專題14概率統(tǒng)計(jì)解答題突破（第四季）-2019年領(lǐng)軍高考數(shù)學(xué)（理）壓軸題必刷題

專題144概率統(tǒng)計(jì)解答題突破第四季1．“中國大能手”是央視推出的一檔大型職業(yè)技能挑戰(zhàn)賽類節(jié)目，旨在通過該節(jié)目，在全社會傳播和弘揚(yáng)“勞動光榮、技能寶貴、創(chuàng)造偉大”的時(shí)代風(fēng)尚.某公司準(zhǔn)備派出選手代表公司參加“中國大能手”職業(yè)技能挑戰(zhàn)賽.經(jīng)過層層選拔，最后集中在甲、乙兩位選手在一項(xiàng)關(guān)鍵技能的區(qū)分上，選手完成該項(xiàng)挑戰(zhàn)的時(shí)間越少越好.已知這兩位選手在15次挑戰(zhàn)訓(xùn)練中，完成該項(xiàng)關(guān)鍵技能挑戰(zhàn)所用的時(shí)間（單位：秒）及挑戰(zhàn)失?。ㄓ谩啊痢北硎荆┑那闆r如下表1：序號123456789101112131415×9693×92×9086××8380787775×95×93×92×8883×8280807473據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，應(yīng)用統(tǒng)計(jì)軟件得下表2：均值（單位：秒）方差方差線性回歸方程甲8550.2乙8454（1）根據(jù)上述回歸方程，預(yù)測甲、乙分別在下一次完成該項(xiàng)關(guān)鍵技能挑戰(zhàn)所用的時(shí)間；（2）若該公司只有一個(gè)參賽名額，根據(jù)以上信息，判斷哪位選手代表公司參加職業(yè)技能挑戰(zhàn)賽更合適？請說明你的理由.【答案】（1）甲用時(shí)73.84秒，乙用時(shí)72.57秒；（2）選手乙，見解析.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，（秒）（秒）（2）甲、乙兩位選手完成關(guān)鍵技能挑戰(zhàn)成功的次數(shù)都為10次，失敗次數(shù)都為5次，所以，只需要比較他們完成關(guān)鍵技能挑戰(zhàn)成功的情況即可，根據(jù)所給信息，結(jié)合（1）中預(yù)測結(jié)果，綜合分析，選手乙代表公司參加技能挑戰(zhàn)賽更合適，理由如下：因?yàn)樵谙嗤螖?shù)的挑戰(zhàn)練習(xí)中，兩位選手在關(guān)鍵技能挑戰(zhàn)的完成次數(shù)和失敗次數(shù)都分別相同，,乙選手用時(shí)更短；由于，雖然甲選手的發(fā)揮更穩(wěn)定，但穩(wěn)定在較大的平均數(shù)上，隨著訓(xùn)練次數(shù)增加，甲、乙用時(shí)都在逐步減少，乙的方差大，說明乙進(jìn)步更大；從（1）的計(jì)算結(jié)果進(jìn)一步說明，選手乙代表公司參加技能挑戰(zhàn)賽更合適.2．大學(xué)先修課程，是在高中開設(shè)的具有大學(xué)水平的課程，旨在讓學(xué)有余力的高中生早接受大學(xué)思維方式、學(xué)習(xí)方法的訓(xùn)練，為大學(xué)學(xué)習(xí)乃至未來的職業(yè)生涯做好準(zhǔn)備.某高中成功開設(shè)大學(xué)先修課程已有兩年，共有250人參與學(xué)習(xí)先修課程，這兩年學(xué)習(xí)先修課程的學(xué)生都參加了高校的自主招生考試（滿分100分），結(jié)果如下表所示：分?jǐn)?shù)人數(shù)25501005025參加自主招生獲得通過的概率0.90.80.60.40.3（Ⅰ）這兩年學(xué)校共培養(yǎng)出優(yōu)等生150人，根據(jù)下圖等高條形圖，填寫相應(yīng)列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表檢驗(yàn)?zāi)芊裨诜稿e的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為學(xué)習(xí)先修課程與優(yōu)等生有關(guān)系？