2017年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷理科新課標

PAGEPAGE52017年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷(理科)（新課標Ⅰ）一、選擇題:本大題共１2小題,每小題５分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．１．已知集合A={ｘ|ｘ<１}，B＝{x｜3x＜１},則(）A．A∩B={x|x＜0} B.A∪B＝Ｒ Ｃ．A∪Ｂ={x|x>1｝D.A∩B=?2．如圖,正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖,正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱．在正方形內(nèi)隨機取一點,則此點取自黑色部分的概率是(）Ａ．B．C.Ｄ.３．設(shè)有下面四個命題ｐ1:若復(fù)數(shù)z滿足∈Ｒ，則z∈R；p２:若復(fù)數(shù)z滿足z２∈R,則z∈R;ｐ３:若復(fù)數(shù)ｚ１,z2滿足z1z2∈R，則z1=;p４：若復(fù)數(shù)z∈Ｒ,則∈Ｒ．其中的真命題為()A．p1,p3?B．p1，p4Ｃ.p２,p3D.p2，p４4．Ｓn為等差數(shù)列{aｎ}的前n項和.若a４+a5=2４，S6=４8，則{an｝的公差為()A.1?Ｂ．2?C.4?D.8５.函數(shù)ｆ（x）在(﹣∞，+∞)單調(diào)遞減，且為奇函數(shù).若f(1)＝﹣1,則滿足﹣1≤ｆ（x﹣２)≤1的x的取值范圍是（)A．[﹣2,２]B．[﹣1，1]C．［０,4］?D．[１,3]６.(1+）（1＋x）６展開式中x2的系數(shù)為（)A.1５?B.２0?C.３０D．３57．某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成,正方形的邊長為2，俯視圖為等腰直角三角形，該多面體的各個面中有若干個是梯形,這些梯形的面積之和為（）A.10 B．1２?C．14?D．16８．如圖程序框圖是為了求出滿足3n﹣2ｎ＞１000的最小偶數(shù)n，那么在和兩個空白框中,可以分別填入（)Ａ.A>10０0和n=ｎ+１ B.A＞1000和ｎ=n+2C.A≤1000和n=n+1 D．A≤1０0０和ｎ＝n+２9.已知曲線C1：y=cosx，C2：y=sin(2ｘ＋),則下面結(jié)論正確的是(）A．把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C2B.把C１上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度,得到曲線C2C.把C1上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變,再把得到的曲線向右平移個單位長度,得到曲線C2D.把Ｃ1上各點的橫坐標縮短到原來的倍,縱坐標不變,再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線C2１0.已知F為拋物線Ｃ:y2=4x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線ｌ１，l2，直線l１與C交于Ａ、B兩點，直線l2與C交于Ｄ、Ｅ兩點,則|AB｜+｜DE|的最小值為（）A．１6?B.１4?C.12 D．1011．設(shè)x、ｙ、z為正數(shù)，且2ｘ=３y=5z，則（)A．2x<3y<5ｚ B．5z<２x<3y?Ｃ.3y＜５ｚ＜２x Ｄ.3y＜2x<５z12．幾位大學生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件．為激發(fā)大家學習數(shù)學的興趣，他們推出了“解數(shù)學題獲取軟件激活碼”的活動.這款軟件的激活碼為下面數(shù)學問題的答案：已知數(shù)列1，1,2,1,2，4，1,２,4，8,１，2，4,８,16,…，其中第一項是20,接下來的兩項是20,21，再接下來的三項是2０,２1,2２，依此類推.