專題15 圖形變換中的重要模型之翻折（折疊）模型（解析版）-中考數(shù)學(xué)備考復(fù)習(xí)重點(diǎn)資料歸納

專題15圖形變換中的重要模型之翻折（折疊）模型

幾何變換中的翻折（折疊、對稱）問題是歷年中考的熱點(diǎn)問題，試題立意新穎，變幻巧妙，主

要考查學(xué)生的識(shí)圖能力及靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力。

涉及翻折問題，以矩形對稱最常見，變化形式多樣。無論如何變化，解題工具無非全等、相似、

勾股以及三角函數(shù)，從條件出發(fā)，找到每種對稱下隱藏的結(jié)論，往往是解題關(guān)鍵。本專題以各類幾個(gè)

圖形（三角形、平行四邊形、菱形、矩形、正方形等）為背景進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。

【知識(shí)儲(chǔ)備】

翻折和折疊問題其實(shí)質(zhì)就是對稱問題，翻折圖形的性質(zhì)就是翻折前后圖形是全等的，對應(yīng)的邊和

角都是相等的。以這個(gè)性質(zhì)為基礎(chǔ)，結(jié)合三角形、四邊形、圓的性質(zhì)，三角形相似，勾股定理設(shè)方程

思想來考查。

對于翻折和折疊問題主要分兩大類題型：直接計(jì)算型和分類討論型，由淺入深難度逐步加大，掌握好

分類討論型的翻折問題，那么拿下中考數(shù)學(xué)翻折題型就沒問題了。

翻折折疊題型（1）：直接計(jì)算型，運(yùn)用翻折的性質(zhì)，結(jié)合題中的條件，或利用三角形相似，或利用勾股

定理設(shè)方程來解題。一般難度小，我們要多做一些這些題型，熟練翻折的性質(zhì)，以及常見的解題套路。

翻折折疊題型（2）：分類討論型，運(yùn)用翻的性質(zhì)，結(jié)合題中的條件，或利用三角形相似，或利用勾股定

理設(shè)方程來解題。般難度較大，需要綜合運(yùn)用題中的條件，多種情況討論分析，需要準(zhǔn)確的畫圖，才

能準(zhǔn)確分析。

解決翻折題型的策略：

1）利用翻折的性質(zhì)：①翻折前后兩個(gè)圖形全等；②對應(yīng)點(diǎn)連線被對稱軸垂直平分；

2）結(jié)合相關(guān)圖形的性質(zhì)（三角形，四邊形等）；3）運(yùn)用勾股定理或者三角形相似建立方程。

模型1.矩形中的折疊模型

1）常規(guī)計(jì)算型

例1.（2022?浙江?寧波一模）如圖，在矩形紙片ABC。中，點(diǎn)￡、F分別在矩形的邊A8、

AD上，將矩形紙片沿CE、CF折疊，點(diǎn)8落在，處，點(diǎn)。落在G處，點(diǎn)C、H、G恰好

在同一直線上，若43=9,A￡）=6,BE=3,則。尸的長是（）

A.-B.4C.D.3

24

【答案】D

【分析】由折疊的性質(zhì)可得3C=C"=6,NDCF=NGCF,

BE=EH=3,ZB=NC〃E=90。，由"AAS"可證△CPHgACPN,可得NP=PH,

CH=CN=6,通過證明四邊形3CWM是正方形，可得MN=3M=6,在Rtz^EPM中，利

用勾股定理可求NP的長，由銳角三角函數(shù)可求解.

【詳解】解：如圖，延長交CF于點(diǎn)P,過點(diǎn)尸作MN_LC￡＞于N,

回將矩形紙片沿CE、CF折疊，點(diǎn)5落在〃處，點(diǎn)。落在G處，

⑦BC=CH=6,NDCF=NGCF,BE=EH=3,NB=NCHE=9O。,

ZCHP=4CNP=90"

在△（7尸〃和△CPN中，.NGCF=NDCF,

CP=CP

0ACP//^ACPN（AAS）,?NP=PH,CH=CN=4,

0ZB=ZBCD=90°,MN工CD,13四邊形3cMW是矩形，

又EiaV=CB=6,回四邊形8CW是正方形，?MN=BM=6,回&0=3,

EP2=EM2+PM2，0（3+NP）2=32+（6-WP）2,0NP=2,

NPDF2DF

0tanZ.DCF==,團(tuán)一=---,0DF=3,故選：D.

CNCD69

【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，

勾股定理等知識(shí)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

變式1（2021?四川成都?中考真題）如圖，在矩形ABCO中，A8=4,A￡>=8,點(diǎn)E,F分別

在邊AR8C上，且AE=3,按以下步驟操作：第一步，沿直線EF翻折，點(diǎn)4的對應(yīng)點(diǎn)A，

恰好落在對角線AC上，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為9，則線段族的長為；第二步，分別在

ERA婚，上取點(diǎn)M,N,沿直線MN繼續(xù)翻折，使點(diǎn)尸與點(diǎn)E重合,則線段MN的長為.

