2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)模塊素養(yǎng)評價含解析新人教B版必修第二冊

PAGE模塊素養(yǎng)評價(120分鐘150分)一、單項選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)1.設(shè)函數(shù)f(x)=QUOTE則f(-3)+f(log23)= ()A.9 B.11 C.13 D.15【解析】選B.因為函數(shù)f(x)=QUOTE所以f(-3)+f(log23)=log24+QUOTE=2+9=11.2.(2024·莆田高一檢測)設(shè)向量a=(1,4),b=(2,x),c=a+b.若a∥c,則實數(shù)x的值是 ()A.-4 B.2 C.4 D.8【解析】選D.因為a=QUOTE,b=QUOTE,所以c=a+b=(3,4+x),因為a∥c,所以4+x=12,得x=8.3.(2024·天津高考)設(shè)a=30.7,b=QUOTE,c=log0.70.8,則a,b,c的大小關(guān)系為()A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.c<a<b【解析】選D.因為a=30.7>1,b=QUOTE=30.8>30.7=a,c=log0.70.8<log0.70.7=1,所以c<1<a<b.【方法技巧】一般比較大小的題目,常用的方法有:先估算一下每個數(shù)值,看能否依據(jù)估算值干脆比較大小;估算不行的話再找中間量,常常和0,1,-1,QUOTE比較;還可以構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性來比較大小.4.(2024·汕尾高一檢測)某所學(xué)校在一個學(xué)期的開支分布的餅圖如圖1所示,在該學(xué)期的水、電、交通開支(單位:萬元)如圖2所示,則該學(xué)期的電費開支占總開支的百分比為 ()A.12.25% B.11.25%C.10.25% D.9.25%【解析】選B.由題圖1,題圖2可知:該學(xué)期的電費開支占總開支的百分比為QUOTE×20%=11.25%.5.在△ABC中,G為△ABC的重心,M為AC上一點,且滿意=3,則 ()A.=QUOTE+QUOTEB.=-QUOTE-QUOTEC.=-QUOTE+QUOTED.=QUOTE-QUOTE【解析】選B.由題意,畫出幾何圖形如圖所示:依據(jù)向量加法運算可得=+,因為G為△ABC的重心,M滿意=3,所以=QUOTE×QUOTE(+)=QUOTE(+),=QUOTE,所以=-+QUOTE=-QUOTE-QUOTE.6.從正六邊形的6個頂點中隨機選擇4個頂點,則以它們作為頂點的四邊形是矩形的概率等于 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選D.如圖所示,從正六邊形ABCDEF的6個頂點中隨機選4個頂點,有15種選法.若要構(gòu)成矩形,則有3種選法,故其概率為QUOTE=QUOTE.7.某位股民購進某只股票,在接下來的交易時間內(nèi),他的這只股票先經(jīng)驗了n次漲停(每次上漲10%),又經(jīng)驗了n次跌停(每次下跌10%),則該股民這只股票的盈虧狀況(不考慮其他費用)為 ()A.略有盈利 B.略有虧損C.沒有盈利也沒有虧損 D.無法推斷盈虧狀況【解析】選B.設(shè)該股民購進這只股票的價格為a元,則經(jīng)驗n次漲停后的價格為a(1+10%)n=a×1.1n元,經(jīng)驗n次跌停后的價格為a×1.1n×(1-10%)n=a×1.1n×0.9n=a×(1.1×0.9)n=0.99n·a<a,故該股民這只股票略有虧損.8.(2024·南寧高一檢測)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且在[0,+∞)上單調(diào)遞增.若實數(shù)m滿意fQUOTE+f(-1)<0,則m的取值范圍是 ()A.(-2,1)∪(1,4) B.(-2,1)C.(-2,4) D.QUOTE【解析】選A.因為f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且在[0,+∞)上單調(diào)遞增,所以函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù),由題得f(log3|m-1|)+f(-1)<0,所以f(log3|m-1|)<-f(-1)=f(1),所以log3|m-1|<1=log33,所以|m-1|<3,所以-3<m-1<3,所以-2<m<4,因為|m-1|>0,所以m≠1,故m∈(-2,1)∪(1,4).二、多項選擇題(本大題共4小題,每小題5分,共20分,全部選對得5分,選對但不全的得3分,有選錯的得0分)9.已知向量a,b是兩個非零向量,在下列條件中,肯定能使a,b共線的是()A.2a-3b=4e且a+2b=-2eB.