQ．求證：（1）AD＝BE；（2）△CPQ為等邊三角形．【答案】（1）（2）見解析．【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)證明即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和等邊三角形的判定證明即可．【解答】證明：（1）∵△ABC和△CDE都是等邊三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，（2）∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD＝∠CBE，又∵∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠BCD＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠ACP＝∠BCQ＝60°，在△ACP和△BCQ中，∠ACP＝∠BCQ，∠CAP＝∠CBQ，AC＝BC，∴△ACP≌△BCQ（AAS），∴AP＝BQ，CP＝CQ，又∵∠PCQ＝60°，∴△CPQ為等邊三角形．22．（10分）如圖，長(zhǎng)方形紙片ABCD的長(zhǎng)AD＝9cm，寬AB＝3cm，將它折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合．（注：該長(zhǎng)方形的性質(zhì)：兩組對(duì)邊平行且相等，每個(gè)內(nèi)角都是90°）（1）求證：△BEF是等腰三角形；（2）求折痕EF的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見解答；（2）折痕EF的長(zhǎng)為cm．【分析】（1）由BC∥AD得∠BFE＝∠DEF，由折疊得∠BEF＝∠DEF，則∠BFE＝∠BEF，所以BE＝BF，則△BEF是等腰三角形；（2）作EH⊥BF于點(diǎn)H，由∠A＝90°，AD＝9cm，AB＝3cm，BE＝DE，得AB2+AE2＝BE2，且AE＝9﹣DE＝9﹣BE，則32+（9﹣BE）2＝BE2，求得BE＝5，則BE＝BF＝5cm，AE＝4cm，所以EH＝AB＝3cm，BH＝AE＝4cm，則FH＝1cm，求得EF＝＝cm．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是長(zhǎng)方形，∴BC∥AD，∴∠BFE＝∠DEF，由折疊得∠BEF＝∠DEF，∴∠BFE＝∠BEF，∴BE＝BF，∴△BEF是等腰三角形．（2）解：作EH⊥BF于點(diǎn)H，則∠BHE＝∠CHE＝90°，∵∠A＝90°，AD＝9cm，AB＝3cm，BE＝DE，∴AB2+AE2＝BE2，且AE＝9﹣DE＝9﹣BE，∴32+（9﹣BE）2＝BE2，解得BE＝5，∴BE＝BF＝5cm，AE＝9﹣5＝4（cm），∵AD∥BC，AB∥EH，∴EH＝AB＝3cm，BH＝AE＝4cm，∴FH＝BF﹣BH＝5﹣4＝1（cm），∴EF＝＝＝（cm），∴折痕EF的長(zhǎng)為cm．23．（10分）根據(jù)等式和不等式的性質(zhì)，我們可以得到比較兩數(shù)大小的方法：（1）①如果a﹣b＜0，那么a＜b；②如果a﹣b＝0，那么a＝b；③如果a﹣b＞0，那么a＞b．（2）如（1）中這種比較大小的方法稱為“求差法比較大小”，請(qǐng)運(yùn)用這種方法嘗試解決下面的問(wèn)題：①若2a+2b﹣1＞3a+b，比較a，b的大?。虎诒容^3a2﹣2b+2b2與3a2+b2﹣1的大?。敬鸢浮浚?）①＜；②＝；③＞；