【答案】1也

【分析】第一步：設(shè)EF與交于點(diǎn)O,連接AF,易證明MOESADC,利用對應(yīng)邊成比

例可得到OA=2OE,由勾股定理可求出OE=地，從而求得。4及OC；由AD3BC,易得

5

骷OEE0co凡由對應(yīng)邊成比例可得AE、kC的關(guān)系式，設(shè)則/C=8-x,由關(guān)系式可

求得x的值：

第二步：連接NE,NF,根據(jù)折疊的性質(zhì)，得到NF=NE,設(shè)B'N=m,分別在和K他

E4W中，利用勾股定理及NF=NE建立方程，可求得，小最后得出結(jié)果.

【詳解】如圖所示，連接A凡

設(shè)EF與4r交于點(diǎn)。，由折疊的性質(zhì)得到4412￡F,A'E=AE=3

回四邊形A8C。是矩形aa4CC=90。，CO=A8=4,AD3\BC

0EL4O￡=a4DC,^OAE=BDAC^E1AOEEL4DC,

0~~—=__=—，團(tuán)。A=2OE,在直角0AOE中，由勾股定理得：0石2+4?！?2=9，

OAAD2

回0E=￥，回04=半，在R/EL4CC中，由勾股定理得到：AC="7^=4后，

團(tuán)。-述令

C=46BF=x,KlJFC=S-xfELAD0BC,WAOE^COF,

55

OAAE3

0-~~■=—=一，即7AE=3FC133（8-x）=7x3解得：x=l,EIBF的長為1.

OCFC7

連接NE,NF,如圖，根據(jù)折疊性質(zhì)得：BF=B'F=1,MM3EF,NF=NE,設(shè)B'N=m,

貝IJNF2=F+%2=NE2=32+（4-〃I）2,解得：加=3,貝|JNF=M,

回￡尸=后。"不=26，0A/F=75,0MN=?,故答案為：1,非.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)、勾股定理、三角形相似的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)等

知識(shí)，熟練運(yùn)用這些知識(shí)是解決本題的關(guān)鍵，本題還涉及到方程的運(yùn)用.

2）線段比值型

例1.（2022?江蘇蘇州?中考真題）如圖，在矩形ABCD中空=：.動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿

邊A。向點(diǎn)。勻速運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)，沿邊BC向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，連接MM動(dòng)點(diǎn)M,

N同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的速度為匕，點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)的速度為嶺，且匕〈丹.當(dāng)點(diǎn)N到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，

M,N兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).在運(yùn)動(dòng)過程中,將四邊形MABN沿翻折,得到四邊形MAB'N.若

在某一時(shí)刻，點(diǎn)8的對應(yīng)點(diǎn)3'恰好在C。的中點(diǎn)重合，則打的值為.

【答案】|3

AR0

【分析】在矩形48CD中黑=：,設(shè)AB=2a,BC=3a,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f,得到

13C3

利用翻折及中點(diǎn)性質(zhì)，在中利用

CD=AB=2a,AD=BC=3a,BN=v2t,AM=v/,R/AB'CN

53

勾股定理得到==然后利用AED8'AB'CN得到DE=[a=A'E,在根據(jù)判定的

（）得至從而代值求解即可.

M'EM=AD￡B'A1s4I]AM=vtt=a,

【詳解】解：如圖所示：

AQ2

在矩形A8CQ中.=：,設(shè)A8=2a,8c=3”，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f,

BC3

CD=AB=2a,AD=BC=3a,BN=AM=vxt,

在運(yùn)動(dòng)過程中，將四邊形AM8N沿MN翻折，得到四邊形M4'8W,

B'N=BN=v2t,AM=AM=v]t,

若在某一時(shí)刻，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)5'恰好在CO的中點(diǎn)重合，.?.OB'=?C=a,

在RtARCN中.NC=90°,B'C=a,B'N=v[,CN=3a-vj,則iy=gq=8N,

ZA'BW=NB=90°,/.ZAB'D+ZCB'N=90°,

ZCNB'+NCB'N=90°,.ZA'B'D=ZCNff,\EDB'AB'CN,

.DEB'CB'Ca_3

"~DB'~~CN^BC-BN~5~~4，

JU---u

3

DB'=B'C=a,:.DE=^DB'=^a,則B，E=J(。⑶丁+力1=〃j=、”,

533

:.A'E=A'B'-B'E=2a--a=-a,&\iDE=-a=A'E,

444

Z'=NO=90°

在AA'EM和ADEB'中，,A'E=￡>EM'EMSADEB'(ASA),

ZA'EM=NDEB'

.v,_v,?_AM_a_3

.?.A'M=BZ)=a,B|JAM=vtt=a,"vvtBN55,故答案為：：

3

【點(diǎn)睛】本題屬于矩形背景下的動(dòng)點(diǎn)問題，涉及到矩形的性質(zhì)、對稱性質(zhì)、中點(diǎn)性質(zhì)、兩個(gè)

三角形相似的判定與性質(zhì)、勾股定理及兩個(gè)三角形全等的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相

關(guān)性質(zhì)及判定，求ill相應(yīng)線段長是解決問題的關(guān)鍵.

