2024-2025學(xué)年湖北省“金太陽聯(lián)考”高二（上）期中考試數(shù)學(xué)試題（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年湖北省“金太陽聯(lián)考”高二（上）期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.(8+i)(1?i)=(

)A.7?9i B.9?9i C.7?7i D.9?7i2.已知角α的終邊不在坐標(biāo)軸上，且2sin2α=sinα，則A.?78 B.78 C.?783.一艘輪船北偏西65°方向上有一燈塔，此時二者之間的距離為16海里，該輪船以20海里/時的速度沿南偏西55°的方向直線航行，行駛半小時后，輪船與燈塔之間的距離為(

)A.18海里 B.16海里 C.14海里 D.12海里4.已知某圓臺的上、下底面半徑分別為2和5，母線長為5，則該圓臺的體積為(

)A.63π B.39π C.52π D.42π5.設(shè)函數(shù)f(x)=ax?2,x?1lnx,x>1.若f(x)在R上單調(diào)遞增，則aA.(0,+∞) B.(0,2] C.(?∞,2] D.(0,3]6.已知點P(2,1)，Q(1,0)，H在直線x?y+1=0上，則|HP|+|HQ|的最小值為(

)A.23 B.11 C.7.金秋十月，某校舉行運動會，甲、乙兩名同學(xué)均從跳高、跳遠、100米跑和200米跑這四個項目中選擇兩個項目參加.設(shè)事件A=“甲、乙兩人所選項目恰有一個相同”，事件B=“甲、乙兩人所選項目完全不同”，事件C=“甲、乙兩人所選項目完全相同”，事件D=“甲、乙兩人均未選擇100米跑項目”，則(

)A.A與C是對立事件 B.C與D相互獨立 C.A與D相互獨立 D.B與D不互斥8.已知A(2,0)，B(10,0)，若直線tx?4y+2=0上存在點P，使得PA?PB=0，則t的取值范圍為A.[?3,215] B.[?215.3]二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知圓C:(x?a)2+(y?1)2=4aA.a=1

B.點(1,4)在圓C的外部

C.若直線mx+y?2=0平分圓C的周長，則m=?1

D.圓(x?9)2+(y+510.已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分圖象如圖所示，其中M(1,0)，N(5,0)，則A.ω=π4 B.φ=?π4

C.f(x)在[6,8]上單調(diào)遞增 D.f(x)在11.若E?平面γ，F(xiàn)∈平面γ，EF⊥平面γ，則稱點F為點E在平面γ內(nèi)的正投影，記為F=tγ(E).如圖，在直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，BC=2AD，AD⊥AB，P，N分別為AA1，CC1的中點，DQ=3QD1A.若A1N=2A1Q?2A1P+μA1B，則μ=1

B.存在點H，使得H三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.直線l1:mx+y?2m?1=0與直線l2:(2m+1)x+y=0平行，則m=

，l113.甲、乙兩人從九寨溝、峨眉山和青城山這三個景點中各選擇其中一個景點游玩，已知甲、乙兩人選擇三個景點游玩的概率分別是13，16，12和14，14，114.已知球O是棱長為6的正四面體ABCD的內(nèi)切球，MN是球O的一條直徑，H為該正四面體表面上的動點，則HM?HN的最大值為

．四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)

如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD為正方形，AB=AA1=4，∠BAA(1)用a，b，c表示AE(2)求AE的長度．16.(本小題12分)已知圓C:(x?2)2+(y?2)2(1)若l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求l的方程;(2)若l與圓C相切，求l的方程;(3)若l與圓C相交于A，B兩點，且△ABC(其中C為圓C的圓心)為直角三角形，求l的方程．17.(本小題12分)