求滿足如下條件的最小整數(shù)Ｎ:N＞10０且該數(shù)列的前N項和為2的整數(shù)冪．那么該款軟件的激活碼是()Ａ．44０?B.３30?Ｃ.220?D.11０二、填空題：本題共4小題，每小題5分,共20分.1３．已知向量,的夾角為6０°,｜｜=２,||=1，則|+2｜=.14.設(shè)x，ｙ滿足約束條件,則z=3ｘ﹣2y的最小值為.15．已知雙曲線C:﹣=1(ａ＞0，b＞0）的右頂點為A，以A為圓心,b為半徑作圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M、N兩點．若∠MＡN=６0°，則Ｃ的離心率為.16．如圖,圓形紙片的圓心為O,半徑為5ｃm,該紙片上的等邊三角形AＢC的中心為Ｏ.D、Ｅ、Ｆ為圓O上的點，△DＢC,△ＥCA，△FAＢ分別是以ＢC，CA，ＡB為底邊的等腰三角形．沿虛線剪開后，分別以ＢC,CＡ，ＡＢ為折痕折起△DBC，△ECＡ，△FAB，使得Ｄ、E、F重合，得到三棱錐．當△ABC的邊長變化時,所得三棱錐體積（單位:cm３)的最大值為．三、解答題:共7０分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題,每個試題考生都必須作答．第２2、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.１7.△ABC的內(nèi)角A,B,Ｃ的對邊分別為a，ｂ，c，已知△ABC的面積為．(1)求siｎＢsinC；（２)若６ｃosBcｏｓC=1，a＝3,求△ABC的周長.1８．(1２分)如圖,在四棱錐Ｐ﹣AＢCD中，AB∥CD,且∠BAP=∠ＣＤＰ=９0°.（1）證明：平面PＡB⊥平面PAＤ；(2)若ＰA=PD=AB＝DC,∠APD=90°,求二面角A﹣PB﹣Ｃ的余弦值．19．（１2分）為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程,檢驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機抽取１6個零件,并測量其尺寸(單位：cｍ)．根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，可以認為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(μ,σ2）．（1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常,記X表示一天內(nèi)抽取的16個零件中其尺寸在(μ﹣3σ,μ＋３σ)之外的零件數(shù)，求P(X≥1）及X的數(shù)學期望;（2)一天內(nèi)抽檢零件中,如果出現(xiàn)了尺寸在（μ﹣3σ,μ+３σ)之外的零件,就認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查．（ⅰ)試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性;（ⅱ)下面是檢驗員在一天內(nèi)抽取的１６個零件的尺寸：9.95１0.１29.9６９.96１0.０１9.92９.9８10.0410.269.91１０.1310．0２９.2210.0４10.0５9.９5經(jīng)計算得＝＝9.97，s＝=≈0.21２,其中ｘi為抽取的第ｉ個零件的尺寸,i=１，2，…,16．用樣本平均數(shù)作為μ的估計值，用樣本標準差s作為σ的估計值,利用估計值判斷是否需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查？剔除(﹣3+3）之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計μ和σ（精確到0.0１）．附:若隨機變量Z服從正態(tài)分布N（μ,σ2）,則P(μ﹣3σ＜Z<μ＋3σ）＝0．9974，０.9９7416≈0．９592，≈0.09.2０.