六年級數學上冊 第8講：列方程解應用題二（教師版）（人教版）

第八講列方程解應用題（二）列方程解應用題的主要步驟1.審題找出題目中涉及到的各個量中的關鍵量，這個量最好能和題目中的其他量有著緊密數量關系；2.用字母來表示關鍵量，用含字母的代數式來表示題目中的其他量；3.找到題目中的等量關系，建立方程；4.解方程；5.通過求到的關鍵量求得題目最終答案．解二元一次方程（多元一次方程）1.消元目的：即將二元一次方程或多元一次方程化為一元一次方程．2.消元方法：主要有代入消元和加減消元．1.會解各種方程及方程組，熟練掌握各種解方程的解法2.根據題意尋找等量關系的方法來構建方程及方程組3.合理規(guī)劃等量關系，設未知數、列方程（組）。例1：有一個五位數，在它后面寫上一個7，得到一個六位數；在它前面寫上一個7，也得到一個六位數．如果第二個六位數是第一個六位數的5倍，那么這個五位數是．分析：設五位數是x，那么第一個六位數是，第二個六位數是．依題意列方程，解得．例2：松鼠媽媽采松子，晴天每天可以采個，雨天每天可以采個，它一連幾天采了個松子，平均每天采個，問這幾天當中有幾天是下雨天？分析：根據題意，松鼠媽媽采的松子有晴天采的，也有雨天采的，總的采集數可以求得，采集天數也確定，因此可列方程組來求解．設晴天有天，雨天有天，則可列得方程組：化簡為…………用加減法消元：得：解得.所以其中天下雨.例3：把金放在水里稱，其重量減輕；把銀放在水里稱，其重量減輕．現有一塊金銀合金重克，放在水里稱共減輕了克，問這塊合金含金、銀各多少克？分析：設770克合金中金有克，則銀有克，根據題意，有：，解得，即這塊合金中金有570克，銀有克．例4：口袋中有若干紅色和白色的球．若取走一個紅球，則口袋中的紅球占；若取出的不是一個紅球而是兩個白球，則口袋中的白球占.原來口袋中白球比紅球多多少個？分析：設原來紅球數為，白球數為，那么根據題目條件有以下數量關系：方程組解得，原來口袋中白球比紅球多個．例5：張老師購買了一套教師住宅，原計劃采取分期付款方式．一種付款方式是開始第一年先付7萬元，以后每年付款1萬元；另一種付款方式是前一半時間每年付款2萬元，后一半時間，每年付款1萬5千元．兩種付款方式的付款總數和付款時間都相同．假如一次性付款，可以少付房款1萬6千元．現在張老師決定采用一次性付款方式．問：張老師要付房款多少萬元？分析：設分期付款方式的付款時間為年，則：．將的值代入方程的右式(也可代入左式)，可知分期付款的付款總數為(萬元)．所以，一次性付款的總數為(萬元)．例6：姐姐現在的年齡是弟弟當年年齡的倍，姐姐當年的年齡和弟弟現在的年齡相同，姐姐與弟弟現在的年齡和為歲，則弟弟現在的年齡是多少歲？分析：設弟弟現在的年齡是歲，那么姐姐的年齡為歲，年齡差為，弟弟當年年齡為歲，由題意可列方程，解得所以，弟弟現在的年齡是歲。A1.用邊長相同的正六邊形白色皮塊、正五邊形黑色皮塊總計32塊，縫制成一個足球，如圖所示，每個黑色皮塊鄰接的都是白色皮塊；每個白色皮塊相間地與3個黑色皮塊及3個白色皮塊相鄰接．問：這個足球上共有多少塊白色皮塊？分析：設這個足球上共有x塊白色皮塊，則共有3x條邊是黑白皮塊共有的．另一方面，黑色皮塊有塊，共有條邊是黑白皮塊共有的（如圖）．由于在這個足球上黑白皮塊共有的邊是個定值，列得方程：，解得．