浙江省杭州市第二中學(xué)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題 含解析

杭州二中2024學(xué)年第一學(xué)期高一年級(jí)期中考數(shù)學(xué)試卷命題桂小兵校對(duì)審核本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試時(shí)間120分鐘.選擇題部分（共58分）一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)交集的定義計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，又，所?故選：C2.若函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)抽象函數(shù)定義域求法可直接求出結(jié)果.【詳解】由題意得函數(shù)的定義域是，則，函數(shù)中的取值范圍應(yīng)與函數(shù)中的取值范圍一致；故定義域?yàn)楣蔬x：A3.不等式的解集為，則函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)不等式的解集得到，為的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理得到，從而根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱軸，開口方向及與軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)的正負(fù)得到答案.【詳解】由題意得，為的兩個(gè)根，故，即，開口向下，對(duì)稱軸，與軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)為故選：B4.已知是偶函數(shù)，則（）A. B. C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】由f?x=fx，列出方程，求出值，再檢驗(yàn)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱即可【詳解】由f?x=fx解得，.當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故符合題意，故選：B.5.已知命題p：，，則（）A.命題p的否定為，，且p是真命題B.命題p的否定為，，且p是真命題C.命題p的否定為，，且p是假命題D.命題p的否定為，，p是假命題【答案】C【解析】【分析】根據(jù)存在性量詞命題的否定，結(jié)合分式不等式的解法即可下結(jié)論.【詳解】，則.由，得，即，解得，所以命題假命題.故選：C6.已知函數(shù)是上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依題意可得，解得即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是上的增函數(shù)，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：D7.已知為正數(shù)，且，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)基本不等式中“1”的妙用計(jì)算即可得出最小值為.【詳解】易知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故選：C8.已知函數(shù)，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先研究函數(shù)單調(diào)性與奇偶性，再化簡(jiǎn)不等式得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以為奇函?shù)，又，所以為R上單調(diào)遞增函數(shù)，因此等價(jià)于，，故，則，即.故選：D二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.設(shè)，若，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)題干，利用不等式的性質(zhì)分別判斷每個(gè)選項(xiàng)的正誤即可.【詳解】由，可得，對(duì)于A，由于，所以，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由于，所以，B正確；對(duì)于C，由于，所以，則，C正確；對(duì)于D，由于，所以，,故D錯(cuò)誤.故選：BC10.某?！拔逡惶飶竭\(yùn)動(dòng)會(huì)”上，共有12名同學(xué)參加100米、400米、1500米三個(gè)項(xiàng)目，其中有8人參加“100米比賽”，有7人參加“400米比賽”，有5人參加“1500米比賽”，“100米和400米”都參加的有4人，“100米和1500米”都參加的有3人，“400米和1500米”都參加的有3人，則下列說法正確的是（）A.三項(xiàng)比賽都參加的有2人 B.只參加100米比賽的有3人C.只參加400米比賽的有3人 D.只參加1500米比賽的有3人【答案】AB【解析】【分析】由題意先分析出3項(xiàng)都參加的人數(shù)，再分析只參加某項(xiàng)的人數(shù)即可.【詳解】根據(jù)題意，設(shè){是參加100米的同學(xué)}，{是參加400米的同學(xué)}，{是參加1500米的同學(xué)}，則且則，所以三項(xiàng)比賽都參加的有2人，只參加100米比賽的有人，只參加400米比賽的有人，只參加1500米比賽的有人.故選：AB11.設(shè)，表示不超過的最大整數(shù)，如，記.則下列說法正確的有（）A.，都有B.，都有C.，都有D.若存在實(shí)數(shù)，使得同時(shí)成立，則正整數(shù)的最大值為4.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)x的定義，易判斷AB；結(jié)合，可得，進(jìn)而結(jié)合與均為整數(shù)，可得，進(jìn)而得到，再結(jié)合題意可判斷C；通過不等式不斷夾逼的范圍，直至求得滿足題意的即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，，，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)椋?，又與均為整數(shù)，所以，即，則，故C正確；對(duì)于D，，，，，，當(dāng)時(shí)，，，因?yàn)椋?，即?dāng)時(shí)，，，，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，，，，因?yàn)椋?，所以若，則，此時(shí)，即，故不存在滿足，，，，同時(shí)成立，所以正整數(shù)的最大值為4，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：與新定義有關(guān)的問題的求解策略：1.通過給出一個(gè)新的定義，或約定一種新的運(yùn)算，或給出幾個(gè)新模型來創(chuàng)設(shè)新問題的情景，要求在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法，實(shí)心信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的；2.遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、運(yùn)算、驗(yàn)證，使得問題得以解決.非選擇題部分（共92分）三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.