（12分)已知橢圓C:+＝1（a＞b＞0），四點Ｐ1(1,1），P2(0，１）,P３(﹣1，），P4(１，)中恰有三點在橢圓Ｃ上.（1）求C的方程；(２）設(shè)直線ｌ不經(jīng)過P2點且與C相交于A，B兩點．若直線Ｐ2A與直線P２２1.（12分)已知函數(shù)f（x)=ａe2x+(a﹣2)ex﹣x．（1）討論f（ｘ）的單調(diào)性;(２)若ｆ（x）有兩個零點，求a的取值范圍．［選修４－4,坐標系與參數(shù)方程]22.(10分）在直角坐標系ｘOy中,曲線C的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)).(1)若a=﹣1，求C與l的交點坐標；（2）若Ｃ上的點到l距離的最大值為,求a．［選修４-5:不等式選講]２３．已知函數(shù)f(x)=﹣x２+ax＋4，ｇ(x）＝|x+1｜+|x﹣1|．（１)當a=1時,求不等式f（x)≥ｇ（x）的解集；(2)若不等式ｆ(x)≥g（ｘ）的解集包含［﹣１，1］，求a的取值范圍.參考答案與試題解析一、選擇題1.：A.解：∵集合Ａ={ｘ｜x＜1}，B={x|3x<1}＝{x|x＜0},∴Ａ∩B＝{x|x<0},故A正確,D錯誤；Ａ∪Ｂ＝{x|x＜1},故B和C都錯誤.2.B解:根據(jù)圖象的對稱性知，黑色部分為圓面積的一半,設(shè)圓的半徑為1，則正方形的邊長為２，則黑色部分的面積S=,則對應(yīng)概率Ｐ==3．B.解:若復(fù)數(shù)ｚ滿足∈R，則z∈R,故命題ｐ1為真命題;p2:復(fù)數(shù)z＝i滿足z２=﹣1∈Ｒ，則z?R，故命題ｐ2為假命題;p3:若復(fù)數(shù)ｚ1=i,ｚ2＝2i滿足z1z2∈R，但z1≠,故命題p3為假命題；ｐ4：若復(fù)數(shù)z∈Ｒ,則=ｚ∈Ｒ，故命題p4為真命題．4.C．解:∵Sn為等差數(shù)列{an}的前ｎ項和，a4+a５=24，S6＝48，∴,解得a１=﹣２，d=4,∴{an}的公差為４.5．Ｄ解:∵函數(shù)f(ｘ）為奇函數(shù).若f（１）=﹣1,則f（﹣１）＝１,又∵函數(shù)f(x）在（﹣∞，＋∞）單調(diào)遞減，﹣１≤ｆ(ｘ﹣2)≤１，∴ｆ(１)≤f（x﹣2)≤f(﹣1)，∴﹣1≤x﹣2≤１，解得：x∈[１，3]，6.C．解：(１＋)(1＋ｘ）６展開式中:若(1+)=（1+ｘ﹣２）提供常數(shù)項1,則(1+x）6提供含有ｘ2的項,可得展開式中x2的系數(shù)：若（1+）提供x﹣2項，則(1+ｘ）６提供含有ｘ4的項，可得展開式中ｘ２的系數(shù):由(1+x）6通項公式可得.可知r＝2時，可得展開式中x2的系數(shù)為．可知r=４時,可得展開式中ｘ2的系數(shù)為．（1+）（1＋x)6展開式中ｘ2的系數(shù)為:15+15＝3０．7．B解:由三視圖可畫出直觀圖，該立體圖中只有兩個相同的梯形的面，S梯形=×2×（２+4）=6，∴這些梯形的面積之和為6×２＝1２,8.D．解:因為要求A＞10０0時輸出，且框圖中在“否”時輸出,所以“”內(nèi)不能輸入“A＞１０0０”，又要求n為偶數(shù),且n的初始值為０，所以“”中n依次加２可保證其為偶數(shù)，所以D選項滿足要求，9．解：把C1上各點的橫坐標縮短到原來的倍,縱坐標不變，得到函數(shù)y=cos2x圖象,再把得到的曲線向左平移個單位長度,得到函數(shù)y=coｓ２（ｘ＋)=cos（２x+)＝sｉn（2x+)的圖象，即曲線C2，故選:D．１０．A解:如圖,l１⊥l２，直線l1與Ｃ交于A、Ｂ兩點，直線l2與C交于D、E兩點，要使|AB｜＋|DE|最小,則A與Ｄ，B,E關(guān)于x軸對稱，即直線DE的斜率為1,又直線l２過點(1,０）,則直線l2的方程為y=x﹣１,聯(lián)立方程組,則y2﹣4y﹣4=0,∴y1+ｙ2＝4，y1y2=﹣4,∴|DE|＝?|y１﹣ｙ2｜＝×＝8，∴｜AB｜+｜DE|的最小值為2|DE|=16,11．D．解：x、ｙ、z為正數(shù)，令２x=3y=5z=k>1．ｌgk＞0.則ｘ=，y＝，z=.∴3ｙ＝,2ｘ=，５z＝．∵==,＞=.∴＞ｌｇ>>0.