變式1.(2022?湖北襄陽?二模)如圖，如圖，將矩形ABCQ對折，折痕為PQ,然后將其展

開，E為BC邊上一點(diǎn),再將回C沿力E折疊，使點(diǎn)C剛好落在線段AQ的中點(diǎn)尸處，則C三E

【答案】I

【分析】根據(jù)軸對稱、矩形、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，得。F=AF=QF,根據(jù)軸對稱

的性質(zhì)，得。尸=CD、EF=CE-再根據(jù)矩形和勾股定理的性質(zhì)計(jì)算，即可得到答案.

【詳解】回如圖，將矩形A8CD對折，折痕為P0fflAP=8P=OQ=CQ,ZADC=90°

回點(diǎn)F是線段AQ的中點(diǎn)回OF=A尸=。f

設(shè)AP=BP=DQ=CQ=/n0AB=CD=Im

El將團(tuán)C沿力E折疊，使點(diǎn)C剛好落在線段AQ的中點(diǎn)/處，

&DF=CD=2m,EF=CE團(tuán)DF=AF=QF=2m設(shè)EF=CE=n,

如圖，過點(diǎn)尸作尸GJ_CD,交CD于點(diǎn)G,過點(diǎn)尸作尸K_LA￡>,交于點(diǎn)K,延長KF,

交BC于點(diǎn)H

回四邊形FGCH、KHCD為矩形團(tuán)HF=CG,DK=FG=CH=^BC

團(tuán)AF=QF

ini

團(tuán)AK=OK^DF=QF^DG=QG=-DQ=—^HF=CG=QG+CQ=^-

在直角sFG。中，F(xiàn)G=yjDF2-DG2=—m0C//=FG=—w0

22

HE=CH-CE=^-m-n

2

在直角二"/E中，EF2=HE2+FH2回/=卜"〃?-〃+(￥]

2幅m

=|故答案

0V15/7=6m5

岳5BEBC-CE2CH-CE

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱、矩形、勾股定理、直角三角形斜邊中線的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是

熟練掌握矩形、勾股定理、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，從而完成求解.

3）分類討論型

例1.（2022?遼寧錦州,中考真題）如圖，四邊形為矩形，AB=近,AD=3,息E為

邊8c上一點(diǎn)，將沿OE翻折，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)尸，過點(diǎn)尸作OE的平行線交AO于

點(diǎn)G,交直線BC于點(diǎn)從若點(diǎn)G是邊AO的三等分點(diǎn)，則FG的長是.

【答案】也或遠(yuǎn)

33

【分析】過點(diǎn)E作于點(diǎn)〃，根據(jù)題意可得四邊形"EDG是平行四邊形，證明

HE=FE,等面積法求得ME,勾股定理求得可得HF的長，進(jìn)而即可求解.

【詳解】①如圖，過點(diǎn)E作EVJ_G〃于點(diǎn)M,

?折疊ZFED=ZCEDZMED=900即ZFEM+ZFED=90°

NCED+AHEM=90°/.AHEM=ZFEM

NEMF=/EMH=90°,ME=ME:HEM-FEM

:.HM=MF,EF=HE=\:.EF=EC=\

四邊形A8C￡＞是矩形;.NC=90。,。。=A8=0

Rt_EDC中，DE=y/DC2+EC2==6；.GH=DE=0

ME工HG,HG//DESDEF=-MExDE=SDEC=^DCxEC

*里浮梨中,叫屈E=Ji一停［邛

:.FG=HG-HF=HG-2HM=y/3-->j3=—

33

②如圖，當(dāng)AG=：AD=1時(shí)，同理可得，E=G￡>=Ar>-AG=3—l=2,EC=EF=HE=2,

Rl.中,HM=yjHE2-ME2=^2^手=半

:.FG=HF-HG=2HM-HG=^--y/6=—故答案為：立或業(yè)

3333

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理.，折疊，矩形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)與判定，掌握以上知

識(shí)，注意分類討論是解題的關(guān)鍵.

