2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)課時素養(yǎng)評價第6章冪函數(shù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)6.2.1指數(shù)函數(shù)的概念圖象和性質(zhì)含解析蘇教版必修第一冊

PAGE課時素養(yǎng)評價二十八指數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)(15分鐘30分)1.(2024·邢臺高一檢測)設(shè)y1=40.9,y2=80.48,y3=QUOTE,則 ()A.y1>y2>y3 B.y1>y3>y2C.y2>y1>y3 D.y3>y1>y2【解析】選B.y1=40.9=21.8,y2=80.48=21.44,y3=QUOTE=21.5,因為y=2x是增函數(shù),所以y1>y3>y2.2.若函數(shù)f(x)=QUOTE·ax是指數(shù)函數(shù),則fQUOTE的值為 ()A.2 B.2QUOTE C.-2QUOTE D.-2【解析】選B.因為函數(shù)f(x)=QUOTE·ax是指數(shù)函數(shù),所以QUOTEa-3=1,a>0,a≠1,解得a=8,所以f(x)=8x,所以fQUOTE=QUOTE=2QUOTE.3.若f(x)=(2a-1)x是增函數(shù),那么a的取值范圍為 ()A.a<QUOTE B.QUOTE<a<1C.a>1 D.a≥1【解析】選C.因為f(x)=(2a-1)x是增函數(shù),所以2a-1>1,解得a>1.4.已知函數(shù)f(x)=QUOTE+2,則f(1)與f(-1)的大小關(guān)系是 ()A.f(1)>f(-1) B.f(1)<f(-1)C.f(1)=f(-1) D.不確定【解析】選B.因為f(x)=QUOTE+2是減函數(shù),所以f(1)<f(-1).5.已知函數(shù)f(x)滿意f(x)=QUOTE則f(-7.5)的值為________.

【解析】由題意,得f(-7.5)=f(-5.5)=f(-3.5)=f(-1.5)=f(0.5)=20.5=QUOTE.答案:QUOTE6.求不等式a4x+5>a2x-1(a>0且a≠1)中x的取值范圍.【解析】對于a4x+5>a2x-1(a>0,且a≠1),當a>1時,有4x+5>2x-1,解得x>-3;當0<a<1時,有4x+5<2x-1,解得x<-3.故當a>1時,x的取值范圍為{x|x>-3};當0<a<1時,x的取值范圍為{x|x<-3}.(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分,共20分)1.設(shè)x>0,且1<bx<ax,則 ()A.0<b<a<1 B.0<a<b<1C.1<b<a D.1<a<b【解析】選C.因為1<bx,所以b0<bx,因為x>0,所以b>1,因為bx<ax,所以QUOTE>1,因為x>0,所以QUOTE>1?a>b,所以1<b<a.2.函數(shù)f(x)=QUOTE的定義域為 ()A.(-∞,0) B.[0,+∞)C.[2,+∞) D.(-∞,2)【解析】選C.由x-2≥0,得x≥2.3.函數(shù)y=QUOTE的值域是 ()A.(-∞,0) B.(0,1]C.[1,+∞) D.(-∞,1]【解析】選B.由QUOTE≥0且y=QUOTE是減函數(shù),知0<y=QUOTE≤QUOTE=1.4.(2024·衡水高一檢測)設(shè)f(x)是定義在實數(shù)集R上的函數(shù),滿意條件:y=f(x+1)是偶函數(shù),且當x≥1時,f(x)=5x,則fQUOTE,fQUOTE,fQUOTE的大小關(guān)系是()A.fQUOTE<fQUOTE<fQUOTEB.fQUOTE<fQUOTE<fQUOTEC.fQUOTE<fQUOTE<fQUOTED.fQUOTE<fQUOTE<fQUOTE【解析】選D.因為y=f(x+1)是偶函數(shù),所以y=f(x+1)的對稱軸為x=0,所以y=f(x)的對稱軸為x=1.又x≥1時,f(x)=5x,所以f(x)=5x在[1,+∞)上是增函數(shù),所以f(x)在(-∞,1]上是減函數(shù),因為fQUOTE=fQUOTE,且QUOTE>QUOTE>QUOTE,所以fQUOTE<fQUOTE<fQUOTE,即fQUOTE<fQUOTE<fQUOTE.二、多選題(每小題5分,共10分,全部選對得5分,選對但不全的得3分,有選錯的得0分)5.以x為自變量的四個函數(shù)中,是指數(shù)函數(shù)的為 ()A.y=(e-1)x B.y=(1-e)xC.y=3x+1 D.y=πx【解析】選AD.由指數(shù)函數(shù)的定義可知選A,D.6.已知c<0,則下列不等式中錯誤的是 ()A.c>2c B.c>QUOTEC.2c>QUOTE D.2c<QUOTE【解析】選ABC.c<0,所以QUOTE>1,0<2c<1,所以QUOTE>2c.【補償訓(xùn)練】設(shè)f(x)=QUOTE,x∈R,則f(x)是 ()A.奇函數(shù)且在(-∞,0)上是增函數(shù)B.偶函數(shù)且在(-∞,0)上是增函數(shù)C.奇函數(shù)且在(0,+∞)上是減函數(shù)D.偶函數(shù)且在(0,+∞)上是減函數(shù)【解析】選BD.依題意,得f(-x)=QUOTE=QUOTE=f(x),所以f(x)是偶函數(shù).當x>0時,f(x)=QUOTE=QUOTE,該指數(shù)函數(shù)是減函數(shù);當x<0時,f(x)=QUOTE=QUOTE=2x,該指數(shù)函數(shù)是增函數(shù).三、填空題(每小題5分,共10分)7.已知函數(shù)f(x)=a-x(a>0且a≠1),且f(-2)>f(-3),則a的取值范圍是________.