存在相異實數(shù)λ,μ,使λa-μb=0C.xa+yb=0(其中實數(shù)x,y滿意x+y=0)D.已知梯形ABCD,其中=a,=b【解析】選AB.對于A,因為向量a,b是兩個非零向量,2a-3b=4e且a+2b=-2e,所以a=QUOTEe,b=-QUOTEe,此時能使a,b共線,故A正確;對于B,存在相異實數(shù)λ,μ,使λa-μb=0,要使非零向量a,b是共線向量,由共線向量基本定理知成立,故B正確;對于C,xa+yb=0(其中實數(shù)x,y滿意x+y=0),假如x=y=0,則不能使a,b共線,故C不正確;對于D,已知梯形ABCD中,=a,=b,假如AB,CD是梯形的上下底,則正確,否則錯誤.10.(2024·福州高一檢測)“悅跑圈”是一款基于社交型的跑步應(yīng)用,用戶通過該平臺可查看自己某時間段的運動狀況,某人依據(jù)2024年1月至2024年11月期間每月跑步的里程(單位:十公里)的數(shù)據(jù)繪制了如圖的折線圖,依據(jù)該折線圖,下列結(jié)論正確的是 ()A.月跑步里程逐月增加B.月跑步里程最大值出現(xiàn)在9月C.月跑步里程的中位數(shù)為8月份對應(yīng)的里程數(shù)D.1月至5月的月跑步里程相對于6月至11月波動性更小,改變比較平穩(wěn)【解析】選BCD.依據(jù)折線圖可知,2月,7月,10月,11月跑步里程下降了,故A選項錯誤.依據(jù)折線圖可知,9月的跑步里程最大,故B選項正確.一共11個月份,里程中位數(shù)是從小到大排列的第6個,依據(jù)折線圖可知,跑步里程的中位數(shù)為8月份對應(yīng)的里程數(shù),故C選項正確.依據(jù)折線圖可知,1月至5月的月跑步里程相對于6月至11月波動性更小,改變比較平穩(wěn),故D選項正確.11.(2024·臨沂高一檢測)定義運算ab=QUOTE設(shè)函數(shù)f(x)=12-x,則下列正確的有 ()A.f(x)的值域為QUOTEB.f(x)的值域為QUOTEC.不等式fQUOTE<fQUOTE成立的范圍是QUOTED.不等式fQUOTE<fQUOTE成立的范圍是QUOTE【解析】選AC.由函數(shù)f(x)=12-x,有f(x)=QUOTE即f(x)=QUOTE作出函數(shù)f(x)的圖像如圖,依據(jù)函數(shù)圖像可知,f(x)的值域為[1,+∞),若不等式fQUOTE<fQUOTE成立,由函數(shù)圖像可知,當(dāng)2x<x+1≤0,即x≤-1時成立,當(dāng)QUOTE即-1<x<0時也成立.所以不等式fQUOTE<fQUOTE成立時,x<0.12.下列對各事務(wù)發(fā)生的概率推斷正確的是 ()A.某學(xué)生在上學(xué)的路上要經(jīng)過4個路口,假設(shè)在各路口是否遇到紅燈是相互獨立的,遇到紅燈的概率都是QUOTE,那么該生在上學(xué)路上到第3個路口首次遇到紅燈的概率為QUOTEB.甲、乙、丙三人獨立地破譯一份密碼,他們能單獨譯出的概率分別為QUOTE,QUOTE,QUOTE,假設(shè)他們破譯密碼是彼此獨立的,則此密碼被破譯的概率為QUOTEC.甲袋中有8個白球,4個紅球,乙袋中有6個白球,6個紅球,從每袋中各任取一個球,則取到同色球的概率為QUOTED.設(shè)兩個獨立事務(wù)A和B都不發(fā)生的概率為QUOTE,A發(fā)生B不發(fā)生的概率與B發(fā)生A不發(fā)生的概率相同,則事務(wù)A發(fā)生的概率是QUOTE【解析】選AC.對于A,該生在第3個路口首次遇到紅燈的狀況為前2個路口不是紅燈,第3個路口是紅燈,所以概率為QUOTE×QUOTE=QUOTE,故A正確;對于B,用事務(wù)A,B,C分別表示甲、乙、丙三人能破譯出密碼,則P(A)=QUOTE,P(B)=QUOTE,P(C)=QUOTE,“三個人都不能破譯出密碼”發(fā)生的概率為QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE,所以此密碼被破譯的概率為1-QUOTE=QUOTE,故B不正確;對于C,設(shè)“從甲袋中取到白球”為事務(wù)A,則P(A)=QUOTE=QUOTE,設(shè)“從乙袋中取到白球”為事務(wù)B,則P(B)=QUOTE=QUOTE,故取到同色球的概率為QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE,故C正確;對于D,易得P(A∩QUOTE)=P(B∩QUOTE),即P(A)P(QUOTE)=P(B)P(QUOTE),即P(A)[1-P(B)]=P(B)[1-P(A)],所以P(A)=P(B),又P(QUOTE∩QUOTE)=QUOTE,所以P(QUOTE)=P(QUOTE)=QUOTE,所以P(A)=QUOTE,故D錯誤.三、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分,將答案填在題中的橫線上)13.從編號分別為1,2,3,4的四個大小完全相同的小球中,隨機取出三個小球,則恰有兩個小球編號相鄰的概率為________.