變式1.（2022?河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)一模）如圖，在矩形ABCD中，已知AB=10,AD=6,動(dòng)

點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿線段￡>C向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/秒，連接

AP,把AWP沿著AP翻折得到作射線PE與邊A8交于點(diǎn)Q,當(dāng)。E=Q8時(shí)，t=

【答案】19或5

【分析】分兩種情況討論，當(dāng)點(diǎn)E在矩形A8CQ的內(nèi)部或外部時(shí)，利用矩形的性質(zhì)及已知

條件先分別表示出4。、EQ、48等，再利用勾股定理等知識(shí)求解即可.

【詳解】當(dāng)點(diǎn)E在矩形ABC。的內(nèi)部時(shí)，如圖

四邊形ABCD是矩形.?.AB〃C￡);.ZAPD=N8AP

,把AWP沿著AP翻折得到△AEP,AD=6

:.ZAPD=NAPE,ZD=ZAPE=90°,AD=AE=6,DP=EP=2t

ZBAP=ZAPE,幺EQ=90°:.QA=QP=PE+QE=2t+QE

QE=QB,AB=10-.QA=2t+QB=2t+(AB-AQ)=2t+(\0-AQ)

Q

.?.AQ=5+L.QE=5-f在HAAEQ中，AE2+EQ2=AQ2HP62+(5-1)2=(5+1)2JWW-/=j

當(dāng)點(diǎn)E在矩形A8CO的外部時(shí)，如圖/APQ=ZAPD=ZPAQAQ=PQ

.QE=PE-PQ=DP-PQ=2t-PQ=QB.?.3Q=2f-AQ=AB-AQAB=2f=l()解得

r=5

99

綜上，當(dāng)QE=QB時(shí)，或f=5故答案為：1或5.

【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)、幾何動(dòng)點(diǎn)、折疊的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用、等腰三角形的性

質(zhì)等知識(shí)，能夠根據(jù)題意分類討論是解題的關(guān)鍵.

4）路徑（軌跡）型

例1.（2022?重慶十八中兩江實(shí)驗(yàn)中學(xué)一模）如圖，矩形ABCO中，A8=3,BC=4,點(diǎn)E

是A8邊上一點(diǎn)，且AE=2,點(diǎn)P是邊BC上的任意一點(diǎn)，把回BEF沿EF翻折，點(diǎn)8的對應(yīng)

點(diǎn)為G,連接AG,CG,則三角形AGC的面積的最小值為（）

BFC

345c

A.—B.-C.-D.3

234

【答案】A

【分析】先確定出當(dāng)EGBL4c時(shí)，四邊形AGC。的面積最小，三角形AGC的面積最小，即

再用銳角三角函數(shù)求出點(diǎn)G到AC的距離，最后用面積之差S婕加GCD-&A8=S“CC即可得

出結(jié)論.

【詳解】解：回四邊形A8C力是矩形，^CD=AB=3,AD=BC=4,a4BC=fflD=90",

根據(jù)勾股定理得：AC=5,IMB=3,AE=2,團(tuán)點(diǎn)尸在8c上的任何位置時(shí)，點(diǎn)G始終在AC的

下方，

回5西邊衫AGCD=Ss+$△”■＜；,Ss的大小是定值,回要使S^ACG最小，則四邊形AGCD的面

積最小，

設(shè)點(diǎn)G到AC口勺距離為/?,回5四邊彩ACCD=SAACD+SAACC=~-CD+—AC-h

=—x4x3+—x5x/z=2〃+6

222

團(tuán)要四邊形AGCO的面積最小，即：〃最小，

團(tuán)點(diǎn)G在以點(diǎn)E為圓心，8氏1為半徑的圓上，在矩形ABC。內(nèi)部的一部分的點(diǎn)，

團(tuán)EGEL4c時(shí)，。最小，即點(diǎn)E,點(diǎn)G,點(diǎn)H共線，由折疊知團(tuán)EG/ML48C=90。，

BC4

延長EG交AC于”，則EM3AC,在寵血45c中，sinZBAC=——=-,

AC5

EH448

在K/HL4EH中，AE=2,?sinNBAC==—,0EH——AE=—,

AE555

Qa5315

Bh=EH-EG=--l=-,回S四邊琢GS的最小值為：=1/z+6=-x-+6=y,

5AACD=^/1￡）DC=^X3X4=6-回S—cc=+6=|,故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查的是矩形的性質(zhì)，翻折變換（折疊問題）、解直角三角形、三角形的面積,

確定MCG面積的最小值時(shí)點(diǎn)G的位置是本題關(guān)鍵.

變式1.（2022?四川成都?模擬預(yù)測）如圖，矩形ABC￡＞中，AB=8,A￡＞=4,E為邊4。上一個(gè)

動(dòng)點(diǎn)，連接BE,取BE的中點(diǎn)G,點(diǎn)G繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到點(diǎn)尸，連接CF,在點(diǎn)E

從4到。的運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)路徑=,ACEF面積的最小值是.

