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PAGE1.3導(dǎo)數(shù)在探討函數(shù)中的應(yīng)用1.3.1內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)1.結(jié)合實(shí)例,直觀探究并駕馭函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系;2.能利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性,并能利用單調(diào)性證明一些簡(jiǎn)潔的不等式;3.能利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次).加強(qiáng)直觀探究提升邏輯推理強(qiáng)化數(shù)學(xué)運(yùn)算授課提示:對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第11頁[基礎(chǔ)相識(shí)]學(xué)問點(diǎn)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)eq\a\vs4\al(預(yù)習(xí)教材P22-26,思索并完成以下問題)1.已知函數(shù)y1=eq\f(1,x),y2=2x,y3=x2的圖象如圖所示.結(jié)合圖象寫出以上三個(gè)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.提示:函數(shù)y1=eq\f(1,x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,0)和(0,+∞),函數(shù)y2=2x的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,+∞),函數(shù)y3=x2的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,0).2.推斷以上三個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在其單調(diào)區(qū)間上的正、負(fù).提示:y1′=-eq\f(1,x2)在(-∞,0)及(0,+∞)上均為負(fù)值;y2′=2xln2在(-∞,+∞)上為正值;y3′=2x在(-∞,0)上為負(fù)值,在(0,+∞)上為正值.學(xué)問梳理(1)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)正負(fù)的關(guān)系定義在區(qū)間(a,b)內(nèi)的函數(shù)y=f(x):f′(x)的正負(fù)f(x)的單調(diào)性f′(x)>0單調(diào)遞增f′(x)<0單調(diào)遞減提示:假如函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上恒有f′(x)=0,那么函數(shù)y=f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)是常數(shù)函數(shù).(2)函數(shù)圖象的改變趨勢(shì)與導(dǎo)數(shù)值大小的關(guān)系一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x),在區(qū)間(a,b)上:導(dǎo)數(shù)的肯定值函數(shù)值的改變函數(shù)的圖象越大快比較“陡峭”(向上或向下)越小慢比較“平緩”(向上或向下)提示:導(dǎo)數(shù)的肯定值越大,越陡峭.思索:1.若函數(shù)f(x)在定義域上都有f′(x)<0,則函數(shù)f(x)在定義域上肯定單調(diào)遞減嗎?提示:不肯定,如函數(shù)y=eq\f(1,x)的導(dǎo)函數(shù)y′=-eq\f(1,x2)<0恒成立,但是函數(shù)y=eq\f(1,x)的圖象不是恒下降的.2.已知函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增,則f′(x)>0恒成立嗎?提示:不肯定,如函數(shù)y=x3在[-1,3]上單調(diào)遞增,但是y′=3x2在x=0處的值為0.3.函數(shù)在區(qū)間(a,b)上的導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系是怎樣的?提示:(1)若在某區(qū)間上有有限個(gè)點(diǎn)使f′(x)=0,其余的點(diǎn)恒有f′(x)>0,則f(x)仍為增函數(shù)(減函數(shù)的情形完全類似).(2)f(x)為增函數(shù)的充要條件是對(duì)隨意的x∈(a,b),都有f′(x)≥0,且在(a,b)內(nèi)的任一非空子區(qū)間上f′(x)不恒為0.4.利用導(dǎo)數(shù)解決單調(diào)性問題需留意哪些問題?提示:(1)定義域優(yōu)先的原則:解決問題的過程只能在定義域內(nèi),通過探討導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來推斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(2)留意“臨界點(diǎn)”和“間斷點(diǎn)”:在對(duì)函數(shù)劃分單調(diào)區(qū)間時(shí),除了必需確定使導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)外,還要留意在定義域內(nèi)的間斷點(diǎn).[自我檢測(cè)]1.設(shè)y=x-lnx,則此函數(shù)在區(qū)間(0,1)內(nèi)為()A.單調(diào)遞增 B.有增有減C.單調(diào)遞減 D.不確定解析:y′=1-eq\f(1,x),當(dāng)x∈(0,1)時(shí),y′<0,則函數(shù)y=x-lnx在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減.故選C.答案:C2.已知e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),函數(shù)y=xex的單調(diào)遞增區(qū)間是()A.[-1,+∞) B.(-∞,-1]C.[1,+∞) D.(-∞,1]解析:f(x)=xex?f′(x)=ex(x+1),令f′(x)>0?x>-1,所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[-1,+∞).故選A.答案:A3.若f(x)=-eq\f(1,2)x2+blnx在(1,+∞)上是減函數(shù),則b的取值范圍是________.解析:由題,則f′(x)=eq\f(-x2+b,x)≤0在x∈(1,+∞)上恒成立,即b≤x2在x∈(1,+∞)上恒成立.因?yàn)閤2>1,所以b≤1.