優(yōu)等生非優(yōu)等生總計(jì)學(xué)習(xí)大學(xué)先修課程250沒有學(xué)習(xí)大學(xué)先修課程總計(jì)150（Ⅱ）已知今年全校有150名學(xué)生報(bào)名學(xué)習(xí)大學(xué)選項(xiàng)課程，并都參加了高校的自主招生考試，以前兩年參加大學(xué)先修課程學(xué)習(xí)成績的頻率作為今年參加大學(xué)先修課程學(xué)習(xí)成績的概率.（?。┰诮衲陞⑴c大學(xué)先修課程學(xué)習(xí)的學(xué)生中任取一人，求他獲得高校自主招生通過的概率；（ⅱ）某班有4名學(xué)生參加了大學(xué)先修課程的學(xué)習(xí)，設(shè)獲得高校自主招生通過的人數(shù)為，求的分布列，試估計(jì)今年全校參加大學(xué)先修課程學(xué)習(xí)的學(xué)生獲得高校自主招生通過的人數(shù).參考數(shù)據(jù)：0.150.100．050.0250.0100.0052.0722.7063.8415.0246.6357.879參考公式：，其中【答案】(Ⅰ)見解析；(Ⅱ)見解析.【解析】（Ⅰ）列聯(lián)表如下：優(yōu)等生非優(yōu)等生總計(jì)學(xué)習(xí)大學(xué)先修課程50200250沒有學(xué)習(xí)大學(xué)先修課程1009001000總列聯(lián)表可得，因此在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為學(xué)習(xí)先修課程與優(yōu)等生有關(guān)系.（Ⅱ）（ⅰ）由題意得所求概率為.（ⅱ）設(shè)獲得高校自主招生通過的人數(shù)為，則，，，∴的分布列為01234估計(jì)今年全校參加大學(xué)先修課程的學(xué)生獲得大學(xué)自主招生通過的人數(shù)為.3．交強(qiáng)險(xiǎn)是車主必須為機(jī)動車購買的險(xiǎn)種，若普通6座以下私家車投保交強(qiáng)險(xiǎn)第一年的費(fèi)用（基準(zhǔn)保費(fèi)）統(tǒng)一為a元，在下一年續(xù)保時(shí)，實(shí)行的是費(fèi)率浮動機(jī)制，且保費(fèi)與上一年車輛發(fā)生道路交通事故的情況相聯(lián)系，發(fā)生交通事故的次數(shù)越多，費(fèi)率也就越高，具體浮動情況如下表：交強(qiáng)險(xiǎn)浮動因素和費(fèi)率浮動比率表浮動因素浮動比率A上一個(gè)年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故下浮10%B上兩個(gè)年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故下浮20%C上三個(gè)以及以上年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故下浮30%D上一個(gè)年度發(fā)生一次有責(zé)任不涉及死亡的道路交通事故0%E上一個(gè)年度發(fā)生兩次及兩次以上有責(zé)任道路交通事故上浮10%F上一個(gè)年度發(fā)生有責(zé)任道路交通死亡事故上浮30%某機(jī)構(gòu)為了研究某一品牌普通6座以下私家車的投保情況，隨機(jī)抽取了70輛車齡已滿三年該品牌同型號私家車的下一年續(xù)保時(shí)的情況，統(tǒng)計(jì)得到了下面的表格：類型ABCDEF數(shù)量1013720146（1）求一輛普通6座以下私家車在第四年續(xù)保時(shí)保費(fèi)高于基本保費(fèi)的頻率；（2）某二手車銷售商專門銷售這一品牌的二手車，且將下一年的交強(qiáng)險(xiǎn)保費(fèi)高于基本保費(fèi)的車輛記為事故車.假設(shè)購進(jìn)一輛事故車虧損6000元，一輛非事故車盈利10000元，且各種投保類型車的頻率與上述機(jī)構(gòu)調(diào)查的頻率一致，完成下列問題：①若該銷售商店內(nèi)有7輛（車齡已滿三年）該品牌二手車，某顧客欲在店內(nèi)隨機(jī)挑選2輛，求這2輛車恰好有一輛為事故車的概率；②若該銷售商一次性購進(jìn)70輛（車齡已滿三年）該品牌二手車，求一輛車盈利的平均值(結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示).