【答案】215

【分析】連接80，取BQ的中點(diǎn)M,AB的中點(diǎn)M連接MN,因?yàn)镚N為0A2E的中位線,

故G的運(yùn)動(dòng)路徑為線段MN；過點(diǎn)尸作AD的垂線交AD的延長線于點(diǎn)H,則團(tuán)FEH00E8A,

設(shè)AE=x,可得出團(tuán)CEF面積與x的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)圖象的性質(zhì)求得最小值.

【詳解】解：連接BD,取8。的中點(diǎn)M,48的中點(diǎn)M連接MN,

回E為邊A。上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)￡從A到Q的運(yùn)動(dòng)，G是BE的中點(diǎn)

自當(dāng)E在A點(diǎn)時(shí)，BE與A8重合，G與48的中點(diǎn)N重合，

當(dāng)E運(yùn)動(dòng)到力點(diǎn)時(shí)，8E與8。重合，G與8。的中點(diǎn)M重合，

B1E在從A到D的運(yùn)動(dòng)過程中，MN為EL48E的中位線，

過點(diǎn)尸作AD的垂線交AD的延長線于點(diǎn)H,

EBA=I2H=9O°,QFEB=90°,^FEH=90°-&BEA=^EBA,WFEHWEBA,

HFHEEF

同______一_____________G為BE的中點(diǎn)，，F(xiàn)E=GE=gBE,

AEABBE'

生=些=里=工E=x,財(cái)8=8,4。=4,^HF=-x,EH=4,:.DH=AE=x,

AEABBE22

2

?二S&CEF=SDHFC+SKED一SgHF=耳元(耳x+8)+/x8(4—x)一耳x4?萬尤=-x+4x-\6-4x-x

1、必

=-x~-x+16,

4

r—=21

團(tuán)當(dāng)01時(shí)，團(tuán)CE/面積的最小值=：x4—2+16=15.故答案為：2,15.

Zx—4

4

【點(diǎn)睛】本題通過構(gòu)造K形圖，考查了一角形的中位線和相似三角形的判定與性質(zhì)，建立

團(tuán)CE尸面積與AE長度的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.

5）綜合證明型

例1.（2022,廣東?一模）如圖，在矩形A8CD中，AB=4,AD=5,E是CO上一點(diǎn)，沿AE

折疊矩形，3c的對應(yīng)邊8'C'經(jīng)過點(diǎn)。，連接88'，與AE、AO分別交于點(diǎn)G、H,連接80

交AE于點(diǎn)E下列結(jié)論：①二87），是等腰三角形；②GH：=3；③89平分NABZ）；

④S"D=R.其中結(jié)論正確有（）

13'

個(gè)

A.②④B.②④C.①②③D.①②④

【答案】D

【分析】①由折疊得NA63'=NAB'B，進(jìn)而由互余的性質(zhì)得=—/WB=/￡＞〃&，

便可判斷本結(jié)論正誤；②過點(diǎn)E作砂，與B7）的延長線交于點(diǎn)P,根據(jù)三角形的面

枳公式求得3'M和AG,進(jìn)而由相似?:角形的性質(zhì)得出結(jié)果，從而判斷本結(jié)論的正誤；

③過點(diǎn)E作EP_L?￡）,與9。的延長線交于點(diǎn)P,由相似三.角形的性質(zhì)求得￡＞E與進(jìn)

而確定NBAG與NBFG的大小關(guān)系，便可判斷本結(jié)論正誤；

④過尸作尸Q，A￡＞于點(diǎn)。，則尸?！ā！?由△AFQ回△■￡￡＞求得FQ,進(jìn)而求得中的

面積，便可判斷本結(jié)論正誤.