即這個足球上共有20塊白色皮塊．2.某八位數形如，它與3的乘積形如，則七位數應是．分析：設，則，，，即七位數應是85714283.有三個連續(xù)的整數，已知最小的數加上中間的數的兩倍再加上最大的數的三倍的和是68，求這三個連續(xù)整數.分析：設最小的那個數為，那么中間的數和最大的數分別為和．則，．所以這三個連續(xù)整數依次為10、11、12．4.小軍原有故事書的本數是小力的3倍，小軍又買來7本書，小力買來6本書后，小軍所有的書是小力的2倍，兩人原來各有多少本書？分析：設小力原有故事書x本，則小軍原有故事書3x本。小力原有故事書5本，小軍原有故事書15本．5.一群學生進行籃球投籃測驗，每人投10次，按每人進球數統(tǒng)計的部分情況如下表：進球數012……8910人數754……341還知道至少投進3個球的人平均投進6個球，投進不到8個球的人平均投進3個球．問：共有多少人參加測驗？分析：設有人參加測驗．由上表看出，至少投進個球的有人，投進不到個球的有人．投中的總球數，既等于進球數不到3個的人的進球數加上至少投進3個球的人的進球數，為；也等于進球數不到8個的人的進球數加上至少投進8個球的人的進球數，為；由此可得方程：，解得．故共有人參加測驗．6.甲、乙、丙三人同乘汽車到外地旅行，三人所帶行李的重量都超過了可免費攜帶行李的重量，需另付行李費，三人共付4元，而三人行李共重150千克．如果一個人帶150千克的行李，除免費部分外，應另付行李費8元．求每人可免費攜帶的行李重量．分析：設每人可免費攜帶千克行李．一方面，三人可免費攜帶千克行李，三人攜帶150千克行李超重千克，超重行李共付4元行李費；另一方面，一人攜帶150千克行李超重千克，超重行李需付行李費8元．根據超重行李每千克應付的錢數相同，可列方程：，．所以每人可免費攜帶的行李重量為30千克．7.某旅游點有兒童票、成人票兩種規(guī)格的門票賣，兒童票的價格為30元，成人票的價格為40元，如果是團體還可以買平均32元一位的團體票，一個由8個家庭組成的旅游團(每個家庭由兩位大人，或兩個大人、一個小孩組成)來景點旅游，如果他們買團體票那么可以比他們各自買票少花120元，問這個旅游團一共有多少人？分析：設八個家庭中有個是三口之家，是個兩口之家，則，所以旅游團一共有人。8.有一隊伍以1.4米/秒的速度行軍，末尾有一通訊員因事要通知排頭，于是以2.6米/秒的速度從末尾趕到排頭并立即返回排尾，共用了10分50秒。問：隊伍有多長？分析：這是一道“追及又相遇”的問題，通訊員從末尾到排頭是追及問題，他與排頭所行路程差為隊伍長；通訊員從排頭返回排尾是相遇問題，他與排尾所行路程和為隊伍長。如果設通訊員從末尾到排頭用了秒，那么通訊員從排頭返回排尾用了秒，于是不難列方程。設通訊員從末尾趕到排頭用了秒，依題意得，，解得推知隊伍長為（米）。9.有甲、乙、丙三個人，當甲的年齡是乙的2倍時；丙是22歲，當乙的年齡是丙的2倍，甲是31歲；當甲60歲時，丙是多少歲?分析：設丙歲時，乙的年齡是歲，當時甲的年齡就是歲，甲乙的年齡差為歲．那么甲是3l歲時，乙是歲，丙是歲，列方程得，，解得，所以乙25歲時，甲50歲，丙22歲．那么甲60歲時，丙32歲．10.金銀合金的重量是克，放在水中稱重時，重量減輕了克，已知金在水中稱重量減輕，銀在水中稱重量減輕，求這塊合金中金、銀各含多少克？