微積分 第3版 課件 6.5 定積分的應(yīng)用

6.5

定積分的應(yīng)用

定積分在科學(xué)技術(shù)的各個(gè)領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。通常用定積分解決的問題是求非均勻分布的整體量，例如面積、體積、成本、利潤(rùn)等?！拔⒃?元素法）”是定積分應(yīng)用的基本方法，其核心思想是在每個(gè)微小的局部把函數(shù)看作常數(shù)。什么量可以用定積分表示出來?(1)U是一個(gè)與變量x的變化區(qū)間[a,b]有關(guān)的量;則可以考慮用定積分來表達(dá)這個(gè)量U.(2)U對(duì)于區(qū)間[a,b]具有可加性.就是說,如果把區(qū)間[a,b]分成許多部分區(qū)間,(3)部分量

的近似值可表示為當(dāng)所求量U符合下列條件：則U相應(yīng)地分成許多部分量,而U等于所有部分量之和.微元法的一般步驟：這個(gè)方法通常稱為微元法(元素法).(1)根據(jù)問題的具體情況,選取一個(gè)變量例如

x(2)任取一小區(qū)間并記為求出相應(yīng)于這小區(qū)間的部分量

的近似值dU,并將其表示為(3)以所求量U的元素

為被積表達(dá)式,在區(qū)間[a,b]上作定積分,得即為所求量U的積分表達(dá)式.為積分變量,并確定它的變化區(qū)間[a,b];這個(gè)小區(qū)間上所對(duì)應(yīng)的小曲邊梯形面積面積微元得

曲邊梯形面積的積分式也可以用微元法

建立如下.地等于長(zhǎng)為f(x)、寬為dx的小矩形面積,故有近似它對(duì)應(yīng)的面積元素dA為6.5.1平面圖形的面積在[a,b]上任取一區(qū)間

設(shè)平面圖形是由兩條連續(xù)曲線y=f(x)，y=g(x)（其中

）以及直線x=a,x=b

所圍成，求此平面圖形的面積.和直線所圍成的區(qū)域的面積A.的面積元素dA為它對(duì)應(yīng)求由曲線小區(qū)間在區(qū)間[c,d]上任取一個(gè)解兩曲線的交點(diǎn)選

x為積分變量例

6.26

求由曲線和所圍成的圖形面積.面積元素解兩曲線的交點(diǎn)選

y為積分變量例

6.27

求由

和

所圍成的圖形的面積.

所求面積解畫草圖,求兩曲線交點(diǎn)的坐標(biāo)以便解方程組:交點(diǎn)面積元素選

為積分變量,?確定積分限,練習(xí)旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形繞這平面內(nèi)一條圓柱圓錐圓臺(tái)6.5.2體積問題1.旋轉(zhuǎn)體的體積直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體.這直線稱為旋轉(zhuǎn)軸．旋轉(zhuǎn)而成的薄片的體積元素旋轉(zhuǎn)體的體積為如果旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線直線及

x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體,求體積.取積分變量為x,在[a,b]上任取小區(qū)間[x,x+dx],取以dx為底的小曲邊梯形繞x軸解這個(gè)旋轉(zhuǎn)橢球體可以看成是由上半橢圓例6.28

求由橢圓圍成的圖形繞x軸

旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.與x圍成的圖形繞

x軸旋轉(zhuǎn)而成.所求體積為解兩曲線的交點(diǎn)為繞x軸旋轉(zhuǎn)所得體積x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積.練習(xí)求拋物線所圍成圖形繞解體積元素取積分變量為x,oxy練習(xí)2.已知平行截面面積的立體的體積立體體積A(x)表示過點(diǎn)x且垂直于x軸的截面面積，A(x)為x的已知連續(xù)函數(shù).如果一個(gè)立體介于過

而垂直于x軸的兩平面之間，體積元素解取坐標(biāo)系如圖底圓方程例6.29一平面經(jīng)過半徑為R的圓柱體的底圓中心,并與底面交成角計(jì)算這平面截圓柱體所得立體的體積.垂直于x軸的截面為直角三角