【詳解】解：由折疊知，AB=AB',ZABC=ZAB'D=90°,ZABB=ZABB，

-NBAH=90°,:.ZABS+ZAHB=NAB'B+NDB'H=90°,

:.ND&H=NAHB=/DHB',DE=DH,B，DH是等腰三.角形,故①正確；

過力作8'M_LA￡＞于V,與BC交于點(diǎn)N,

AB'=AB=4,AD=5,ZAB'D=90°,B'D=Y/AD2-AB'2=3>

ABDB

Sw?=-ADB'M=-AB'-B'D,B'M==—,

22AD5

DM=^DB'2-B'M2=J32-(—)2=-,BN=AM=AD-DM=5--=—,

V5555

BW=B,M+W=y+4=y,BB'=^B'N2+BN2=,

由折疊知，AG1BB',8'G=8"=竽，AG=《AB'?-B，G?=R-C苧>=竽,

NAGH=N8MH=90。,/AHG=N8HM,：..AGHSA.B'MN,

4小

..絲=旭=-^-=@,設(shè)GH=后,則97=3x,FH=疲-亞x,

MHB'M1235

T

B'M2+MH2=B'H--—)2+(3x)2=(^-4Sx)2,解得x=^(舍去負(fù)根)，

555

G/7=—.B'H=邁-邁=邁，：.GH：B'H=\-.3,故②正確；

5555

過點(diǎn)E作EP1.B7),與的延長線交于點(diǎn)P,由折疊知，EP=EC,

ZADC=90°,ZADB+NPDE=NPDE+NPED=90°,ZADB'=NPED,

ZAB'D=ZP=9G°,AffDBDEP,：槳=喀，

DEPE

53335

設(shè)EC=EP=x,則Z)E=4-x,-----=—,解得工=一，DE=4—=—,

4-xx222

.AFBFAB_4

AB\DE,W,,而一于一面一寫「M，

2

DF=—BD=—>jAB2+AD2=—>/41*DE./DEFwNDFE,

131313

A8DE,/BAG=ZDEF,.ZBFG=NDFE,；.ZBAGXNBFG,

ZABG+/BAG=NFBG+NBFG=90。，，ZABG豐NFBG,..33'不平分NABD,故③

錯(cuò)誤;

過尸作尸Q，A￡＞于點(diǎn)。，則"2〃OE,，AFQiaAAE。，.?.絲=絲，

EDAE

AF8.AFS

EF-5*AE-13

???S"o=；AO,尸。=gx5x^=瑞，故④正確；故選D.

【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題目，考查了矩形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)、勾股定理、相似三

角形的判定與性質(zhì)、三角形的面積等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，構(gòu)造輔助線和證明

三角形相似是解題的關(guān)鍵.

變式1.(2022?吉林?長春市二模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形AO8C的邊04、0B分

3

別在y軸和X軸上，已知對角線OC=5.tanN3OC=：.尸是8C邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)尸的反比

4

L

例函數(shù)y=1(Z>0)的圖象與AC邊交于點(diǎn)E,若將△CE尸沿所翻折后，點(diǎn)C恰好落在。6

58

【答案】D

3

【分析】作EGLQ3交08丁點(diǎn)G,利用OC=5.tanZBOC=-.求出8c=3,。3=4,

4

表示出進(jìn)一步求出EC=EM=4-g,CF=NF=3—：,BF=：,證明

o

AEGMS^MBF,利用相似的性質(zhì)求出MB=：,再利用勾股定理產(chǎn)即可求出k

4

的值.

【詳解】解：作EG_LO8交于點(diǎn)G,

3

回矩形AOBC的對角線OC=5.tanZBOC=-.(38C=3,08=4,即C(4,3),

0E,尸分別在AC,BC上，且在反比例函數(shù)y=[(k>0)上，回后陳,3),尸(4,：

團(tuán)將ACEF沿EF翻折后，點(diǎn)C恰好落在0B上的點(diǎn)“處，

0EC=￡M=4--,CF=MF=3--,BF=-,

344

回NGfiW+ZEWG=90°,Zf7W8+Z￡MG=90°,@NGEM=NFMB,

EGEM359

0ZEGM=Z/^M=9O°,團(tuán)回一=一,^—=—y-,解得：MB=一,

MBMFMB3」4

*~4

又回3+8尸=用尸，即。+0=。-外解得：k=^.故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查矩形性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，已知正切值求邊長及反

比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.解題的關(guān)鍵是求出3C=3,08=4,表不出EC=EM=4-1,

CF=NF=3--,BF=~,

44

模型2.特殊三角形中的折疊模型

1）常規(guī)計(jì)算型

例L（2021?重慶?中考真題）如圖，-ABC中，點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)，連接AD,將△ADC沿

直線AD翻折至ABC所在平面內(nèi)，得一ADC',連接CC',分別與邊AB交于點(diǎn)E,與AD交

于點(diǎn)。.若AE=BE,BC'=2,則AD的長為.

【答案】3

【分析】利用翻折的性質(zhì)可得OC'=OC,推出。。是二CC'B的中位線，得出8=1,再利用

OD//BC得出A。的長度，即可求出AO的長度.

【詳解】由翻折可知oc=OC,回0是CC的中點(diǎn)，

回點(diǎn)。為邊8c的中點(diǎn)，。是CC的中點(diǎn)，回。。是，CC5的中位線，

AOAEAE,AO,

SOD=-BC'=\,OD//BC回----=---,0AE=BE,回---=1>0----=1

2BCBEBEBC

&AO=BC'=2,團(tuán)AD=AO+OD=2+1=3.故答案為：3.