分析：設克合金中，金有克，則銀有克；依題意：，解得，所以這塊合金中金有克，銀有克．B11.從前有一位王子，有一天，他把幾位妹妹召集起來，出了一道數學題考她們．題目是：我有金、銀兩個首飾箱，箱內分別裝有若干件首飾，如果把金箱中的首飾送給第一個算對這個題目的人，把銀箱中的首飾送給第二個算對這個題目的人，然后我再從金箱中拿出件送給第三個算對這個題目的，再從銀箱中拿出件送給第四個算對這個題目的人．最后我的金箱中剩下的首飾比分掉的多件，銀箱中剩下的首飾與分掉的比是．王子的金箱中原來有首飾________件，銀箱中原來有首飾________件．分析：設原來金箱中有首飾件，銀箱中有首飾件，則：，，解得，，故金箱中原來有首飾件，銀箱中原來有首飾件．12.運來三車蘋果，甲車比乙車多4箱，乙車比丙車多4箱，甲車比乙車每箱少3個蘋果，乙車比丙車每箱少5個蘋果，甲車比乙車總共多3個蘋果，乙車比丙車總共多5個蘋果，這三車蘋果共有多少個？分析：設乙車運來箱，每箱裝個蘋果，根據題意列表如下：車別甲乙丙箱數每箱蘋果數根據上表可列出如下方程：，化簡為⑴⑵，得：，于是．將代入⑴或⑵，可得：．所以甲車運19箱，每箱12個；乙車運15箱，每箱15個；丙車運11箱，每箱20個．三車蘋果的總數是：(個)．13.有大、中、小三種包裝的筷子盒，它們分別裝有雙、雙、雙筷子，一共裝有雙筷子，其中小盒數是中盒數的倍．問：三種盒各有多少盒？分析：設中盒數為，大盒數為，那么小盒數為，根據題目條件有兩個等量關系：該方程組解得，所以大盒有9個，中盒有6個，小盒有12個.14.甲、乙兩人生產一種產品，這種產品由一個配件與一個配件組成．甲每天生產300個配件，或生產150個配件；乙每天生產120個配件，或生產48個配件．為了在10天內生產出更多的產品，二人決定合作生產，這樣他們最多能生產出多少套產品？分析：假設甲、乙分別有天和天在生產配件，則他們生產配件所用的時間分別為天和天，那么10天內共生產了配件個，共生產了配件個．要將它們配成套，配件與配件的數量應相等，即，得到，則．此時生產的產品的套數為，要使生產的產品最多，就要使得最大，而最大為10，所以最多能生產出套產品．15.米老鼠從到，唐老鴨從到，米老鼠與唐老鴨行走速度之比是，如下圖所示．是、的中點，離點26千米的點有一個魔鬼，誰從它處經過就要減速25%，離點4千米的點有一個仙人，誰從它處經過就能加速25%．現在米老鼠與唐老鴨同時出發(fā)，同時到達，那么與之間的距離是千米．分析：設，米老鼠的行走速度為，則唐老鴨的行走速度為()，如下圖，則有米老鼠從到需要時間，唐老鴨從到需要時間．因為米老鼠與唐老鴨用的時間相同，所以列方程，解得．所以，、兩地相距92千米．16.甲、乙兩種商品的原來價格比是．如果它們的價格各自上漲元，它們的價格比變?yōu)椋蠹滓覂煞N商品的原價各是多少元？分析：方法：設甲乙兩種商品原來價格分別為元，元，根據漲價后價格比為，列方程得，解得，所以原來兩種商品的原價各是元，元方法：設甲乙兩種商品原價各是元,元，依題意列方程組得解得甲乙兩種商品原價各是元,元方法：由于原來兩種商品相差份，漲價后相差份，由于漲價錢數相同，所以應漲份，所以原來兩種商品的價格比，漲價后價格比，所以價格漲了份，恰是元，所以份是元，所以原來兩種商品的價格各是為元，元17.