某中學(xué)高二年級的所有學(xué)生學(xué)習(xí)完人教A版選擇性必修第一冊的《直線和圓的方程》章節(jié)后，統(tǒng)一進行了一次測試，并將所有的測試成績(滿分150分)按照[30,50)，[50,70)，[70,90)，[90,110)，[110,130)，[130,150]分成6組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)試估計該中學(xué)高二年級的所有學(xué)生該次測試成績的平均數(shù)(每組數(shù)據(jù)取區(qū)間的中間值作代表)?;(2)按照人數(shù)比例用分層隨機抽樣的方法，從測試成績在[110,130)和[130,150]內(nèi)的學(xué)生中抽取6人的試卷進行試卷分析，再從這6人的試卷中任選2人的試卷進行優(yōu)秀答卷展示，求被選中進行優(yōu)秀答卷展示的這2人的測試成績都在[110,130)內(nèi)的概率．18.(本小題12分)如圖，在四棱臺ABCD?A1B1C1D1中，底面(1)證明：BD⊥平面ACC(2)求直線DD1與平面(3)棱BC上是否存在一點P，使得二面角P?AD1?D的余弦值為211?19.(本小題12分)若圓C1與圓C2相交于P，Q兩點，|PQ|=m(m>0)，且C2為線段PQ的中點，則稱圓C2是圓C1的m等距共軛圓.已知點A(3,5)，B(6,4)均在圓C(1)求圓C1(2)若圓C2是圓C1的8等距共軛圓，設(shè)圓心C2(ⅰ)求曲線Ω的方程．(ⅱ)已知點H(3,3)，直線l與曲線Ω交于異于點H的E，F(xiàn)兩點，若直線HE與HF的斜率之積為3，試問直線l是否過定點?若過定點，求出該定點坐標(biāo);若不過定點，請說明理由．

參考答案1.D

2.A

3.C

4.C

5.B

6.C

7.C

8.B

9.ABD

10.ABD

11.ABC

12.?1；π13.3814.12

15.解：(1)AE=AB+BC+CE=AB+AD+12AA1=a+b+12c；

16.解：(1)若l經(jīng)過原點，則l的方程為2x?y=0．

若l不經(jīng)過原點，則可設(shè)l的方程為xa+ya=1(a≠0)，

因為l過點P(2,4)，所以2a+4a=1，解得a=6，

所以l的方程為x6+y6=1，即x+y?6=0．

故l的方程為2x?y=0或x+y?6=0．

(2)由圓C:(x?2)2+(y?2)2=4，可得圓心C(2,2)，半徑為2．

因為點P在圓C上，所以易得l的方程為y=4．

(3)因為△ABC為直角三角形，且|AC|=|BC|=2，

所以|AB|=22，

則圓心C到l的距離為|AB|2=2，

由題意易得l的斜率一定存在，17.解：(1)由頻率分布直方圖可知該中學(xué)高二年級的所有學(xué)生該次測試成績的平均數(shù)約為(40×0.0050+60×0.0075+80×0.0125+100×0.0175+120×0.0050+140×0.0025)×20=87分．

(2)因為測試成績在[110,130)和[130,150]內(nèi)的頻率之比為2:1，

所以抽取的6人中測試成績在[110,130)內(nèi)的有4人，記為a，b，c，d，

測試成績在[130,150]內(nèi)的有2人，記為A，B．

從這6人中任選2人的所有可能情況為(a,b)，(a,c)，(a,d)，(a,A)，(a,B)，(b,c)，(b,d)，(b,A)，(b,B)，(c,d)，(c,A)，(c,B)，(d,A)，(d,B)，(A,B)，共15種，

其中這2人的測試成績均在[110,130)內(nèi)的情況有6種，

故所求概率為615=18.解：(1)證明：因為底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD．又因為AA1⊥平面ABCD，BD?平面ABCD因為AA1∩AC=A，且AA1，AC?平面AC(2)解：以AB，AD，AA1所在直線分別為x，y，則A(0,0,0)，B(6,0,0)，B1(3,0,2)，C(6,6,0)，D(0,6,0)，所以BC=(0,6,0)，BB1設(shè)平面BCC1B則m?BC=6設(shè)直線DD1與平面BCC則sinθ=|cos<故直線DD1與平面BCC(3)解：若存在點P滿足題意，則可設(shè)點P(6,λ,0)，其中λ∈[0,6]，則AP=(6,λ,0)，A設(shè)平面AD1P的法向量為n=(x易得平面ADD1的一個法向量為所以|cos<n·v>|=|故棱BC上存在一點P，當(dāng)BP=2時，二面角P?AD1?D

19.解：(1)根據(jù)題意可設(shè)圓C1的圓心坐標(biāo)為(4a+3,a)，

則圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x?4a?3)2+(y?a)2=r2，

由(3?4a?3)2+(5?a)2=r2,(6?4a?3)2+(4?a)2=r2,解得a=0,r2=25,

則圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x?3)2+y2