【點(diǎn)睛】本題考查了翻折的性質(zhì)，三角形的中位線的判定和性質(zhì)，以及平行線分線段成比例

的性質(zhì)，掌握三角形的中位線的判定和性質(zhì)，以及平行線分線段成比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

變式1.（2022.廣西九年級(jí)模擬）如圖，在△ABC中，AB<AC,NC=45。，AB=5,BC=

40,點(diǎn)。在AC上運(yùn)動(dòng)，連接BD,把4BCD沿BD折疊得到△3CZ>,BC交AC于點(diǎn)E,

CD〃AB,則圖中陰影部分的面積是（）

A

【答案】D

【分析】作利用等腰直角三角形和勾股定理求出AC再利用aABEs△ACS求

t\\AE,從而利用求出。后和c。，作BGJ_AC,求記8G,即可求解.

【解析】解：如圖，過點(diǎn)A作AF,5c于點(diǎn)尸，???/AF5=NAFC=90。，

VZC=45°,：.AF=CFfAC=42CF9

A

,.,A8=5,BC=40,：.BF=BC-CF=4y/2-CFf

在RQABF中，AB2=BF2+AF2,即5?=(4正一CF)2+CF2,解得：CE=也或述，

22

VAB<AC,:?AF=CF=^^,:?AC=6CF=7,

?.?△8CO沿8。折疊得到△8C。，:?CD=C'D,ZC=ZC=45°,'/CD.AB,：.ZABE=

ZC=45°,

VZABC=ZABE^ZCBE=45°+ZCBE1NABE=NC+NCBE=45。+/CBE,.\ZABC=

NABE,

???△ABCs△AEB,即整=3,.*.AE=—,

ABAC577

2424

：.CE=AC-AE=—,：.CrD=CD=CE-DE=——DE,

77

竺一DE

C*，^)DEj[)1

?:C'D、,AB,.ABE^DC'E，---=，即------=解得：DE——,

BAAE52f

~7

448c=！A尸WCuLx述x4&=14,如圖，過點(diǎn)8作8GL4c于點(diǎn)G,

222

,：S^ABC=^-AC>BG,14=-x7xfiG,：.BG=4,：.Sm,s；/=^DE?BG=-x—x4=—.故

222277

選：D.

2）分類討論型

例1.（2022.重慶九年級(jí)期末）如圖，在RdABC中，乙4=90。，AB=4Q,AC=4,點(diǎn)。是

A8的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，沿。E所在直線把△BOE翻折到△B7JE的位置，B'D

交邊BC于點(diǎn)F,若△CB,為直角三角形，則C夕的長為.

【答案】2不或4

【分析】當(dāng)△8尸為直角三角形時(shí)，需要分類討論，點(diǎn)C,B1,尸分別為直角頂點(diǎn)時(shí)，畫

出圖形求解即可.

【解析】解：在RtAABC中，ZA=90。，A8=4/,AC=4,點(diǎn)。是A8的中點(diǎn)，

.-.BC=S,/3=30°,AD=BD=26,由折疊可知，BD=BD=26：.AD^BD=B'D=2^

①由點(diǎn)運(yùn)動(dòng)可知點(diǎn)C不可能是直角頂點(diǎn)；②如圖，當(dāng)點(diǎn)尸為直角頂點(diǎn)，即NCF?=90。，

:.CB!=7（V3）2+52=2幣:

③如圖，當(dāng)點(diǎn)3'是直角頂點(diǎn)時(shí)，即/。跟尸=90。，連接8,

,q\CD=CD

在RtZ\AC￡>與Rt△B</CD中，八~八二RtAACD=Rt△B'CD（HL）,

[AD=BD

.-.Cfi'=CA=4,故答案為：2/或4.

變式1.（2022.河南九年級(jí)模擬）如圖，NPOQ=90。，定長為〃的線段端點(diǎn)A,B分別在射

線OP,OQ上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)A,8不與點(diǎn)。重合），C為A8的中點(diǎn)，作。04C關(guān)于直線OC對稱

的△04'C,A'。交A8于點(diǎn)。，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，NOBO的度數(shù)為.

Q

A'

/\(C

0AP

【答案】67.5?；?2°

［分析】結(jié)合折疊及直角三角形斜邊中線等于斜邊一半的性質(zhì)可得NCQ4=ZCOA!=ZBAO,

設(shè)NCO4=NCO4'=N3AO=x0,然后利用三角形外角和等腰三角形的性質(zhì)表示出

ZBCO=2x°,ZA'O3=90°-2x°,ZOBD=90°-x°,ZBDO=ZAOD+ZBAO=3x°,從而

利用分類討論思想解題.

