2024-2025學(xué)年重慶十一中高二（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年重慶十一中高二（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知{a,b,A.{a,b,a+c} 2.如圖，四面體ABCD中，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，記AB=a，AC=b，AD=c，則A.a?12b+12c 3.已知點(diǎn)A(a,?3,5)，B(0,b,2)，C(2,7,?1)，若A，B，C三點(diǎn)共線，則a，b的值分別是(

)A.?2，3 B.?1，2 C.1，3 D.?2，24.已知向量a=(2,?1,1)，b=(1,x,1)，c=(1,?2,?1)，當(dāng)a⊥b時(shí)，向量b在向量cA.(?1,2,1) B.(1,2,1) C.(?1,?2,1) D.(1,2,?1)5.空間內(nèi)有三點(diǎn)P(3,1,?4)，E(2,1,1)，F(xiàn)(1,2,2)，則點(diǎn)P到直線EF的距離為(

)A.14 B.32 C.6.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱(chēng)為陽(yáng)馬.如圖，四棱錐P?ABCD為陽(yáng)馬，PA⊥平面ABCD，且AB=AD=AP=3，EC=2PE，則AE?DEA.?3

B.3

C.2

D.57.正方體不在同一表面上的兩頂點(diǎn)A(?1,2,?1)，B(3,?2,3)，則正方體的體積是(

)A.4 B.43 C.64 8.已知向量a=(2,?1,3)，b=(?4,2,t)的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為(

)A.(?∞,?6) B.(?∞,?6)∪(?6,103)

C.(二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.下面關(guān)于空間直角坐標(biāo)系的敘述正確的是(

)A.點(diǎn)P(1,?1,0)與點(diǎn)Q(1,1,0)關(guān)于z軸對(duì)稱(chēng)

B.點(diǎn)A(?3,?1,4)與點(diǎn)B(3,?1,?4)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)

C.點(diǎn)A(?3,?1,4)與點(diǎn)B(3,?1,?4)關(guān)于平面xOz對(duì)稱(chēng)

D.空間直角坐標(biāo)系中的三條坐標(biāo)軸組成的平面把空間分為八個(gè)部分10.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(

)A.若A，B，C，D是空間任意四點(diǎn)，則有AB+BC+CD+DA=0

B.若a//b，則存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使得a=λb

C.若AB,CD共線，則AB//CD

D.對(duì)空間任意一點(diǎn)O與不共線的三點(diǎn)A，B，C，若OP=x11.已知正三棱柱ABC?A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都為2A.若AP=λAB+μAA1，則CP的最小值為2

B.若AP=λAB+AA1，則三棱錐P?ABC的體積為定值

C.若AP=AB+λA三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知A(4,1,3)、B(2,?5,1)，C為線段AB上一點(diǎn)，且AB=3AC，則C的坐標(biāo)為_(kāi)_____．13.在四面體ABCD中，BC=1，BD=2，∠ABC=90°，BC?DA=?3，則∠CBD=14.如圖，在三棱錐P?ABC中，AB⊥BC，PA⊥平面ABC，AE⊥PB于點(diǎn)E，M是AC的中點(diǎn)，PB=1，則EP?EM的最小值為_(kāi)_____．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知向量a=(1,2,2)，b=(?2,1,?1)．

(1)求a?b；

(2)求|2a?b|16.(本小題15分)

如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=2，E，F(xiàn)分別是BD，B1C的中點(diǎn)．

(1)求異面直線A117.(本小題15分)

如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，AB=5，AD=3，AA1=4，∠DAB=90°，∠BAA1=∠DAA1=60°，E是C18.(本小題17分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，且BC=2AB，∠ABC=45°，平面PAB⊥平面ABCD，PA=PB=BC．

(1)求證：平面PAB⊥平面PAC；

(2)在棱PC上是否存在點(diǎn)Q，使得直線AD與平面BDQ所成角的正弦值為101019.(本小題17分)