求方程3x＋5y＝31的整數解分析：方法一：利用歐拉分離法，由原方程，得x＝，即x＝10－2y＋，要使方程有整數解必須為整數．取y＝2，得x＝10－2y＋＝10－4＋1＝7，故x＝7，y＝2當y＝5，得x＝10－2y＋＝10－10＋2＝2，故x＝2，y＝5當y＝8，得x＝10－2y＋＝10－16＋3無解所以方程的解為：方法二：利用余數的性質3x是3的倍數，和31除以3余1，所以5y除以3余1（2y除以3余1），根據這個情況用余數的和與乘積性質進行判定為：取y＝1，2y＝2，2÷3＝0……2（舍）y＝2，2y＝4，4÷3＝1……1（符合題意）y＝3，2y＝6，6÷3＝2（舍）y＝4，2y＝8，8÷3＝2……2（舍）y＝5，2y＝10，10÷3＝3……1（符合題意）y＝6，2y＝12，12÷3＝4（舍）當y＞6時，結果超過31，不符合題意。所以方程的解為：18.解方程（其中a、b、c均為正整數）分析：根據等式的性質將第一個方程整理得，根據消元的思想將第二個式子擴大4倍相減后為：，整理后得，根據等式性質，為偶數，20為偶數，所以為偶數，所以為偶數，當時，，，所以，當時，，，所以無解。所以方程解為19.解不定方程(其中x、y、z均為正整數)分析：根據等式的性質將第一個方程整理得，根據消元思想與第二個式子相減得，根據等式的性質兩邊同時除以2得：，根據等式性質為4的倍數，100為4的倍數，所以為4的倍數，所以為4的倍數試值如下20.某公交車起點站已停放10輛公交車，第一輛公交車開出后，每隔8分鐘就有一輛公交車開出，在第一輛公交車開出4分鐘后，有一輛公交車進站，以后每隔12分鐘就有一輛公交車進站，回站的公交車在原有的公交車依次開出之后又依次每隔8分鐘開出一輛，問：第一輛公交車開出后，經過多少時間，車站第一次不能正點發(fā)車？分析：假設第一輛公交車開出分鐘后車站無車可發(fā)，可列方程：，解得．第一輛公交車開出后第232分鐘可以發(fā)一趟車，到第240分鐘時就無車可發(fā)了，所以答案是經過240分鐘后車站第一次不能正點發(fā)車．C21.如圖，圖中、和分別代表包含該數字的三個三角形的面積．試問：包含這個字母的四邊形面積是多少？分析：如圖，設虛線把四邊形分成面積為、的兩個三角形.利用同高的兩個三角形面積之比等于相應底邊之比，可得：（可化簡為）和（可化簡為），由這兩條方程構成方程組：，方程組可解得：，所以四邊形的面積為.22.甲、乙、丙三個人玩三張牌，這三張牌分別寫著不同的自然數，洗牌后發(fā)給每人一張，按每人所拿的自然數得分，重復玩了次后，甲共得分，乙和丙各得分，那么這三張牌上寫的數是哪三個數？分析：三張牌上的三個數之和是．因為不能整除和，所以甲、乙、丙誰也不可能三次拿到同一張牌，，又因為誰也沒有拿到三張牌各次，所以三人都是拿了某張牌兩次、另一張牌一次．設三張牌從大到小寫的數依次為、、.由乙、丙各得分，推知乙、丙的三張牌是、、和、、.則甲的三張牌是、、.由得.由得，從而.將代入、得，.所以，三張牌從大到小寫的數依次是，，.23.三張卡片上分另標有、、數碼(整數)且，游戲時將三張卡片隨意分發(fā)給、、三個人，每人各一張，根據每個人得到卡片上的數碼數分別給他們記分，如此重復游戲若干輪，結果、、三人得分總數分別為20、10、9．