第3章布爾代數(shù)與邏輯函數(shù)化簡

第三章布爾代數(shù)與邏輯函數(shù)化簡3.1基本公式和法則3.2邏輯函數(shù)的代數(shù)法化簡3.3卡諾圖化簡第一頁，編輯于星期六：二十點四十五分。一、基本公式

邏輯常量運算公式邏輯變量與常量的運算公式0

·

0

=

00

·

1

=

01

·

0

=

01

·

1

=

10

+

0

=

00

+

1

=

11

+

0

=

11

+

1

=

10–1律重疊律互補律還原律0+A=A1+A=11·A=A0·A=0A+A=AA·A=A

3.1基本公式和規(guī)則第二頁，編輯于星期六：二十點四十五分。二、基本定律

(一)

與普通代數(shù)相似的定律

交換律

A+B=B+AA·B=B·A結(jié)合律(A+B)+C=A+(B+C)(A·B)·C=A·(B·C)分配律

A(B+C)=AB+AC

A+BC=(A+B)(A+C)普通代數(shù)沒有！利用真值表邏輯等式的證明方法

利用基本公式和基本定律第三頁，編輯于星期六：二十點四十五分。111111111100

例1

證明等式A+BC=(A+B)(A+C)解：真值表法公式法右式=(A+B)(A+C)用分配律展開=AA+AC+BA+BC=A+AC+AB+BC=A(1+C+B)+BC=A·1+BC=A+BC0000ABCA+BC(A+B)(A+C)000001010011100101110111=左式第四頁，編輯于星期六：二十點四十五分。

(二)

邏輯代數(shù)的特殊定理

吸收律A+AB=A

A+AB=A(1+B)=A

第五頁，編輯于星期六：二十點四十五分。0011111011011100A+BA·BA

B0011001000011100A·BA+BA

B

(二)

邏輯代數(shù)的特殊定理

吸收律

A+AB=A

推廣公式：思考：(1)若已知

A+B=A+C，則

B=C嗎？

(2)若已知

AB=AC，則B=C嗎？

推廣公式：摩根定律

(又稱反演律)第六頁，編輯于星期六：二十點四十五分。三、重要規(guī)則

(一)

代入規(guī)則

A

A

A

A均用代替A均用代替B均用C代替利用代入規(guī)則能擴展基本定律的應(yīng)用。

將邏輯等式兩邊的某一變量均用同一個邏輯函數(shù)替代，等式仍然成立。第七頁，編輯于星期六：二十點四十五分。例2

證明解這是兩變量的求反公式，若將等式兩邊的B用B+C代入便得到這樣就得到三變量的摩根定律。第八頁，編輯于星期六：二十點四十五分。變換時注意：(1)不能改變原來的運算順序。(2)反變量換成原變量只對單個變量有效，而長非

號保持不變。可見，求邏輯函數(shù)的反函數(shù)有兩種方法：利用反演規(guī)則或摩根定律。原運算次序為

(二)

反演規(guī)則

對任一個邏輯函數(shù)式

Y，將“·”換成“+”，“+”換成“·”，“0”換成“1”，“1”換成“0”，原變量換成反變量，反變量換成原變量，則得到原邏輯函數(shù)的反函數(shù)。第九頁，編輯于星期六：二十點四十五分。

(三)

對偶規(guī)則

對任一個邏輯函數(shù)式

Y，將“·”換成“+”，“+”換成“·”，“0”換成“1”，“1”換成“0”，則得到原邏輯函數(shù)式的對偶式

Y

。

對偶規(guī)則：兩個函數(shù)式相等，則它們的對偶式也相等。

應(yīng)用對偶規(guī)則可將基本公式和定律擴展。變換時注意：(1)

變量不改變

(2)不能改變原來的運算順序A+AB=AA·(A+B)=A

第十頁，編輯于星期六：二十點四十五分。四、基本公式應(yīng)用1.證明等式例3用公式證明解第十一頁，編輯于星期六：二十點四十五分。2.邏輯函數(shù)不同形式的轉(zhuǎn)換