【解析】從編號為1,2,3,4的四個大小完全相同的小球中,隨機取出三個小球,共有4種不同的取法,恰好有兩個小球編號相鄰的有:(1,2,4),(1,3,4),共有2種,所以概率為QUOTE.答案:QUOTE14.線段AB的端點為A(x,5),B(-2,y),直線AB上的點C(1,1),使||=2||,則x+y=________.

【解析】由已知得=(1-x,-4),2=2(3,1-y).由||=2||,可得=±2,則當(dāng)=2時,有QUOTE解得QUOTE此時x+y=-2;當(dāng)=-2時,有QUOTE解得QUOTE此時x+y=6.綜上可知,x+y=-2或6.答案:-2或615.已知f(x)是奇函數(shù),且當(dāng)x<0時,f(x)=-eax.若f(ln2)=8,則a=________.

【解析】由題意知f(x)是奇函數(shù),且當(dāng)x<0時,f(x)=-eax,又因為ln2∈(0,1),f(ln2)=8,所以-e-aln2=-8,兩邊取以e為底數(shù)的對數(shù),得-aln2=3ln2,所以-a=3,即a=-3.答案:-316.(2024·北京高考改編)李明自主創(chuàng)業(yè),在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店,銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,價格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.為增加銷量,李明對這四種水果進行促銷:一次購買水果的總價達到120元,顧客就少付x元.每筆訂單顧客網(wǎng)上支付勝利后,李明會得到支付款的80%.(1)當(dāng)x=10時,顧客一次購買草莓和西瓜各1盒,須要支付________元.

(2)在促銷活動中,為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折,則x的最大值為________.

【解析】(1)價格為60+80=140元,達到120元,少付10元,所以需支付130元.(2)設(shè)促銷前總價為a元,a≥120,李明得到金額l(x)=(a-x)×80%≥0.7a,0≤x≤120,即x≤QUOTE恒成立,又QUOTE最小值為QUOTE=15,所以x的最大值為15.答案:(1)130(2)15四、解答題(本大題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟)17.(10分)已知向量a=QUOTE,b=(1,-1).(1)若實數(shù)m,n滿意ma+nb=QUOTE,求m+n的值.(2)若QUOTE∥(λa+b),求實數(shù)λ的值.【解析】(1)由題意得ma+nb=QUOTE=(5,10),所以QUOTE解得QUOTE所以m+n=2.(2)a+λb=QUOTE,λa+b=QUOTE,因為QUOTE∥QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,解得λ=±1.18.(12分)某中學(xué)高三年級統(tǒng)計學(xué)生的最近20次數(shù)學(xué)周測成果(滿分150分),現(xiàn)有甲乙兩位同學(xué)的20次成果如莖葉圖所示:(1)依據(jù)莖葉圖求甲乙兩位同學(xué)成果的中位數(shù),并將同學(xué)乙的成果的頻率分布直方圖填充完整.(2)依據(jù)莖葉圖比較甲乙兩位同學(xué)數(shù)學(xué)成果的平均值及穩(wěn)定程度(不要求計算出詳細(xì)值,給出結(jié)論即可).(3)現(xiàn)從甲乙兩位同學(xué)的不低于140分的成果中隨意選出2個成果,記事務(wù)A為“其中2個成果分別屬于不同的同學(xué)”,求事務(wù)A發(fā)生的概率.【解析】(1)甲的成果的中位數(shù)是119,乙的成果的中位數(shù)是128,同學(xué)乙的成果的頻率分布直方圖如圖:(2)從莖葉圖可以看出,乙的成果的平均分比甲的成果的平均分高,乙同學(xué)的成果比甲同學(xué)的成果更穩(wěn)定集中.