【解析】由題意可得,函數(shù)f(x)=a-x=QUOTE(a>0且a≠1)在R上是增函數(shù),故QUOTE>1,解得0<a<1.答案:(0,1)8.若函數(shù)y=ax(a>0,a≠1)在區(qū)間[1,2]上的最大值和最小值之和為12,則實數(shù)a=________.

【解析】無論函數(shù)y=ax是增函數(shù),還是減函數(shù),最大值和最小值的和總為a+a2=12,解得a=3或a=-4(舍去).答案:3【補償訓(xùn)練】(2024·阜陽高一檢測)已知函數(shù)y=QUOTE在[-2,-1]上的最小值是m,最大值是n,則m+n的值為________.

【解析】因為y=QUOTE在[-2,-1]上為減函數(shù),所以m=QUOTE=3,n=QUOTE=9,所以m+n=12.答案:12四、解答題(每小題10分,共20分)9.已知函數(shù)f(x)=ax-1(x≥0).其中a>0且a≠1.(1)若f(x)的圖象經(jīng)過點QUOTE,求a的值.(2)求函數(shù)y=f(x)(x≥0)的值域.【解析】(1)函數(shù)圖象過點QUOTE,所以a2-1=QUOTE,則a=QUOTE.(2)f(x)=ax-1(x≥0),由x≥0得x-1≥-1,當0<a<1時,ax-1≤a-1,所以f(x)的值域為(0,a-1];當a>1時,ax-1≥a-1,所以f(x)的值域為[a-1,+∞).10.已知指數(shù)函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點P(3,8),且函數(shù)g(x)的圖象與f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱.(1)求函數(shù)g(x)的解析式.(2)若g(x2-3x+1)>g(x2+2x-5),求x的取值范圍.【解析】(1)設(shè)指數(shù)函數(shù)為f(x)=ax(a>0且a≠1),因為指數(shù)函數(shù)f(x)的圖象過點(3,8),所以8=a3,所以a=2,所求指數(shù)函數(shù)為f(x)=2x.因為函數(shù)g(x)的圖象與f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱,所以g(x)=2-x.(2)由(1)得g(x)為減函數(shù),因為g(2x2-3x+1)>g(x2+2x-5),所以2x2-3x+1<x2+2x-5,即x2-5x+6<0,解得x∈(2,3),所以x的取值范圍為(2,3).1.若函數(shù)f(x)=ax(a>0,a≠1)在[-1,2]上的最大值為4,最小值為m,且函數(shù)g(x)=(1-4m)x2在[0,+∞)上是增函數(shù),則a=________.

【解析】當a>1時,有a2=4,a-1=m,所以a=2,m=QUOTE.此時g(x)=-x2在[0,+∞)上是減函數(shù),不合題意.當0<a<1時,有a-1=4,a2=m,所以a=QUOTE,m=QUOTE.檢驗知符合題意.答案:QUOTE2.已知函數(shù)f(x)=b·ax(a,b為常數(shù)且a>0,a≠1)的圖象經(jīng)過點A(1,8),B(3,32).(1)試求a,b的值.(2)若不等式QUOTE+QUOTE-m≥0在x∈(-∞,1]時恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.【解析】(1)因為函數(shù)f(x)=b·ax的圖象經(jīng)過點A(1,8),B(3,32),所以QUOTE解得a=2,b=4.(2)設(shè)g(x)=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE,y=g(x)在R上是減函數(shù),所以當x≤1時,g(x)min=g(1)=QUOTE.若不等式QUOTE+QUOTE-m≥0在x∈(-∞,1]時恒成立,即m≤QUOTE.【補償訓(xùn)練】(2024·杭州高一檢測)已知函數(shù)f(x)=QUOTE(a>0,a≠1)是定義在R上的奇函數(shù).(1)求a的值;(2)求函數(shù)f(x)的值域;(3)當x∈(0,1]時,t·f(x)≥2x-2恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.【解析】(1)因為函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),所以f(0)=QUOTE=0,解得a=2.(2)由(1)得,f(x)=QUOTE=QUOTE=1-QUOTE,又因為2x>0,所以2x+1>1,所以0<QUOTE<2,所以-1<1-QUOTE<1,所