【解析】解：N?OQ=90°,C為A8的中點(diǎn)，.?.OC=AC=3C,.?.NCOA=ZBA。，

NOBC=NBOC,

乂由折疊性質(zhì)可得NCOA=/CON,/.ZCOA=NCO/V=ZBAO,

設(shè)NCft4=NCtt4'=ZBAO=x°,則NBCO=2x0,ZA'OB=90°-2x°,ZOBD=90°-x°,

ZBDO=AAOD+ZBAO=3x0,

①當(dāng)OB=0。時(shí)，NABO=NBDO,:.90°-x°=3x°,解得x=22.5。，

ZOBD=90°-22.5°=67.5°；

②當(dāng)8￡>=0￡)時(shí)，ZOBD=ZA'Ofi,:.90°-xo=90o-2x°,方程無解，，此情況不存在；

③當(dāng)08=08時(shí)，NBDO=ZA'OB,..3x°=90°-2x°,解得：x=18。，；.NO3￡)=9()°-18°=72°；

綜上，NOBO的度數(shù)為67.5。或72。，故答案為：67.5?；?2。.

3）綜合證明型

例1.（2020?江蘇淮安?中考真題）【初步嘗試】（1）如圖①，在三角形紙片A8C中，ZACB=90°,

將.ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，折痕為MN,則AM與的數(shù)量關(guān)系為；

【思考說理】（2）如圖②，在三角形紙片A8C中，AC=BC=6,48=10,將"C折疊，

使點(diǎn)8與點(diǎn)C重合，折痕為MN,求黑的值.

BM

【拓展延伸】（3）如圖③，在三角形紙片ABC中，A8=9,BC=6,NACB=2NA,將一ABC

沿過頂點(diǎn)C的直線折疊，使點(diǎn)3落在邊AC上的點(diǎn)3'處，折痕為CM.①求線段AC的長；

②若點(diǎn)。是邊AC的中點(diǎn)，點(diǎn)尸為線段08'上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將△加沿PA/折疊得到以7W,

PF

點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A,AM與CP交于點(diǎn)尸，求方的取值范圍.

MF

N

A

卜一一、--------M------'、B

圖①圖②

【答案】（1）AM=BM；（2）［；（3）①二；②

【分析】（1）先根據(jù)折疊的性質(zhì)可得CN=8N,NCNM=N8MW=90。，再根據(jù)平行線的判

定可得AC7/MN,然后根據(jù)三角形中位線的判定與性質(zhì)即可得；

（2）先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得NB=N4,再根據(jù)折疊的性質(zhì)可得NB=NMQV,從而

可得NMCN=NA,然后根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得槳=萼，從而可求出BM的

z>CAD

長，最后根據(jù)線段的和差可得AM的長，由此即可得出答案；

（3）①先根據(jù)折疊的性質(zhì)可得NBCM=ZACM=|zACfi,從而可得N5CM=NACM=NA,

再根據(jù)等腰三角形的定義可得AM,然后根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得

槳=￡=嚶，從而可得BM、AM、CM的長，最后代入求解即可得；

BCABAC

②先根據(jù)折疊的性質(zhì)、線段的和差求出4用，OB'的長，設(shè)B'P=x,從而可得A'P=1+x,

ppA'P41

再根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得箓=笠=弓+?》，然后根據(jù)X的取值范圍即可得.

MFCM105

【詳解】（1）AM=BM,理由如下：由折疊的性質(zhì)得：CN=BN,NCNM=NBNM=9Q。

ZACB=90°ZACB=NBNM=90°二AC//MN

：.MN是3ABe的中位線.1?點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)則AW=8以故答案為：AM=BM■,

（2）AC=8C=6.〔Zfi=N4由折疊的性質(zhì)得：NB=NMCNZMCN=ZA,即

NMCB=ZA

在ABCM和BAC中，〈，",八BCM~_8AC

&Z.B—Z.B

32

BMBC即網(wǎng).=9解得8知=史.-.AM=AB-BM=W--=—==—；

610555BM189

5

(3)①由折疊的性質(zhì)得：ZBCM=ZACM=^ZACB

ZACB=2ZA,BPZA=ZACBZJSCM=ZACM=ZA:.AM=CM

NBCM=NA

.BCM和_84。中,~_BAC

Z/-DD=ZD

BMBCCM,?BM6CM

——=—=——，即r——=-=——解得8W=4

BCABAC69AC

:.AM=AB-BM=9-4=5:.CM=AM=5AC=—；

9AC2

②如圖，由折疊的性質(zhì)可知，B'C=BC=6,AP=AP,ZAf=ZA

153

AB,=AC-BfC=——6=-

22

1isis3Q

.,點(diǎn)。是邊AC的中點(diǎn):.OA=-AC=—:.OB'=OA-AB'=------=-

24424

3

設(shè)？P=x,則A'P=AP=AB'+8'P=]+x點(diǎn)P為線段0"上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)

:.G<SP<Oe,其中當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)8'重合時(shí)，5爐=0；當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)。重合時(shí)，B'P=OB'

9

.'.04x4一

4

.ZA'=ZA,ZACM=ZAZA，=ZACM,即ZA'=ZFCM

ZA'=NFCM3

在，A'FP和△CRW中,:.一A'FP~_CFM.PFA'P2+X3,1.