邏輯函數(shù)的形式是多種多樣的，一個邏輯問題可以用多種形式的邏輯函數(shù)來表示，每一種函數(shù)對應(yīng)一種邏輯電路。邏輯函數(shù)的表達形式通?？煞譃槲宸N：與或表達式、與非-與非表達式、與或非表達式、或與表達式、或非-或非表達式。第十二頁，編輯于星期六：二十點四十五分。例4

將函數(shù)與或表達式轉(zhuǎn)換為其它形式。解(1)與非-與非式。將與或式兩次取反，利用摩根定律可得(2)與或非式。首先求出反函數(shù)然后再取反一次即得與或非表達式

_____CABACAABF+=+=第十三頁，編輯于星期六：二十點四十五分。(3)或與式。

將與或非式用摩根定律展開，即得或與表達式如下：(4)或非-或非式。將或與表達式兩次取反，用摩根定律展開一次得或非-或非表達式第十四頁，編輯于星期六：二十點四十五分。圖3–1同一邏輯的五種邏輯圖第十五頁，編輯于星期六：二十點四十五分。一、邏輯函數(shù)及其表示方法

邏輯函數(shù)描述了某種邏輯關(guān)系。常采用真值表、邏輯函數(shù)式、卡諾圖和邏輯圖等表示。1.真值表列出輸入變量的各種取值組合及其對應(yīng)輸出邏輯函數(shù)值的表格稱真值表。列真值表方法(1)按

n位二進制數(shù)遞增的方式列出輸入變量的各種取值組合。(2)分別求出各種組合對應(yīng)的輸出邏輯值填入表格。3.2邏輯函數(shù)的代數(shù)法化簡第十六頁，編輯于星期六：二十點四十五分。00000111011101111111011110110011110101011001000111100110101000101100010010000000YDCBA輸出變量輸入變量4個輸入變量有24

=16種取值組合。第十七頁，編輯于星期六：二十點四十五分。2.邏輯函數(shù)式表示輸出函數(shù)和輸入變量邏輯關(guān)系的表達式。又稱邏輯表達式，簡稱邏輯式。邏輯函數(shù)式一般根據(jù)真值表、卡諾圖或邏輯圖寫出。

(1)找出函數(shù)值為1的項。(2)將這些項中輸入變量取值為1的用原變量代替，取值為0的用反變量代替，則得到一系列與項。(3)將這些與項相加即得邏輯式。真值表邏輯式例如

ABC1000111100110101000100100100YCBA011010001111

邏輯式為第十八頁，編輯于星期六：二十點四十五分。3.邏輯圖運算次序為先非后與再或，因此用三級電路實現(xiàn)之。由邏輯符號及相應(yīng)連線構(gòu)成的電路圖。

根據(jù)邏輯式畫邏輯圖的方法:將各級邏輯運算用相應(yīng)邏輯門去實現(xiàn)。例如畫的邏輯圖反變量用非門實現(xiàn)與項用與門實現(xiàn)相加項用或門實現(xiàn)第十九頁，編輯于星期六：二十點四十五分。例1圖示為控制樓道照明的開關(guān)電路。兩個單刀雙擲開關(guān)

A和

B分別安裝在樓上和樓下。上樓之前，在樓下開燈，上樓后關(guān)燈；反之，下樓之前，在樓上開燈，下樓后關(guān)燈。試畫出控制功能與之相同的邏輯電路。(1)

分析邏輯問題，建立邏輯函數(shù)的真值表11YAB0000110110(2)根據(jù)真值表寫出邏輯式解：方法：找出輸入變量和輸出函數(shù)，對它們的取值作出邏輯規(guī)定，然后根據(jù)邏輯關(guān)系列出真值表。設(shè)開關(guān)A、B合向左側(cè)時為0狀態(tài)，合向右側(cè)時為1狀態(tài)；Y表示燈，燈亮?xí)r為1狀態(tài)，燈滅時為0狀態(tài)。則可列出真值表為第二十頁，編輯于星期六：二十點四十五分。(3)畫邏輯圖