【答案】（1）；（2）①；②元【解析】（1）一輛普通6座以下私家車第四年續(xù)保時(shí)保費(fèi)高于基本保費(fèi)的頻率為（2）①由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可知，該銷售商店內(nèi)的7輛該品牌車齡已滿三年的二手車中有2輛事故車，設(shè)為，，5輛非事故車，設(shè)為，，，.從7輛車中隨機(jī)挑選2輛車的情況有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21種．其中2輛車恰好有一輛為事故車的情況有，，，，，，，，共10種，所以該顧客在店內(nèi)隨機(jī)挑選2輛車，這2輛車恰好有一輛事故車的概率為.②由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可知，該銷售商一次購進(jìn)70輛該品牌車齡已滿三年的二手車有事故車20輛，非事故車50輛，所以一輛車盈利的平均值為(元)．4．為了適應(yīng)高考改革，某中學(xué)推行“創(chuàng)新課堂”教學(xué).高一平行甲班采用“傳統(tǒng)教學(xué)”的教學(xué)方式授課，高一平行乙班采用“創(chuàng)新課堂”的教學(xué)方式授課，為了比較教學(xué)效果，期中考試后，分別從兩個(gè)班中各隨機(jī)抽取名學(xué)生的成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，結(jié)果如下表：（記成績不低于分者為“成績優(yōu)秀”）分?jǐn)?shù)甲班頻數(shù)乙班頻數(shù)（1）由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫下面的列聯(lián)表，并判斷是否有以上的把握認(rèn)為“成績優(yōu)秀與教學(xué)方式有關(guān)”？甲班乙班總計(jì)成績優(yōu)秀成績不優(yōu)秀總計(jì)（2）現(xiàn)從上述樣本“成績不優(yōu)秀”的學(xué)生中，抽取人進(jìn)行考核，記“成績不優(yōu)秀”的乙班人數(shù)為，求的分布列.參考公式：，其中.臨界值表【答案】（1）有以上的把握認(rèn)為“成績優(yōu)秀與教學(xué)方式有關(guān)”.（2）的分布列為【解析】（1）補(bǔ)充的列聯(lián)表如下表：甲班乙班總計(jì)成績優(yōu)秀成績不優(yōu)秀總計(jì)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得的觀測值為，所以有以上的把握認(rèn)為“成績優(yōu)秀與教學(xué)方式有關(guān)”.（2）的可能取值為，，，，，，，，所以的分布列為5．為了適應(yīng)高考改革，某中學(xué)推行“創(chuàng)新課堂”教學(xué).高一平行甲班采用“傳統(tǒng)教學(xué)”的教學(xué)方式授課，高一平行乙班采用“創(chuàng)新課堂”的教學(xué)方式授課，為了比較教學(xué)效果，期中考試后，分別從兩個(gè)班中各隨機(jī)抽取名學(xué)生的成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，結(jié)果如下表：（記成績不低于分者為“成績優(yōu)秀”）分?jǐn)?shù)甲班頻數(shù)乙班頻數(shù)（1）由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫下面的列聯(lián)表，并判斷是否有以上的把握認(rèn)為“成績優(yōu)秀與教學(xué)方式有關(guān)”？甲班乙班總計(jì)成績優(yōu)秀成績不優(yōu)秀總計(jì)（2）在上述樣本中，學(xué)校從成績?yōu)榈膶W(xué)生中隨機(jī)抽取人進(jìn)行學(xué)習(xí)交流，求這人來自同一個(gè)班級的概率.參考公式：，其中.臨界值表【答案】（1）有以上的把握認(rèn)為“成績優(yōu)秀與教學(xué)方式有關(guān)”.（2）【解析】（1）補(bǔ)充的列聯(lián)表如下表：甲班乙班總計(jì)成績優(yōu)秀成績不優(yōu)秀總計(jì)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得的觀測值為，所以有以上的把握認(rèn)為“成績優(yōu)秀與教學(xué)方式有關(guān)”.