答案:(-∞,1]授課提示:對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第11頁探究一導(dǎo)數(shù)與函數(shù)圖象的關(guān)系[例1](1)函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖象如圖所示,則函數(shù)y=f(x)的圖象可能是()(2)已知y=x·f′(x)的圖象如圖所示,則f(x)的圖象可能是()(3)函數(shù)y=f(x)在定義域eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(3,2),3))內(nèi)可導(dǎo),其圖象如圖,記y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)為y=f′(x),則不等式f′(x)<0的解集為________.[解析](1)由當(dāng)f′(x)<0時(shí),函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,當(dāng)f′(x)>0時(shí),函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,則由導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖象可知:f(x)先單調(diào)遞減,再單調(diào)遞增,然后單調(diào)遞減,最終單調(diào)遞增,解除A,C,且f′(0)>0,所以在x=0旁邊函數(shù)應(yīng)單調(diào)遞增,解除B.(2)當(dāng)x>0時(shí),y=x·f′(x)在[0,b]上恒大于等于零?f′(x)≥0在[0,b]上恒成立,故f(x)在[0,b]上遞增,當(dāng)x≤0時(shí),f′(x)≤0在(-∞,0]上恒成立,故f(x)在(-∞,0]上遞減,只有D滿意.(3)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,3),1))和區(qū)間(2,3)上單調(diào)遞減,所以在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,3),1))和區(qū)間(2,3)上,y=f′(x)<0,所以f′(x)<0的解集為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,3),1))∪(2,3).[答案](1)D(2)D(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,3),1))∪(2,3)延長(zhǎng)探究1.若本例(3)中的條件不變,試求不等式f′(x)>0的解集.解析:依據(jù)題目中的圖象,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(3,2),-\f(1,3)))和區(qū)間(1,2)上為增函數(shù),所以在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(3,2),-\f(1,3)))和區(qū)間(1,2)上,y=f′(x)>0,所以f′(x)>0的解集為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(3,2),-\f(1,3)))∪(1,2).2.若本例(3)中的條件不變,試求不等式xf′(x)>0的解集.解析:由例(3)及延長(zhǎng)探究1以及已知條件可知,當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,3),0))時(shí),函數(shù)為減函數(shù),則f′(x)<0;當(dāng)x∈(1,2)時(shí),函數(shù)為增函數(shù),則f′(x)>0.綜上可知:xf′(x)>0的解集為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,3),0))∪(1,2).方法技巧函數(shù)與導(dǎo)數(shù)圖象間的關(guān)系推斷函數(shù)與導(dǎo)數(shù)圖象間的對(duì)應(yīng)關(guān)系時(shí),首先要弄清所給圖象是原函數(shù)的圖象還是導(dǎo)函數(shù)的圖象,其次再留意以下兩個(gè)方面:(1)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)的關(guān)系:在某個(gè)區(qū)間(a,b)內(nèi),若f′(x)>0,則y=f(x)在(a,b)上單調(diào)遞增;假如f′(x)<0,則y=f(x)在這個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞減;若恒有f′(x)=0,則y=f(x)是常數(shù)函數(shù),不具有單調(diào)性.(2)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)圖象的關(guān)系函數(shù)值增加得越來越快函數(shù)值增加得越來越慢f′(x)>0且越來越大f′(x)>0且越來越小函數(shù)值削減得越來越快函數(shù)值削減得越來越慢f′(x)<0且越來越小肯定值越來越大f′(x)<0且越來越大肯定值越來越小跟蹤探究1.設(shè)函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)可導(dǎo),y=f(x)的圖象如圖所示,則導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖象可能為()解析:由函數(shù)的圖象知:當(dāng)x<0時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增,導(dǎo)函數(shù)應(yīng)始終為正;當(dāng)x>0時(shí),函數(shù)先增后減再增,導(dǎo)函數(shù)應(yīng)先正后負(fù)再正,比照選項(xiàng),只有D正確.答案:D探究二利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間[例2]求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(1)f(x)=x3-3x;(2)f(x)=lnx-x;(3)f(x)=eq\f(ex,x-2).[解析](1)函數(shù)的定義域?yàn)镽,f(x)=x3-3x,所以f′(x)=3x2-3,解f′(x)>0,即3x2-3>0,得x>1或x<-1,解f′(x)<0,即3x2-3<0,得-1<x<1,所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-1)和(1,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,1).(2)函數(shù)的定義域?yàn)?0,+∞),f(x)=lnx-x,所以f′(x)=eq\f(1,x)-1,解f′(x)>0,即eq\f(1,x)-1>0,得0<x<1,解f′(x)<0,即eq\f(1,x)-1<0,得x>1,所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+∞).(3)函數(shù)的定義域?yàn)?-∞,2)∪(2,+∞),f(x)=eq\f(ex,x-2),所以f′(x)=eq\f(exx-2-ex,x-22)=eq\f(exx-3,x-22),解f′(x)>0,得x>3,解f′(x)<0,得x<2或2<x<3.