與或表達式(可用2個非門、

2個與門和1個或門實現(xiàn))異或非表達式(可用1個異或門和1個非門實現(xiàn))設(shè)計邏輯電路的基本原則是使電路最簡。第二十一頁，編輯于星期六：二十點四十五分。二、邏輯函數(shù)式化簡的意義與標準

化簡意義使邏輯式最簡，以便設(shè)計出最簡的邏輯電路，從而節(jié)省元器件、優(yōu)化生產(chǎn)工藝、降低成本和提高系統(tǒng)可靠性。不同形式邏輯式有不同的最簡式，一般先求取最簡與-或式，然后通過變換得到所需最簡式。第二十二頁，編輯于星期六：二十點四十五分。最簡與-或式標準(1)乘積項(即與項)的個數(shù)最少(2)每個乘積項中的變量數(shù)最少用與門個數(shù)最少與門的輸入端數(shù)最少

最簡與非式標準(1)非號個數(shù)最少(2)每個非號中的變量數(shù)最少用與非門個數(shù)最少與非門的輸入端數(shù)最少

第二十三頁，編輯于星期六：二十點四十五分。如直接由該函數(shù)式得到電路圖，則如圖3-3所示。圖3-3F原函數(shù)的邏輯圖第二十四頁，編輯于星期六：二十點四十五分。

但如果將函數(shù)化簡后其函數(shù)式為F=AC+B

只要兩個門就夠了，如圖3-4所示。圖3–4函數(shù)化簡后的邏輯圖第二十五頁，編輯于星期六：二十點四十五分。三、代數(shù)化簡法

運用邏輯代數(shù)的基本定律和公式對邏輯式進行化簡。并項法

運用，將兩項合并為一項，并消去一個變量。

任何兩個相同變量的邏輯項，只有一個變量取值不同(一項以原變量形式出現(xiàn)，另一項以反變量形式出現(xiàn))，我們稱為邏輯相鄰項(簡稱相鄰項)。如果函數(shù)存在相鄰項，可利用吸收律，將它們合并為一項，同時消去一個變量。第二十六頁，編輯于星期六：二十點四十五分。

解令

解利用等冪律，一項可以重復(fù)用幾次。第二十七頁，編輯于星期六：二十點四十五分。其中與其余四項均是相鄰關(guān)系，可以重復(fù)使用。解所以第二十八頁，編輯于星期六：二十點四十五分。吸收法

運用A+AB

=A和，消去多余的與項。第二十九頁，編輯于星期六：二十點四十五分。消去法

運用吸收律

，消去多余因子。第三十頁，編輯于星期六：二十點四十五分。配項法通過乘或加入零項進行配項，然后再化簡。例1

化簡例2

化簡第三十一頁，編輯于星期六：二十點四十五分。綜合靈活運用上述方法

[例]化簡邏輯式解：

應(yīng)用[例]化簡邏輯式解：

應(yīng)用應(yīng)用AB第三十二頁，編輯于星期六：二十點四十五分。[例]化簡邏輯式解：

應(yīng)用用摩根定律第三十三頁，編輯于星期六：二十點四十五分。作業(yè)：書P691(3)，2(1)(4)，3(2)(3)，4(1)(4)，5(2)(6)(8)第三十四頁，編輯于星期六：二十點四十五分。代數(shù)化簡法

優(yōu)點：對變量個數(shù)沒有限制。缺點：需技巧，不易判斷是否最簡式。

卡諾圖化簡法優(yōu)點：簡單、直觀，有一定的步驟和方法易判斷結(jié)果是否最簡。

缺點：適合變量個數(shù)較少的情況。一般用于四變量以下函數(shù)的化簡。一、代數(shù)化簡法與卡諾圖化簡法的特點3.3卡諾圖化簡第三十五頁，編輯于星期六：二十點四十五分。二、卡諾圖化簡的基本原理例解第三十六頁，編輯于星期六：二十點四十五分。n個變量有2n種組合，可對應(yīng)寫出2n個乘積項，這些乘積項均具有下列特點：包含全部變量，且每個變量在該乘積項中(以原變量或反變量)只出現(xiàn)一次。這樣的乘積項稱為這n個變量的最小項，也稱為n變量邏輯函數(shù)的最小項。1.最小項的定義三、邏輯函數(shù)的標準式——最小項