球面幾何在研究球體定位等問(wèn)題有重要的基礎(chǔ)作用.球面上的線是彎曲的，不存在直線，連接球面上任意兩點(diǎn)有無(wú)數(shù)條曲線，它們長(zhǎng)短不一，其中這兩點(diǎn)在球面上的最短路徑的長(zhǎng)度稱(chēng)為兩點(diǎn)間的球面距離.球面三角學(xué)是研究球面三角形的邊、角關(guān)系的一門(mén)學(xué)科.如圖1，球O的半徑為R，A，B，C為球面上三點(diǎn)，曲面ABC(陰影部分)叫做球面三角形.若設(shè)二面角C?OA?B，A?OB?C，B?OC?A分別為α，β，γ，則球面三角形ABC的面積為S球面△ABC=(α+β+γ?π)R2．

(1)若平面OAB，平面OAC，平面OBC兩兩垂直，求球面三角形ABC的面積；

(2)將圖1中四面體OABC截出得到圖2，若平面三角形ABC為直角三角形，AC⊥BC，設(shè)∠AOC=θ1，∠BOC=θ2，∠AOB=θ3．

①證明：cosθ1+cosθ2?cosθ3=1；

②延長(zhǎng)AO與球O交于點(diǎn)D，連接BD，CD，若直線DA，DC與平面ABC所成的角分別為π4，π3，且BE參考答案1.B

2.B

3.D

4.A

5.A

6.B

7.C

8.B

9.BD

10.BCD

11.BCD

12.(1013.30°

14.?115.解：(1)a?b=?2+2?2=?2；

(2)2a?b=(2,4,4)?(?2,1,?1)=(4,3,5)，

則16.解：(1)在正方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=2，E，F(xiàn)分別是BD，B1C的中點(diǎn)，

以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則A1(2,0,2)，E(1,1,0)，B(2,2,0)，F(xiàn)(1,2,1)，

A1E=(?1,1,?2)，BF=(?1,0,1)，

設(shè)異面直線A1E與BF所成角為θ，

則cosθ=|A1E?BF||A1E|?|BF|=16?2=3617.解：(1)在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，

因?yàn)锳B=5，AD=3，AA1=4，∠DAB=90°，∠BAA1=∠DAA1=60°，E是CC1的中點(diǎn)，

AE=AB+BC+CE=AB+BC+12CC1，

所以AE2=AB2+BC2+14CC12+2AB?BC+AB?CC1+BC?CC1，18.(1)證明：在△ABC中，BC=2AB，∠ABC=45°

由余弦定理，得AC2=AB2+BC2?2AB?BC?cos45°=AB2，

所以AC2+AB2=BC2，即AB⊥AC．

因?yàn)槠矫鍼AB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，

AB⊥AC，ACC平面ABCD，所以AC⊥平面PAB，

又AC?平面PAC，所以平面PAB⊥平面PAC．

(2)設(shè)AB，BC的中點(diǎn)分別為O，E，連接OP，OE，

因?yàn)镻A=PB，O為AB的中點(diǎn)，所以PO⊥AB，

又平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PO?平面PAB，

所以PO⊥平面ABCD，又OE?平面ABCD，所以PO⊥OE．

因?yàn)镺，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，所以O(shè)E/?/AC，

又AB⊥AC，所以O(shè)E⊥AB，即OB，OE，OP兩兩互相垂直，

以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OE，OP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)AB=2，則A(?1,0,0)，B(1,0,0)，C(?1,2,0)，D(?3,2,0)，P(0,0,7)，

設(shè)CQCP=λ，則CQ=λCP=(λ,?2λ,7λ)，λ∈(0,1]，

所以Q(λ?1,2?2λ,7λ)，

BD=(?4,2,0)，BQ=(λ?2,2?2λ,7λ)，

設(shè)m=(x,y,z)是平面BDQ的法向量，

則m?BD=0m?BQ=0，即?4x+2y=019.解：(1)若平面OAB，平面OAC，平面OBC兩兩垂直，有α=β=γ=π2，

所以球球面三角ABC的面積為S=(α+β+γ?π)R2=π2R2；

(2)①證明：由余弦定理有：AC2=R2+R2?2R2cosθ1BC2=R2+R2?2R2cosθ2AB2=R2+R2?2R2cosθ3，且AC2+BC2=AB2，

消掉R2，可得cosθ1+cosθ2?cosθ3=1；

②由AD是球的直徑，則AB⊥BD，AC⊥CD，

且AC⊥BC，CD∩BC=C，CD，BC?平面BCD，

所以AC⊥平面BCD，且BD?平面BCD，則AC⊥BD，

且AB∩AC=A，AB，AC?平面ABC，可得BD⊥平面ABC，

由直