所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(3,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,2)和(2,3).方法技巧(1)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟(2)留意事項(xiàng)①求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,必需在函數(shù)的定義域內(nèi)進(jìn)行.②含有參數(shù)的函數(shù)求單調(diào)區(qū)間時(shí)應(yīng)留意分類探討.③函數(shù)的單調(diào)區(qū)間之間只能用“和”或“,”隔開,不能用符號(hào)“∪”連接.跟蹤探究2.已知函數(shù)f(x)=ax3-3x2+1-eq\f(3,a),探討函數(shù)f(x)的單調(diào)性.解析:由題設(shè)知a≠0.f′(x)=3ax2-6x=3axeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(2,a))),令f′(x)=0,得x1=0,x2=eq\f(2,a).當(dāng)a>0時(shí),若x∈(-∞,0),則f′(x)>0.所以f(x)在區(qū)間(-∞,0)上為增函數(shù).若x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(2,a))),則f′(x)<0,所以f(x)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(2,a)))上為減函數(shù).若x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a),+∞)),則f′(x)>0,所以f(x)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a),+∞))上是增函數(shù).當(dāng)a<0時(shí),若x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-∞,\f(2,a))),則f′(x)<0.所以f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-∞,\f(2,a)))上是減函數(shù).若x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a),0)),則f′(x)>0.所以f(x)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a),0))上為增函數(shù).若x∈(0,+∞),則f′(x)<0.所以f(x)在區(qū)間(0,+∞)上為減函數(shù).探究三已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍[例3]已知函數(shù)f(x)=x2+eq\f(a,x)(x≠0,常數(shù)a∈R),若函數(shù)f(x)在x∈[2,+∞)上是單調(diào)遞增的,求a的取值范圍.[解析]f′(x)=2x-eq\f(a,x2)=eq\f(2x3-a,x2).要使f(x)在[2,+∞)上是單調(diào)遞增的,則f′(x)≥0在x∈[2,+∞)時(shí)恒成立,即eq\f(2x3-a,x2)≥0在x∈[2,+∞)時(shí)恒成立.因?yàn)閤2>0,所以2x3-a≥0,所以a≤2x3在x∈[2,+∞)上恒成立.所以a≤(2x3)min.因?yàn)閤∈[2,+∞),y=2x3是單調(diào)遞增的,所以(2x3)min=16,所以a≤16.當(dāng)a=16時(shí),f′(x)=eq\f(2x3-16,x2)≥0(x∈[2,+∞))有且只有f′(2)=0,所以a的取值范圍是(-∞,16].延長(zhǎng)探究若將本例中的“x∈[2,+∞)”改為“x∈(-∞,2]”,且f(x)在(-∞,2]上是單調(diào)遞減的,則a的取值范圍是什么?解析:由例3可知,要使f(x)在(-∞,2]上單調(diào)遞減,只需f′(x)≤0在x∈(-∞,2]上恒成立.即eq\f(2x3-a,x2)≤0在(-∞,2]上恒成立.因?yàn)閤2>0,所以2x3-a≤0,即a≥2x3.因?yàn)閤∈(-∞,2]時(shí),y=2x3是單調(diào)遞增的.所以(2x3)max=2×23=16.所以a≥16.當(dāng)a=16時(shí),f′(x)=eq\f(2x3-8,x2)≥0(x∈(-∞,2])有且只有f′(2)=0.因此,實(shí)數(shù)a的取值范圍是[16,+∞).方法技巧(1)由函數(shù)y=f(x),x∈[a,b]的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的步驟①求導(dǎo)數(shù)y=f′(x).②轉(zhuǎn)化為f′(x)≥0或f′(x)≤0對(duì)x∈[a,b]恒成立問題.③由不等式恒成立求參數(shù)范圍.④驗(yàn)證等號(hào)是否成立.(2)恒成立問題的重要思路①m≥f(x)恒成立?m≥f(x)max.②m≤f(x)恒成立?m≤f(x)min.跟蹤探究3.若函數(shù)f(x)=2x2+lnx-ax在定義域上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解析:函數(shù)f(x)=2x2+lnx-ax在定義域上單調(diào)遞增,由f′(x)=4x+eq\f(1,x)-a≥0在(0,+∞)上恒成立,即a≤4x+eq\f(1,x)(x>0)恒成立.令g(x)=4x+eq\f(1,x),則a≤g(x)min.g(x)=4x+eq\f(1,x)=4eq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,,))x+eq\f(\f(1,4),x)eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(,,,,))≥4×1=4,當(dāng)且僅當(dāng)x=eq\f(1,2)時(shí)取等號(hào),故a≤4.當(dāng)a=4時(shí),f′(x)=4x+eq\f(1,x)-4=eq\f(4x2-4x+1,x)=eq\f(2x-12,x)≥0恒成立,滿意題意,所以a≤4,故a的取值范圍是(-∞,4].授課提示:對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第13頁[課后小結(jié)](1)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)反映了函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性,導(dǎo)數(shù)肯定值的大小反映了函數(shù)在某個(gè)區(qū)間或某點(diǎn)旁邊改變的快慢程度.(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間的一般步驟:①確定函數(shù)f(x)的定義域;②求導(dǎo)數(shù)
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