第三十七頁，編輯于星期六：二十點四十五分。

一個變量A有2個最小項：二個變量AB有4個最小項：三個變量ABC有8個最小項：第三十八頁，編輯于星期六：二十點四十五分。

任何形式的邏輯式都可以轉(zhuǎn)化為標準與-或式，而且邏輯函數(shù)的標準與

-

或式是唯一的。

2.邏輯函數(shù)的最小項表達式

每一個與項都是最小項的與

-

或邏輯式稱為標準與

-

或式，又稱最小項表達式(不一定由全部最小項組成)。第三十九頁，編輯于星期六：二十點四十五分。例如是最小項表達式。而不是最小項表達式，而是一般式。

最小項表達式具有唯一性。任何邏輯函數(shù)的最小項表達式只有一個。第四十頁，編輯于星期六：二十點四十五分。3.由一般式獲得最小項表達式(1)代數(shù)法。對邏輯函數(shù)的一般式采用添項法，例如第四十一頁，編輯于星期六：二十點四十五分。(2)真值表法。將原邏輯函數(shù)A、B、C取不同值組合起來，得其真值表，而該邏輯函數(shù)是將F=1那些輸入變量相或而成的，如表3-4所示。

表3–4某邏輯函數(shù)的真值表第四十二頁，編輯于星期六：二十點四十五分。如何編號？如何根據(jù)輸入變量組合寫出相應(yīng)最小項？例如

3變量邏輯函數(shù)的最小項有23=8個將輸入變量取值為1的代以原變量，取值為0的代以反變量，則得相應(yīng)最小項。

簡記符號例如

1015m5m44100ABC111110101100011010001000最小項ABCm7m6m5m4m3m2m1m0輸入組合對應(yīng)的十進制數(shù)765432104.最小項的編號第四十三頁，編輯于星期六：二十點四十五分。5.最小項的基本性質(zhì)

(1)

對任意一最小項，只有一組變量取值使它的值為1，

而其余各種變量取值均使其值為0。三變量最小項表110000000111101000000110100100000101100010000100100001000011100000100010100000010001100000001000ABCm7m6m5m4m3m2m1m0ABC(2)

不同的最小項，使其值為1的那組變量取值也不同。(3)

對于變量的任一組取值，任意兩個最小項的乘積為0。(4)

對于變量的任一組取值，全體最小項的和為1。第四十四頁，編輯于星期六：二十點四十五分。如何將邏輯式轉(zhuǎn)化為標準與-或式呢

？[例]

將邏輯式化為標準與或式。(3)利用A+A=A，合并掉相同的最小項。0000m00001m11100m121101m131111m15=m0+m1+m12+m13+m15=∑m(0,1,12,13,15)解：(1)利用摩根定律和分配律把邏輯函數(shù)式展開為與或式。AB+(2)利用配項法化為標準與或式。第四十五頁，編輯于星期六：二十點四十五分。(一)

卡諾圖的構(gòu)成

四、邏輯函數(shù)的卡諾圖表示法1.相鄰最小項

兩個最小項中只有一個變量互為反變量，其余變量均相同，稱為相鄰最小項，簡稱相鄰項。相鄰最小項重要特點：兩個相鄰最小項相加可合并為一項，

消去互反變量，化簡為相同變量相與。例如ABC+ABC=AB第四十六頁，編輯于星期六：二十點四十五分。

將n變量的2n個最小項用2n個小方格表示，并且使相鄰最小項在幾何位置上也相鄰且循環(huán)相鄰，這樣排列得到的方格圖稱為n個變量最小項卡諾圖，簡稱變量卡諾圖。2.卡諾圖及其構(gòu)成方法第四十七頁，編輯于星期六：二十點四十五分。變量取0的代以反變量取1的代以原變量AB二變量卡諾圖0101000110110001AB0101m0m1m2m3ABAAB