∴3y＜2x<5z．１2.Ａ.解：設(shè)該數(shù)列為{ａn｝，設(shè)bn＝+…+=2ｎ﹣1，(ｎ∈N+)，則=ai,由題意可設(shè)數(shù)列｛ａn}的前N項和為SＮ,數(shù)列{bｎ｝的前n項和為Tn,則Tn＝21﹣1+２２﹣1+…＋2n﹣1=2n﹣ｎ﹣2,可知當Ｎ為時（n∈N＋）,數(shù)列｛aｎ}的前N項和為數(shù)列{bn}的前ｎ項和,即為２n﹣ｎ﹣2，容易得到N＞100時,n≥１４，A項,由＝435，4４0=435+５，可知Ｓ４４０=T29+ｂ5=23０﹣29﹣２+2５﹣1＝２30，故A項符合題意．B項，仿上可知=325,可知Ｓ330＝T25+b5＝２26﹣２5﹣2+25﹣1=226+4,顯然不為2的整數(shù)冪,故Ｂ項不符合題意．C項,仿上可知=210，可知S２２0=T２０＋b10＝221﹣20﹣2+２10﹣1=221+210﹣23，顯然不為2的整數(shù)冪,故C項不符合題意．D項,仿上可知＝１0５，可知S110=Ｔ14+b5=215﹣14﹣２+２5﹣1＝２15+１5，顯然不為2的整數(shù)冪，故D項不符合題意.故選A.方法二:由題意可知：,,,…，根據(jù)等比數(shù)列前n項和公式，求得每項和分別為：２1﹣1，2２﹣1,2３﹣1，…，2n﹣1,每項含有的項數(shù)為：1，２,3,…，ｎ,總共的項數(shù)為N＝1+2＋3+…＋ｎ=，所有項數(shù)的和為Ｓn：２1﹣1＋22﹣1＋23﹣1＋…＋2ｎ﹣1=（２1+22+23+…+2n)﹣n=﹣n=2ｎ+1﹣2﹣ｎ,由題意可知：2ｎ+1為２的整數(shù)冪．只需將﹣2﹣ｎ消去即可,則①１+2＋(﹣2﹣n）＝0，解得：n=1，總共有+2=３,不滿足N＞1０0，②1＋2+4+(﹣2﹣n）=０,解得：n＝5,總共有+3＝18，不滿足N>100，③1+2＋4+８+(﹣2﹣n）=0,解得：n=13，總共有＋4=９5，不滿足N>１０0,④1+2＋４＋8+１６+（﹣2﹣ｎ）=0,解得:n=２9,總共有+５＝440,滿足N＞100，∴該款軟件的激活碼440.二、填空題1３.2．解：∵向量，的夾角為60°，且||＝2,||＝1，∴=+４?+4=22+４×2×1×cos60°＋４×12=12，∴|+2|=2．1４.﹣5．解:由x，y滿足約束條件作出可行域如圖，由圖可知,目標函數(shù)的最優(yōu)解為A，聯(lián)立，解得A(﹣1，1).∴ｚ＝3ｘ﹣２y的最小值為﹣3×1﹣２×１=﹣5.１5.．解:雙曲線C：﹣=1（a>0,b>0)的右頂點為A(ａ，０),以A為圓心，b為半徑做圓Ａ,圓Ａ與雙曲線C的一條漸近線交于M、N兩點．若∠MAＮ=60°,可得A到漸近線bx＋ay=０的距離為：bcｏs30°=,可得：=，即，可得離心率為:ｅ=.1６.４cｍ3解:由題意,連接OD,交BC于點G,由題意得OD⊥BＣ，ＯＧ=BＣ,即OＧ的長度與BＣ的長度成正比，設(shè)OG=x，則BC=2x，DG=５﹣x,三棱錐的高h=＝＝,=3,則Ｖ===，令ｆ（x)=2５x4﹣10x５,x∈(0,)，f′(x)=１００x3﹣５０x4,令f′（x）≥0，即x4﹣2x３≤０，解得x≤2，則ｆ（x）≤f(2）＝8０,∴V≤＝4cm3，∴體積最大值為４cm3三、解答題17．解：（１）由三角形的面積公式可得S△ABC=acsinＢ=,∴３ｃsinＢsinA=２a,由正弦定理可得３sinＣsinBsinA=2sinＡ，∵ｓｉnA≠0,∴sｉnBｓinC=；(２）∵6cｏｓBcosC=1,∴cosBcoｓC=,∴cosBcosC﹣ｓｉｎＢｓinC=﹣=﹣,∴cｏs（B+C）＝﹣，∴cosA＝，∵０<A<π，∴A=,∵===2Ｒ＝=２,∴sinBsiｎC=?==＝,∴ｂc=8，∵a2=b2+c2﹣2bccosA,∴b2+c2﹣bc=9,∴（b+c）2=9+３ｃｂ=9+２4=3３，∴b+ｃ=∴周長a+b+c=3+.18．(1）證明:∵∠BAP＝∠CDP=9０°，∴ＰＡ⊥AＢ，PD⊥CD，∵AB∥CD,∴ＡB⊥ＰD,又∵ＰA∩PD＝Ｐ，且ＰＡ?平面PAD,ＰＤ?平面PＡＤ，∴AB⊥平面PAD，又AB?