已知在最后一輪的得分是，那么⑴在第一輪得分是；（2）、、分別是、、．分析：三人總分為．如果游戲進行了39或13輪，則或3，與矛盾；如果游戲只進行了1輪，則，被得到，與“在最后一輪的得分是”矛盾．所以游戲進行了3輪，且．⑴因為共得10分，且最后一次得分，所以前兩次都得分，否則三次至少得13分．因為三次總分比少，所以沒得過分，前兩次都得分，即第一輪得分的是．⑵假設三次都得，由得和得，解得，，與矛盾，所以前兩次得，最后一次得．由解得，，．24.購買3斤蘋果，2斤桔子需要元；購買8斤蘋果，9斤桔子需要元，那么蘋果、桔子各買1斤需要元.分析：假設購買1斤蘋果、桔子分別需要元、元，則：，兩式相加得，即。所以各買1斤需要元。點評：從上面的過程可以看出，本題可以直接采用算術解法：買斤蘋果和斤蘋果，須元，所以各買1斤需要元.25.有甲、乙、丙三種貨物，若購甲件、乙件、丙件，共需元；若購甲件、乙件、丙件，共需元；則購買甲、乙、丙各件，共需要元。分析：設甲、乙、丙的單價分別為，，，則，由得，即各買一件需要元。點評：本題實際上是三元一次方程，但整體代入消元的思想與二元一次方程是相同的。26.假設五家共用一井取水，甲用繩根不夠，差乙家繩子根；乙用繩根不夠，差丙家繩子根；丙用繩子根不夠。差丁家繩子根；丁用繩子根不夠，差戊家繩子根；戊用繩根不夠，差甲家繩子根．如果各得所差的繩子根，都能到達井深．問井深，繩長各是多少？（井深為小于的整數）分析：依次設甲、乙、丙、丁、戊家繩長為、、、、，井深，則可列出方程組如下：這個方程組不是二元一次方程組，但是解方程組的思想方法與二元一次方程組相同，依次迭代，，，，代入最后一個式子，，即，所以，．于是，，，，．27.在同一路線上有個人:第一個人坐汽車，第二個人開摩托車，第三個人乘助力車，第四個人騎自行車，各種車的速度是固定的，坐汽車的時追上乘助力車的，時遇到騎自行車的，而與開摩托車的相遇是時．開摩托車的遇到乘助力車的是時，并在時追上騎自行車的，問騎自行車的幾時遇見乘助力車的？分析：時以前的位置關系對于這個問題的解決不起任何作用，所以我們從時開始考慮．設汽車、摩托車、助力車、自行車的速度分別為、、、，設在時騎自行車的與坐汽車的距離為，騎自行車的與開摩托車的之間的距離為．有得到，即設騎自行車的在時遇見騎助力車的，則，即，所以．所以騎自行車的在時分遇見騎助力車的．28.河水是流動的，在點處流入靜止的湖中，一游泳者在河中順流從到，然后穿過湖到，共用小時．若他由到再到，共需小時．如果湖水也是流動的，速度等于河水的速度，那么從到再到需小時．問在這樣的條件下，從到再到需幾小時？分析：設游泳者的速度為，水速為，，，則有：且有、、均不為．得，即得，即由、、得：，即．于是，．由得：．小時．即題中所述情況下從到再到需小時．1.丁丁和玲玲兩人摘蘋果，丁丁說：“把我摘的蘋果給玲玲7個，玲玲摘的蘋果的個數就是我的2倍．”玲玲說：“把我摘的蘋果給丁丁7個，他的蘋果個數就和我的一樣多了．”問丁丁和玲玲各摘了多少個蘋果？分析：設丁丁摘了個蘋果，由題意得：．即丁丁摘了個蘋果，而玲玲的蘋果個數為(個)．2.大強參加6次測驗，第三、四次的平均分比前兩次的平均分多2分，比后兩次的平均分少2分．如果后三次的平均分比前三次的平均分多3分，那么第四次比第三次多得多少分？