BABABABAB四變量卡諾圖01

3

245

7

61213

15

14891110三變量卡諾圖ABC01000111

10

m6m7m4m2m3m0m5001m1ABCD00011110000111

10以循環(huán)碼排列以保證相鄰性第四十八頁，編輯于星期六：二十點四十五分。變量取0的代以反變量取1的代以原變量ABCD00011110000111

1001

3

245

7

61213

15

14891110ABCD相鄰項在幾何位置上也相鄰卡諾圖特點：循環(huán)相鄰性同一列最上與最下方格相鄰?fù)恍凶钭笈c最右方格相鄰第四十九頁，編輯于星期六：二十點四十五分。如何寫出卡諾圖方格對應(yīng)的最小項？

已知最小項如何找相應(yīng)小方格？

例如

原變量取1，反變量取0。1001？ABCD0001111000011110

第五十頁，編輯于星期六：二十點四十五分。

(二)

用卡諾圖表示邏輯函數(shù)

(1)求邏輯函數(shù)真值表或者標準與-或式或者與-或式。

(2)

畫出變量卡諾圖。

(3)

根據(jù)真值表或標準與

-

或式或與

-

或式填圖?；静襟E用卡諾圖表示邏輯函數(shù)舉例

已知標準與或式畫函數(shù)卡諾圖

[例]

試畫出函數(shù)Y=∑m(0,1,12,13,15)的卡諾圖解：(1)畫出四變量卡諾圖(2)填圖邏輯式中的最小項m0、m1、m12、m13、m15對應(yīng)的方格填1，其余不填。ABCD0001111000011110

0

1324576

12

13

151489

11

10

11

111

第五十一頁，編輯于星期六：二十點四十五分。已知真值表畫函數(shù)卡諾圖[例]

已知邏輯函數(shù)Y的真值表如下，試畫出Y的卡諾圖。解：(1)畫3變量卡諾圖。ABCY00010010010101101001101011011110ABC0100011110

6

7

5

4

2

31

0m0m2m4m6

1

1

1

1(2)找出真值表中Y=1對應(yīng)的最小項，在卡諾圖相應(yīng)方格中填1，其余不填。第五十二頁，編輯于星期六：二十點四十五分。已知一般表達式畫函數(shù)卡諾圖解：(1)將邏輯式轉(zhuǎn)化為與或式(2)作變量卡諾圖找出各與項所對應(yīng)的最小項方格填1，其余不填。[例]已知，試畫出Y的卡諾圖。AB+ABCD0001111000011110(3)根據(jù)與或式填圖

11111111

1

1AB對應(yīng)最小項為同時滿足A=1，

B=1的方格。BCD對應(yīng)最小項為同時滿足B=1，C=0，D=1的方格AD對應(yīng)最小項為同時滿足A=0，D=1的方格。第五十三頁，編輯于星期六：二十點四十五分。五、用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)

化簡規(guī)律2

個相鄰最小項有

1個變量相異，相加可以消去這

1個變量，化簡結(jié)果為相同變量的與；

4個相鄰最小項有2個變量相異，相加可以消去這2個變量，化簡結(jié)果為相同變量的與；

8個相鄰最小項有3個變量相異，相加可以消去這3個變量，化簡結(jié)果為相同變量的與；……

2n個相鄰最小項有

n個變量相異，相加可以消去這

n個變量，化簡結(jié)果為相同變量的與。消異存同

第五十四頁，編輯于星期六：二十點四十五分。ABCD000111100001111011例如2個相鄰項合并消去

1個變量，化簡結(jié)果為相同變量相與。ABCD+ABCD=ABDABCD000111100001111011例如2個相鄰項合并消去

1個變量，化簡結(jié)果為相同變量相與。ABCD+ABCD=ABDABCD0001111000011110例如1111ABCD+ABCD+ABCD+ABCD=ACD+ACD=AD4個相鄰項合并消去2個變量，化簡結(jié)果為相同變量相與。8個相鄰項合并消去3個變量A11111