平面PＡB，∴平面PAＢ⊥平面PAD;(2）解:∵AB∥CＤ，AB=CD，∴四邊形ＡBＣD為平行四邊形,由（1)知ＡB⊥平面PＡＤ，∴ＡB⊥AＤ,則四邊形ABCD為矩形，在△APＤ中,由ＰＡ＝ＰD，∠APＤ=90°，可得△PAD為等腰直角三角形，設(shè)PA=AB=２a，則ＡＤ＝．取AD中點O，BC中點Ｅ,連接PＯ、ＯE,以O(shè)為坐標原點，分別以ＯＡ、ＯE、OＰ所在直線為x、y、ｚ軸建立空間直角坐標系,則:D（）,B(），P（0，0,），C（).，，.設(shè)平面PBC的一個法向量為，由,得,取y＝1,得．∵ＡB⊥平面PAＤ,AD?平面PAD,∴ＡB⊥AD,又PＤ⊥ＰA，PA∩ＡB=Ａ,∴PD⊥平面ＰＡB,則為平面ＰAＢ的一個法向量,．∴cos＜>＝=．由圖可知，二面角A﹣ＰＢ﹣C為鈍角,∴二面角A﹣PB﹣C的余弦值為．1９．解：（１)由題可知尺寸落在(μ﹣3σ，μ+3σ)之內(nèi)的概率為０.９97４，則落在（μ﹣3σ,μ+３σ)之外的概率為1﹣0．99７4=0.00２6,因為P（Ｘ＝0）＝×(1﹣0.9９74）0×0.99７416≈0.9５9２，所以Ｐ（X≥1)=1﹣P（X=0)=0.０4０８,又因為X～Ｂ（16,０.00２6)，所以E(X)=16×0.0026=0.0４16；（2）（ⅰ)由（１)知尺寸落在（μ﹣3σ,μ+3σ)之外的概率為0.０026,由正態(tài)分布知尺寸落在(μ﹣３σ，μ＋3σ)之外為小概率事件，因此上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法合理；(ⅱ)因為用樣本平均數(shù)作為μ的估計值，用樣本標準差s作為σ的估計值,且＝=９.97，ｓ=＝≈0.2１2，所以﹣3＝9．9７﹣3×0.２１2＝9.33４，+3＝9.9７+3×0．212＝10.6０6,所以9.22?（﹣3+3）＝(9.３34,10.606）,因此需要對當天的生產(chǎn)過程進行檢查，剔除（﹣３＋3)之外的數(shù)據(jù)９.2２，則剩下的數(shù)據(jù)估計μ==10.02,將剔除掉９.2２后剩下的15個數(shù)據(jù),利用方差的計算公式代入計算可知σ2≈0.00８,所以σ≈0.09.20.解：(1）根據(jù)橢圓的對稱性，P3（﹣1,）,P4(1,)兩點必在橢圓Ｃ上，又P4的橫坐標為1，∴橢圓必不過P1（１，1），∴Ｐ2(0，1）,P3（﹣１,）,Ｐ4（1，）三點在橢圓C上.把P2(0,1）,P3（﹣1，）代入橢圓C，得：,解得a2=4,b2=1，∴橢圓C的方程為=１．證明:（２）①當斜率不存在時,設(shè)l：x=m，Ａ（m，yＡ）,B（ｍ，﹣yA），∵直線Ｐ2Ａ與直線Ｐ2∴===﹣1，解得m＝２，此時l過橢圓右頂點,不存在兩個交點,故不滿足．②當斜率存在時，設(shè)l:ｙ＝kx+b，（b≠1)，A（x1，y1)，B（x２，ｙ2），聯(lián)立，整理,得(1＋4k２)x２+8kｂx+4b2﹣4=0，,x1x2＝，則==＝==﹣1,又ｂ≠１，∴b=﹣２k﹣１，此時△=﹣64ｋ，存在k,使得△＞0成立,∴直線ｌ的方程為y=ｋx﹣２k﹣1,當x=2時，ｙ=﹣1，∴ｌ過定點（２,﹣1)．21.解:(1)由f（ｘ)=ae2x+(a﹣２）ｅx﹣x,求導(dǎo)f′(x)=2aｅ2x+（ａ﹣2)ex﹣1，當ａ＝0時,ｆ′(x)=﹣2ｅx﹣1＜０，∴當x∈R，f（x）單調(diào)遞減,當ａ＞0時,f′（x)=(2ex+1）（aeｘ﹣１)＝2a（ex+)（ex﹣)，令f′（x）=０，解得:ｘ=lｎ，當ｆ′(x）＞0,解得:x＞ｌｎ,當ｆ′（ｘ）<0，解得:x<ln，∴x∈(﹣∞，ln)時，f（x)單調(diào)遞減,x∈（ｌｎ,+∞）單調(diào)遞增;當a<０時，f′(x)=2a（ex+)(eｘ﹣）＜０,恒成立,∴當x∈R,ｆ（x)單調(diào)遞減,綜上可知：當ａ≤0時,ｆ（ｘ)在R單調(diào)減函數(shù)，當ａ>0時,f(x）在(﹣∞，ln)是減函數(shù)，在（ｌｎ，＋∞)是增函數(shù);（2)①若a≤0時,由(1)可知:f（x)最多有一個零點,當a>０時，f（x)=aｅ２x+（a﹣2）ex﹣x，當ｘ→﹣∞時，e2x→0，eｘ→0，∴當x→﹣∞時，ｆ（x）