（2）設(shè)，表示成績?yōu)榈募装鄬W(xué)生，，，，表示成績?yōu)榈囊野鄬W(xué)生，則從這名學(xué)生中抽取名學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)交流共有15種等可能的結(jié)果：，，，，，，，，，，，，，，，根據(jù)古典概率計(jì)算公式，從名學(xué)生中抽取名學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)交流，來自同一個(gè)班級的概率為.6．經(jīng)過多年的努力，炎陵黃桃在國內(nèi)乃至國際上逐漸打開了銷路，成為炎陵部分農(nóng)民脫貧致富的好產(chǎn)品.為了更好地銷售，現(xiàn)從某村的黃桃樹上隨機(jī)摘下了100個(gè)黃桃進(jìn)行測重，其質(zhì)量分布在區(qū)間內(nèi)（單位：克），統(tǒng)計(jì)質(zhì)量的數(shù)據(jù)作出其頻率分布直方圖如圖所示：（1）按分層抽樣的方法從質(zhì)量落在，的黃桃中隨機(jī)抽取5個(gè)，再從這5個(gè)黃桃中隨機(jī)抽2個(gè)，求這2個(gè)黃桃質(zhì)量至少有一個(gè)不小于400克的概率；（2）以各組數(shù)據(jù)的中間數(shù)值代表這組數(shù)據(jù)的平均水平，以頻率代表概率，已知該村的黃桃樹上大約還有100000個(gè)黃桃待出售，某電商提出兩種收購方案：A.所有黃桃均以20元/千克收購；B.低于350克的黃桃以5元/個(gè)收購，高于或等于350克的以9元/個(gè)收購.請你通過計(jì)算為該村選擇收益最好的方案.（參考數(shù)據(jù)：）【答案】（1）（2）B【解析】（1）由題得黃桃質(zhì)量在和的比例為，∴應(yīng)分別在質(zhì)量為和的黃桃中各抽取3個(gè)和2個(gè).記抽取質(zhì)量在的黃桃為，，，質(zhì)量在的黃桃為，，則從這5個(gè)黃桃中隨機(jī)抽取2個(gè)的情況共有以下10種：，，，，，，，，，其中質(zhì)量至少有一個(gè)不小于400克的7種情況，故所求概率為.（2）方案好，理由如下：由頻率分布直方圖可知，黃桃質(zhì)量在的頻率為同理，黃桃質(zhì)量在，，，，的頻率依次為0.16，0.24，0.3，0.2，0.05若按方案收購：∵黃桃質(zhì)量低于350克的個(gè)數(shù)為個(gè)黃桃質(zhì)量不低于350克的個(gè)數(shù)為55000個(gè)∴收益為元若按方案收購：根據(jù)題意各段黃桃個(gè)數(shù)依次為5000，16000，24000，30000，20000，5000，于是總收益為（元）∴方案的收益比方案的收益高，應(yīng)該選擇方案.7．為了引導(dǎo)居民合理用電，國家決定實(shí)行合理的階梯電價(jià)，居民用電原則上以住宅為單位（一套住宅為一戶）.某市隨機(jī)抽取10戶同一個(gè)月的用電情況，得到統(tǒng)計(jì)表如下：（1）若規(guī)定第一階梯電價(jià)每度0.5元，第二階梯超出第一階梯的部分每度0.6元，第三階梯超出第二階梯每度0.8元，試計(jì)算居民用電戶用電410度時(shí)應(yīng)交電費(fèi)多少元？（2）現(xiàn)要在這10戶家庭中任意選取3戶，求取到第二階梯電量的戶數(shù)的分布列與期望；（3）以表中抽到的10戶作為樣本估計(jì)全市居民用電，現(xiàn)從全市中依次抽取10戶，若抽到戶用電量為第一階梯的可能性最大，求的值.【答案】（1）元；（2）分布列見解析，期望為；（3）.【解析】（1）元（2）設(shè)取到第二階梯電量的用戶數(shù)為，可知第二階梯電量的用戶有3戶，則可取0,1,2,3，，，，故的分布列為∴（3）可知從全市中抽取10戶的用電量為第一階梯，滿足，可知（）令解得：，∴當(dāng)時(shí)概率最大，∴.8．從某電子商務(wù)平臺隨機(jī)抽取了1000位網(wǎng)上購物者（年消費(fèi)都達(dá)到2000元），并對他們的年齡進(jìn)行了調(diào)查，統(tǒng)計(jì)情況如下表所示：年齡人數(shù)10015040020010050該電子商務(wù)平臺將年齡在的人群定義為消費(fèi)主力軍，其它年齡段定義為消費(fèi)潛力軍.