(3)甲同學(xué)的不低于140分的成果有2個,設(shè)為a,b,乙同學(xué)的不低于140分的成果有3個,設(shè)為c,d,e,現(xiàn)從甲乙兩位同學(xué)的不低于140分的成果中隨意選出2個成果有:(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e)共10種,其中2個成果分別屬于不同同學(xué)的狀況有:(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e)共6種,因此事務(wù)A發(fā)生的概率P(A)=QUOTE=QUOTE.19.(12分)候鳥每年都要隨季節(jié)的改變而進行大規(guī)模的遷徙,探討某種鳥類的專家發(fā)覺,該種鳥類的飛行速度v(單位:m/s)與其耗氧量Q之間的關(guān)系為v=a+blog3QUOTE(其中a,b是實數(shù)).據(jù)統(tǒng)計,該種鳥類在靜止的時候其耗氧量為30個單位,而其耗氧量為90個單位時,其飛行速度為1m/s.(1)求出a,b的值.(2)若這種鳥類為趕路程,飛行的速度不能低于2m/s,則其耗氧量至少要多少個單位?【解析】(1)由題意可知,當(dāng)這種鳥類靜止時,它的飛行速度為0m/s,此時耗氧量為30個單位,故有a+blog3QUOTE=0,即a+b=0;當(dāng)耗氧量為90個單位時,飛行速度為1m/s,故a+blog3QUOTE=1,整理得a+2b=1.解方程組QUOTE得QUOTE(2)由(1)知,v=-1+log3QUOTE.所以要使飛行速度不低于2m/s,則有v≥2,即-1+log3QUOTE≥2,即log3QUOTE≥3,解得Q≥270.所以若這種鳥類為趕路程,飛行的速度不能低于2m/s,則其耗氧量至少要270個單位.20.(12分)一個盒子里裝有三張卡片,分別標(biāo)記數(shù)字1,2,3,這三張卡片除標(biāo)記的數(shù)字外完全相同.隨機有放回地抽取3次,每次抽取1張,將抽取的卡片上的數(shù)字依次記為a,b,c.(1)求“抽取的卡片上的數(shù)字滿意a+b=c”的概率.(2)求“抽取的卡片上的數(shù)字a,b,c不完全相同”的概率.【解析】(1)由題意知,(a,b,c)全部的可能為(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),(1,3,1),(1,3,2),(1,3,3),(2,1,1),(2,1,2),(2,1,3),(2,2,1),(2,2,2),(2,2,3),(2,3,1),(2,3,2),(2,3,3),(3,1,1),(3,1,2),(3,1,3),(3,2,1),(3,2,2),(3,2,3),(3,3,1),(3,3,2),(3,3,3),共27種.設(shè)“抽取的卡片上的數(shù)字滿意a+b=c”為事務(wù)A,則事務(wù)A包括(1,1,2),(1,2,3),(2,1,3),共3種.所以P(A)=QUOTE=QUOTE.因此,“抽取的卡片上的數(shù)字滿意a+b=c”的概率為QUOTE.(2)設(shè)“抽取的卡片上的數(shù)字a,b,c不完全相同”為事務(wù)B,則事務(wù)QUOTE包括(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),共3種.所以P(B)=1-P(QUOTE)=1-QUOTE=QUOTE.因此,“抽取的卡片上的數(shù)字a,b,c不完全相同”的概率為QUOTE.21.(12分)函數(shù)f(x)=log2QUOTE.(1)求函數(shù)f(x)的定義域.(2)若x∈QUOTE,函數(shù)g(x)=2f(x)-m·2x+1,是否存在實數(shù)m使得g(x)的最小值為QUOTE,若存在,求m的值;若不存在,請說明理由.【解析】(1)由題意:4x-1>0,所以4x>1,則x>0,所以函數(shù)f(x)的定義域為QUOTE.(2)g(x)=2f(x)-m·2x+1=QUOTE-m·2x+1=4x-1-m·2x+1=4x-m·2x,令t=2x,因為x∈QUOTE,所以t∈QUOTE