設(shè)集合，則中元素的個(gè)數(shù)為___________【答案】4【解析】【分析】根據(jù)列舉法，寫出集合中元素，即可得出結(jié)果.【詳解】將滿足的整數(shù)對(duì)列舉出來，有（0,0）,（1,0）,（1,1）,（0,1），共4個(gè).故答案為：413.如果，則的取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到，由此求解出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，且在上單調(diào)遞增，所以，解得，故答案為：.14.函數(shù)的定義域?yàn)镈，若對(duì)于任意,當(dāng)時(shí)，有，則稱函數(shù)在D上為非減函數(shù).設(shè)函數(shù)在上為非減函數(shù)，且滿足以下三個(gè)條件：①②；③.則__________【答案】##【解析】【分析】先根據(jù)題中條件得到，然后因?yàn)椋玫剑缓罄^續(xù)計(jì)算即可.【詳解】由題意得即.由函數(shù)在上為非減函數(shù)得，因?yàn)椋驗(yàn)?，故，因?yàn)樗砸驗(yàn)樗?，即，因此故答案為：?解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知命題，當(dāng)命題為真命題時(shí)，實(shí)數(shù)的取值集合為A.（1）求集合A；（2）設(shè)集合，若是的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)由題意可知有解，利用其判別式大于等于0即可求得答案；(2)結(jié)合題意推出，且，討論是否為空集，列出相應(yīng)不等式(組)，求得答案.【小問1詳解】因?yàn)闉檎婷}，所以方程有解，即，所以，即；【小問2詳解】因?yàn)槭堑谋匾怀浞謼l件，所以且，i）當(dāng)時(shí)，，解得；ii）當(dāng)時(shí)，，且等號(hào)不會(huì)同時(shí)取得，解得.綜上，的取值范圍為.16.已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，根據(jù)定義證明函數(shù)上單調(diào)遞增.（2）若有最小值4，求的值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明；（2）當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增，無最小值；當(dāng)時(shí)，利用基本不等式求解.【小問1詳解】,且,則，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增，無最小值；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故，即.17.某公園為了美化游園環(huán)境，計(jì)劃修建一個(gè)如圖所示的總面積為750的矩形花園.圖中陰影部分是寬度為的小路，中間三個(gè)矩形區(qū)域?qū)⒎N植牡丹?郁金香?月季（其中區(qū)域的形狀?大小完全相同）.設(shè)矩形花園的一條邊長(zhǎng)為，鮮花種植的總面積為.（1）用含有的代數(shù)式表示，并寫出的取值范圍；（2）當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r(shí)，才能使鮮花種植的總面積最大？【答案】（1）（2）當(dāng)時(shí)，才能使鮮花種植的總面積最大【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，設(shè)矩形花園的長(zhǎng)為，由條件可得，即可得到結(jié)果；（2）由（1）中的結(jié)論可得鮮花種植的總面積為與矩形花園的一條邊長(zhǎng)的函數(shù)關(guān)系式，再由基本不等式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【小問1詳解】設(shè)矩形花園的長(zhǎng)為，矩形花園的總面積為，，可得，又陰影部分是寬度為的小路，可得，可得，即關(guān)于的關(guān)系式為.【小問2詳解】由（1）知，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，當(dāng)時(shí)，才能使鮮花種植的總面積最大，最大面積為.18.設(shè)函數(shù)，其中.（1）若，（i）當(dāng)時(shí)，求的最大值和最小值;（ii）對(duì)任意的，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若對(duì)任意的，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（i）；（ii）（2）【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，（i）由二次函數(shù)的性質(zhì)直接求最大最小值；（ii）解不等式得解集，再根據(jù)不等式的解集與集合的關(guān)系求的取值范圍.（2）轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在給定區(qū)間的最大最小值問題求解.【小問1詳解】（i）當(dāng)時(shí)，，所以;（ii）當(dāng)時(shí)，，由，由題意：，所以.所以的取值范圍為.【小問2詳解】設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，所以“對(duì)任意的，，都有”等價(jià)于“”.①當(dāng)時(shí)，，，由，得，又，無解；②當(dāng)時(shí)，，，由，得，因此；③當(dāng)時(shí)，，，由，得，因此；④當(dāng)時(shí)，，，由，得，無解，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為區(qū)間.19.定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.（1）求的解析式；（2）當(dāng)?shù)亩x域?yàn)椋ǎr(shí)，的值域?yàn)?，求的取?（3）是否存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)?shù)亩x域?yàn)闀r(shí)，的值域?yàn)?，如果存在，求出的值；若不存在，?qǐng)說明理由.【答案】（1）（2）（3）存在，或【解析】【分析】（1）由奇函數(shù)定義可求得函數(shù)解析式.（2）討論定義域和二次函數(shù)對(duì)稱軸的關(guān)系，根據(jù)函數(shù)的最大值和最小值建立等量關(guān)系，計(jì)算的值.（3）分“”和“”兩種情況分析，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性建立等量關(guān)系即可得到結(jié)果.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，所以所以的解析式為.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，所以.①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，此時(shí)，解得不合題意.②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，即，，即，符合題意；③當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，則，解得，不合題意.綜上得，.【小問3詳解】由得，，由得，得，故同號(hào).①當(dāng)時(shí)，由于時(shí)，，故，則，所以區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，即為方程的