河北省2024八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第13章軸對(duì)稱專項(xiàng)突破練5構(gòu)造等腰三角形的常見輔助線課件新版新人教版

第十三章軸對(duì)稱專項(xiàng)突破練5構(gòu)造等腰三角形的常見輔助線類型1作底邊中線、高(三線合一)1.

[2024周口月考]如圖，等邊三角形

ABC

的邊長(zhǎng)為12，

D

是

AC

邊上一點(diǎn)，

AD

＝4，

DE

∥

AB

交

BC

于點(diǎn)

E

，連接

AE

，

F

是

BC

上的一點(diǎn)，

AF

＝

AE

，則

EF

的長(zhǎng)為(

A

)A.4B.5C.2D.3A234567812.

[2023大連模擬]如圖，在△

ABC

中，∠

C

＝90°，

CB

＝

CA

＝6，

F

是

AB

邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)

D

，

E

分別在

AC

，

BC

邊上運(yùn)動(dòng)，且保持

AD

＝

CE

.

連接

DE

，

DF

，

EF

，則

△

CDE

面積的最大值為

?.

23456781點(diǎn)撥：連接

CF

.

∵在△

ABC

中，∠

ACB

＝90°，

CB

＝

CA

＝6，點(diǎn)

F

是

AB

的中點(diǎn)，∴∠

FCB

＝∠

FCA

＝∠

A

＝45°，∴

CF

＝

AF

.

∵

AD

＝

CE

，∴△

ADF

≌△

CEF

，∴

S△

CEF

＝

S△

ADF

，∴

S四邊形

CEFD

＝

S△

AFC

，∴

S△

CDE

＝

S四邊形

CEFD

－

S△

DEF

＝

S△

AFC

－

S△

DEF

.

∵

S△

AFC

為定值，∴要使△

CDE

的面積最大，則需△

DEF

的面積最小.23456781

∵△

ADF

≌△

CEF

，∴

EF

＝

DF

，∠

CFE

＝∠

AFD

.

234567813.

如圖，在△

ABC

中，

AB

＝

AC

，

D

是

BC

的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)

A

作

EF

∥

BC

，且

AE

＝

AF

.

求證：(1)

DE

＝

DF

；證明：(1)連接

AD

.

∵

AB

＝

AC

，點(diǎn)

D

為

BC

的中點(diǎn)，∴

AD

⊥

BC

，∴∠

ADB

＝90°.∵

EF

∥

BC

，∴∠

DAF

＝∠

ADB

＝90°，∴

AD

⊥

EF

.

∵

AE

＝

AF

，∴

AD

垂直平分

EF

，∴

DE

＝

DF

.

234567813.

如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中點(diǎn)，過(guò)

點(diǎn)A

作EF∥BC，且AE＝AF.

求證：(2)BG＝CH.

23456781類型2作平行線4.

如圖，點(diǎn)

D

在等邊三角形

ABC

的邊

AB

上，延長(zhǎng)

BC

至點(diǎn)

E

使

CE

＝

AD

，連接

DE

，交

AC

于點(diǎn)

F

.

求證：

FE

＝

FD

.

23456781

234567815.

[2024滄州期末]如圖，在△

ABC

中，

AB

＝

AC

，

D

為

CA

延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且

DE

⊥

BC

交

AB

于點(diǎn)

F

.

若

AD

＝

AF

，

F

為

AB

的中點(diǎn).求證：

DF

＝2

FE

.

23456781

23456781類型3截長(zhǎng)補(bǔ)短法作輔助線6.

[2023秦皇島模擬]如圖，在△

ABC

中，∠

B

＝2∠

C

，∠

BAC

的平分線

AD

交

BC

于點(diǎn)

D

.

求證：

AB

＋

BD

＝

AC

.

23456781

234567817.

如圖，在△

ABC

中，

AB

＝

AC

，

D

是△

ABC

外一點(diǎn)，且

∠

ABD

＝60°，∠

ACD

＝60°.求證：

BD

＋

DC

＝

AB

.

23456781證明：如圖，延長(zhǎng)

BD

到點(diǎn)

F

，使

BF

＝

BA

，連接

AF

，

CF

.

∵∠

ABD

＝60°，∴△

ABF

為等邊三角形，∴

AF

＝

AB

＝

BF

，∠

AFB

＝60°，∵

AB

＝

AC

，∴

AF

＝

AC

，∴∠

ACF

＝∠

AFC

.

又∵∠

ACD

＝60°，∴∠

AFB

＝∠

ACD

＝60°，23456781∴∠

DFC

＝∠

DCF

，∴

DC

＝

DF

.

∴

BD

＋

DC

＝

BD

＋

DF

＝

BF

＝

AB

，即

BD

＋

DC

＝

AB

.

23456781類型4倍長(zhǎng)中線法作輔助線8.

[2024北京西城區(qū)期末]在△

ABC

中，

AB

＜

AC

，點(diǎn)

D

在

△

ABC

的內(nèi)部，

CD

＝

AB

，∠

DBA

＝∠

DCA

.

(1)如圖①，線段

BD

的延長(zhǎng)線交

AC

于點(diǎn)

E

，且

BE

⊥

AC

.

①求∠

DAE

的度數(shù)；②用等式表示線段

AC

，

BD

，

DE

之間的數(shù)量關(guān)系，

并說(shuō)明理由.23456781(1)解：①∵

BE

⊥

AC

，∴∠

AEB

＝∠

DEC

＝90°.∵

AB

＝

DC

，∠

EBA

＝∠

ECD

，∴△

AEB

≌△

DEC

(AAS)，∴

AE

＝

DE

，∴∠

DAE

＝∠

ADE

＝45°.②

AC

＝

BD

＋2

DE

.

理由如下：∵△

AEB

≌△

DEC

，∴

BE

＝

CE

.

∵

AE

＝

DE

，

AC

＝

CE

＋

AE

，

BE

＝

BD

＋

DE

，∴

AC

＝

BE

＋

DE

＝

BD

＋2

DE

.

234567818.

[2024北京西城區(qū)期末]在△

ABC

中，

AB

＜

AC

，點(diǎn)

D

在

△

ABC

的內(nèi)部，

CD

＝

AB

，∠

DBA

＝∠

DCA

.

(2)如圖②，點(diǎn)

F

在線段

DB

的延長(zhǎng)線上，連接

CF

，交射

線

AD

于點(diǎn)

M

，且

M

為

CF

的中點(diǎn).

求證：

DF

＝

AC

.

23456781(2)證明：如圖，延長(zhǎng)

AM

到點(diǎn)

N

，使

MN

＝

AM

，連接

FN

，在

CA

上截取

CP

＝

BD

，連接

DP

.

∵

M

為

CF

的中點(diǎn)，∴

MF

＝

MC

.

又∵∠

FMN

＝∠

CMA

，

MN

＝

MA

，∴△

FMN

≌△

CMA

，∴

FN

＝

AC

，∠

FNM

＝∠

CAM

.

23456781∵

AB

＝

DC

，∠

DBA

＝