111第五十五頁，編輯于星期六：二十點四十五分。畫包圍圈規(guī)則包圍圈必須包含2n個相鄰1方格，且必須成方形。先圈小再圈大，圈越大越是好；1方格可重復(fù)圈，但須每圈有新1；每個“1”格須圈到，孤立項也不能掉。同一列最上邊和最下邊循環(huán)相鄰，可畫圈；同一行最左邊和最右邊循環(huán)相鄰，可畫圈；四個角上的1方格也循環(huán)相鄰，可畫圈。注意ABCD+ABCD+ABCD+ABCD卡諾

圖化

簡法

步驟畫函數(shù)卡諾圖

將各圈分別化簡對填1的相鄰最小項方格畫包圍圈將各圈化簡結(jié)果邏輯加

第五十六頁，編輯于星期六：二十點四十五分。m15

m9

m7

m6

m5

m4

m2

m0解：(1)畫變量卡諾圖[例]用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)Y(A,B,C,D)=∑m(0,2,4,5,6,7,9,15)ABCD0001111000011110(2)填卡諾圖11111111(3)畫包圍圈abcd(4)將各圖分別化簡圈2個可消去

1個變量，化簡為3個相同變量相與。Yb=BCD圈4個可消去

2個變量，化簡為2個相同變量相與。孤立項Ya=ABCDYc=

AB循環(huán)相鄰

Yd=

AD(5)將各圖化簡結(jié)果邏輯加，得最簡與或式第五十七頁，編輯于星期六：二十點四十五分。解：(1)畫變量卡諾圖[例]用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)Y(A,B,C,D)=∑m(0,2,5,7,8,10,12,14,15)ABCD0001111000011110(2)填卡諾圖11111111(4)求最簡與或式Y(jié)=1消1個剩3個(3)畫圈消2個剩2個4個角上的最小項循環(huán)相鄰第五十八頁，編輯于星期六：二十點四十五分。找

AB

=11,C

=

1

的公共區(qū)域找

A

=

1,

CD

=

01

的公共區(qū)域找

B

=

1,

D

=

1

的公共區(qū)域解：(1)畫變量卡諾圖ABCD0001111000011110(2)填圖11(4)化簡(3)畫圈[例]用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)0011m30100m411111111要畫嗎？Y=第五十九頁，編輯于星期六：二十點四十五分。[例]化簡第六十頁，編輯于星期六：二十點四十五分。[例]已知函數(shù)真值表如下，試用卡諾圖法求其最簡與或式。ABCY00010011010001111001101011011111注意：該卡諾圖還有其他畫圈法可見，最簡結(jié)果未必唯一。解：(1)畫函數(shù)卡諾圖ABC01000111

101

1

1

111(3)化簡(2)畫圈Y=1

1

1

111ABC0100011110第六十一頁，編輯于星期六：二十點四十五分。六、其它邏輯形式的化簡1.與非邏輯形式

所謂與非式，就是全由與非門實現(xiàn)該邏輯，前面講邏輯函數(shù)相互變換時已講過，將與或式兩次求反即得與非式。第六十二頁，編輯于星期六：二十點四十五分。第六十三頁，編輯于星期六：二十點四十五分。

2.或與邏輯形式

首先從卡諾圖上求其反函數(shù)，其方法是圈“０”方格，然后再用摩根定律取反即得或與式。

例求的反函數(shù)和或與式。第六十四頁，編輯于星期六：二十點四十五分。

總結(jié)如下：在卡諾圖上圈“0”方格，其化簡結(jié)果：變量為0→原變量；變量為1→反變量，然后變量再相“或”起來，就得每一或項，最后再將每一或項“