分析：設第三次分數是a分，第四次的分數為分，則前兩次的分數之和分，最后兩次的分數之和分，有，解得，即第四次比第三次多得1分．3.兒子與父親下圍棋，雙方約定父親勝一局就得2分，兒子勝一局得8分，負的一方不管是誰都要扣1分，比賽24局以后，父子得分相同，問他們各勝幾局？分析：法一：設兒子勝了局，輸了局，父親勝了局，輸了局，則由得分關系得，解得，所以兒子贏了6局，父親贏了18局．法二：本題中要求兒子和父親各勝多少局，可分別設兩個未知數為和，要求兩個未知數的值，一般要根據不同的等量關系列出兩個方程．題中兒子、父親比賽的總局數是24局，可列出一個方程：．另外，兩人的得分相同，兒子勝的局數正好是父親負的局數，由此列出另一個方程：．所以可列出方程組：將⑵變形為，代入⑴，得，解得，所以．所以兒子勝了6局，父親勝了18局．4.一位牧羊人趕著一群羊去放牧，跑出一只公羊后，他數了數羊的只數，發(fā)現剩下的羊中，公羊與母羊的只數比是；過了一會兒跑走的公羊又回到羊群，卻又跑走了一只母羊，牧羊人又數了數羊的只數，發(fā)現公羊與母羊的只數比是．這群羊原來有多少只？分析：設原來公羊有只，母羊有只，那么根據題目條件有以下數量關系：根據有關比例性質，方程組可化簡為：，所以這群羊原來有只.5.有甲、乙、丙三堆石子，從甲堆中取出8個給乙堆后，甲、乙兩堆的石子數就相等了；再從乙堆中取出6個給丙堆，乙、丙兩堆的石子數也相等；此時又從丙堆中取2個給甲堆，使甲堆石子數是丙堆石子數的2倍，問：原來甲堆有多少個石子？分析：解：設甲堆原來有x個石子，那么甲堆取出8個給乙堆后，甲乙兩堆都是個石子；再從乙堆中取出6個給丙堆，乙、丙兩堆的石子數都變成（）個石子；此時又從丙堆中取2個給甲堆，那么甲堆石子數變成（）個，丙堆石子數變成（）個，有，解得．1.有三個連續(xù)的整數，已知最小的數加上中間的數的兩倍再加上最大的數的三倍的和是，求這三個連續(xù)整數.分析：設最小的那個數為，那么中間的數和最大的數分別為和．則．所以這三個連續(xù)整數依次為10、11、12．答案：10、11、122.兄弟二人共養(yǎng)鴨550只，當哥哥賣掉自己養(yǎng)鴨總數的一半，弟弟賣出70只時，兩人余下的鴨只數相等，求兄弟兩人原來各養(yǎng)鴨多少只？分析：設兄原來養(yǎng)鴨x只，則弟原來養(yǎng)鴨只．（只）．答案：兄原來養(yǎng)鴨320只，弟原來養(yǎng)鴨230只3.一人看見山上有一群羊，他自言自語到：“我如果有這些羊，再加上這些羊，然后加上這些羊的一半，又加上這些羊一半的一半，最后再加上我家里的那只，一共有只羊”．山上的羊群共有______只．分析：設山上的羊有只，那么有等量關系，解得．所以山上的羊一共有只.答案：只4.寒暑表上通常有兩個刻度，攝氏度(記為℃)和華氏度(記為)，它們之間的換算關系是：攝氏度華氏度，那么在攝氏多少度時，華氏度的值恰好比攝氏度的值大．分析：設在攝氏度時，華氏度的值恰好比攝氏度的值大，列方程：答：在攝氏度時，華氏度的值恰好比攝氏度的值大．答案：度5.重陽節(jié)那天，延齡茶莊請來25位老人品茶，這25位老人的年齡恰好是25個連續(xù)自然數，并且年齡之和恰好是2000。問：其中年齡最大的老人多少歲？分析：設年齡最大的x歲，則最