（1）若該電子商務(wù)平臺共10萬位網(wǎng)上購物者，試估計(jì)消費(fèi)主力軍的人數(shù)；（2）為了鼓勵消費(fèi)潛力軍消費(fèi)，該平臺決定對年消費(fèi)達(dá)到2000元的購物者發(fā)放代金券，消費(fèi)主力軍每人發(fā)放100元，消費(fèi)潛力軍每人發(fā)放200元.現(xiàn)采用分層抽樣（按消費(fèi)主力軍與消費(fèi)潛力軍分層）的方式從參與調(diào)查的1000位網(wǎng)上購物者中抽取10人，并在這10人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行回訪，求這3人獲得代金券總金額（單位：元）的分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）萬；（2）分布列見解析，期望為元.【解析】（1）由表可知年齡分布在的頻率為，故消費(fèi)主力軍的人數(shù)約為萬.（2）由題可知這10人中有6人屬于消費(fèi)主力軍，4人屬于消費(fèi)潛力軍，則的所有可能取值為300，400，500,600，，，，，故的分布列為300400500600元.9．未了解人們對“延遲退休年齡政策”的態(tài)度，某部門從年齡在15歲到65歲的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人，將這100人的年齡數(shù)據(jù)分成5組：，，，，，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.在這100人中不支持“延遲退休”的人數(shù)與年齡的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：年齡不支持“延遲退休”的人數(shù)155152317（1）由頻率分布直方圖，估計(jì)這100人年齡的平均數(shù)；（2）由頻率分布直方圖，若在年齡，，的三組內(nèi)用分層抽樣的方法抽取12人做問卷調(diào)查，求年齡在組內(nèi)抽取的人數(shù)；（3）根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫下面的列聯(lián)表，據(jù)此表，能否在犯錯誤的概率不超過5%的前提下，認(rèn)為以45歲為分界點(diǎn)的不同人群對“延遲退休年齡政策”的不支持態(tài)度存在差異？\45歲以下45歲以上總計(jì)不支持支持總計(jì)附：，其中.參考數(shù)據(jù)：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828【答案】（1）；（2）人；（3）表格見解析，能在犯錯誤的概率不超過5%的前提下，認(rèn)為以45歲為分界點(diǎn)的不同人群對“延遲退休年齡政策”的不支持態(tài)度存在差異.【解析】（1）估計(jì)這100人年齡的平均數(shù)為.（2）由頻率分布直方圖可知，年齡在，，內(nèi)的頻率分別為0.1,0.2,0.3，所以在這三組內(nèi)抽取的人數(shù)之比為1:2:3，所在年齡在組內(nèi)抽取的人數(shù)為（人）.(3)由頻率分布直方圖可知，得年齡在，，這三組內(nèi)的頻率和為0.5，所以45歲以下共有50人，45歲以上共有50人.列聯(lián)表如下：45歲以下45歲以上總計(jì)不支持354580支持15520總計(jì)5050100所以，所以能在犯錯誤的概率不超過5%的前提下，認(rèn)為以45歲為分界點(diǎn)的不同人群對“延遲退休年齡政策”的不支持態(tài)度存在差異.10．2020年開始，國家逐步推行全新的高考制度.新高考不再分文理科，采用3+3模式，其中語文、數(shù)學(xué)、外語三科為必考科目，滿分各150分，另外考生還要依據(jù)想考取的高校及專業(yè)的要求，結(jié)合自己的興趣愛好等因素，在思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物6門科目中自選3門參加考試（6選3），每科目滿分100分.為了應(yīng)對新高考，某高中從高一年級1000名學(xué)生（其中男生55